-空间中平面及直线的方程

的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：
2(x 1) 3( y 1) 4(z 1) 0,
即
2x 3y 4z 9 0.
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补例 求过三点
的平面 的方程.
解 取该平面 的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
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Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
n (0, B,C) i, 平面平行于 x 轴;
此混合积的坐标
形式为:
Z
x2 x1 y2 y1 z2 z1 0. x3 x1 y3 y1 z3 z1
例4 设已知三点 P1(0,0,1), P2(1,1,0)及P（3 1，0，1），求过该三点 的平面方程.
解 所求的平面方程是
即：y z 1 0.
x 0 y 0 z 1 1 1 1 0. 10 0
| A1A2 B1B2 C1C2 |
.
A12 B12 C12 A22 B22 C22
平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20夹角的余弦:
cos
| A1A2 B1B2 C1C2 |
.
A12 B12 C12 A22 B22 C22
两平面垂直的条件
平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20互相垂直的 充要条件是
①
称①式为平面的点法式方程, 称 n 为平面 的法向量.
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平面的点法式方程（1）可以化成
Ax By Cz D 0
其中D Ax0 By0 Cz0是常数，x, y, z的系数A，B，C依次 是法向量的三个坐标分向量.
例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点
1 l k 0.
点（1，1， 2）在平面x ly kz 1上，则要求 3 1 l 2 k 1. 3
解关于l与k的联立方程，得l 2, k 3.
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2. 直线方程
空间直线的一般方程.
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
3(x 3) 4( y 1) 6(z 1) 0. 这里法向量的坐标为n (3,4,6).
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平面的三点式方程
已知不在同一直线上的三点
P1 x1, y1, z1 , P2 x2, y2, z2 , P3 x3, y3, z3 ,
uuuur P1P2
uuuur
与 P1P3 不共线,
A1 xB1 yC1zD10 A2 xB2 yC2 zD2 0
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
A1A2B1B2C1C20. 两平面平行的条件
平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20互相平行的 充要条件是
A1: A2B1: B2C1: C2.
例8 试决定常数 l 与 k 使得平面
x ly kz 1
与平面x y z 8垂直，且过点(1,1, 2). 3
解 两平面垂直要求其向量垂直，即有
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平面的截距式方程
Ax By Cz D 0 (A 0, B 0,C 0).
求平面在x轴上的截距：令y z 0,解得 x D , 同理求得
A
平面在y轴和z轴上的截距分别为：
D B
，
D C
.
若D 0,
平面的截距式方程为
x D
y D
z D
1.
ABC
例6 x+2y+z-1=0表示的平面在x,y,z轴的截距分别是
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
M3 M2
即
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例2 已知一平面的方程为
Ax B y C z D 0 (A 2 B 2 C 2 0).
解
于是
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平面的一般方程
由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面 都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平 面都可以用三元一次方程来表示 .
1, 1 ,1.该平面在第一卦限内的部分如图.
2
z
1
o 1 12 y x
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两平面的夹角
两平面的法向量的夹角(通常指锐角)
称为两平面的夹角.
设平面1和2的法线向量分别为
n1(A1, B1, C1), n2(A2, B2, C2),
那么平面1和2的夹角 应满足
cos |cos(n1 ^, n2)|
即
uuuur uuuur r P1P2 P1P3 0,
以
uuuur P1P2
uuuur P1P3
作为所求平面的法向量.
uuur
uuuur uuuur
设 P x, y, z 是平面上任一点, 显然 P1P 垂直于 P
P1P P1P2 P1P3 0. x x1 y y1 z z1
反过来, 可以证明任一三元一次方程AxByCzD0的图 形总是一个平面.
方程AxByCzD0称为平面的一般方程, 其法线向量为 n(A, B, C).
例如, 方程3x4yz90表示一个平面, n(3,4, 1)是这平 面的一个法线向量.
例3 将平面的一般式方程 3x+4y+6z=1化成点法式方程. 解 先在平面上任意选定一点，比如（-3，1，1）.则有
5-3 空间中平面与直线的方程 1.平面的方程
设一平面通过已知点 P0 (x0, y0, z0 ) 且垂直于非零向
量 n (A , B , C), 求该平面的方程.
任取点P(x, y, z), 则有
P0P n
故
P0Pn 0
zn
P
p0
o x
y
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0