2020届赢在微点一轮总复习数学理 作业 (33)
2020版赢在微点数学(理科一轮复习(人教版)第一章 集合与常用逻辑用语 (2)
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1．否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的 否定是只否定命题的结论。
2．区别 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B⇒/ A)，与 A 的充分不必要条 件是 B(B⇒A 且 A⇒/ B)两者的不同。
3．A 是 B 的充分不必要条件⇔綈 B 是綈 A 的充分不必要条件。
答案 (3)A
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充要条件的三种判断方法 1．定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断。 2．集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断。 3．等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题 转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题。
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(3)若集合 A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠
∅”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 (3)化简集合 A＝{x|0<x<1}，若 m>1，则 B＝{x|－1<x<m}，此时 A∩B≠∅，反之，若 A∩B≠∅，则 m>0，因(1，＋∞)⊂(0，＋∞)。故选 A。
答案 B
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二、走近高考
3．(2018·天津高考)设 x∈R，则“x－12<12”是“x3<1”的(
)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第三章 第六节 解 三 角 形 Word版含答案
第六节 解三角形2019考纲考题考情考纲要求考题举例考向标签1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2018·全国卷Ⅰ·T17(利用正弦、余弦定理求角、求边)2018·全国卷Ⅱ·T6(利用余弦定理求边)2018·全国卷Ⅲ·T9(利用余弦定理求角)2017·全国卷Ⅰ·T17(正、余弦定理)2017·全国卷Ⅱ·T17(正、余弦定理)命题角度：1．正弦定理和余弦定理2．解三角形的综合应用核心素养：逻辑推理、数学运算1．正弦定理＝＝＝2R a sin A b sin B c sin C其中2R 为△ABC 外接圆直径。
变式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 。
a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 。
2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
变式：cos A ＝；cos B ＝；b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22accos C ＝。
a 2＋b 2－c 22ab sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。
3．解三角形(1)已知三边a ，b ，c 。
运用余弦定理可求三角A ，B ，C 。
(2)已知两边a ，b 及夹角C 。
运用余弦定理可求第三边c 。
(3)已知两边a ，b 及一边对角A 。
先用正弦定理，求sin B ，sin B ＝。
b sin Aa①A 为锐角时，若a <b sin A ，无解；若a ＝b sin A ，一解；若b sin A <a <b ，两解；若a ≥b ，一解。
2020版赢在微点数学(理科一轮复习(人教版)第一章 集合与常用逻辑用语 (3)
必/考/部/分第一章集合与常用逻辑用语第一节集合2019考纲考题考情1．集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。
集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。
2．集合间的基本关系3.集合的基本运算1．集合元素的三个特性确定性、无序性、互异性。
2．集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个。
3．注意空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解。
4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B ＝A⇔B⊆A。
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B ＝A⇔A⊆B。
(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A。
∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)。
一、走进教材1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 018}，a ＝22，则()A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P解析因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 018的自然数构成的集合，所以a∉P。
故选D。
答案 D2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________。
解析由已知得M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，所以M∪N的子集有26＝64(个)。
答案64二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}。
2020版赢在微点数学(理科一轮复习(人教版)第一章 集合与常用逻辑用语 (3)
必/考/部/分第一章集合与常用逻辑用语第一节集合2019考纲考题考情1．集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。
集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。
2．集合间的基本关系3.集合的基本运算1．集合元素的三个特性确定性、无序性、互异性。
2．集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个。
3．注意空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解。
4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B ＝A⇔B⊆A。
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B ＝A⇔A⊆B。
(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A。
∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)。
一、走进教材1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 018}，a ＝22，则()A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P解析因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 018的自然数构成的集合，所以a∉P。
故选D。
答案 D2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________。
解析由已知得M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，所以M∪N的子集有26＝64(个)。
答案64二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}。
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第五章 第二节 等 差 数 列 Word版含答案
第二节 等 差 数 列2019考纲考题考情1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。
(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝。
a ＋b 22．等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。
(2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋d n (n －1)2或S n ＝。
n (a 1＋a n )23．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)。
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。
(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。
(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列。
(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。
(7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。
(8)若项数n 为偶数，则S 偶－S 奇＝；nd 2若项数n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。
1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题36 基本不等式(解析版)
考点36 基本不等式1．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试理）若x ，y ，z 是正数，且3412x y z ==，(),1x yn n z+∈+，n N ∈，则n 的值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令3412x y z k ===，得3log x k =，4log y k =，12log z k =，则111x y z +=，得1x y xy z +=，所以()22x y x y x y z xy y x++==++，注意到432y x x =>，即2y x >，且y x <，所以112y x >>，设y t x =，则1924,2x y t z t +⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.所以4n =.故选B.2．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A ．2 BC D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.3．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=， 又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤； 因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B4．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（ ）A ．（4，+∞）B ．[3)++∞C ．[6，+∞）D ．(4,3+【答案】B 【解析】∵函数f （x ）＝|ln （x ﹣1）|，f （a ）＝f （b ），且x ＞1，不妨设a b <，则12a b <<<. ∴﹣ln （a ﹣1）＝ln （b ﹣1），∴11a -＝b ﹣1，∴b ＝11a -+1，∴a+2b ＝a+222133311a a a +=-+++=+--…，当且仅当a 取等号，∴a+2b的取值范围是[3)++∞ 故选：B ．5．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为 A．3+B．3 C．2+ D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+， 当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立， 所以11m n+的最小值为3+ A.6．（天津市南开区2019届高三下学期模拟考试理）已知x ，y均为正实数，且272x y xy +=，则x+3y的最小值为_____________ 【答案】2; 【解析】 x ，y 均为正实数,22172x y xy y x +=+=+,)12113233)7722y xx y x y y x x y ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭17 2.72≥+==时等号成立.故答案为：2.7．（天津市河北区2019届高三一模数学理）若lg lg 0a b +=，则21a b+的最小值是_____________. 【答案】【解析】∵lga+lgb ＝lgab ＝0， ∴ab ＝1，且a ＞0，b ＞0，则21a b +≥=当且仅当21a b =且ab ＝1时即a =b 2=取得最小值故答案为8．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，BD =，cos2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【答案】5【解析】因为cos24ABC ∠=，所以221cos 2cos121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭因为3CD AD =，所以3uu u r uu u rCD DA =即()3uu u r uu u r uu r uu u r BD BC BA BD -=-，整理得到3144uu u r uu r uu u r BD BA BC =+，两边平方后有22291316168uu u r uu r uu u r uu r uu u rBD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684u u r u u ur u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅⨯，整理得到2233292u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅，设,uu r uu u r c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，35c a +≤=，当且仅当a =，15c =时等号成立，故填5. 9．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.【解析】()()2222211122x ty t y x y x y xy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时()2212x y x y +++=10．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试理）点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 【答案】1 【解析】曲线C 可整理为：()22225x y -+= 则曲线C 表示圆心为()2,0，半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离则max 515d ==2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又121b a a b ++≥=+（当且仅当11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴+≥⨯=+，即111a b ++的最小值为1 本题正确结果：111．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为______．【答案】256【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时, 目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12, 即4612a b +=,即236a b +=, 而2323236a b a b a b +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭1313252666b a a b ⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭．故答案为：256． 12．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试理）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则cos B 的最小值为_____. 【答案】12【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =22222cos 22a c b a c acB ac ac+-+-==， 由基本不等式可以得到2221222a c ac ac ac ac ac +--≥=，当且仅当a c =时等号成立，故cos B 的最小值为12. 13．（山东省威海市2019届高三二模考试理）直三棱柱111ABC A B C -中，190,2BC A A A ︒∠==，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________． 【答案】16π. 【解析】如图，在Rt ABC ∆中，设,AB c BC a ==，则AC =分别取11,AC A C 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111Rt A B C ∆和Rt ABC ∆外接圆的圆心， 连12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心． 连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O ABC -的体积为1，即1()1132O ABC acV -=⨯⨯=， ∴6ac =．在2Rt OO C ∆中，可得22222212()()11224O O AC a c R +=+=+=+， ∴222244(1)4(1)1644a c acS R ππππ+==+≥+=球表，当且仅当a c =时等号成立，∴O 球表面积的最小值为16π． 故答案为：16π．14．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学（理）在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,则V ABC 面积最大值为_________. 【答案】3 【解析】在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,如下图所示：则1CD =，由三角形内角平分线定理可知：2AB BDAC CD==，设,2AC x BAC α=∠=，则2,0,2AB x πα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得：2223422cos 2x x x x α=+-⋅⋅⋅，即22954cos 2x x α=-，可得2954cos 2x α=-，V ABC 面积为219sin 22sin 2sin 2254cos 2S x x x αααα=⋅⋅⋅==-22222tan 918tan 181tan 311tan 19tan 9tan 54tan 1tan S αααααααα⋅+⇒====-++-⋅+…,当且仅当31tan =α时，等号成立，故V ABC 面积最大值为3.15．（江西省新八校2019届高三第二次联考）在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3sin c b A =，则tan tan tanC A B ++的最小值是_______．【答案】12 【解析】由正弦定理可得：sin 3sin sin C B A =得：()sin sin cos cos sin 3sin sin A B A B A B B A +=+=sin cos cos sin 3sin sin cos cos cos cos A B A B B AA B A B+∴=，即tan tan 3tan tan A B A B +=又()tan tan tan tan tan tan tan tan tan A B C A B C A B A B ++==-+22tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan A B A BA B A B A B+-=-=-- 令tan tan A B t =，得：()()()22231613333tan tan tan 3161111t t t t A B C t t t t t -+-+-++====-++----ABC ∆为锐角三角形 ()tan tan tan tan 01tan tan A BC A B A B+∴-=+=<-得：tan tan 1A B >，即1t > 10t ∴->()3tan tan tan 3166121A B C t t ∴++=-++≥=- 当且仅当()3311t t -=-，即tan tan 2t A B ==时取等号 ()min tan tan tan 12A B C ∴++=本题正确结果：1216．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）若正数,a b 满足3ab a b ++=，则+a b 的最小值为__________． 【答案】2 【解析】因为,a b 2a b+≤成立. 所以()24a b ab +≤所以()()234a b ab a b a b =++++≤+即：()()21240b a a b +-+≥+ 解得：2a b +≥或6a b +≤-（舍去） 当3a bab a b =⎧⎨++=⎩时，等号成立，即：1a b ==时，等号成立.所以+a b 的最小值为217．（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等理)2019届高三第二次调研联考）在菱形中，为边的中点，，则菱形面积的最大值是______．【答案】12 【解析】以对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，在菱形ABCD 中，设，，，则，，，， 又E 为CD 边的中点，则，，，，由基本不等式有，，，当且仅当时取“”，即，菱形ABCD 的面积为，即菱形面积的最大值为12．故答案为：12．18．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试）已知正实数满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】∵正实数满足，∴（2a+b），当且仅当时取等号．∴的最小值为故答案为．19．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测理）如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．【答案】【解析】因为的面积为，所以,因此，因为，所以因此，当且仅当时取等号即，的最小值为.20．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知函数()f x x a x b =++-. （1）当1a =，1b =时，求不等式()4f x ≤的解集； （2）若0a >，0b >，()f x 的最小值为2，求12a b+的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）32+ 【解析】（1）当1a =，1b =时，()114f x x x =++-≤，得124x x ≤-⎧⎨-≤⎩或1124x -<<⎧⎨≤⎩或124x x ≥⎧⎨≤⎩，解得：22x -≤≤，∴不等式()4f x ≤的解集为{}22x x -≤≤.（2）()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， ∴2a b +=，∴()121121213332222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2a =，4b =-.∴12a b +的最小值为3221．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知函数()211f x x x =--+． （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）[]2,6-；（2）证明见解析. 【解析】（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩， 故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤， 综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+= 当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立，∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭．22．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知()221f x x x =-++． （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤． 【答案】(1) ()1,3- (2)见证明 【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-， 由()6f x <，∴336x -<，∴3x <，即23x ≤<，②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴56x -<，∴1x >-，即12x -<<， ③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，∴336x -<，∴1x >-，可知无解， 综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-； （2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =，∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=， ∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥， ∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++ 又,,m n p 为正实数，∴可以解得12mn np pm ++≤．23．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）选修4-5不等式选讲 已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >. （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c aa b c++≥.【答案】（1）2m =（2）见证明 【解析】（1）由题意知：20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x mm x x ≤⎧⎨-+≤⎩化简得：3x mm x >⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤- 2m ∴-=-，解得：2m =（2）由（1）可知，2a b c ++=由基本不等式有：22b a b a +≥，22c b c b +≥，22a c a c +≥三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c +++++≥++222b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c++≥24．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试理）已知()()0f x x a a =->． （1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =--的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n+的最小值．【答案】（1）6（2）2 【解析】（1）0a >，2aa ∴<，∴函数()()3222232x a x aa F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪->⎪⎪⎛⎫=-+-=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2a x =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =--+， ()()22224x x x x --+≤--+=，4k∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 所以当343n m m n =，即2n =1m =时，123m n +最小值为2。
2020赢在微点数学(理)一轮复习(人教版)第三章 三角函数、解三角形 (4)
π 4
≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋
π 4
≤x≤2kπ＋54π(k∈Z)。所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z
。
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(2)函数 f(x)＝
1＋log1 2
x＋tanx＋π4的定义域是________。
(2)依题意得x1>＋0，log21 x≥0， x＋π4≠kπ＋π2，k∈Z，
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微考点·大课堂
考点例析 对点微练
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考点一 三角函数的定义域 【例 1】 (1)函数 y＝tanx1－1的定义域为________。
解析
(1)
要
使
函
数
有
意
义
，
必
须
有
tanx－1≠0， x≠π2＋kπ，k∈Z，
即
x≠π4＋kπ，k∈Z， x≠π2＋kπ，k∈Z。
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一、走进教材
1．(必修 4P46A 组 T2,3 改编)若函数 y＝2sin2x－1 的最小正周期为 T，最大 值为 A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
解析 最小正周期 T＝22π＝π，最大值 A＝2－1＝1。故选 A。 答案 A
(1)解析 (换元法)因为 y＝f(x)＝cosxsin2x＝2cos2xsinx＝2(1－sin2x)·sinx ＝2(sinx－sin3x)，令 t＝sinx，则 y＝g(t)＝2(t－t3)，－1≤t≤1。令 g′(t)＝2(1
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第五章 第三节 等 比 数 列 Word版含答案
第三节 等 比 数 列2019考纲考题考情1．等比数列的有关概念(1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)。
②符号语言：＝q (n ∈N *，q 为非零常数)。
a n ＋1a n(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab 。
2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1。
(2)前n 项和公式：S n ＝Error!3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)。
(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 。
特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 。
2p (3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)。
(4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列。
(5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k 。
(6)若Error!或Error!则等比数列{a n }递增。
若Error!或Error!则等比数列{a n }递减。
1．若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a }，2n 也是等比数列。
{1a n }2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0。
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第五章 第一节 数列的概念与简单表示法 Word版含答案
第五章数 列第一节 数列的概念与简单表示法2019考纲考题考情1．数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
(2)数列的分类(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法。
2．数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
(2)已知数列{a n}的前n项和S n，则a n＝Error!1．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1,2,3，…，n}上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值。
2．在数列{a n }中，若a n 最大，则Error!若a n 最小，则Error!3．递推关系求通项公式的三种方法：(1)叠加法：对于a n ＋1－a n ＝f (n )型，若f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的和是可求的，可用多式相加法求得a n 。
(2)叠乘法：对于＝f (n )型，若f (1)·f (2)·…·f (n )的积是可求a n ＋1a n 的，可用多式相乘法求得a n 。
(3)构造法：对a n ＋1＝pa n ＋q 型，构造一个公比为p (p ≠1)的等比数列，求得a n 。
{a n ＋qp －1}一、走进教材1．(必修5P 33A 组T 4改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A ．B ．3253C. D.8523解析 a 2＝1＋＝2，a 3＝1＋＝，a 4＝1＋＝(－1)2a 1(－1)3a 212(－1)4a33，a 5＝1＋＝。
(－1)5a423答案 D2．(必修5P 33A 组T 5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________。
2020届赢在微点大一轮总复习数学理 (39)
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一、走进教材
1．(选修 2－2P89 练习 T1 改编)对于任意角 θ，化简 cos4θ－sin4θ＝2θ
D．cos2θ
解析 因为 cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝ cos2θ。故选 D。
取函数 f(x)＝lnxx，因为 f′(x)＝1－x2lnx，所以当 x>e 时，f′(x)<0，所以函数 f(x) 在(e，＋∞)上单调递减。
所以当 a>b>e 时，有 f(b)>f(a)， 即lnbb>lnaa。得证。
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分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的 充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、 公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。
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反证法的一般步骤：(1)分清命题的条件与结论；(2)作出与命题的结论 相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果； (4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不成立，原结论成立，从 而间接地证明原命题为真。
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S1＝1， S2＝2＋3＝5， S3＝4＋5＋6＝15， S4＝7＋8＋9＋10＝34， S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， ……
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2020赢在微点数学(理)一轮复习(人教版)第三章 三角函数、解三角形 (1)
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7．已知角 α 的终边在直线 y＝－x 上，且 cosα<0，则 tanα＝________。
解析 如图，由题意知，角 α 的终边在第二象限，在其上任取一点 P(x， y)，则 y＝－x，由三角函数的定义得 tanα＝yx＝－xx＝－1。
答案 －1
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又cosθ2＝－cosθ2，即 cosθ2<0，因此θ2是第二象限角。 答案 (1)B
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(2)(2019·福州模拟)与－2 010°终边相同的最小正角是________。
(2)因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以 150°与－2 010°终边相同， 又终边相同的两个角相差 360°的整数倍，所以在 0°～360°中只有 150°与－ 2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是 150°。
1．区分两个概念 (1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。 (2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。 2．一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 3．三角函数定义的推广 设点 P(x，y)是角 α 终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则 sinα＝yr， cosα＝xr，tanα＝yx。
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方向 2：三角函数值的符号
【例 4】 (1)使 lg(sinθ·cosθ)＋ －cosθ有意义的 θ 为( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析 (1)由题意知 sinθ·cosθ>0 且－cosθ≥0，由 sinθ·cosθ>0，知 θ 为 第一、三象限角，又由－cosθ≥0，即 cosθ≤0 知 θ 为第二、三象限角或 θ 在 x 轴的负半轴上，所以可知 θ 为第三象限角。故选 C。
2020年高考人教A版理科数学一轮复习(全册PPT课件 1520张)
2020版高考 全册精品 PPT课件
第1章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第2章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 第二节 函数的单调性与最值 第三节 函数的奇偶性与周期性 第四节 二次函数与幂函数 第五节 指数与指数函数 第六节 对数与对数函数 第七节 函数的图象
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
23 答案
2 ． ( 教 材 改 编 ) 若 集 合 A ＝ D [由题意知 A＝{0,1,2}，由 a＝ {x∈N|x≤2 2}，a＝ 2，则下列结 2，知 a∉A.] 论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
解2析4 答案
22
[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )
第8章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 第二节 两条直线的位置关系 第三节 圆的方程 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第五节 椭 圆
第1课时 椭圆的定义、标准方程及其性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系
第六节 双曲线 第七节 抛物线 第八节 曲线与方程 第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题 高考大题增分课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
第9章 算法初步、统计与统计案例 第一节 算法与程序框图 第二节 随机抽样 第三节 用样本估计总体 第四节 变量间的相关关系与统计案例
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第二章 第四节 二次函数与幂函数 Word版含答案
第四节 二次函数与幂函数2019考纲考题考情1．幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中底数x是自变量，α是常数。
(2)幂函数的图象比较：2．二次函数(1)解析式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)。
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)。
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。
(2)图象与性质：与二次函数有关的不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是Error!(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是Error!(3)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min 。
一、走进教材1．(必修1P 79习题T 1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点，则k ＋α＝( )(12，22)A ．B ．1C ．D ．21232解析 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1。
又f (x )的图象过点，所以α＝，所以α＝，所以k ＋α＝1＋＝(12，22)(12)221212。
故选C 。
32答案 C2．(必修1P 38B 组T 1改编)函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1，1]，则y 的最小值为________。
解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3＝22－的图象的对称轴为(x －32)32直线x ＝>1，所以函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上为单调递减函32数，所以y min ＝2－6＋3＝－1。
答案 －1二、走近高考3．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x ＋ax 1＋b ，M ＝x ＋ax 2＋b 。
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第二章 第一节 函数及其表示
第二章函数、导数及其应用第一节 函数及其表示2019考纲考题考情1．函数与映射的概念2.函数的三要素函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域。
3．函数的表示法表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。
4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。
分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。
1．一种优先意识函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则。
2．两个关注点(1)分段函数是一个函数。
(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集。
3．直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点。
一、走进教材1．(必修1P 18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( )A ．y ＝()2B ．y ＝＋1x ＋13x 3C ．y ＝＋1 D ．y ＝＋1x 2x x 2解析 对于A ，函数y ＝()2的定义域为{x |x ≥－1}，x ＋1与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝＋1的x 2x 定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数。
故选B 。
答案 B2．(必修1P 25B 组T 1改编)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________。
答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]二、走近高考3．(2018·江苏高考)函数f (x )＝的定义域为log2x －1________。
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第四章 第三节 平面向量的数量积 Word版含答案
第三节 平面向量的数量积2019考纲考题考情1．平面向量的数量积(1)向量的夹角①定义：已知两个非零向量a 和b ，作＝a ，＝b ，则∠OA → OB →AOB 就是向量a 与b 的夹角。
②范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°。
③共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向共线；若θ＝180°，则a 与b 反向共线；若θ＝90°，则a 与b 垂直。
(2)平面向量的数量积①定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0。
②几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积。
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角。
(1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2。
(2)模：|a |＝＝。
a ·a x 21＋y 21(3)夹角：cos θ＝＝。
a ·b |a ||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 2＋y2(4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0。
(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ ·。
x 21＋y 21x 2＋y 23．平面向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律)。
(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)。
2020版赢在微点数学(理科一轮复习(人教版)第一章 集合与常用逻辑用语 (3)
若 p∨q 为假命题，则实数 m 的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]
解析 依题意知 p，q 均为假命题，当 p 是假命题时，mx2＋1>0 恒成 立，则有 m≥0；当 q 是真命题时，则有 Δ＝m2－4<0，－2<m<2。因此由 p，
A．p∧q
B．p∧(綈 q)
C．(綈 p)∧q
D．(綈 p)∧(綈 q)
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解析 因为 x>0，所以 x＋1>1，ln(x＋1)>0，所以对于∀x>0，ln(x＋1)>0， 故 p 为真命题。由 1>－2,12<(－2)2 可知 q 是假命题，所以綈 q 为真命题。
(2)已知函数 f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝21x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]， 使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 m 的取值范围是________。
根据复合命题真值表可知 p∧(綈 q)为真命题。故选 B。 答案 B
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4．(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式 是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n<x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n<x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得 n<x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得 n<x2
答案 (－∞，－2]
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微考点·大课堂
考点例析 对点微练
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2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第二章 第十一节 导数的应用 Word版含答案
第十一节 导数的应用2019考纲考题考情考纲要求考题举例考向标签1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)3．会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)2018·全国卷Ⅰ·T 21(讨论函数的单调性、不等式证明)2018·全国卷Ⅱ·T 21(证明不等式、函数的零点)2018·全国卷Ⅲ·T 21(应用导数研究函数的最值)2017·全国卷Ⅰ·T 21(函数单调性、零点)2017·全国卷Ⅱ·T 21(函数极值)2017·全国卷Ⅲ·T 21(利用导数证明不等式)命题角度：1．导数与函数的单调性2．导数与函数的极值、最值3．导数与不等式4．导数与函数的零点核心素养：逻辑推理1．函数的导数与单调性的关系函数y ＝f (x )在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。
2．函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第二章 第二节 函数的单调性与最值 Word版含答案
第二节 函数的单调性与最值2019考纲考题考情1．增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。
(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。
2．单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间。
3．函数的最大值与最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值。
(2)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值。
4．函数单调性的两个等价结论设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则(1)>0(或>0)⇔f (x )在D 上单f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]调递增。
(2)<0(或<0)⇔f (x )在D 上单f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]调递减。
5．对勾函数的单调性对勾函数y ＝x ＋(a >0)的递增区间为(－∞，－]和[，＋ax a a ∞)；递减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数。
a a 6．函数单调性常用结论函数单调性的常用结论1．若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数。
2．若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反。
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A．2＋π4
B．2＋34π
C．2＋51π2
D．2＋71π2
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解析 将函数 y＝sin2x－cos2x＝－cos2x 的图象向左平移 m 个单位长度 后对应图象的函数解析式为 y＝－cos[2(x＋m)]＝－cos(2x＋2m)(m>0)，此函 数的图象与 y＝ksinxcosx(k>0)的图象关于π3，0对称，设点 P(x0，y0)为 y＝－ cos(2x＋2m)图象上任意一点，则 y0＝－cos(2x0＋2m)，点 P(x0，y0)关于π3，0 对称的点为 Q23π－x0，－y0，则点 Q 在 y＝ksinxcosx＝2ksin2x(k>0)的图象上，
答案 5 34π＋2kπ(k∈Z)
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9．若函数
f(x) ＝sinωx＋π3(ω>0) 的最小正周期为
π，则
f
π 3
＝
________。
解析 由题设及周期公式得 T＝ωπ ＝π，所以 ω＝1，即 f(x)＝sinx＋π3，
答案 D
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4．若函数 y＝sinωx＋π6在 x＝2 处取得最大值，则正数 ω 的最小值为
()
A．π2
B．π3
C．π4
D．π6
解析 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2kπ(k∈Z)，解得 ω＝π6＋kπ(k∈Z)，因为 ω>0，所以当 k＝0 时，ωmin＝π6。故选 D。
＝－2sin2x，在－π4，0上为减函数，符合题意。故选 D。 答案 D
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二、填空题 8．函数 y＝3－2cosx＋π4的最大值为________，此时 x＝________。
解析 函数 y＝3－2cosx＋π4的最大值为 3＋2＝5，此时 x＋π4＝π＋ 2kπ(k∈Z)，即 x＝34π＋2kπ(k∈Z)。
＝2sin2x＋π6＋a，
令 2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，
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所以 kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z， 所以 f(x)的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)。 (2)当 0≤x≤π2时，π6≤2x＋6π≤76π， 所以－12≤sin2x＋π6≤1， 所以当 x＝π2时，f(x)有最小值，最小值为 a－1＝1，所以 a＝2。
答案 D
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15．(2019·湖南长沙一中月考)设函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x) 图象的一条对称轴是直线 x＝π8。
(1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调递增区间； (3)证明直线 5x－2y＋c＝0 与函数 y＝f(x)的图象不相切。
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解析 f(x)＝sin(sinx)＋cos(sinx)＝ 2sinsinx＋π4，因为 f(π＋x)＝ 2
sinsinx＋π＋π4＝ 2sin－sinx＋π4≠f(x)，所以 π 不是函数 f(x)的最小正周
期，故 A 项错误；f(－x)＝ 2sinsin－x＋π4＝ 2sin－sinx＋π4≠－f(x)，故
意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即T2＝ωπ ＝π2。
答案 B
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7．(2019·安徽宿州质检)若函数 f(x)＝ 3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函
数，且在－π4，0上为减函数，则 θ 的一个值为(
)
A．－π3
B．－π6 C．23π
所以 f π3＝sin23π＝ 23。
答案
3 2
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10．(2019·河南濮阳一模)先将函数 f(x)＝sinx 的图象上的各点向左平移π6 个单位，再将各点的横坐标变为原来的ω1 倍(其中 ω∈N*)，得到函数 g(x)的 图象，若 g(x)在区间π6，π4上单调递增，则 ω 的最大值为________。
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(2)因为 f(x0)＝2sin2x0＋π6＝65， 所以 sin2x0＋6π＝35， 又 x0∈π4，π2， 所以 2x0＋π6∈23π，76π，
所以 cos2x0＋π6＝－ 1－sin22x0＋π6＝－45， 所以 cos2x0＝cos2x0＋6π－6π ＝cos2x0＋π6cosπ6＋sin2x0＋π6sin6π ＝3－140 3。
解 析 g(x) ＝ sin ωx＋π6 在 区 间 π6，π4 上 单 调 递 增 ， 所 以 有
π6ω＋π6≥2kπ－π2， π4ω＋π6≤2kπ＋π2，
即 12k－4≤ω≤8k＋43，k∈Z，由 12k－4≤8k＋43可得
k≤43，当 k＝1 时，ω∈8，238，所以正整数 ω 的最大值是 9。 答案 9
解析
易知
f(x)
＝
2cos2x
－
sin2x
＋
2
＝
3cos2x
＋
1
＝
1＋cos2x 3· 2
＋1Leabharlann ＝3 2cos2x＋52，则 f(x)的最小正周期为 π，当 x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，
最大值为 4。故选 B。
答案 B
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6．(2019·山西晋城一模)已知函数 f(x)＝2sinωx＋π3的图象的一个对称中
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三、解答题 11．(2019·武汉市调研测试)已知函数 f(x)＝ 3sin2x＋cos2x＋a(a 为常 数)。 (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)若 f(x)在0，π2上有最小值 1，求 a 的值。
解
(1)f(x)＝2
23sin2x＋21cos2x＋a
22＋π4，1＋π4，而π2∈
22＋π4，1＋π4，所以函数
f(x)
在π4，π2上不是单调函数，故 D 项错误。
答案 C
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14．将函数 y＝sin2x－cos2x 的图象向左平移 m(m>0)个单位长度以后得
到的图象与函数 y＝ksinxcosx(k>0)的图象关于π3，0对称，则 k＋m 的最小值 是( )
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12．(2019·西安八校联考)已知函数 f(x)＝2 3sinxcosx＋2cos2x－1(x∈ R)。
(1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值； (2)若 f(x0)＝65，x0∈4π，π2，求 cos2x0 的值。
解 (1)因为 x＝π8是函数 y＝f(x)的图象的对称轴， 所以 sin2×π8＋φ＝±1， 则有π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z。 因为－π<φ<0，所以 φ＝－34π。
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解 (1) 因 为 f(x) ＝ 3 (2sinxcosx) ＋ (2cos2x － 1) ＝ 3 sin2x ＋ cos2x ＝ 2sin2x＋π6，
所以函数 f(x)的最小正周期为 π。 又 x∈0，π2，所以 2x＋π6∈π6，76π， 所以 sin2x＋π6∈－12，1， 所以函数 f(x)在区间0，2π上的最大值为 2，最小值为－1。
D．56π
解析 由题意得 f(x)＝ 3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin2x＋θ＋π6。因 为函数 f(x)为奇函数，所以 θ＋π6＝kπ，k∈Z，故 θ＝－π6＋kπ，k∈Z。当 θ
＝－π6时，f(x)＝2sin2x，在－π4，0上为增函数，不合题意。当 θ＝56π时，f(x)
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能力提升组 13．已知函数 f(x)＝sin(sinx)＋cos(sinx)，x∈R，则下列说法正确的是 () A．函数 f(x)是周期函数且最小正周期为 π B．函数 f(x)是奇函数 C．函数 f(x)在区间0，π2上的值域为[1， 2] D．函数 f(x)在π4，π2上是增函数
答案 B
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3．y＝|cosx|的一个单调递增区间是( )
A．－π2，π2
B．[0，π]
C．π，32π
D．32π，2π
解析 将 y＝cosx 的图象位于 x 轴下方的图象关于 x 轴对称，x 轴上方 (或 x 轴上)的图象不变，即得 y＝|cosx|的图象(如图)。故选 D。
答案 A
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2．已知函数 y＝2cosx 的定义域为π3，π，值域为[a，b]，则 b－a 的值
是( )
A．2
B．3
C． 3＋2
D．2－ 3
解析 因为 x∈3π，π，所以 cosx∈－1，12，故 y＝2cosx 的值域为[－ 2,1]，所以 b－a＝3。
答案 D
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5．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 3 B．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 4 C．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3 D．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4