初中数学最短距离问题

最短距离问题

1. 如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值．

2. 如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）

A

． B

． C ．3 D

3. 在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝

4. 一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．

（1）求该函数的解析式；

（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．

5. 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．

A B

P

R Q 图3 A

D

E P

B C

6.如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸

垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

作法：设a、b的距离为r。①把点B竖直向上平移r个单位得到点B'；

②连接AB'，交a于C；③过C作CD b于D；

④连接AC、BD。

证明：∵BB'∥CD且BB'＝CD，∴四边形BB'CD是平行四边形，∴CB'＝BD

∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B

在a上任取一点C'，作C'D'，连接AC'、D'B，C'B'

同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B，而AC'＋C'B'>A B'，∴AC＋CD＋DB最短。

7.如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若AC,AB是各有一个动点M,N,求BM+MN最小值.

8.如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC

边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .

9. 如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC =60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为 ．

10. 如图6所示，已知正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM =2，N 是AC 上的一个动点，则DN+MN 的最小值为 ．

11. 如图7，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为 cm ．（结果不取近似值）．

12. 如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ）

A ．42°

B ．48°

C ．52°

D ．58°

13. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（ ）

A ．40°

B ．30°

C ．20°

D ．10°

14. 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF

的长度是 ．

15. 在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为

A ．9.5

B ．10.5

C ．11

D ．15.5

16. 矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（ ） A ． 8 B ．112

C ． 4

D ．52 第2题图 A '

B

D

A

C

17. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB

＝3

，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．

A 、3

B 、2

C 、3

D 、32

18. 如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，AB ′与CD 交于点E.

（1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明.

（2）若AB=8，DE=3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ，试求PG+PH 的值，并说明理由.

19. 如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）

A ．3cm

B ．4cm

C ．5cm

D ．6cm

N M

F

E

B A

B C

D G

F 16题） F