高三理科数学《立体几何》测试题带答案

高三理科数学《立体几何》测试题（带答

案）

高三理科数学《立体几何》测试题（带答案）

1、如图，在中，，点在上，且，平面，，．

求证：平面；

求二面角的余弦值．

（1）证明：因为，

……………………2分

……………….4分

。……………….6分

（2）解：过作

则……………….8分

……………….12分

2、如图，在棱长为的正方体中，、分别为和的中点．

求证：平面；

求异面直线与所成的角的余弦值；

在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，

求出的长；若不存在，请说明理由．

解：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、

z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

由已知得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，

2，0)、B1(2，2，2)、D1(0，0，2)、E(1，0，2)、F(0，2，1)．

(1)取AD1中点G，则G（1，0，1），=（1，-2，1），又=（-1，2，-1），由=，

∴与共线．从而ＥＦ∥ＣＧ，∵CG平面ACD1，EF平面ACD1，∴EF∥平面

ACD1.………………………………………………………………4分

(2)∵=(0,2，0)，

cos,=，

∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为.…………………………………………………8分

(3)假设满足条件的点P存在，可设点P(2，2，

t)(0t≤2)，平面ACP的一个法向量为=(x，y，z)，

则∵=(0，2，t),=(-2，2，0)，

∴取.

易知平面ABC的一个法向量，

依题意知，，=30°或，=150°，

∴|cos，|=，

即，解得

∵

∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为时，二面角

P-AC-B的大小为30°……………13分

3、如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面．

求证：平面；

若，，求二面角的余弦值．

(1)证明：∵，

∴．

同理由，可证得．

又，∴．

(2)解：如图，分别以射线，，为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系．

由(1)知，又，∴．

故矩形为正方形，∴．

∴．

∴．

设平面的一个法向量为，则，即，

∴，取，得．

∵，∴为平面的一个法向量．

所以．

设二面角的平面角为，由图知，则

二面角的余弦值是

4、如图，平面平面，其中为矩形，为梯形，，，．

求异面直线与所成角的大小；

若二面角的平面角的余弦值为，求的长．

解：(1)延长AD，FE交于Q．

因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，

所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．

在梯形ADEF中，因为DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1

得∠AQF＝30°．………………………5分

(2)方法一：设AB＝x．取AF的中点G．由题意得

DG⊥AF．因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，

所以AB⊥平面ADEF，所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．过G作GH⊥BF，垂足为H，连结DH，则D H⊥BF，

所以∠DHG为二面角A－BF－D的平面角．

在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝．

在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝，得＝，

所以GH＝．在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得DH＝．

因为cos∠DHG＝＝，得x＝，所以AB＝．…………15分方法二：设AB＝x．

以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则

F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(，0，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，

所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．

因为EF⊥平面ABF

所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．

设＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则

所以，可取＝(，1，)．

因为cos，＝＝，得x＝，所以AB＝．

5、如图，已知平面，平面，为等边三角形，

，为的中点．

求证：平面；

求证：平面平面；

求直线和平面所成角的正弦值．

（1）证明：取CE的中点G,连FG、BG.

可证得四边形GFAB为平行四边形，则AF//BG

即可证得AF//平面分)

（2）依题意证得BG平面CDE，即可证得平面BCE平面CDE…….(8分)

（3）解：设AD=DE=2AB=2,建立如图所示的坐标系A—xyz, 则A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,0,1),D(1,,0),E(1,,2),F（

设平面BCE的法向量为由

可取，

设BF和平面BCE所成的角为，则：

sin=……………………………(12分)

6、如图，三棱柱的底面是边长为的正三角形，平面，，

为的中点．

求证：；

在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．

若点为的中点，求二面角的余弦值．

（1）解：取中点，连结，．

为的中点

平面

平面

…………2分

7、如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是，为侧棱的中点，为的中点．

求证：；

求直线到平面的距离；

求二面角的正切值．

(1)证明:连结C1E,则C1EA1B1,

又∵A1B1C1C

∴A1B1平面EDC1

∴A1B¬1DE,

而A1B1//AB

∴ABDE.

(2)取AB中点为F,连结EF,DF,则EFAB