2010年高中数学联赛预赛试题汇编

2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。

请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）
1．设集合⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
-∈==)34,3(,21|sin |ππx x x E ，则E 的真子集的个数为 15 ． 2．已知函数4
6)(2++=
x b x x f 的最大值为49，则实数=b 5 ．
3．若1|lg |<ϕ，则使函数)cos()sin()(ϕϕ-+-=x x x f 为奇函数的ϕ的个数为 3 ．
4．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，2
2
3=
BK ，则△ABC 的面积为
16
715．
5．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*
12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 的前n 项
和为n S ，则=100S 89 ．
6．已知=，=，过O 作直线AB 的垂线，垂足为P ．若3||,3||==，
6
π
=
∠AOB ，y x +=，则=-y x -2 ．
7．已知实数z y x ,,满足32=xyz ，4=++z y x ，则||||||z y x ++的最小值为 12 ．
8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 26 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知二次函数c bx ax x f ++=2
)(的图象经过点)0,2(-，且不等式
22
1)(22
+≤
≤x x f x 对一切实数x 都成立． （1）求函数)(x f 的解析式；
（2）若对一切]1,1[-∈x ，不等式)2
()(x f t x f <+恒成立，求实数t 的取值范围． 解（1）由题设知，024=+-c b a ． ① 令22122+=
x x ，解得2=x ，由题意可得222
1
)2(222+⨯≤≤⨯f ，即4)2(4≤≤f ，所以4)2(=f ，即424=++c b a ． ②
由①、②可得1,42=-=b a c ． ……………………4分 又x x f 2)(≥恒成立，即0)2(2
≥+-+c x b ax 恒成立，所以0>a ，且
04)2(2≤--=∆ac b ，即0)42(4)21(2≤---a a ，所以4
1
=
a ，从而142=-=a c ． 因此函数)(x f 的解析式为 14
1)(2
++=
x x x f ． ……………………8分 （2）由)2()(x f t x f <+得12
2411)()(412
2++⎪⎭⎫ ⎝⎛<++++x
x t x t x ，
整理得 0)3
8
2)(2(<+++t x t x ． 当3822+-
<-t t 即2>t 时，38
22+-<<-t x t ，此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立的充要条件是⎪⎩
⎪⎨⎧>+--<-138212
t t ，此不等式组无解．
当3822+-=-t t 即2=t 时，0)2(2
<+t x ，矛盾． ……………………12分
当3822+->-t t 即2<t 时，t x t 23
8
2-<<+-，此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立
的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-1
21
3
82t t ，解得2125-<<-t ． 综合可知，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,2
5
． ……………………16分
10．已知数列}{n a 中，4
1
,121=
=a a ，且
),4,3,2()1(1 =--=
+n a n a n a n
n n ．
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：对一切*
N n ∈，有
6
71
2<
∑=n
k k a ． 解 （1）由已知，对2≥n 有
1
1
)1()1(11
---=--=
+n a n n a n a n a n n n n ，
两边同除以n ，得
)
1(1
)1(111---=+n n a n na n n ， 即
)1
11()1(111n
n a n na n n ---=--+， ……………………5分 于是，)111(111
)1(111
21
21---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ， 即
2),1
11(1)1(12≥---=--n n a a n n ，
所以
123)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ，2,2
31
≥-=n n a n ．
又1=n 时也成立，故*,2
31
N n n a n ∈-=． ……………………10分 （2）当2≥k ，有
)1
31
431(31)13)(43(1)23(122
---=--<-=
k k k k k a k ，………………15分
所以2≥n 时，有
⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(311122
1
2n n a a
n
k k n
k k
.6
7
61113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n
又1=n 时，.6
7
12
1<=a 故对一切*
N n ∈，有
6
7
1
2<
∑=n
k k a ． ……………………20分
11．设3131162
34++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值． 解 )10(3)13(2
2
--++=x x x P ．
所以，当10=x 时，2
131=P 是完全平方数． ……………………5分 下证没有其它整数x 满足要求．
（1）当10>x 时，有2
2
)13(++<x x P ，
又03132)3(2
2
2
>++=+-x x x x P ，所以2
2
)3(x x P +>， 从而2
2
2
2
)13()3(++<<+x x P x x ．
又Z x ∈，所以此时P 不是完全平方数． ……………………10分 （2）当10<x 时，有2
2
)13(++>x x P ．令Z y y P ∈=,2
，
则|13|||2
++>x x y ，即|13|1||2
++≥-x x y ，
所以 2
22)13(1||2++≥+-x x y y ， 即 01|13|2)10(32
≥+++---x x x ．
解此不等式，得x 的整数值为6,5,4,3,0,1,2----±±，但它们对应的P 均不是完全平方数．
综上所述，使P 为完全平方数的整数x 的值为10. ……………………20分。