数学规划模型

数学规划模型

现实世界中广泛存在着一类所谓的优化问题，在一系列既定条件的限制下，如何使所关注的预定目标达到最优，这就是数学规划模型。本章介绍数学规划中的线性规划、整数规划和非线性规划。另外介绍多目标规划的序贯解法。

6.1 线性规划

线性规划（Linear Programming 简记LP ）是运筹学的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实际中的应用日益广泛。

6.1.1 线性规划的基本概念

1.线性规划的一般模型

线性规划模型的一般形式为

1max(min)n j j j z c x ==∑；

(6.1)

1(,),1,2,,,s.t.0,1,2,,.n ij j i j j a x b i m x j n =⎧≤≥==⎪⎨⎪≥=⎩∑ (6.2) 也可以表示为矩阵形式

max(min)T z =c x ；

(,),s.t.0.≤≥=⎧⎨≥⎩

Ax b x 向量形式 max(min)T z =c x ；

1(,),s.t.0.n j j j x =⎧≤≥=⎪⎨⎪≥⎩

∑p b x 上面的表达式中，式(6.1)称为目标函数，式(6.2)称为约束条件；其中12[,,,]T n c c c =c ，称其为价值向量（或目标向量）；12[,,,]T n x x x =x ，称其为决策向量；12[,,,]T m b b b =b ，称其为资源向量；()ij m n a ⨯=A ，

称其为约束条件的系数矩阵；12[,,,]T j j j mj a a a =p （1,2,,j n =），称其为约束条件的系数向量。

从上面的模型可以看出，线性规划的目标函数可以是最大化问题，也可以是最小化问题；约束条件有的是“≤”，有的是“≥”，也可以是“=”。

在一些实际问题中决策变量可以是非负的，也可以是非正的，甚至可以是无约束（即可以取任何值）。为了便于研究，在此规定线性规划模型的标准型为

max T z =c x ； (6.3)

,s.t.0.=⎧⎨≥⎩Ax b x (6.4)

2.线性规划解的概念

线性规划所研究的内容是线性代数的应用和发展，属于线性不等式组理论，或者说是高维空间中凸多面体理论。其基本点就是在满足一定的约束条件下，使预定目标达到最优。

定义6.1 对于线性规划模型

（1）满足全部约束条件的决策向量n R ∈x 称为可行解；

（2）全部可行解构成的集合（它是n 维欧氏空间n R 中的点集，而且是一个“凸多面体”）称为可行域；

（3）使目标函数达到最优值（最大值或最小值，并且有界）的可行解称为最优解。 定理6.1 当线性规划问题有最优解时，一定可以在可行域的某个顶点上取到。当有唯一解时，最优解就是可行域的某个顶点。当有无穷多个最优解时，其中至少有一个解是可行域的一个顶点。

根据定理6.1，线性规划模型的最优解有以下几种情况：

（1）有最优解时，可能有唯一最优解，也可能有无穷多个最优解。如果最优解不唯一，则最优解一定有无穷多个，不可能为有限个。最优解对应的目标函数值（最优值）均相等。

（2）没有最优解时，也有两种情形。一是可行域为空集，即无可行解；二是可行域非空，但目标函数值无界（求最大时无上界，求最小时无下界）。

美国数学家G. B. Dantzig 于1947年提出了求解线性规划的单纯形法，给出了一个在凸多面体的顶点中有效地寻求最优解的迭代策略。

如果将凸多面体顶点所对应的可行解称为基本可行解，单纯形法的基本思想就是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。即使问题无最优解也可用此法判别。

单纯形的详细计算步骤我们这里就不赘述了，有兴趣的读者可以参阅运筹学的有关书籍。

6.1.2 MATLAB 求解线性规划

MATLAB 优化工具箱中提供了一个求解线性规划的基本函数linprog 。这个函数集中了求解线性规划的常用算法，如单纯形法和内点法等，会根据问题的规模或用户的指定选择算法进行求解。

MATLAB 中线性规划模型的标准型为

min T z =c x ，

,s.t.,

.⋅≤⎧⎪⋅=⎨⎪≤≤⎩A x b Aeq x beq LB x UB

函数linprog 的调用格式为

[x,z]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB)

其中，c 对应于上述标准型中的目标向量，A 、b 对应于不等号约束，Aeq 、beq 对应于等号约束，LB 、UB 是决策向量的下界向量和上界向量；返回值x 是求得的最优解，z 是目标函数的最优值。

例6.1 加工一种食用油需要精炼若干种原料油并把它们混合起来。原料油的来源有两类共5种：植物油VEG1，植物油VEG2，非植物油OIL1，非植物油OIL2，非植物油OIL3。购买每种原料油的价格（英镑/吨）如表6.1所示，最终产品以150英镑/吨的价格出售。植物油和非植物油需要在不同的生产线上进行精炼。每月能够精炼的植物油不超过200吨，非