近世代数期末考试试题和答案解析

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题 3 分，共15 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。

A、a B 、a,e C 、e,a3D 、e,a,a3

2、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群

A、G为整数集合，* 为加法 B 、G为偶数集合，* 为加法

C、G为有理数集合，* 为加法 D 、G为有理数集合，* 为乘法

3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（）

A、a*b=a-b

B、a*b=max{a,b} C 、a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|

4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3 =

1324），则3=（）

22

A、2 1 B 、 1 2 C 、2 2 D 、 2 1

5、任意一个具有2 个或以上元的半群，它（）。

A、不可能是群

B、不一定是群

C、一定是群

D、是交换群

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----- 同构。

2、一个有单位元的无零因子称为整环。

4

3、已知群G中的元素a的阶等于50，则a4的阶等于 -- 。

4、a 的阶若是一个有限整数n，那么G与-- 同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B= 。

6、若映射既是单射又是满射，则称为------------ 。

7、叫做域 F 的一个代数元，如果存在 F 的a0,a1, ,a n使得a0 a1 a n n 0

8、a是代数系统（ A,0）的元素，对任何x A均成立x a x，则称a为--- 。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、------ 。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P 是---- 。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G 是A上的置换群，H是G的子群，H={I,（1 2）} ，写出

H 的所有陪集。

2、设 E 是所有偶数做成的集合，“ ”是数的乘法，则“ ”是 E 中的运算，（E，）是一

个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？

3、a=493, b=391, 求（a,b）, [a,b] 和p, q 。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x ＝b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a? b当且仅当m︱a–b。

近世代数模拟试题三

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题 3 分，共15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、6 阶有限群的任何子群一定不是( )。

A、2 阶

B、3 阶C 、4 阶D、6 阶

2、设G 是群，G有( )个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个 B 、5 个C 、6个 D 、7 个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。

A、偶数

B、奇数 C 、4的倍数D 、2 的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格( )

A、(N, ) B 、( Z, )

C、({2,3,4,6,12},| (整除关系))

D、(P(A), )

5、设S3＝{(1) ，(12) ，(13) ，(23) ，(123) ，(132)} ，那么，在S3中可以与(123) 交换的所有元素有( )

A、(1) ，(123) ，(132) B 、12) ，(13) ，(23)

C、(1) ，(123) D 、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--- 的，每个元素的逆元素是------ 的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则 f f a------------------

3、区间［1 ，2］上的运算a b {min a, b}的单位元是---- 。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ——————————。

5、环Z8 的零因子有------------- 。

6、一个子群H 的右、左陪集的个数---- 。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/ 它自己的---- 。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的----- 。

9、设群G中元素a的阶为m，如果a n e，那么m与n存在整除关系为

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

1、用2种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S1，S2是 A 的子环，则S1∩ S2也是子环。S1+S2也是子环吗？

3、设有置换(1345)(1245) ，(234)(456) S6。

1

1．求和；

1

2．确定置换和1的奇偶性。

四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)

1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。