江苏省无锡市初二数学上学期期末试卷
江苏省无锡市八年级(上)期末数学试卷(含解析)
江苏省无锡市八年级(上)期末数学试卷一、选择题1.的值是()A.4B.2C.±4D.±22.若2x﹣5没有平方根,则x的取值范围为()A.x B.x C.x D.x3.把29500精确到1000的近似数是()A.2.95×103B.2.95×104C.2.9×104D.3.0×1044.下列图案中的轴对称图形是()A.B.C.D.5.等腰三角形的两边长分别为5和11,则这个三角形的周长为()A.16B.27C.16或27D.21或276.以下各组数为边长的三角形,其中构成直角三角形的一组是()A.4、5、6B.3、5、6C.D.2,7.在平面直角坐标系中,点(﹣3,4)所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.下列函数中,y是x的正比例函数的是()A.y=﹣B.y=﹣2x﹣2C.y=2(x﹣2)D.y=9.给出下列4个命题:①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;③两边及一角对应相等的两个三角形全等;④有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等.其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为点O,且∠OAB=45°,OC=2OA=8,∠OCB=∠ODA,则四边形ABCD的面积为()A.32B.36C.42D.48二、填空题11.27的立方根为.12.若某个正数的两个平方根是a﹣3与a+5,则a=.13.如果等腰三角形的一个外角为80°,那么它的底角为度.14.如果正比例函数y=3x的图象沿y轴方向向下平移2个单位,则所得图象所对应的函数表达式是.15.如图,△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=DB,∠BAC=105°,则∠ADC=°.16.如图,已知一次函数y1=x+b与一次函数y2=mx﹣n的图象相交于点P(﹣2,1),则关于不等式x+b ≥mx﹣n的解集为.17.如图,在平面直角坐标系中,以A(2,0),B(0,t)为顶点作等腰直角△ABC(其中∠ABC=90°,且点C落在第一象限内),则点C关于y轴的对称点C’的坐标为.(用t的代数式表示)18.在平面直角坐标系中,坐标原点O到一次函数y=kx﹣2k+1图象的距离的最大值为.三、计算题19.(8分)(1)计算﹣()﹣1+20090(2)求(x+1)2﹣49=0中x的值20.(8分)如图,点B、F、C、E在同一直线上,且BF=CE,∠B=∠E,AC,DF相交于点O,且OF =OC,求证:(1)△ABC≌△DEF;(2)OA=OD.21.(6分)如图,已知△ABC(AC<AB<BC),请用无刻度的直尺和圆规,完成下列作图(不要求写作法,保留作图痕迹);(1)在AB边上寻找一点M,使得点M到AC、BC的距离相等;(2)在BC边上寻找一点N,使得NA+NB=BC.22.(8分)如图,点B、C、D在一直线上,△ABC和△ADE都是等边三角形(1)请找出图中的全等三角形,并说明理由;(2)求证:EB∥AC.23.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点分别为A(﹣8,0)、B(6,0)、C(0,6),点D 是OC中点,连接BD并延长交AC于点E,求四边形AODE的面积.24.(8分)某农户以1500元/亩的单价承包了15亩地种植板栗,每亩种植80株优质板栗嫁接苗,购买嫁接苗,购买价格为5元/株,且每亩地的管理费用为800元,一年下来喜获丰收平均每亩板栗产量为600kg,已知当地板栗的批发和;零售价格分别如下表所示:销售方式批发零售售价(元/kg)1014通过市场调研发现,批发与零售的总销量只能达到总产量的70%,其中零售量不高于总销售量的40%,经多方协调当地食品加工厂承诺以7元/kg的价格收购该农户余下的板栗,设板栗全部售出后的总利润为y元,其中零售xkg.(1)求y与x之间的函数关系;(2)求该农户所收获的最大利润.(总利润=总销售额﹣总承包费用﹣购买板栗苗的费用﹣总管理费用)25.(10分)如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=45°,将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后,点B的对应点恰好与点A重合,得到△ACE.(1)求证:AE⊥BD;(2)若AD=2,CD=3,试求出四边形ABCD的对角线BD的长.26.(10分)如图,已知一次函数y=﹣x+b的图象与x轴交于A(﹣6,0)与y轴相交于点B,动点P 从A出发,沿x轴向x轴的正方向运动.(1)求b的值,并求出△PAB为等腰三角形时点P的坐标;(2)在点P出发的同时,动点Q也从点A出发,以每秒个单位的速度,沿射线AB运动,运动时间为t(s)①求点Q的坐标;(用含t的表达式表示)②若点P的运动速度为每秒k个单位,请直接写出当△APQ为等腰三角形时k的值.江苏省无锡市八年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1.的值是()A.4B.2C.±4D.±2【解答】解:∵42=16,∴16的算术平方根是4,即=4,故选:A.2.若2x﹣5没有平方根,则x的取值范围为()A.x B.x C.x D.x【解答】解:由题意知2x﹣5<0,解得x<,故选:D.3.把29500精确到1000的近似数是()A.2.95×103B.2.95×104C.2.9×104D.3.0×104【解答】解:把29500精确到1000的近似数是3.0×104.故选:D.4.下列图案中的轴对称图形是()A.B.C.D.【解答】解:A、不是轴对称图形,本选项错误;B、不是轴对称图形,本选项错误;C、是轴对称图形,本选项正确;D、不是轴对称图形,本选项错误.故选:C.5.等腰三角形的两边长分别为5和11,则这个三角形的周长为()A.16B.27C.16或27D.21或27【解答】解:①11是腰长时,三角形的三边分别为11、11、5,能组成三角形,周长=11+11+5=27;②11是底边时,三角形的三边分别为11、5、5,∵5+5=10<11,∴不能组成三角形,综上所述,三角形的周长为27.故选:B.6.以下各组数为边长的三角形,其中构成直角三角形的一组是()A.4、5、6B.3、5、6C.D.2,【解答】解:A、52+42≠62,故不是直角三角形,故不正确;B、52+32≠62,故不是直角三角形,故不正确;C、()2+()2=()2,故是直角三角形,故正确;D、22+()2≠()2,故不是直角三角形,故不正确.故选:C.7.在平面直角坐标系中,点(﹣3,4)所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解:点(﹣3,4)所在的象限是第二象限,故选:B.8.下列函数中,y是x的正比例函数的是()A.y=﹣B.y=﹣2x﹣2C.y=2(x﹣2)D.y=【解答】解:A、该函数是正比例函数,故本选项正确.B、该函数是一次函数,故本选项错误.C、该函数是一次函数,故本选项错误.D、该函数是反比例函数,故本选项错误.故选:A.9.给出下列4个命题:①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;③两边及一角对应相等的两个三角形全等;④有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等.其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解答】解:①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等,正确;②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等,错误;③两边及一角对应相等的两个三角形全等,如SSA不能判定全等,错误;④有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等,正确;故选:B.10.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为点O,且∠OAB=45°,OC=2OA=8,∠OCB=∠ODA,则四边形ABCD的面积为()A.32B.36C.42D.48【解答】解:在OC上截取OE=OD,连接BE,如图所示:∵OC=2OA=8,∴OA=4,∵AC⊥BD,∠OAB=45°,∴∠AOD=∠BOE=90°,△OAB是等腰直角三角形,∴OB=OA=4,∴AC=OA+OC=12,在△AOD和△BOE中,,∴△AOD≌△BOE(SAS),∴∠ODA=∠OEB,∵∠OCB=∠ODA,∴∠OEB=∠ODA=2∠OCB,∵∠OEB=∠OCB+∠EBC,∴∠OCB=∠ECB,∴BE=CE,设BE=CE=x,则OE=8﹣x,在Rt△OBE中,由勾股定理得:42+(8﹣x)2=x2,解得:x=5,∴CE=5,OD=OE=3,∴BD=OB+OD=4+3=7,∵AC⊥BD,∴四边形ABCD的面积=AC×BD=×12×7=42;故选:C.二、填空题11.27的立方根为3.【解答】解:∵33=27,∴27的立方根是3,故答案为:3.12.若某个正数的两个平方根是a﹣3与a+5,则a=﹣1.【解答】解:由题意知a﹣3+a+5=0,解得:a=﹣1,故答案为:﹣1.13.如果等腰三角形的一个外角为80°,那么它的底角为40度.【解答】解:∵等腰三角形的一个外角为80°,∴相邻角为180°﹣80°=100°,∵三角形的底角不能为钝角,∴100°角为顶角,∴底角为:(180°﹣100°)÷2=40°.故答案为:40.14.如果正比例函数y=3x的图象沿y轴方向向下平移2个单位,则所得图象所对应的函数表达式是y =3x﹣2.【解答】解:将函数y=3x的图象沿y轴向下平移2个单位长度后,所得图象对应的函数关系式为:y =3x﹣2.故答案为:y=3x﹣2.15.如图,△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=DB,∠BAC=105°,则∠ADC=50°.【解答】解:∵AC=AD=DB,∴∠B=∠BAD,∠ADC=∠C,设∠ADC=α,∴∠B=∠BAD=,∵∠BAC=105°,∴∠DAC=105°﹣,在△ADC中,∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°,∴2α+105°﹣=180°,解得:α=50°.故答案为:50.16.如图,已知一次函数y1=x+b与一次函数y2=mx﹣n的图象相交于点P(﹣2,1),则关于不等式x+b ≥mx﹣n的解集为x≥﹣2.【解答】解:∵一次函数y1=x+b与一次函数y2=mx﹣n的图象相交于点P(﹣2,1),∴不等式x+b≥mx﹣n的解集是x≥﹣2.故答案为:x≥﹣2.17.如图,在平面直角坐标系中,以A(2,0),B(0,t)为顶点作等腰直角△ABC(其中∠ABC=90°,且点C落在第一象限内),则点C关于y轴的对称点C’的坐标为(﹣t,t+2).(用t的代数式表示)【解答】解:过C作CE⊥y轴于E,并作C关于y轴的对称点C',∵A(2,0),B(0,t),∴OA=2,OB=t,∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ABO+∠CBE=90°,∵∠CBE+∠BCE=90°,∴∠ABO=∠BCE,∵∠AOB=∠BEC,∴△AOB≌△BEC(AAS),∴AO=BE=2,OB=CE=t,∴C(t,t+2),∴C'(﹣t,t+2),故答案为:(﹣t,t+2).18.在平面直角坐标系中,坐标原点O到一次函数y=kx﹣2k+1图象的距离的最大值为.【解答】解:y=kx﹣2k+1=k(x﹣2)+1,即该一次函数经过定点(2,1),设该定点为P,则P(2,1),当直线OP与直线y=kx﹣2k+1垂直时,坐标原点O到一次函数y=kx﹣2k+1的距离最大,如下图所示:最大距离为:=,故答案为:.三、计算题19.(8分)(1)计算﹣()﹣1+20090(2)求(x+1)2﹣49=0中x的值【解答】解:(1)原式=﹣2﹣2+1=﹣3;(2)(x+1)2﹣49=0则x+1=±7,解得:x=6或﹣8.20.(8分)如图,点B、F、C、E在同一直线上,且BF=CE,∠B=∠E,AC,DF相交于点O,且OF =OC,求证:(1)△ABC≌△DEF;(2)OA=OD.【解答】证明:(1)∵BF=CE,∴BF+FC=CE+FC,即BC=EF,∵OF=OC,∴∠OCF=∠OFC,在△ABC与△DEF中,∴△ABC≌△DEF(ASA);(2)∵△ABC≌△DEF,∴AC=DF,∵OF=OC,∴AC﹣OC=DF﹣OF,即OA=OD.21.(6分)如图,已知△ABC(AC<AB<BC),请用无刻度的直尺和圆规,完成下列作图(不要求写作法,保留作图痕迹);(1)在AB边上寻找一点M,使得点M到AC、BC的距离相等;(2)在BC边上寻找一点N,使得NA+NB=BC.【解答】解:(1)如图所示:(2)如图所示:22.(8分)如图,点B、C、D在一直线上,△ABC和△ADE都是等边三角形(1)请找出图中的全等三角形,并说明理由;(2)求证:EB∥AC.【解答】解:(1)△ACD≌△ABE,理由如下:∵△ABC,△ADE为等边三角形,∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD,即∠CAD=∠BAE,在△ACD与△ABE中,∴△ACD≌△ABE(SAS),(2)∵△ACD≌△ABE,∴∠ABE=∠C=60°,∴∠ABE=∠BAC,∴EB∥AC.23.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点分别为A(﹣8,0)、B(6,0)、C(0,6),点D 是OC中点,连接BD并延长交AC于点E,求四边形AODE的面积.【解答】解:∵D是OC中点,C(0,6),∴D(0,3),设直线AC的解析式为:y=kx+b,∵A(﹣8,0)、C(0,6),∴,∴,∴直线AC的解析式为:y=x+6,直线BD的解析式为:y=mx+n,∵B(6,0)、D(0,2),∴,∴,∴直线BD的解析式为:y=﹣x+3;解得,,∴E(﹣,),∴SAODE=S△ABE﹣S△OBD=×14×﹣×6×3=.四边形24.(8分)某农户以1500元/亩的单价承包了15亩地种植板栗,每亩种植80株优质板栗嫁接苗,购买嫁接苗,购买价格为5元/株,且每亩地的管理费用为800元,一年下来喜获丰收平均每亩板栗产量为600kg,已知当地板栗的批发和;零售价格分别如下表所示:销售方式批发零售售价(元/kg)1014通过市场调研发现,批发与零售的总销量只能达到总产量的70%,其中零售量不高于总销售量的40%,经多方协调当地食品加工厂承诺以7元/kg的价格收购该农户余下的板栗,设板栗全部售出后的总利润为y元,其中零售xkg.(1)求y与x之间的函数关系;(2)求该农户所收获的最大利润.(总利润=总销售额﹣总承包费用﹣购买板栗苗的费用﹣总管理费用)【解答】解:(1)由题意得y=14x+10(600×15×70%﹣x)+7×600×15×30%﹣(1500+800+80×5)×15整理得y=4x+41400故y与x之间的函数关系式为y=4x+41400(2)∵零售量不高于总销售量的40%∴x≤600×15×70%×40%即:x≤2520又∵4>0,∴对于y=4x+41400而言,y随着x的增大而增大,∴当x取最大值2520时,y得最大值为51480答:该农户所收获的最大利润为51480元.25.(10分)如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=45°,将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后,点B的对应点恰好与点A重合,得到△ACE.(1)求证:AE⊥BD;(2)若AD=2,CD=3,试求出四边形ABCD的对角线BD的长.【解答】解:(1)如图,设AC与BD的交点为点M,BD与AE的交点为点N,∵旋转∴AC=BC,∠DBC=∠CAE又∵∠ABC=45°,∴∠ABC=∠BAC=45°,∴∠ACB=90°,∵∠DBC+∠BMC=90°∴∠AMN+∠CAE=90°∴∠AND=90°∴AE⊥BD,(2)如图,连接DE,∵旋转∴CD=CE=3,BD=AE,∠DCE=∠ACB=90°∴DE==3,∠CDE=45°∵∠ADC=45°∴∠ADE=90°∴EA==∴BD=26.(10分)如图,已知一次函数y=﹣x+b的图象与x轴交于A(﹣6,0)与y轴相交于点B,动点P 从A出发,沿x轴向x轴的正方向运动.(1)求b的值,并求出△PAB为等腰三角形时点P的坐标;(2)在点P出发的同时,动点Q也从点A出发,以每秒个单位的速度,沿射线AB运动,运动时间为t(s)①求点Q的坐标;(用含t的表达式表示)②若点P的运动速度为每秒k个单位,请直接写出当△APQ为等腰三角形时k的值.【解答】解:(1)把A(﹣6,0)代入y=﹣x+b得,b=﹣2,∴B(0,﹣2),AO=6,OB=2,AB===2,∵△PAB为等腰三角形,∴当AP=AB时,AP=2,∴P(2﹣6,0);当BP=BA时,OP=OA=6,∴P(6,0);当PA=PB时,设OP=x,则PA=PB=6﹣x,在Rt△OPB中,∵OP2+OB2=PB2,∴x2+22=(6﹣x)2,解得:x=,∴P(﹣,0);综上所述,当△PAB为等腰三角形时点P的坐标为(2﹣6,0)或(6,0)或(﹣,0);(2)①∵点Q在直线y=﹣x+b上,∴设Q(a,﹣a﹣2),作QH⊥x轴于H,则QH=a+2,AH=6+a,∴AQ==(a+2),∵AQ=t,∴t=a+2,∴a=3t﹣6,∴Q(3t﹣6,﹣t);②由题意得,AQ=t,AP=kt,∵△APQ为等腰三角形,∴当AP=AQ时,t=kt,∴k=,当AQ=PQ时,即AH=AP,∴3t=kt,∴k=6;当PA=PQ时,在Rt△PQH中,∵HP2+HQ2=PQ2,∴(3t﹣kt)2+t2=(kt)2,∴k=,综上所述,当△APQ为等腰三角形时k的值为或6或.。
江苏省无锡市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)
江苏省无锡市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)一、选择题1.如图,在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,AD=BC=5,DC=7,AB=13,点P 从点A 出发以3个单位/s 的速度沿AD→DC 向终点C 运动,同时点Q 从点B 出发,以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动.当四边形PQBC 为平行四边形时,运动时间为( )A .4sB .3sC .2sD .1s2.如图,直线(0)y x b b =+>分别交x 轴、y 轴于点A 、B ,直线(0)y kx k =<与直线(0)y x b b =+>交于点C ,点C 在第二象限,过A 、B 两点分别作AD OC ⊥于D ,BE OC ⊥于E ,且8BE BO +=,4=AD ,则ED 的长为( )A .2B .32C .52D .13.如图所示的两个三角形全等,图中的字母表示三角形的边长,则1∠的度数为( )A .82°B .78°C .68°D .62°4.如图,ABC ∆中,90ACB ∠=︒,4AC =,3BC =,点E 是AB 中点,将CAE ∆沿着直线CE 翻折,得到CDE ∆,连接AD ,则线段AD 的长等于( )A .4B .165C .245D .55.如图,我们知道数轴上的点与实数一一对应,由图中的信息可知点P 表示的数是( )A .132--B .132-+C .132-D .13-6.当12(1)a -+与13(2)a --的值相等时,则( )A .5a =-B .6a =-C .7a =-D .8a =- 7.下列条件中,不能判断△ABC 是直角三角形的是( ) A .a :b :c =3:4:5B .∠A :∠B :∠C =3:4:5 C .∠A +∠B =∠CD .a :b :c =1:2:3 8.下列各式中,属于分式的是( )A .x ﹣1B .2mC .3bD .34(x+y ) 9.某篮球运动员的身高为1.96cm ,用四舍五人法将1.96精确到0.1的近似值为( ) A .2B .1.9C .2.0D .1.90 10.若253x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A .x >﹣52B .x >﹣52且x ≠0C .x ≥﹣52D .x ≥﹣52且x ≠0 二、填空题 11.星期天,小明上午8:00从家里出发,骑车到图书馆去借书,再骑车回到家.他离家的距离y (千米)与时间t (分钟)的关系如图所示,则上午8:45小明离家的距离是__千米.12.地球的半径约为6371km ,用科学记数法表示约为_____km .(精确到100km )13.若函数4y kx =-的图象平行于直线2y x =-,则函数的表达式是________.14.点A (3,-2)关于x 轴对称的点的坐标是________.15.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产___台机器.16.如果点P 在第二象限内,点P 到x 轴的距离是4,到y 轴的距离是3,那么点P 的坐标为______.17.若等腰三角形的顶角为100︒,则这个等腰三角形的底角的度数__________.18.点()2,3A 关于y 轴对称点的坐标是______.19.一个正方形的边长增加2cm ,它的面积就增加24cm ,这个正方形的边长是______cm .20.已知以点C (a ,b )为圆心,半径为r 的圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2.例如:以A (2,3)为圆心,半径为2的圆的标准方程为(x -2)2+(y -3)2=4,则以原点为圆心,过点P (1,0)的圆的标准方程为____.三、解答题21.如图,一次函数23y mx m =++的图像与12y x =-的图像交于点C ,与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ,且点C 的横坐标为3-.(1)求m 的值与AB 的长;(2)若点Q 为线段OB 上一点,且14OCQ BAO S S ∆∆=,求点Q 的坐标.22.某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树,经过研究,决定租用当地租车公司62辆A ,B 两种型号客车作为交通工具.下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息:型号载客量 租金单价 A30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆注:载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数.(1)设租用A 型号客车x 辆,租车总费用为y 元,求y 与x 的函数表达式,并写出x 的取值范围;(2)若要使租车总费用不超过21940元,一共有几种租车方案?哪种租车方案最省钱?23.如图,一木杆原来垂直于地面,在离地某处断裂,木杆顶部落在离木杆底部5米处,已知木杆原长25米,求木杆断裂处离地面多少米?24.解分式方程(1)11322x x x-=--- (2)2121x x x =++- 25.如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC=BC ,AD 平分∠BAC ,BD ⊥AD 于点D ,E 是AB 的中点,连接CE 交AD 于点F ,BD =3,求BF 的长.四、压轴题26.定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点(),A a b ,(),B c d ,若点(),T x y 满足3a c x +=,3b d y +=那么称点T 是点A ,B 的融合点.例如:()1,8A -,()4,2B -,当点(),T x y 满足1413x -+==,()8223y +-==时,则点()1,2T 是点A ,B 的融合点. (1)已知点()1,5A -,()7,4B ,()2,3C ,请说明其中一个点是另外两个点的融合点. (2)如图,点()4,0D ,点(),25E t t +是直线l 上任意一点,点(),T x y 是点D ,E 的融合点.①试确定y 与x 的关系式;②在给定的坐标系xOy 中,画出①中的函数图象;③若直线ET 交x 轴于点H .当DTH 为直角三角形时,直接写出点E 的坐标.27.如图,直线2y x m =-+交x 轴于点A ,直线122y x =+交x 轴于点B ,并且这两条直线相交于y 轴上一点C ,CD 平分ACB ∠交x 轴于点D .(1)求ABC 的面积.(2)判断ABC 的形状,并说明理由.(3)点E 是直线BC 上一点,CDE △是直角三角形,求点E 的坐标.28.如图(1),AB =4cm ,AC ⊥AB ,BD ⊥AB ,AC =BD =3cm .点 P 在线段 AB 上以 1/cm s 的速度由点 A 向点 B 运动,同时,点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动.它们运动的时间为 t (s ).(1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,当t =1 时,△ACP 与△BPQ 是否全等,请说明理由, 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;(2)如图(2),将图(1)中的“AC ⊥AB ,BD ⊥AB”为改“∠CAB =∠DBA =60°”,其他条件不变.设点 Q 的运动速度为x /cm s ,是否存在实数x ,使得△ACP 与△BPQ 全等?若存在,求出相应的x 、t 的值;若不存在,请说明理由.29.如图①,在ABC ∆中,12AB =cm ,20BC =cm ,过点C 作射线//CD AB .点M 从点B 出发,以3 cm/s 的速度沿BC 匀速移动;点N 从点C 出发,以a cm/s 的速度沿CD 匀速移动.点M 、N 同时出发,当点M 到达点C 时,点M 、N 同时停止移动.连接AM 、MN ,设移动时间为t (s).(1)点M 、N 从移动开始到停止,所用时间为 s ;(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时,①若点M 、N 的移动速度相同,求t 的值;②若点M 、N 的移动速度不同,求a 的值;(3)如图②,当点M 、N 开始移动时,点P 同时从点A 出发,以2 cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动,到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回.当点M 到达点C 时,点M 、N 、P 同时停止移动.在移动的过程中,是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.30.如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,已知点A 的坐标(3,2)-,过A 点作AB x ⊥轴,垂足为点B ,过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴,点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动.(1)当点P 运动到点O 处,过点P 作AP 的垂线交直线l 于点D ,证明AP DP =,并求此时点D 的坐标;(2)点Q 是直线l 上的动点,问是否存在点P ,使得以P C Q 、、为顶点的三角形和ABP ∆全等,若存在求点P 的坐标以及此时对应的点Q 的坐标,若不存在,请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B解析:B【解析】【分析】【详解】解:设运动时间为t 秒,则CP=12-3t ,BQ=t ,根据题意得到12-3t=t ,解得:t=3,故选B .【点睛】本题考查一元一次方程及平行四边形的判定,难度不大.2.D解析:D【解析】【分析】图中直线y=x+b 与x 轴负半轴,y 轴正半轴分别交于A ,B 两点,可以根据两点的坐标得出OA=OB ,由此可证明△AOD ≌△OBE ,证出OC=AD ,BE=OD ,在Rt △OBE 中,运用勾股定理可求出BE 的长,再根据线段的差可求出DE 的长.【详解】直线y=x+b(b >0)与x 轴的交点坐标A 为(-b ,0)与y 轴的交点坐标B 为(0,-b ), 所以,OA=OB ,又∵AD ⊥OC ,BE ⊥OC ,∴∠ADO=∠BEO=90°,∵∠DOA+∠DAO=90°,∠DOA+∠DOB=90°,∴∠DAO=∠DOB ,在△DAO 和△BOE 中,DAO BOE ADO BEO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAO ≌EOB ,∴OD=BE.AD=OE ,∵AD=4,∴OE=4,∵BE+BO=8,∴B0=8-BE ,在Rt △OBE 中,222BO BE OE =+,∴222(8)BE BE OE -=+解得,BE=3,∴OD=3,∴ED=OE-OD=4-3=1.【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及全等三角形的判定与性质,根据全等三角形的性质求出OD=BE是解题的关键.3.B解析:B【解析】【分析】直接利用全等三角形的性质得出∠1=∠2进而得出答案.【详解】∵如图是两个全等三角形,∴∠1=∠2=180°−40°−62°=78°.故选:B.【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质,正确得出对应角是解题关键.4.C解析:C【解析】【分析】延长CE交AD于F,连接BD,先判定△ABC∽△CAF,即可得到CF=6.4,EF=CF-CE=1.4,再依据EF为△ABD的中位线,即可得出BD=2EF=2.8,最后根据∠ADB=90°,即可运用勾股定理求得AD的长.【详解】解:如图,延长CE交AD于F,连接BD,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB=5,∵∠ACB=90°,CE为中线,∴CE=AE=BE=12.5 2AB=,∴∠ACF=∠BAC,又∵∠AFC=∠BCA=90°,∴△ABC∽△CAF,∴CF ACAC BA=,即445CF=,∴CF=3.2,∴EF=CF-CE=0.7,由折叠可得,AC=DC,AE=DE,∴CE垂直平分AD,又∵E为AB的中点,∴EF为△ABD的中位线,∴BD=2EF=1.4,∵AE=BE=DE,∴∠DAE=∠ADE,∠BDE=∠DBE,又∵∠DAE+∠ADE+∠BDE+∠DBE=180°,∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°,∴Rt△ABD中,245==,故选:C.【点睛】本题考查了翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质等知识的综合运用,解题的关键是作辅助线构造相似三角形,灵活运用所学知识解决问题.5.A解析:A【解析】【分析】根据可知AP=AB,在直角三角形ABC中,由勾股定理可求AB的长度,由点P在0的左边,即可得到答案.【详解】解:如图所示,由图可知,AP=AB ,△ABC 是直角三角形,∵AC=2,BC=3,由勾股定理,得:22222313AB AC BC -+=, ∴13AP AB == ∴132PC =,∵点P 在点C 的左边,点C 表示的数为0,∴点P 表示的数为:132)132-=;故选择:A.【点睛】本题考查了利用数轴表示无理数,解题的关键是掌握利用数轴表示有理数,依据掌握勾股定理计算长度.6.C解析:C【解析】【分析】根据题意列出等式,由负整数指数幂的运算法则将分式方程转化为一元一次方程求解即可.【详解】依题意,112(1)3(2)a a --+=-,即3(1)2(2)a a +=-,解得7a =-,经检验7a =-是原分式方程的解,故选:C.【点睛】本题主要考查了负整数指数幂的运算及分式方程的解,熟练掌握相关运算知识及运算能力是解决本题的关键. 7.B解析:B【解析】【分析】A 、根据比值结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状;B 、根据角的比值求出各角的度数,便可判断出三角形的形状;C 、根据三角形的内角和为180度,即可计算出∠C 的值;D 、根据比值结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状.【详解】A 、因为a :b :c=3:4:5,所以设a=3x ,b=4x ,c=5x ,则(3x )2+(4x )2=(5x )2,故为直角三角形,故A选项不符合题意;B、因为∠A:∠B:∠C=3:4:5,所以设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x,故3x+4x+5x=180°,解得x=15°,3x=15×3=45°,4x=15×4=60°,5x=15×5=75°,故此三角形是锐角三角形,故B选项符合题意;C、因为∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,则∠C=90°,故为直角三角形,故C选项不符合题意;D、因为a:b:c=1:2,所以设a=x,b=2x,x,则x2+x)2=(2x)2,故为直角三角形,故D选项不符合题意,故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形的相关知识,根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键.8.B解析:B【解析】【分析】利用分式的定义判断即可.分式的分母中必须含有字母,分子分母均为整式.【详解】解:2m是分式,故选:B.【点睛】此题考查了分式的定义,熟练掌握分式的定义是解本题的关键.9.C解析:C【解析】【分析】根据四舍五入法可以将1.96精确到0.1,本题得以解决.【详解】1.96≈2.0(精确到0.1),故选:C.【点睛】此题主要考查有理数的近似值,熟练掌握,即可解题.10.C解析:C【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件即可确定x的取值范围.【详解】解:由题意得,2x+5≥0,解得x≥﹣52,故选:C.【点睛】a≥时有意义,正确理解二次根式有意义的条件是解题的关键.二、填空题11.5.【解析】【分析】首先设当40≤t≤60时,距离y(千米)与时间t(分钟)的函数关系为y=kt+b,然后再把(40,2)(60,0)代入可得关于k、b的方程组,解出k、b的值,进而可得函数解解析:5.【解析】【分析】首先设当40≤t≤60时,距离y(千米)与时间t(分钟)的函数关系为y=kt+b,然后再把(40,2)(60,0)代入可得关于k、b的方程组,解出k、b的值,进而可得函数解析式,再把t=45代入即可.【详解】设当40≤t≤60时,距离y(千米)与时间t(分钟)的函数关系为y=kt+b.∵图象经过(40,2)(60,0),∴240060k bk b=+⎧⎨=+⎩,解得:1106kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴y与t的函数关系式为y=﹣16 10t+,当t=45时,y=﹣110×45+6=1.5.故答案为1.5.【点睛】本题主要考查了一次函数的应用,关键是正确理解题意,掌握待定系数法求出函数解析式.12.4×103.【解析】【分析】先把原数写成科学记数法,再根据精确度四舍五入取近似数,即可.【详解】6371 km =6.371×103 km≈6.4×103 km(精确到100km).故答解析:4×103.【解析】【分析】先把原数写成科学记数法,再根据精确度四舍五入取近似数,即可.【详解】6371 km =6.371×103 km≈6.4×103 km(精确到100km).故答案为:6.4×103【点睛】本题主要考查科学记数法和近似数,掌握科学记数法的定义和近似数精确度的意义是解题的关键.13.y=-2x-4【解析】【分析】两个一次函数的图象平行,则一次项系数一定相同,则解析式即可求得.【详解】解:∵函数y=kx-4的图象平行于直线y=-2x,∴k=-2,函数的表达式为y=-2解析:y=-2x-4【解析】【分析】两个一次函数的图象平行,则一次项系数一定相同,则解析式即可求得.【详解】解:∵函数y=kx-4的图象平行于直线y=-2x,∴k=-2,函数的表达式为y=-2x-4.故答案为:y=-2x-4.【点睛】本题考查了两条直线平行的问题,一次函数平行系数的特点是解题的关键.14.(3,2)【解析】试题分析:点A(3,﹣2)关于x轴对称的点的坐标是(3,2).故答案为(3,2).考点:关于x轴、y轴对称的点的坐标.解析:(3,2)试题分析:点A (3,﹣2)关于x 轴对称的点的坐标是(3,2).故答案为(3,2). 考点:关于x 轴、y 轴对称的点的坐标.15.200【解析】【分析】【详解】设现在平均每天生产x 台机器,则原计划可生产(x ﹣50)台,根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同,等量关系为:现在生产600台机器时解析:200【解析】【分析】【详解】设现在平均每天生产x 台机器,则原计划可生产(x ﹣50)台,根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同,等量关系为:现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间,从而列出方程:600450x x 50=-, 解得:x=200.检验:当x=200时,x (x ﹣50)≠0.∴x=200是原分式方程的解.∴现在平均每天生产200台机器. 16.【解析】试题分析:由点P 在第二象限内,可知横坐标为负,纵坐标为正,又因为点P 到x 轴的距离是4,到y 轴的距离是3,可知横坐标为-3,纵坐标为4,所以点P 的坐标为(-3,4).考点:象限内点的坐标解析:()3,4-【解析】试题分析:由点P 在第二象限内,可知横坐标为负,纵坐标为正,又因为点P 到x 轴的距离是4,到y 轴的距离是3,可知横坐标为-3,纵坐标为4,所以点P 的坐标为(-3,4). 考点:象限内点的坐标特征.17.40°【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可.解:∵等腰三角形的顶角为∴这个等腰三角形的底角为(180°-100°)=40°故答案为:40°.【点睛解析:40°【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可.【详解】解:∵等腰三角形的顶角为100∴这个等腰三角形的底角为12(180°-100°)=40°故答案为:40°.【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和,掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解决此题的关键.18.(−2,3)【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于y轴的对称点的坐标是(−x,y),即关于y轴的对称点,纵坐标不变,横坐标变成相反数.【详解】解:点(2,3)关于y轴对解析:(−2,3)【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于y轴的对称点的坐标是(−x,y),即关于y 轴的对称点,纵坐标不变,横坐标变成相反数.【详解】解:点(2,3)关于y轴对称的点的坐标是(−2,3),故答案为(−2,3).【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点:关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数,关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数.19.a=5【分析】本题是平方差公式的应用,设这个正方形的边长为a ,根据正方形面积公式有(a+2)2-a2=24,先用平方差公式化简,再求解.【详解】解:设这个正方形的边长为a ,依题意有解析:a=5【解析】【分析】本题是平方差公式的应用,设这个正方形的边长为a ,根据正方形面积公式有(a+2)2-a 2=24,先用平方差公式化简,再求解.【详解】解:设这个正方形的边长为a ,依题意有(a+2)2-a 2=24,(a+2)2-a 2=(a+2+a )(a+2-a )=4a+4=24,解得a=5.【点睛】本题考查了平方差公式,掌握正方形面积公式并熟记公式结构是解题的关键.20.x2+y2=1【解析】因为原点为圆心,过点P (1,0)的圆即是以(0,0)半径为1的圆,则标准方程为: (x -0)2+(y -0)2=1,即x2+y2=1,故答案为: x2+y2=1. 解析:x 2+y 2=1【解析】因为原点为圆心,过点P (1,0)的圆即是以(0,0)半径为1的圆,则标准方程为:(x -0)2+(y -0)2=1,即x 2+y 2=1,故答案为: x 2+y 2=1.三、解答题21.(1) 32m =,AB =(2) (0,2)Q . 【解析】【分析】(1)把点C 的横坐标代入正比例函数解析式,求得点C 的纵坐标,然后把点C 的坐标代入一次函数解析式即可求得m 的值,从而得到一次函数的解析式,则易求点A 、B 的坐标,然后根据勾股定理即可求得AB ;(2)由14OCQ BAO S S ∆∆=得到OQ 的长,即可求得Q 点的坐标. 【详解】(1)∵点C在直线12y x=-上,点C的横坐标为−3,∴点C坐标为3 (3,)2 -,又∵点C在直线y=mx+2m+3上,∴3 3232 m m-++=,∴32 m=,∴直线AB的函数表达式为362y x=+,令x=0,则y=6,令y=0,则3602x+=,解得x=−4,∴A(−4,0)、B(0,6),∴2246213 AB=+=;(2)∵14OCQ BAOS S∆∆=,∴111346 242OQ⨯⋅=⨯⨯⨯,∴OQ=2,∴点Q坐标为(0,2).【点睛】考查两条直线相交问题,一次函数图象上点的坐标特征,勾股定理,三角形的面积公式等,比较基础,难度不大.22.(1)y与x的函数表达式为y=100x+17360(21≤x≤62且x为整数);(2)共有25种租车方案;租用A型号客车21辆,B型号客车41辆时最省钱.【解析】【分析】(1)根据租车总费用=A、B两种车的费用之和,列出函数关系式即可;(2)列出不等式,求出自变量x的取值范围,利用函数的性质即可解决问题;【详解】解:(1)由题意:y=380x+280(62-x)=100x+17360.∵30x+20(62-x)≥1441,∴x≥20.1,又∵x为整数,∴x的取值范围为21≤x≤62的整数.即y与x的函数表达式为y=100x+17360(21≤x≤62且x为整数).(2)由题意100x+17360≤21940,∴x≤45.8,∴21≤x≤45,∴共有25种租车方案,又100>0,∴y随x的增大而增大,∴x=21时,y有最小值.即租用A型号客车21辆,B型号客车41辆时最省钱.【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识,解题的关键是理解题意,学会利用函数的性质解决最值问题.23.木杆断裂处离地面12米.【解析】【分析】设木杆断裂处离地面x米,根据勾股定理列出方程求解即可.【详解】解:设木杆断裂处离地面x米,由题意得:x2+52=(25−x)2,解得x=12,答:木杆断裂处离地面12米.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用,在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法,关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图,领会数形结合思想的应用.24.(1) 无解 (2) x=1 -2【解析】【分析】(1) 利用分式方程的解法,解出即可;(2) 利用分式方程的解法,解出即可.【详解】(1)113 22xx x-=---1=x-1-3(x-2) 1=-2x+52x=4x=2 检验:当x=2时,x-2=0 x=2为曾根所以原方程无解(2)2121x x x =++- x(x-1)=2(x+2)+(x+2)(x-1)x 2-x=2x+4+x 2+x-24x=-2x=1-2检验:当x=1-2时,x+2≠0 x-1≠0,所以x=1-2是解.【点睛】此题主要考查了解分式方程,关键点是要进行验证是否是方程的解.25.BF 的长为32【解析】【分析】先连接BF ,由E 为中点及AC=BC ,利用三线合一可得CE ⊥AB ,进而可证△AFE ≌△BFE ,再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理,即可得到∠BFD 为45°,△BFD 为等腰直角三角形,利用勾股定理即可解得BF .【详解】解:连接BF .∵CA=CB ,E 为AB 中点∴AE=BE ,CE ⊥AB ,∠FEB=∠FEA=90°在Rt △FEB 与Rt △FEA 中,BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ,在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中,∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD ⊥AD ,∠D=90°∴△BFD 为等腰直角三角形,BD=FD=3∴BF ===【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线,解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质. 四、压轴题26.(1)点C 是点A 、B 的融合点;(2)①2-1y x =;②见详解;③点E 的坐标为:(2,9)或(8,21)【解析】【分析】(1)根据融合点的定义3a c x +=,3b d y +=,即可求解; (2)①由题意得:分别得到x 与t 、y 与t 的关系,即可求解;②利用①的函数关系式解答;③分∠DTH =90°、∠TDH =90°、∠HTD =90°三种情况,分别求解即可.【详解】解:(1)x =-17233a c ++==,y =54333b d ++==, 故点C 是点A 、B 的融合点; (2)①由题意得:x =433a c t ++=,y =2533b d t ++=,则3-4t x =, 则()23-452-13x y x +==; ②令x =0,y =-1;令y =0,x =12,图象如下:③当∠THD=90°时,∵点E(t,2t+5),点T(t,2t−1),点D(4,0),且点T(x,y)是点D,E的融合点.∴t=13(t+4),∴t=2,∴点E(2,9);当∠TDH=90°时,∵点E(t,2t+5),点T(4,7),点D(4,0),且点T(x,y)是点D,E的融合点.∴4=13(4+t)∴t=8,∴点E(8,21);当∠HTD=90°时,由于EH 与x 轴不平行,故∠HTD 不可能为90°;故点E 的坐标为:(2,9)或(8,21).【点睛】本题是一次函数综合运用题,涉及到直角三角形的运用,此类新定义题目,通常按照题设顺序,逐次求解.27.(1)5;(2)直角三角形,理由见解析;(3)44,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭或82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)先求出直线122y x =+与x 轴的交点B 的坐标和与y 轴的交点C 的坐标,把点C 代入直线2y x m =-+,求出m 的值,再求它与x 轴的交点A 的坐标,ABC 的面积用AB 乘OC 除以2得到;(2)用勾股定理求出BC 的平方,AC 的平方,再根据AB 的平方,用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形;(3)先根据角平分线求出D 的坐标,再去分两种情况构造全等三角形,利用全等三角形的性质求出对应的边长,从而得到点E 的坐标.【详解】解:(1)令0x =,则10222y =⨯+=, ∴()0,2C ,令0y =,则1202x +=,解得4x =-, ∴()4,0B -,将()0,2C 代入2y x m =-+,得2m =,∴22y x =-+,令0y =,则220x -+=,解得1x =,∴1,0A ,∴5AB =,2OC =, ∴152ABC S AB OC =⋅=△; (2)根据勾股定理,222224220BC BO OC =+=+=,22222125AC AO OC =+=+=,且22525AB ==,∴222AB BC AC =+,则ABC 是直角三角形;(3)∵CD 平分ACB ∠,∴12 AD AC BD BC==,∴1533AD AB==,∴23OD AD OA=-=,∴2,03D⎛⎫-⎪⎝⎭①如图,CED∠是直角,过点E作EN x⊥轴于点N,过点C作CM EN⊥于点M,由(2)知,90ACB∠=︒,∵CD平分ACB∠,∴45ECD∠=︒,∴CDE△是等腰直角三角形,∴CE DE=,∵90NED MEC∠+∠=︒,90NED NDE∠+∠=︒,∴MEC NDE∠=∠,在DNE△和EMC△中,NDE MECDNE EMCDE EC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()DNE EMC AAS≅,设DN EM x==,EN CM y==,根据图象列式:DO DN CMEN EM CO+=⎧⎨+=⎩,即232x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得2343xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴43EN CM==,∴44,33E⎛⎫-⎪⎝⎭;②如图,CDE ∠是直角,过点E 作EG x ⊥轴于点G ,同理CDE △是等腰直角三角形,且可以证得()CDO DEG AAS ≅,∴2DG CO ==,23EG DO ==, ∴28233GO GD DO =+=+=, ∴82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,综上:44,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭,82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查一次函数综合,解题的关键是掌握一次函数解析式的求解,与坐标轴交点的求解,图象围成的三角形面积的求解,还涉及勾股定理、角平分线的性质、全等三角形等几何知识,需要运用数形结合的思想去求解.28.(1)全等,垂直,理由详见解析;(2)存在,11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】(1)在t =1的条件下,找出条件判定△ACP 和△BPQ 全等,再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质,可证∠CPQ= 90°,即可判断线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;(2)本题主要在动点的条件下,分情况讨论,利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时,AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°,在△ACP 和△BPQ 中,{AP BQA B AC BP=∠=∠=∴△ACP ≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.∴∠CPQ= 90°,即线段PC 与线段PQ 垂直;(2)①若△ACP ≌△BPQ ,则AC= BP ,AP= BQ ,34t t xt =-⎧⎨=⎩解得11t x =⎧⎨=⎩; ②若△ACP ≌△BQP ,则AC= BQ ,AP= BP ,34xt t t=⎧⎨=-⎩ 解得:232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. 【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题,熟练掌握三角形全等的性质与判定定理,是解决本题的关键.29.(1)203;(2)①t =83;②a =185;(3)t =6.4或t =103 【解析】【分析】(1)根据时间=路程÷速度即可求得答案;(2)①由题意得:BM =CN =3t ,则只可以是△CMN ≌△BAM ,AB =CM ,由此列出方程求解即可;②由题意得:CN ≠BM ,则只可以是△CMN ≌△BMA ,AB =CN =12,CM =BM ,进而可得3t =10,求解即可;(3)分情况讨论,当△CMN ≌△BPM 时,BP =CM ,若此时P 由A 向B 运动,则12-2t =20-3t ,但t =8不符合实际,舍去,若此时P 由B 向A 运动,则2t -12=20-3t ,求得t=6.4;当△CMN≌△BMP时,则BP=CN,CM=BM,可得3t=10,t=103,再将t=103代入分别求得AP,BP的长及a的值验证即可.【详解】解:(1)20÷3=203,故答案为:203;(2)∵CD∥AB,∴∠B=∠DCB,∵△CNM与△ABM全等,∴△CMN≌△BAM或△CMN≌△BMA,①由题意得:BM=CN=3t,∴△CMN≌△BAM∴AB=CM,∴12=20-3t,解得:t=83;②由题意得:CN≠BM,∴△CMN≌△BMA,∴AB=CN=12,CM=BM,∴CM=BM=12 BC,∴3t=10,解得:t=10 3∵CN=at,∴103a=12解得:a=185;(3)存在∵CD∥AB,∴∠B=∠DCB,∵△CNM与△PBM全等,∴△CMN≌△BPM或△CMN≌△BMP,当△CMN≌△BPM时,则BP=CM,若此时P由A向B运动,则BP=12-2t,CM=20-3t,∵BP=CM,∴12-2t=20-3t,解得:t=8 (舍去)若此时P由B向A运动,则BP=2t-12,CM=20-3t,∵BP=CM,∴2t-12=20-3t,解得:t=6.4,当△CMN≌△BMP时,则BP=CN,CM=BM,∴CM=BM=12 BC∴3t=10,解得:t=10 3当t=103时,点P的路程为AP=2t=203,此时BP=AB-AP=12-203=163,则CN=BP=16 3即at=163,∵t=103,∴a=1.6符合题意综上所述,满足条件的t的值有:t=6.4或t=10 3【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的综合运用,解决本题的关键就是用方程思想及分类讨论思想解决问题,把实际问题转化为方程是常用的手段.30.(1)证明见解析;(2,3)D ;(2)存在,(0,0)P ,(2,3)Q 或(0,0)P ,(2,3)Q -或(4,0)P ,(2,7)Q 或(4,0)P ,(2,7)Q -或1(,0)2P -,(2,2)Q -或1(,0)2P -,(2,2)Q -.【解析】【分析】(1)通过全等三角形的判定定理ASA 证得△ABP ≌△PCD ,由全等三角形的对应边相等证得AP =DP ,DC =PB =3,易得点D 的坐标;(2)设P (a ,0),Q (2,b ).需要分类讨论:①AB =PC ,BP =CQ ;②AB =CQ ,BP =PC .结合两点间的距离公式列出方程组,通过解方程组求得a 、b 的值,得解.【详解】(1)AP PD ⊥90APB DPC ∴∠+∠=AB x ⊥轴90A APB ∴∠+∠=A DPC ∴∠=∠在ABP ∆和PCD ∆中A DPC AB PCABP PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABP PCD ASA ∴∆≅∆AP DP ∴=,3DC PB ==(2,3)D ∴(2)设(,0)P a ,(2,)Q b①AB PC =,BP CQ =223a a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得03a b =⎧⎨=±⎩或47a b =⎧⎨=±⎩ (0,0)P ∴,(2,3)Q 或(0,0)P ,(2,3)Q -或(4,0)P ,(2,7)Q 或(4,0)P ,(2,7)Q - ②AB CQ =,BP PC =,322a a b +=-⎧⎨=⎩,解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=±⎩ 1(,0)2P ∴-,(2,2)Q -或1(,0)2P -,(2,2)Q - 综上:(0,0)P ,(2,3)Q 或(0,0)P ,(2,3)Q -或(4,0)P ,(2,7)Q 或(4,0)P ,(2,7)Q -或1(,0)2P -,(2,2)Q -或1(,0)2P -,(2,2)Q -【点睛】考查了三角形综合题.涉及到了全等三角形的判定与性质,两点间的距离公式,一元一次绝对值方程组的解法等知识点.解答(2)题时,由于没有指明全等三角形的对应边(角),所以需要分类讨论,以防漏解.。
无锡市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)
10.下列图形中:①线段,②角,③等腰三角形,④有一个角是30°的直角三角形,其中一定是轴对称图形的个数( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
11.如图,直线l1:y=﹣ x+m与x轴交于点A,直线l2:y=2x+n与y轴交于点B,与直线l1交于点P(2,2),则△PAB的面积为_____.
(1)求出y与x的函数表达式;
(2)如果该厂每天售出后最多能获利多少元?
四、压轴题
26.已知三角形ABC中,∠ACB=90°,点D(0,-4),M(4,-4).
(1)如图1,若点C与点O重合,A(-2,2)、B(4,4),求△ABC的面积;
(2)如图2,AC经过坐标原点O,点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间,AB分别与x轴,直线DM交于点G,F,BC交DM于点E,若∠AOG=55°,求∠CEF的度数;
16.在 , , ,3.14,这些数中,无理数有__________个.
17.已知点M(1,a)和点N(2,b)是一次函数y=-2x+1图象上的两点,则a与b的大小关系是_________.
18.甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做4个,甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等,则乙每小时所做零件的个数为_____.
19.函数y=-3x+2的图像上存在一点P,点P到x轴的距离等于3,则点P的坐标为________.
20.若代数式 有意义,则 的取值范围是______________.
三、解答题
21.如图,在4×3正方形网格中,阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形,请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形,使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形.
江苏省无锡市八年级期上册末数学试卷
江苏省无锡市八年级期上册末数学试卷一、选择题1.在▱ABCD 中,已知∠A ﹣∠B=20°,则∠C=( ) A .80°B .90°C .100°D .110°2.如图,D 为ABC ∆边BC 上一点,AB AC =,56BAC ∠=︒,且BF DC =,EC BD =,则EDF ∠等于( )A .62︒B .56︒C .34︒D .124︒3.如图,在△ABC 中,AB="AC," AB +BC=8.将△ABC 折叠,使得点A 落在点B 处,折痕DF 分别与AB 、AC 交于点D 、F ,连接BF ,则△BCF 的周长是( )A .8B .16C .4D .10 4.若等腰三角形的两边长分别为5和11,则这个等腰三角形的周长为( ) A .21 B .22或27C .27D .21或275.能表示一次函数y =mx +n 与正比例函数y =mnx (m ,n 是常数且m ≠0)的图象的是( ) A .B .C .D .6.等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为( ) A .1 B .5 C .7 D .49 7.我们知道,平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形,该图形对称轴条数为( )A .1B .2C .4D .无数8.如图,在ABC 中,,904C AC ︒∠==cm ,3BC =cm ,点D 、E 分别在AC 、BC上,现将DCE 沿DE 翻折,使点C 落在点'C 处,连接AC ',则AC '长度的最小值 ( )A .不存在B .等于 1cmC .等于 2 cmD .等于 2.5 cm 9.某篮球运动员的身高为1.96cm ,用四舍五人法将1.96精确到0.1的近似值为( ) A .2B .1.9C .2.0D .1.9010.如图,在一张长方形纸片上画一条线段AB ,将右侧部分纸片四边形ABCD 沿线段AB 翻折至四边形ABC 'D ',若∠ABC =58°,则∠1=( )A .60°B .64°C .42°D .52°二、填空题11.一次函数y =2x +b 的图象沿y 轴平移3个单位后得到一次函数y =2x +1的图象,则b 值为_____.12.如图,在数轴上,点A 、B 表示的数分别为0、2,BC ⊥AB 于点B ,且BC=1,连接AC ,在AC 上截取CD=BC ,以A 为圆心,AD 的长为半径画弧,交线段AB 于点E ,则点E 表示的实数是_____.13.49的平方根为_______ 14.2(5)-=_____.15.将一次函数34y x =-的图象向上平移3个单位长度,相应的函数表达式为_____. 16.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =6cm ,AC =8cm ,按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠,使点C 落在AB 边的C ′处,那么CD =_____.17.计算:16=_______. 18.使函数6y x =-有意义的自变量x 的取值范围是_______.19.如图,在Rt ABC ∆中,90B =∠,6AB =,8BC =,将ABC ∆折叠,使点B 恰好落在斜边AC 上,与点'B 重合,AE 为折痕,则'EB 的长度是__________.20.如图,将一张三角形纸片折叠,使得点A 、点C 都与点B 重合,折痕分别为DE 、FG ,此时测得∠EBG =36°,则∠ABC =_____°.三、解答题21.(1)计算:()1131133-⎛⎫⎪⎝⎭-+---(2)已知()23227x -=,求x 的值.22.小明骑自行车从甲地到乙地,图中的折线表示小明行驶的路程()km s 与所用时间()h t 之间的函数关系.试根据函数图像解答下列问题:(1)小明在途中停留了____h ,小明在停留之前的速度为____km/h ; (2)求线段BC 的函数表达式;(3)小明出发1小时后,小华也从甲地沿相同路径匀速向乙地骑行,6t =h 时,两人同时到达乙地,求t 为何值时,两人在途中相遇.23.数学概念:百度百科上这样定义绝对值函数:y =│x │=,(0),(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩并给出了函数的图像(如图).方法迁移借鉴研究正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b(k,b是常数,且k≠0)之间关系的经验,我们来研究函数y=│x+a│(a是常数)的图像与性质.“从‘1’开始”我们尝试从特殊到一般,先研究当a=1时的函数y=│x+1│.按照要求完成下列问题:(1)观察该函数表达式,直接写出y的取值范围;(2)通过列表、描点、画图,在平面直角坐标系中画出该函数的图像.“从‘1’到一切”(3)继续研究当a的值为-2,-12,2,3,…时函数y=│x+a│的图像与性质,尝试总结:①函数y=│x+a│(a≠0)的图像怎样由函数y=│x│的图像平移得到?②写出函数y=│x+a│的一条性质.知识应用(4)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=│x+a│的图像上的任意两点,且满足x1<x2≤-1时, y1>y2,则a的取值范围是.24.在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在正方形网格的格点(网格线的交点)上.(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系,使点A坐标为(1,3)点B坐标为(2,1);(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C',并写出点C'的坐标;(3)判断△ABC的形状.并说明理由.25.在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣2x+6与坐标轴交于A,B两点,直线l2:y=kx+2(k>0)与坐标轴交于点C,D,直线l1,l2与相交于点E.(1)当k =2时,求两条直线与x 轴围成的△BDE 的面积;(2)点P (a ,b )在直线l 2:y =kx +2(k >0)上,且点P 在第二象限.当四边形OBEC 的面积为233时. ①求k 的值;②若m =a +b ,求m 的取值范围.四、压轴题26.在ABC 中,AB AC =,D 是直线BC 上一点(不与点B 、C 重合),以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ,AD AE =,DAE BAC ∠=∠,连接CE .(1)如图,当 D 在线段BC 上时,求证:BD CE =.(2)如图,若点D 在线段CB 的延长线上,BCE α∠=,BAC β∠=.则α、β之间有怎样的数量关系?写出你的理由.(3)如图,当点D 在线段BC 上,90BAC ∠=︒,4BC =,求DCES最大值.27.如图(1),AB =4cm ,AC ⊥AB ,BD ⊥AB ,AC =BD =3cm .点 P 在线段 AB 上以 1/cm s 的速度由点 A 向点 B 运动,同时,点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动.它们运动的时间为 t (s ).(1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,当t =1 时,△ACP 与△BPQ 是否全等,请说明理由, 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;(2)如图(2),将图(1)中的“AC ⊥AB ,BD ⊥AB”为改“∠CAB =∠DBA =60°”,其他条件不变.设点 Q 的运动速度为x /cm s ,是否存在实数x ,使得△ACP 与△BPQ 全等?若存在,求出相应的x 、t 的值;若不存在,请说明理由.28.已知在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =α,直线l 经过点A (不经过点B 或点C ),点C 关于直线l 的对称点为点D ,连接BD ,CD .(1)如图1,①求证:点B ,C ,D 在以点A 为圆心,AB 为半径的圆上; ②直接写出∠BDC 的度数(用含α的式子表示)为 ;(2)如图2,当α=60°时,过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ,求证:AE =BD ; (3)如图3,当α=90°时,记直线l 与CD 的交点为F ,连接BF .将直线l 绕点A 旋转的过程中,在什么情况下线段BF 的长取得最大值?若AC =22a ,试写出此时BF 的值. 29.(1)填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上,那么EMF ∠的度数是________;②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠,B 点与M 点重合,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上,那么EMF ∠的度数是_______. (2)解答:①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧,且80EMF ∠=︒,求11C MB ∠的度数;②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠,B 点与M 点重合,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧,且60EMF ∠=︒,求11C MA ∠的度数.(3)探究:把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠,EB ,FB 为折痕,设ABC α∠=︒,EBF β∠=︒,11A BC γ∠=︒,求α,β,γ之间的数量关系.30.在等腰Rt △ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°(1)如图1,D ,E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点,且∠DAE =45°,将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后,得到△AFC ,连接DF ①求证:△AED ≌△AFD ;②当BE =3,CE =7时,求DE 的长;(2)如图2,点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点,连接AD ,以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ,当BD =3,BC =9时,求DE 的长.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形,可得∠A+∠B=180°,又由∠A-∠B=20°,即可求得∠A 的度数,继而求得答案. 【详解】解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A+∠B=180°, ∵∠A-∠B=20°, ∴∠A=100°, ∴∠C=∠A=100°. 故选:C . 【点睛】此题考查了平行四边形的性质.注意平行四边形的对角相等,邻角互补.解析:A 【解析】 【分析】由AB=AC ,利用等边对等角得到一对角相等,再由BF=CD ,BD=CE ,利用SAS 得到三角形FBD 与三角形DEC 全等,利用全等三角形对应角相等得到一对角相等,再根据三角形内角和定理以及外角的性质,可以找出∠EDF 与∠A 之间的等量关系,进而求解. 【详解】解:∵AB=AC ,∴∠B=∠C , 在△BFD 和△EDC 中,,,,BF DC B C BD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩=== ∴△BFD ≌△EDC (SAS ), ∴∠BFD=∠EDC ,∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°-∠B=180°-1802A ︒-∠=90°+12∠A , 则∠EDF=180°-(∠FDB+∠EDC )=90°-12∠A=62°. 故选:A . 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.3.A解析:A 【解析】 【分析】由将△ABC 折叠,使得点A 落在点B 处,折痕DF 分别与AB 、AC 交于点D 、F ,可得BF=AF ,又由在△ABC 中,AB=AC ,AB+BC=8,易得△BCF 的周长等于AB+BC ,则可求得答案. 【详解】解:由将△ABC 折叠,使得点A 落在点B 处,折痕DF 分别与AB 、AC 交于点D 、F ,可得BF=AF ,又由在△ABC 中,AB=AC ,AB+BC=8,所以△BCF 的周长等于BC+CF+BF=BC+CF+AF=AB+BC=8. 故答案选A . 【点睛】此题考查了折叠的性质.此题难度不大,解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系,注意等量代换,注意数形结合思想的应用.解析:C【解析】【分析】分两种情况分析:当腰取5,则底边为11;当腰取11,则底边为5;根据三角形三边关系分析.【详解】当腰取5,则底边为11,但5+5<11,不符合三角形三边的关系,所以这种情况不存在;当腰取11,则底边为5,则三角形的周长=11+11+5=27.故选C.【点睛】考核知识点:等腰三角形定义.理解等腰三角形定义和三角形三边关系是关键.5.C解析:C【解析】【分析】对于各选项:先通过一次函数的性质确定m、n的符合,从而得到mn的符合,然后根据正比例函数的性质对正比例函数图象进行判断,从而可确定该选项是否正确.【详解】A、由一次函数图象得m>0,n>0,所以mn>0,则正比例函数图象过第一、三象限,所以A选项错误;B、由一次函数图象得m>0,n<0,所以mn<0,则正比例函数图象过第二、四象限,所以B选项错误;C、由一次函数图象得m<0,n>0,所以mn<0,则正比例函数图象过第二、四象限,所以C选项正确;D、由一次函数图象得m<0,n>0,所以mn<0,则正比例函数图象过第二、四象限,所以D选项错误.故选:C.【点睛】本题考查了正比例函数图象:正比例函数y=kx经过原点,当k>0,图象经过第一、三象限;当k<0,图象经过第二、四象限.也考查了一次函数的性质.6.B解析:B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可知BC上的中线AD同时是BC上的高线,根据勾股定理求出AB的长即可.【详解】∵等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是BC上的中线,∴BD=CD=12BC=3,AD同时是BC上的高线,∴AB=2222345BD AD+=+=.故它的腰长为5.故选:B.【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质.解题关键是得出中线AD同时是BC上的高线.7.B解析:B【解析】【分析】直接利用轴对称图形的性质画出对称轴即可.【详解】解:如图所示:平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形,该图形对称轴条数为2条.故选:B.【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质,正确掌握轴对称图形的性质是解题关键.8.C解析:C【解析】【分析】当C′落在AB上,点B与E重合时,AC'长度的值最小,根据勾股定理得到AB=5cm,由折叠的性质知,BC′=BC=3cm,于是得到结论.【详解】解:当C′落在AB上,点B与E重合时,AC'长度的值最小,∵∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,∴AB=5cm,由折叠的性质知,BC′=BC=3cm,∴AC′=AB-BC′=2cm.故选:C.【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题),勾股定理,熟练掌握折叠的性质是解题的关键.9.C解析:C【解析】【分析】根据四舍五入法可以将1.96精确到0.1,本题得以解决.【详解】1.96≈2.0(精确到0.1),故选:C.【点睛】此题主要考查有理数的近似值,熟练掌握,即可解题.10.B解析:B【解析】【分析】由平行线的性质可得∠BAD=122°,由折叠的性质可得∠BAD=∠BAD'=122°,即可求解.【详解】∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,且∠ABC=58°,∴∠BAD=122°,∵将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D',∴∠BAD=∠BAD'=122°,∴∠1=122°-58°=64°,故选:B.【点睛】此题主要考查平行的性质和折叠的性质,解题关键是借助等量关系进行转换.二、填空题11.﹣2或4【解析】【分析】由于题目没说平移方向,所以要分两种情况求解,然后根据直线的平移规律:上加下减,左加右减解答即可.【详解】解:由题意得:平移后的直线解析式为y=2x+b±3=2x+1解析:﹣2或4【解析】【分析】由于题目没说平移方向,所以要分两种情况求解,然后根据直线的平移规律:上加下减,左加右减解答即可.【详解】解:由题意得:平移后的直线解析式为y=2x+b±3=2x+1.∴b±3=1,解得:b=﹣2或4.故答案为:﹣2或4.【点睛】本题考查了直线的平移,属于基本题型,熟练掌握直线的平移规律是解答的关键.12.【解析】∵∠ABC=90°,AB=2,BC=1,∴AC= = ,∵CD=CB=1,∴AD=AC-CD= -1,∴AE= -1,∴点E表示的实数是 -1.【解析】∵∠ABC=90°,AB=2,BC=1,∴,∵CD=CB=1,∴ -1,∴,∴点E13.【解析】【分析】利用平方根立方根定义计算即可.【详解】∵,∴的平方根是±,故答案为±.【点睛】本题考查了方根的定义,熟练掌握平方根的定义是解本题的关键.注意:区别平方根和算术平方根解析:2 3【解析】【分析】利用平方根立方根定义计算即可. 【详解】∵224=39⎛⎫± ⎪⎝⎭, ∴49的平方根是±23, 故答案为±23. 【点睛】本题考查了方根的定义,熟练掌握平方根的定义是解本题的关键.注意:区别平方根和算术平方根.一个非负数的平方根有两个,互为相反数,正值为算术平方根.14.5 【解析】根据二次根式的性质知:5.解析:5 【解析】=5.15.【解析】 【分析】根据函数图像平移规律:上加下减常数项,左加右减自变量,变形即可. 【详解】解:一次函数的图象向上平移3个单位长度可得:. 故答案为: 【点睛】本题考查了函数图像平移,解决本 解析:31y x =-【解析】 【分析】根据函数图像平移规律:上加下减常数项,左加右减自变量,变形即可. 【详解】解:一次函数34y x =-的图象向上平移3个单位长度可得:34331y x x =-+=-. 故答案为:31y x =- 【点睛】本题考查了函数图像平移,解决本题的关键是熟练掌握函数图像的平移规律,要与点的坐标平移区别开.16.3cm .【分析】利用勾股定理列式求出AB,根据翻折变换的性质可得BC′=BC,C′D=CD,然后求出AC′,设CD=x,表示出C′D、AD,然后利用勾股定理列方程求解即可.【详解】解析:3cm.【解析】【分析】利用勾股定理列式求出AB,根据翻折变换的性质可得BC′=BC,C′D=CD,然后求出AC′,设CD=x,表示出C′D、AD,然后利用勾股定理列方程求解即可.【详解】解:∵∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,∴AB10cm,由翻折变换的性质得,BC′=BC=6cm,C′D=CD,∴AC′=AB﹣BC′=10﹣6=4cm,设CD=x,则C′D=x,AD=8﹣x,在Rt△AC′D中,由勾股定理得,AC′2+C′D2=AD2,即42+x2=(8﹣x)2,解得x=3,即CD=3cm.故答案为:3cm.【点睛】本题考查了翻折变换的性质,勾股定理,此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键.17.4【解析】【分析】根据算术平方根的概念去解即可.算术平方根的定义:一个非负数的正的平方根,即为这个数的算术平方根,由此即可求出结果.【详解】解:原式==4.故答案为4.【点睛】此题主解析:4【分析】根据算术平方根的概念去解即可.算术平方根的定义:一个非负数的正的平方根,即为这个数的算术平方根,由此即可求出结果.【详解】解:原式.故答案为4.【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义,算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误.18.【解析】【分析】根据二次根式,被开方数a≥0,可得6-x≥0,解不等式即可.【详解】解:∵有意义∴6-x≥0∴故答案为:【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围,二次根式有意义的条x≤解析:6【解析】【分析】a≥0,可得6-x≥0,解不等式即可.【详解】解:∵y=∴6-x≥0x≤∴6x≤故答案为:6【点睛】,被开方数a≥0是解题的关键.19.3【解析】【分析】首先根据折叠可得BE=EB′,AB′=AB=6,然后设BE=EB′=x,则EC=8-x,在Rt△ABC中,由勾股定理求得AC的值,再在Rt△B′EC中,由勾股定理列方程即可算解析:3【解析】【分析】首先根据折叠可得BE=EB′,AB′=AB=6,然后设BE=EB′=x,则EC=8-x,在Rt△ABC中,由勾股定理求得AC的值,再在Rt△B′EC中,由勾股定理列方程即可算出答案.【详解】解:根据折叠可得BE=EB′,AB′=AB=6,设BE=EB′=x,则EC=8-x,∵∠B=90°,AB=6,BC=8,∴在Rt△ABC中,由勾股定理得,AC=10,∴B′C=10-6=4,在Rt△B′EC中,由勾股定理得,x2+42=(8-x)2,解得x=3,故答案为:3.【点睛】此题主要考查了翻折变换,以及勾股定理,关键是分析清楚折叠以后哪些线段是相等的.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.20.【解析】【分析】根据折叠的性质得到∠ABE=∠A,∠CBG=∠C,根据三角形的内角和定理,得到∠A+∠C=180°﹣∠ABC,列方程即可得到结论.【详解】∵把一张三角形纸片折叠,使点A、点解析:【解析】【分析】根据折叠的性质得到∠ABE=∠A,∠CBG=∠C,根据三角形的内角和定理,得到∠A+∠C =180°﹣∠ABC,列方程即可得到结论.【详解】∵把一张三角形纸片折叠,使点A、点C都与点B重合,∴∠ABE=∠A,∠CBG=∠C,∵∠A+∠C=180°﹣∠ABC,∵∠ABC=∠ABE+∠CBG+∠EBG,∴∠ABC=∠A+∠C+36°=180°﹣∠ABC+36°,∴∠ABC=108°,故答案为:108.【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理与图形折叠的性质,根据角的和差关系,列出关于∠ABC 的方程,是解题的关键.三、解答题21.(1) )-(2) x=5或x=-1【解析】 【分析】(1) 按顺序分别进行0指数幂运算,负指数幂运算,化简绝对值,然后再按运算顺序进行计算即可;(2) 利用直接开平方法进行求解即可. 【详解】(1)原式=1-3-)=)-(2) ()23227x -= (x-2)2=9 x-2=±3 x=5或x=-1. 【点睛】此题主要考查了实数的综合运算能力及解一元二次方程的方法,熟记概念是解题的关键. 22.(1)2,10;(2)s=15t-40(45)t ≤≤;(3)t=3h 或t=6h. 【解析】 【分析】(1)由图象中的信息可知:小明从第2小时到第4小时行驶的路程没有发生变化,所以途中停留了2h ;小明2小时内行驶的路程是20 km ,据此可以求出他的速度;(2)由图象可知:B(4,20),C(5,35),设线段BC 的函数表达式为s=kt+b,代入后得到方程组,解方程组即可;(3)先求出从甲地到乙地的总路程,现求小华的速度,然后分三种情况讨论两人在途中相遇问题.当02t <≤时, 10t=10(t-1);当24t <<时, 20=10(t-1);当46t ≤≤时, 15t-40=10(t-1);逐一求解即可. 【详解】解:(1)由图象可知:小明从第2小时到第4小时行驶的路程没有发生变化,所以途中停留了2h ;由图象可知:小明2小时内行驶的路程是20 km , 所以他的速度是20210÷=(km/ h ); 故答案是:2;10.(2)设线段BC 的函数表达式为s=kt+b, 由图象可知:B(4,20),C(5,35),∴420535k b k b +=⎧⎨+=⎩, ∴1540k b =⎧⎨=-⎩, ∴线段BC 的函数表达式为s=15t-40(45)t ≤≤; (3)在s=15t-40中,当t=6时,s=15×6-40=50, ∴从甲地到乙地全程为50 km ,∴小华的速度=50(61)10÷-=(km/ h ), 下面分三种情况讨论两人在途中相遇问题: 当02t <≤时,两人在途中相遇,则 10t=10(t-1),方程无解,不合题意,舍去; 当24t <<时,两人在途中相遇,则 20=10(t-1),解得t=3;当46t ≤≤时,两人在途中相遇,则 15t-40=10(t-1),解得t=6;∴综上所述,当t=3h 或t=6h 时,两人在途中相遇. 【点睛】本题考查了一次函数的应用,能够正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,解题关键是理解一些关键点的含义,并结合实际问题数量关系进行求解.23.(1)y ≥0.(2)见解析;(3)①见解析;②答案不唯一,如当x >-a 时,y 随x 的增大而增大;当x <-a 时,y 随x 的增大而减小.(4)a ≤1. 【解析】 【分析】(1)根据绝对值的概念可以写出答案;(2)通过列表、描点、连线,即可画出函数图象;(3)当a 的值为-2和3时,通过列表、描点、连线,画出函数图象,通过观察图象得出①、②的答案;(4)通过观察图象:函数y =│x +a│的对称轴为直线x a =-,根据函数的增减性,可以求得a 的取值范围. 【详解】(1)根据绝对值的性质得: y≥0. (2)列表:(3)当a的值为-2和3时,仿照(2)的方法在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,如下图:x-125y=│x-2│303x-6-30y=│x+3│303①函数y=│x+a│(a≠0)的图像是由函数y=│x│的图像向左(a>0)或向右(a<0)平移│a│个单位得到.②答案不唯一,如:当x>-a时,y随x的增大而增大;当x<-a时,y随x的增大而减小.=-,(4)通过观察函数的图象知:函数y=│x+a│的对称轴为直线x a=-的左侧,根据题意:满足x1<x2≤-1时, y1>y2,属于减函数,是在对称轴x a所以-1≤-a,a≤.所以1【点睛】本题考查了一次函数图象的性质,利用数形结合、从特殊到一般的方法是解题的关键.24.(1)如图见解析;(2)如图见解析,C'的坐标为(﹣5,5);(3)△ABC是直角三角形.【解析】、两点的坐标建立平面直角坐标系即可;试题分析:(1)根据A B(2)作出各点关于y轴的对称点,顺次连接即可;(3)根据勾股定理的逆定理判断出ABC的形状即可.试题解析:(1)如图所示:(2)如图所示:'''A B C 即为所求:C '的坐标为()55-,;(3)2221454162091625AB AC BC =+==+==+=,,,∴222AB AC BC +=, ∴ABC 是直角三角形.点睛:一个三角形两条边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 25.(1)△BDE 的面积=8;(2)①k =4;②﹣12<m <2. 【解析】 【分析】(1)由直线l 1的解析式可得点A 、点B 的坐标,当k =2时,由直线l 2的解析式可得点C 、点D 坐标,联立直线l 1与直线l 2的解析式可得点E 坐标,根据三角形面积公式求解即可;(2)①连接OE .设E (n ,﹣2n +6),由S 四边形OBEC =S △EOC +S △EOB 可求得n 的值,求出点E 坐标,把点E 代入y =kx +2中求出k 值即可;②由直线y =4x +2的表达式可确定点D 坐标,根据点P (a ,b )在直线y =4x +2上,且点P 在第二象限可得42b a =+及a 的取值范围,由m =a +b 可确定m 的取值范围. 【详解】解:(1)∵直线l 1:y =﹣2x +6与坐标轴交于A ,B 两点, ∴当y =0时,得x =3,当x =0时,y =6; ∴A (0,6)B (3,0);当k =2时,直线l 2:y =2x +2(k ≠0), ∴C (0,2),D (﹣1,0)解2622y x y x =-+⎧⎨=+⎩得14x y =⎧⎨=⎩,∴E (1,4),4BD ∴=,点E 到x 轴的距离为4,∴△BDE 的面积=12×4×4=8.(2)①连接OE .设E (n ,﹣2n +6), ∵S 四边形OBEC =S △EOC +S △EOB ,∴12×2×n +12×3×(﹣2n +6)=233, 解得n =23, ∴E (23,143), 把点E 代入y =kx +2中,143=23k +2, 解得k =4.②∵直线y =4x +2交x 轴于D ,∴D (﹣12,0), ∵P (a ,b )在第二象限,即在线段CD 上,∴﹣12<a <0, ∵点P (a ,b )在直线y =kx +2上∴b =4a +2,∴m =a +b =5a +2,15222a -<+< ∴﹣12<m <2.【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合,涉及了一次函数与坐标轴的交点、解析式,两条直线的交点及围成的三角形的面积,灵活的将函数图像与解析式相结合是解题的关键.四、压轴题26.(1)见解析;(2)αβ=,理由见解析;(3)2【解析】【分析】(1)证明()ABD ACE SAS ≅△△,根据全等三角形的性质得到BD CE =;(2)同(1)先证明()ABD ACE SAS ≅△△,得到∠ACE=∠ABD ,结合等腰三角形的性质和外角和定理用不同的方法表示∠ACE ,得到α和β关系式;(3) 同(1)先证明()ABD ACE SAS ≅△△,得到ABC ADCE S S ∆=四边形,那么DCE ADE ADCE S S S ∆∆=-四边形,当AD BC ⊥时,ADE S ∆最小,即DCE S ∆最大.【详解】解:(1)∵BAC DAE ∠=∠,∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠,∴BAD CAE ∠=∠,在ABD △和ACE △中,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()ABD ACE SAS ≅△△,∴BD CE =;(2)同(1)的方法得()ABD ACE SAS ≅△△,∴∠ACE=∠ABD ,∠BCE=α,∴∠ACE=∠ ACB+∠BCE=∠ACB+α,在ABC 中,∵AB= AC ,∠BAC=β,∴∠ACB=∠ABC =12(180°-β)= 90°-12β, ∴∠ABD= 180°-∠ABC= 90°+12β, ∴∠ACE=∠ACB +α= 90°-12β+α, ∵∠ACE=∠ABD = 90°+12β, ∴90°-12β+α= 90°+12β, ∴α = β;(3)如图,过A 做AH BC ⊥于点H ,∵AB AC =,90BAC ∠=︒,∴45ABC ∠=︒,122BH AH BC ===, 同(1)的方法得,()ABD ACE SAS ≅△△,AEC ABD S S ∆∆∴=,AEC ADC ABD ADC S S S S ∆∆∆∆+=+, 即142ABC ADCE S S BC AH ∆==⋅=四边形,∴DCE ADEADCES S S∆∆=-四边形,当ADES∆最小时,DCES∆最大,∴当AD BC⊥2AD=,时最小,2122ADES AD∆==,422DCES∆∴=-=最大.【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,三角形的外角和定理,解题的关键是抓住第一问中的那组全等三角形,后面的问题都是在这个基础上进行证明的.27.(1)全等,垂直,理由详见解析;(2)存在,11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】(1)在t =1的条件下,找出条件判定△ACP和△BPQ全等,再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质,可证∠CPQ= 90°,即可判断线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;(2)本题主要在动点的条件下,分情况讨论,利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时,AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°,在△ACP和△BPQ中,{AP BQA BAC BP=∠=∠=∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.∴∠CPQ= 90°,即线段PC与线段PQ垂直;(2)①若△ACP≌△BPQ,则AC= BP,AP= BQ,34t t xt =-⎧⎨=⎩解得11t x =⎧⎨=⎩; ②若△ACP ≌△BQP ,则AC= BQ ,AP= BP ,34xt t t =⎧⎨=-⎩解得:232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. 【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题,熟练掌握三角形全等的性质与判定定理,是解决本题的关键.28.(1)①详见解析;②12α;(2)详见解析;(3)当B 、O 、F 三点共线时BF 最长,(10+2)a【解析】【分析】(1)①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB ,即可证点B ,C ,D 在以点A 为圆心,AB 为半径的圆上;②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC ,可求∠BDC 的度数;(2)连接CE ,由题意可证△ABC ,△DCE 是等边三角形,可得AC=BC ,∠DCE=60°=∠ACB ,CD=CE ,根据“SAS”可证△BCD ≌△ACE ,可得AE=BD ;(3)取AC 的中点O ,连接OB ,OF ,BF ,由三角形的三边关系可得,当点O ,点B ,点F 三点共线时,BF 最长,根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求10BO a =,2OF OC a ==,即可求得BF【详解】(1)①连接AD ,如图1.∵点C与点D关于直线l对称,∴AC = AD.∵AB= AC,∴AB= AC = AD.∴点B,C,D在以A为圆心,AB为半径的圆上.②∵AD=AB=AC,∴∠ADB=∠ABD,∠ADC=∠ACD,∵∠BAM=∠ADB+∠ABD,∠MAC=∠ADC+∠ACD,∴∠BAM=2∠ADB,∠MAC=2∠ADC,∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=12α故答案为:12α.(2连接CE,如图2.∵∠BAC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠ACB=60°,∵∠BDC=12α,∴∠BDC=30°,∵BD⊥DE,∴∠CDE=60°,∵点C关于直线l的对称点为点D,∴DE=CE,且∠CDE=60°∴△CDE是等边三角形,∴CD=CE=DE,∠DCE=60°=∠ACB,∴∠BCD=∠ACE,且AC=BC,CD=CE,∴△BCD≌△ACE(SAS)∴BD=AE,(3)如图3,取AC的中点O,连接OB,OF,BF,,F 是以AC 为直径的圆上一点,设AC 中点为O ,∵在△BOF 中,BO+OF≥BF ,当B 、O 、F 三点共线时BF 最长;如图,过点O 作OH ⊥BC ,∵∠BAC=90°,2a , ∴24BC AC a ==,∠ACB=45°,且OH ⊥BC ,∴∠COH=∠HCO=45°,∴OH=HC , ∴2OC HC =, ∵点O 是AC 中点,AC 2a , ∴2OC a =, ∴OH HC a ==,∴BH=3a , ∴10BO a =,∵点C 关于直线l 的对称点为点D ,∴∠AFC=90°,∵点O 是AC 中点, ∴2OF OC a ==, ∴102BF a =, ∴当B 、O 、F 三点共线时BF 最长;最大值为102)a .【点睛】本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,勾股定理,三角形的三边关系,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.29.90︒,45︒;20︒,30︒;2a γβ+=,2a γβ-=.【解析】【分析】(1)①如图①知1112EMC BMC ∠=∠,1112C MF C MC ∠=∠得 ()1112EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.(2)①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠,可推出11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠,即可求出解.②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠,可推出()112906090A MC ︒︒︒-+∠=,即可求出解.(3)如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知,a ββγ-=-、a ββγ-=+,即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.【详解】解:(1)①如图①中,1112EMC BMC ∠=∠,1112C MF C MC ∠=∠, ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=∠⨯=+∠=, 故答案为90︒. ②如图②中,111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠, ()111111904522EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯=, 故答案为45︒.(2)①如图③中由折叠可知,11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠,1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠,11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠,11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠,111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=;②如图④中根据折叠可知,11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠,112290CMF ABE A MC ︒∠+∠+∠=,112()90CMF ABE A MC ︒∴∠+∠+∠=,()1129090EMF AMC ︒︒∴-∠+∠=,()112906090AMC ︒︒︒∴-+∠=, 1130A MC ︒∴∠=;(3)如图⑤-1中,由折叠可知,a ββγ-=-,2a γβ∴+=;如图⑤-2中,由折叠可知,a ββγ-=+,2a γβ∴-=.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换,图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题,突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力,本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.30.(1)①见解析;②DE =297;(2)DE 的值为517 【解析】【分析】(1)①先证明∠DAE =∠DAF ,结合DA =DA ,AE =AF ,即可证明;②如图1中,设DE =x ,则CD =7﹣x .在Rt △DCF 中,由DF 2=CD 2+CF 2,CF =BE =3,可得x 2=(7﹣x )2+32,解方程即可;(2)分两种情形:①当点E 在线段BC 上时,如图2中,连接BE .由△EAD ≌△ADC ,推出∠ABE =∠C =∠ABC =45°,EB =CD =5,推出∠EBD =90°,推出DE 2=BE 2+BD 2=62+32=45,即可解决问题;②当点D 在CB 的延长线上时,如图3中,同法可得DE 2=153.【详解】(1)①如图1中,∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后,得到△AFC ,∴△BAE ≌△CAF ,∴AE =AF ,∠BAE =∠CAF ,∵∠BAC =90°,∠EAD =45°,∴∠CAD +∠BAE =∠CAD +∠CAF =45°,∴∠DAE =∠DAF ,∵DA =DA ,AE =AF ,∴△AED ≌△AFD (SAS );②如图1中,设DE=x,则CD=7﹣x.∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∵∠ABE=∠ACF=45°,∴∠DCF=90°,∵△AED≌△AFD(SAS),∴DE=DF=x,∵在Rt△DCF中, DF2=CD2+CF2,CF=BE=3,∴x2=(7﹣x)2+32,∴x=297,∴DE=297;(2)∵BD=3,BC=9,∴分两种情况如下:①当点E在线段BC上时,如图2中,连接BE.∵∠BAC=∠EAD=90°,∴∠EAB=∠DAC,∵AE=AD,AB=AC,∴△EAB≌△DAC(SAS),∴∠ABE=∠C=∠ABC=45°,EB=CD=9-3=6,∴∠EBD=90°,∴DE2=BE2+BD2=62+32=45,∴DE=35;②当点D在CB的延长线上时,如图3中,连接BE.同理可证△DBE是直角三角形,EB=CD=3+9=12,DB=3,∴DE2=EB2+BD2=144+9=153,∴DE=317,综上所述,DE的值为35或317.【点睛】。
无锡市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)
无锡市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)一、选择题1.下列四个图标中,是轴对称图形的是( ) A .B .C .D .2.下列实数中,无理数是( ) A .227B .3πC .4-D .3273.若分式12xx -+的值为0,则x 的值为( ) A .1B .2-C .1-D .2 4.一次函数y =﹣2x+3的图象不经过的象限是( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.如图,△ABC 中,AB =AC ,AD 是∠BAC 的平分线.已知AB =5,AD =3,则BC 的长为( )A .5B .6C .8D .106.如图,AB =AC ,D ,E 分别是AB ,AC 上的点,下列条件不能判断△ABE ≌△ACD 的是( )A .∠B =∠C B .BE =CD C .AD =AE D .BD =CE 7.下列各组数不是勾股数的是( )A .3,4,5B .6,8,10C .4,6,8D .5,12,138.如图,一次函数(0)y kx b k =+>的图象过点(0,2),则不等式20kx b +->的解集是( )A .0x >B .0x <C .2x <D .2x > 9.等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为( )A .1B .5C .7D .4910.将直线y =12x ﹣1向右平移3个单位,所得直线是( ) A .y =12x +2 B .y =12x ﹣4 C .y =12x ﹣52D .y =12x +12二、填空题11.在平面直角坐标系xOy 中,点P 在第四象限内,且点P 到x 轴的距离是2,到y 轴的距离是3,则点P 的坐标是_____. 12.在311,2π,122-,0,0.454454445…,319中,无理数有______个.13.阅读理解:对于任意正整数a ,b ,∵()20a b-≥,∴20a ab b -+≥,∴2a b ab +≥,只有当a b =时,等号成立;结论:在2a b ab +≥(a 、b 均为正实数)中,只有当a b =时,+a b 有最小值2ab .若1m ,1m m +-有最小值为__________.14.已知一次函数()12y k x =-+,若y 随x 的增大而减小,则k 的取值范围是___. 15.如图,在平面直角坐标系中,()1,1A ,()1,1B -,()1,2C --,()1,2D -.把一条长为2020个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A 处,并按A B C D A -----…的规律紧绕在四边形ABCD 的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是__________.16.使函数6y x =-有意义的自变量x 的取值范围是_______.17.如图,已知直线l 1:y=kx+4交x 轴、y 轴分别于点A (4,0)、点B (0,4),点C 为x 轴负半轴上一点,过点C 的直线l 2:12y x n =+经过AB 的中点P ,点Q (t ,0)是x 轴上一动点,过点Q 作QM ⊥x 轴,分别交l 1、l 2于点M 、N ,当MN=2MQ 时,t 的值为_____.18.如图,矩形ABCD 的边AD 长为2,AB 长为1,点A 在数轴上对应的数是-1,以A 点为圆心,对角线AC 长为半径画弧,交数轴于点E ,则这个点E 表示的实数是_______19.如图,等边△ABC 的周长是18,D 是AC 边上的中点,点E 在BC 边的延长线上.如果DE =DB ,那么CE 的长是_____.20.如图,在ABC ∆中,AC AD BD ==,28B ∠=,则CAD ∠的度数为__________.三、解答题21.如图,已知一次函数2y x =-的图像与y 轴交于点A ,一次函数4y x b =+的图像与y 轴交于点B ,且与x 轴以及一次函数2y x =-的图像分别交于点C 、D ,点D 的坐标为()2,m -.(1)关于x 、y 的方程组24y x y x b -=-⎧⎨-=⎩的解为______________.(2)关于x 的不等式24x x b -≥+的解集为__________________.(3)求四边形OADC 的面积;(4)在x 轴上是否存在点E ,使得以点C ,D ,E 为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出点E 的坐标:若不存在,请说明理由.22.如图①,A 、B 两个圆柱形容器放置在同一水平桌面上,开始时容器A 中盛满水,容器B 中盛有高度为1 dm 的水,容器B 下方装有一只水龙头,容器A 向容器B 匀速注水.设时间为t (s),容器A 、B 中的水位高度A h (dm)、B h (dm)与时间t (s)之间的部分函数图像如图②所示.根据图中数据解答下列问题:(1)容器A 向容器B 注水的速度为 dm 3/s(结果保留π),容器B 的底面直径m = dm; (2)当容器B 注满水后,容器A 停止向容器B 注水,同时开启容器B 的水龙头进行放水,放水速度为4πdm 3/s.请在图②中画出容器B 中水位高度B h 与时间 (4t ≥)的函数图像,说明理由;(3)当容器B 注满水后,容器A 继续向容器B 注水,同时开启容器B 的水龙头进行放水,放水速度为2πdm 3/s ,直至容器A 、B 水位高度相同时,立即停止放水和注水,求容器A 向容器B 全程注水时间.(提示:圆柱体积=圆柱的底面积×圆柱的高)23.小明在学习等边三角形时发现了直角三角形的一个性质:直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半。
江苏省无锡市第一学期八年级数学期末试卷(含解析)
江苏省无锡市第一学期八年级数学期末试卷(含解析)一、选择题1.如图,一艘轮船停在平静的湖面上,则这艘轮船在湖中的倒影是( )A .B .C .D .2.已知二元一次方程组522x y x y -=-⎧⎨+=-⎩的解为41x y =-⎧⎨=⎩,则在同一平面直角坐标系中,两函数y =x +5与y =﹣12x ﹣1的图像的交点坐标为( )A .(﹣4,1)B .(1,﹣4)C .(4,﹣1)D .(﹣1,4)3.在直角坐标系中,函数y kx =与12y x k =-的图像大数是( ) A . B .C .D .4.下列条件中,不能判断△ABC 是直角三角形的是( ) A .a :b :c =3:4:5 B .∠A :∠B :∠C =3:4:5 C .∠A +∠B =∠C D .a :b :c =1:235.在-227,-π,0,3.14, 0.1010010001,-313中,无理数的个数有 ( ) A .1个B .2个C .3个D .4个6.如图,若一次函数y =﹣2x +b 的图象与两坐标轴分别交于A ,B 两点,点A 的坐标为(0,3),则不等式﹣2x+b>0的解集为()A.x>32B.x<32C.x>3 D.x<37.点(2,-3)关于原点对称的点的坐标是()A.(-2,3)B.(2,3)C.(-3,-2)D.(2,-3)8.变量x与y之间的关系是y=2x+1,当y=5时,自变量x的值是()A.13 B.5 C.2 D.3.59.关于等腰三角形,以下说法正确的是()A.有一个角为40°的等腰三角形一定是锐角三角形B.等腰三角形两边上的中线一定相等C.两个等腰三角形中,若一腰以及该腰上的高对应相等,则这两个等腰三角形全等D.等腰三角形两底角的平分线的交点到三边距离相等10.下列关于10的说法中,错误的是()A.10是无理数B.3104<<C.10的平方根是10D.10是10的算术平方根二、填空题11.在平面直角坐标系xOy中,点P在第四象限内,且点P到x轴的距离是2,到y轴的距离是3,则点P的坐标是_____.12.下表给出的是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的部分对应值,x…﹣2﹣10…y…m2n…则m+n的值为_____.13.如图,在平面直角坐标系中,点P(﹣1,a)在直线y=2x+2与直线y=2x+4之间,则a 的取值范围是_____.14.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =6cm ,AC =8cm ,按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠,使点C 落在AB 边的C ′处,那么CD =_____.15.如图,长方形OABC 中,8OA =,6AB =,点D 在边BC 上,且3CD DB =,点E 是边OA 上一点,连接DE ,将四边形ABDE 沿DE 折叠,若点A 的对称点'A 恰好落在边OC 上,则OE 的长为____.16.等腰三角形的两边长分别为5cm 和2cm ,则它的周长为_____. 17.在平面直角坐标系中,已知一次函数312y x =-+的图像经过111(,)P x y ,222(,)P x y 两点,若12x x >,则1y ______________2y18.已知点(,)P m n 在一次函数31y x =-的图像上,则2296m mn n -+=___________. 19.如图,一次函数y kx b =+与y mx n =+的图像交于点(2,1)P -,则由函数图像得不等式kx b mx n +≥+的解集为________.20.已知A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)是一次函数y =(2﹣m )x +3图象上两点,且(x 1﹣x 2)(y 1﹣y 2)<0,则m 的取值范围为_____.三、解答题21.(模型建立)如图1,等腰直角三角形ABC 中,90ACB ∠=︒,CB CA =,直线ED 经过点C ,过A 作AD ED ⊥于点D ,过B 作BE ED ⊥于点E .求证:BEC CDA ∆∆≌; (模型应用) ①已知直线1l :443y x =+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,将直线1l 绕着点A 逆时针旋转45︒至直线2l ,如图2,求直线2l 的函数表达式;②如图3,在平面直角坐标系中,点()8,6B,作BA y ⊥轴于点A ,作BC x ⊥轴于点C ,P 是线段BC 上的一个动点,点Q 是直线26y x =-上的动点且在第一象限内.问点A 、P 、Q 能否构成以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形,若能,请直接写出此时点Q的坐标,若不能,请说明理由.22.如图1,在直角坐标系xoy 中,点A 、B 分别在x 、y 轴的正半轴上,将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°,点A 的对应点为点C .(1)若A (6,0),B (0,4),求点C 的坐标;(2)以B 为直角顶点,以AB 和OB 为直角边分别在第一、二象限作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △OBE ,连DE 交y 轴于点M ,当点A 和点B 分别在x 、y 轴的正半轴上运动时,判断并证明AO 与MB 的数量关系.23.(1)求式中x 的值:2(1)16x -=; (2)计算:2020312527--+-24.如图,正方形网格中每个小正方形的边长为1,格点△ABC 的顶点A (2,3)、B (﹣1,2),将△ABC 平移得到△A ′B ′C ′,使得点A 的对应点A ′,请解答下列问题:(1)根据题意,在网格中建立平面直角坐标系; (2)画出△A ′B ′C ′,并写出点C ′的坐标为 .25.某商店准备购进,A B 两种商品,A 种商品毎件的进价比B 种商品每件的进价多20元,用3000元购进A 种商品和用1800元购进B 种商品的数量相同.商店将A 种商品每件的售价定为80元,B 种商品每件的售价定为45元.(1)A 种商品每件的进价和B 种商品每件的进价各是多少元?(2)商店计划用不超过1560元的资金购进,A B 两种商品共40件,其中A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半,该商店有几种进货方案?(3)端午节期间,商店开展优惠促销活动,决定对每件A 种商品售价优惠m(1020m <<)元,B 种商品售价不变,在(2)条件下,请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.四、压轴题26.如图,直线2y x m =-+交x 轴于点A ,直线122y x =+交x 轴于点B ,并且这两条直线相交于y 轴上一点C ,CD 平分ACB ∠交x 轴于点D .(1)求ABC的面积.(2)判断ABC的形状,并说明理由.△是直角三角形,求点E的坐标.(3)点E是直线BC上一点,CDE27.已知ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,点M是AC的中点,延长BM至点D,使DM=BM,连接AD.(1)如图①,求证:DAM≌BCM;(2)已知点N是BC的中点,连接AN.①如图②,求证:ACN≌BCM;②如图③,延长NA至点E,使AE=NA,连接,求证:BD⊥DE.28.如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C,且OC=3.图1 图2(1)求直线BC的解析式;(2)如图1,若M为线段BC上一点,且满足S△AMB=S△AOB,请求出点M的坐标;(3)如图2,设点F为线段AB中点,点G为y轴上一动点,连接FG,以FG为边向FG右侧作正方形FGQP,在G点的运动过程中,当顶点Q落在直线BC上时,求点G的坐标;29.在平面直角坐标系中点A(m−3,3m+3),点 B(m,m+4)和 D(0,−5),且点 B 在第二象限.(1)点B 向平移单位,再向下平移(用含m 的式子表达)单位可以与点A 重合;(2)若点B 向下移动 3 个单位,则移动后的点B 和点A 的纵坐标相等,且有点 C(m−2,0).①则此时点A、B、C 坐标分别为、、.②将线段AB 沿y 轴负方向平移n 个单位,若平移后的线段AB 与线段CD 有公共点,求n 的取值范围.③当m<−1 式,连接AD,若线段AD 沿直线AB 方向平移得到线段BE,连接DE 与直线y=−2 交于点F,则点F 坐标为.(用含m 的式子表达)30.一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,9),并与直线y=53x相交于点B,与x轴相交于点C,其中点B的横坐标为3.(1)求B点的坐标和k,b的值;(2)点Q为直线y=kx+b上一动点,当点Q运动到何位置时△OBQ的面积等于272?请求出点Q的坐标;(3)在y轴上是否存在点P使△PAB是等腰三角形?若存在,请直接写出点P坐标;若不存在,请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【解析】【分析】易得所求的图形与看到的图形关于水平的一条直线成轴对称,找到相应图形即可.【详解】解:如下图,∴正确的图像是D;故选择:D.【点睛】解决本题的关键是找到相应的对称轴;难点是作出相应的对称图形,也可根据所给图形的特征得到相应图形.2.A解析:A【解析】【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可.【详解】解:∵二元一次方程组522x yx y-=-⎧⎨+=-⎩的解为41xy=-⎧⎨=⎩∴在同一平面直角坐标系中,两函数y=x+5与y=﹣12x﹣1的图像的交点坐标为:(-4,1)故选:A.【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系,一般地,如果一个二元一次方程组有唯一解,那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.3.B【解析】 【分析】根据四个选项图像可以判断y kx = 过原点且k <0,12y x k =- ,-k >0 即可判断. 【详解】解:A .y kx = 与12y x k =-图像增减相反,得到k <0,所以12y x k =- 与y 轴交点大于0 故错误; B .y kx = 与12y x k =-图像增减相反,得到k <0,所以12y x k =- 与y 轴交点大于0 故正确; C .y kx = 与12y x k =-图像增减相反,12y x k =-为递增一次函数且不过原点,故错误; D .y kx =过原点,而图中两条直线都不过原点,故错误. 故选 B 【点睛】此题主要考查了一次函数图像的性质,熟记k >0,y 随x 的增大而增大;k <0,y 随x 的增大而减小;常数项为0,函数过原点.4.B解析:B 【解析】 【分析】A 、根据比值结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状;B 、根据角的比值求出各角的度数,便可判断出三角形的形状;C 、根据三角形的内角和为180度,即可计算出∠C 的值;D 、根据比值结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状. 【详解】A 、因为a :b :c=3:4:5,所以设a=3x ,b=4x ,c=5x ,则(3x )2+(4x )2=(5x )2,故为直角三角形,故A 选项不符合题意;B 、因为∠A :∠B :∠C=3:4:5,所以设∠A=3x ,则∠B=4x ,∠C=5x ,故3x+4x+5x=180°,解得x=15°,3x=15×3=45°,4x=15×4=60°,5x=15×5=75°,故此三角形是锐角三角形,故B 选项符合题意;C 、因为∠A+∠B=∠C ,∠A+∠B+∠C=180°,则∠C=90°,故为直角三角形,故C 选项不符合题意;D 、因为a :b :c=1:2,所以设a=x ,b=2x ,x ,则x 2+x )2=(2x )2,故为直角三角形,故D 选项不符合题意, 故选B. 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关知识,根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键.解析:A【解析】【分析】根据无理数的定义进行求解.【详解】解:无理数有:−π,共1个.故选:A.【点睛】本题考查了无理数,解答本题的关键是掌握无理数常见的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数.6.B解析:B【解析】【分析】根据点A的坐标找出b值,令一次函数解析式中y=0求出x值,从而找出点B的坐标,观察函数图象,找出在x轴上方的函数图象,由此即可得出结论.【详解】解:∵一次函数y=﹣2x+b的图象交y轴于点A(0,3),∴b=3,令y=﹣2x+3中y=0,则﹣2x+3=0,解得:x=32,∴点B(32,0).观察函数图象,发现:当x<32时,一次函数图象在x轴上方,∴不等式﹣2x+b>0的解集为x<32.故选:B.【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式,解题的关键是找出交点B的坐标.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键.7.A解析:A【解析】【分析】根据关于原点对称点的坐标特点:两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得答案.【详解】解:在平面直角坐标系中,关于原点对称的两点横坐标和纵坐标均满足互为相反数,∴点(2,-3)关于原点对称的点的坐标是(-2,3).故选A.【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标,熟练掌握坐标特征是解题的关键.8.C解析:C【解析】【分析】直接把y=5代入y=2x+1,解方程即可.【详解】解:当y=5时,5=2x+1,解得:x=2,故选:C.【点睛】此题主要考查了函数值,关键是掌握已知函数解析式,给出函数值时,求相应的自变量的值就是解方程.9.D解析:D【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理,等腰三角形的性质,三角形的内角和判断即可.【详解】解:A:如果40︒的角是底角,则顶角等于100︒,故三角形是钝角三角形,此选项错误;B、当两条中线为两腰上的中线时,可知两条中线相等,当两条中线一条为腰上的中线,一条为底边上的中线时,则这两条中线不一定相等,∴等腰三角形的两条中线不一定相等,此选项错误;C、如图,△ABC和△ABD中,AB=AC=AD,CD∥AB,DG是△ABD 的AB边高,CH是是△ABC 的AB边高,则DG=CH,但△ABC和△ABD不全等;故此选项错误;D、三角形的三个内角的角平分线交于一点,该点叫做三角形的内心.内心到三边的距离相等.故此选项正确;故选:D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定,等腰三角形的性质,三角形的内角和,熟练掌握各知识点是解题的关键.10.C解析:C【解析】试题解析:A10是无理数,说法正确;B、310<4,说法正确;C、1010,故原题说法错误;D10是10的算术平方根,说法正确;故选C.二、填空题11.(3,﹣2).【解析】【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值,到y轴的距离是横坐标的绝对值,可得答案.【详解】设P(x,y),∵点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,∴,∵点P解析:(3,﹣2).【解析】【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值,到y轴的距离是横坐标的绝对值,可得答案.【详解】设P(x ,y),∵点P 到x 轴的距离为2,到y 轴的距离为3, ∴32x y ==,, ∵点P 在第四象限内,即:00x y ><,∴点P 的坐标为(3,﹣2),故答案为:(3,﹣2).【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中,点的坐标,掌握“点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值,到y 轴的距离是横坐标的绝对值”,是解题的关键.12.【解析】【分析】设y =kx+b ,将(﹣2,m )、(﹣1,2)、(0,n )代入即可得出答案.【详解】设一次函数解析式为:y =kx+b ,将(﹣2,m )、(﹣1,2)、(0,n )代入y =kx+解析:【解析】【分析】设y =kx +b ,将(﹣2,m )、(﹣1,2)、(0,n )代入即可得出答案.【详解】设一次函数解析式为:y =kx +b ,将(﹣2,m )、(﹣1,2)、(0,n )代入y =kx +b ,得:﹣2k +b =m ;﹣k +b =2;b =n ;∴m +n =﹣2k +b +b =﹣2k +2b =2(﹣k +b )=2×2=4.故答案为:4.【点睛】本题主要考查一次函数的待定系数法,把m +n 看作一个整体,进行计算,是解题的关键.13.【解析】【分析】计算出当P 在直线上时a 的值,再计算出当P 在直线上时a 的值,即可得答案.【详解】解:当P 在直线上时,,当P 在直线上时,,则.故答案为【点睛】此题主要考查了一次函数与解析:0a 2<<【解析】【分析】计算出当P 在直线y 2x 2=+上时a 的值,再计算出当P 在直线y 2x 4=+上时a 的值,即可得答案.【详解】解:当P 在直线y 2x 2=+上时,()a 212220=⨯-+=-+=,当P 在直线y 2x 4=+上时,()a 214242=⨯-+=-+=,则0a 2<<.故答案为0a 2<<【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式,关键是掌握函数图象经过的点,必能使解析式左右相等.14.3cm .【解析】【分析】利用勾股定理列式求出AB ,根据翻折变换的性质可得BC′=BC ,C′D=CD ,然后求出AC′,设CD =x ,表示出C′D、AD ,然后利用勾股定理列方程求解即可.【详解】解析:3cm .【解析】【分析】利用勾股定理列式求出AB ,根据翻折变换的性质可得BC ′=BC ,C ′D =CD ,然后求出AC ′,设CD =x ,表示出C ′D 、AD ,然后利用勾股定理列方程求解即可.【详解】解:∵∠C =90°,BC =6cm ,AC =8cm ,∴AB 10cm ,由翻折变换的性质得,BC ′=BC =6cm ,C ′D =CD ,∴AC ′=AB ﹣BC ′=10﹣6=4cm ,设CD =x ,则C ′D =x ,AD =8﹣x ,在Rt △AC ′D 中,由勾股定理得,AC ′2+C ′D 2=AD 2,即42+x 2=(8﹣x )2,解得x =3,即CD =3cm .故答案为:3cm .【点睛】本题考查了翻折变换的性质,勾股定理,此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键.15.【解析】【分析】根据矩形的性质得到BC=OA=8,OC=AB=6,∠C=∠B=∠O=90°,求得CD=6,BD=2,根据折叠可知A′D=AD,A′E=AE,可证明Rt△A′CD≌Rt△DBA, 解析:【解析】【分析】根据矩形的性质得到BC=OA=8,OC=AB=6,∠C=∠B=∠O=90°,求得CD=6,BD=2,根据折叠可知A′D=AD ,A′E=AE ,可证明Rt △A′CD ≌Rt △DBA ,根据全等三角形的性质得到A′C=BD=2,A′O=4,然后在Rt △A′OE 中根据勾股定理列出方程求解即可.【详解】解:如图,∵四边形OABC 是矩形,∴BC=OA=8,OC=AB=6,∠C=∠B=∠O=90°,∵CD=3DB ,∴CD=6,BD=2,∴CD=AB ,∵将四边形ABDE 沿DE 折叠,若点A 的对称点A′恰好落在边OC 上,∴A′D=AD ,A′E=AE ,在Rt △A′CD 与Rt △DBA 中,CD AB A D AD '=⎧⎨=⎩, ∴Rt △A′CD ≌Rt △DBA (HL ),∴A′C=BD=2,∴A′O=4,∵A′O 2+OE 2=A′E 2,∴42+OE 2=(8-OE )2,∴OE=3,故答案是:3.【点睛】本题考查了轴对称变换(折叠问题),矩形的性质,全等三角形的判定和性质,掌握相关性质是解题的关键.16.12cm.【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和2cm,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.【详解】解:①5cm为腰,2解析:12cm.【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和2cm,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.【详解】解:①5cm为腰,2cm为底,此时周长为12cm;②5cm为底,2cm为腰,则两边和小于第三边无法构成三角形,故舍去.所以其周长是12cm.故答案为12cm.【点睛】此题主要考查等腰三角形的周长,解题的关键熟知等腰三角形的性质及三角形的构成条件. 17.<【解析】【分析】根据一次函数的性质,当k<0时,y随x的增大而减小即可判断.【详解】∵一次函数中k=<0,∴y随x的增大而减小,∵x1>x2,∴y1<y2.故答案为:<.【点睛解析:<【解析】【分析】根据一次函数的性质,当k<0时,y随x的增大而减小即可判断.【详解】∵一次函数312y x =-+中k=32-<0, ∴y 随x 的增大而减小,∵x 1>x 2,∴y 1<y 2.故答案为:<.【点睛】 此题主要考查了一次函数的性质,关键是掌握一次函数y=kx+b ,当k >0时,y 随x 的增大而增大,当k <0时,y 随x 的增大而减小.18.1【解析】【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标性质直接代入求出即可.【详解】把x=m ,y=n 代入y=3x-1,可得:n=3m-1,把n=3m-1代入===.故答案为:1.【解析:1【解析】【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标性质直接代入求出即可.【详解】把x=m ,y=n 代入y=3x-1,可得:n=3m-1,把n=3m-1代入2296m mn n -+=223196())31(m m m m -+--=2229186196m m m m m -++-+=1.故答案为:1.【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质,正确代入点的坐标求出是解题关键.19.【解析】【分析】观察函数图象得到,当x2时,一次函数y=kx+b 的图象都在一次函数y=mx+n 的图象的上方,由此得到不等式kx+bmx+n 的解集.【详解】∵当x2时,一次函数y=kx+b 的解析:2x ≥【解析】【分析】观察函数图象得到,当x ≥2时,一次函数y=kx+b 的图象都在一次函数y=mx+n 的图象的上方,由此得到不等式kx+b ≥mx+n 的解集.【详解】∵当x ≥2时,一次函数y=kx+b 的图象都在一次函数y=mx+n 的图象的上方,∴不等式kx+b ≥mx+n 的解集为x ≥2.故答案是:x ≥2.【点睛】考查了一次函数与一元一次不等式的关系:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=ax+b 的值大于(或小于)0的自变量x 的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y=kx+b 在x 轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.20.m >2.【解析】【分析】根据(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0,得出y 随x 的增大而减小,再根据2﹣m <0,求出其取值范围即可.【详解】(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0,即:或,也就是,y解析:m >2.【解析】【分析】根据(x 1﹣x 2)(y 1﹣y 2)<0,得出y 随x 的增大而减小,再根据2﹣m <0,求出其取值范围即可.【详解】(x 1﹣x 2)(y 1﹣y 2)<0,即:121200x x y y >⎧⎨<⎩﹣﹣或121200x x y y <⎧⎨>⎩﹣﹣, 也就是,y 随x 的增大而减小,因此,2﹣m <0,解得:m >2,故答案为:m >2.【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质,掌握一次函数的增减性以及适当的转化是解决问题的关键.三、解答题21.【模型建立】详见解析;【模型应用】①721y x =--;②Q 点坐标为(4,2)或(203,223). .【解析】【分析】模型建立:根据△ABC 为等腰直角三角形,AD ⊥ED ,BE ⊥ED ,可判定△ACD ≌△CBE ;模型应用:①过点B 作BC ⊥AB ,交l 2于C ,过C 作CD ⊥y 轴于D ,根据△CBD ≌△BAO ,得出BD=AO=2,CD=OB=3,求得C (-3,5),最后运用待定系数法求直线l 2的函数表达式;②分两种情况考虑:如图3,∠AQP=90°,AQ=PQ ,设Q 点坐标为(a ,2a-6),利用三角形全等得到a+6-(2a-6)=8,得a=4,易得Q 点坐标;如图4,同理求出Q 的坐标.【详解】模型建立:证明:∵AD CD ⊥,BE EC ⊥∴90D E ∠=∠=︒.∵CB CA =,∠ACB=90°.∴1809090ACD BCE ︒︒∠+∠=-=︒.又∵90EBC BCE ∠+∠=︒,∴ACD EBC ∠=∠.在ACD ∆与CBE ∆中, D E ACD EBC CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴BEC CDA ∆∆≌.模型应用:如图2,过点B 作BC AB ⊥交2l 于C ,过C 作CD y ⊥轴于D ,∵45BAC ∠=︒,∴ABC ∆为等腰直角三角形.由(1)可知:CBD BAO ∆∆≌,∴BD AO =,CD OB =.∵144,3:l y x =+ ∴令0y =,得3x =-,∴()30A -,, 令0x =,得4y =,∴()0,4B .∴3BD AO ==,4CD OB ==,∴437OD =+=.∴()4,7C -.设2l 的解析式为y kx b =+∴7403k b k b =-+⎧⎨=-+⎩∴721k b =-⎧⎨=-⎩ 2l 的解析式:721y x =--.分以下两种情况:如图3,当∠AQP=90°时,AQ=PQ ,过点Q 作EF ⊥y 轴,分别交y 轴和直线BC 于点E 、F .在△AQE 和△QPF 中,由(1)可得,△AQE ≌△QPF (AAS ),AE=QF ,设点Q 的坐标为(a,2a-6),即6-(2a-6)=8-a ,解得a=4.此时点Q 的坐标为(4,2).如图4:当∠AQP=90°时,AQ=PQ 时,过点Q 作EF ⊥y 轴,分别交y 轴和直线BC 于点E、F,设点Q的坐标为(a,2a-6),则AE=2a-12,FQ=8-a.,在△AQE和△QPF中,同理可得△AQE≌△QPF(AAS),AE=QF,即2a-12=8-a,解得a=20 3.此时点Q的坐标为(203,223).综上所述:A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形,点Q的坐标为(4,2)或(203,223).【点睛】本题考查一次函数综合题,主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,运用全等三角形的性质进行计算,需要考虑的多种情况,解题时注意分类思想的运用.22.(1)C(-4,-2);(2)AO= 2MB.证明见解析.【解析】【分析】(1)过C点作y轴的垂线段,垂足为H点,证明△ABO≌△BCH,利用全等三角形的性质结合C在第三象限即可求得C点坐标;(2)过D点作DN⊥y轴于点N,证明△DBN≌△BAO,根据全等三角形对应边相等BN=AO,DN=BO,再证明△DMN≌△EMB,可得MN=MB,于是可得AO=2MB.【详解】(1)解:过C点作y轴的垂线段,垂足为H点.∴∠BHC=∠AOB=90°,∵A(6,0),B(0,4)∴OA=6,OB=4∵∠ABC=90°,∴∠ABO+∠OBC=90°,又∠ABO+∠OAB=90°,∴∠OBC=∠OAB,∵在△ABO和△BCH中BHC AOBOBC OABAB BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABO≌△BCH,∴AO=BH=6,CH=BO=4,∴OH=2,∴C(-4,-2).(2)AO= 2MB.过D点作DN⊥y轴于点N,∴∠BND=∠AOB=90°,∵△ABD、△OBE为等腰直角三角形,∴∠ABD=∠OBE=90°,AB=BD,BO=BE,∴∠DBN+∠ABO=∠BAO+∠ABO=90°,∴∠DBN=∠BAO,∴△DBN≌△BAO,∴BN=AO,DN=BO,在△DMN和△EMB中,∵DN=BO=BE,∠DNM=∠EBM,∠DMN=∠EMB,∴△DMN≌△EMB,∴MN=MB=12BN=12AO∴AO=2MB.【点睛】本题考查坐标与图形,旋转的性质,全等三角形的性质与判定,等腰直角三角形的性质.能正确作出辅助线,并根据全等三角形的判定定理证明三角形全等是解决此题的关键. 23.(1)x=5或﹣3;(2)﹣9.【解析】【分析】(1)直接利用平方根的定义化简得出答案;(2)直接利用立方根以及算术平方根的定义化简得出答案.【详解】(1)(x﹣1)2=16,x﹣1=±4,解得:x=5或﹣3;(2)20201-=﹣1﹣5﹣3=﹣9.【点睛】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.24.(1)见解析;(2)(﹣3,﹣4)【解析】【分析】(1)根据点A和点B的坐标可建立平面直角坐标系;(2)利用平移变换的定义和性质可得答案.【详解】解:(1)如图所示,(2)如图所示,△A ′B ′C ′即为所求,其中点C ′的坐标为(﹣3,﹣4),故答案为:(﹣3,﹣4).【点睛】本题考查的知识点是作图-平移变换,找出三角形点A 的平移规律是解此题的关键.25.(1A 种商品每件的进价是50元,B 种商品每件的进价是30元;(2)商店共有5种进货方案;(3)①当18a =时,获利最大,即买18件A 商品,22件B 商品,②当15m =时,150m -=,(2)问中所有进货方案获利相同,③当14a =时,获利最大,即买14件A 商品,26件B 商品.【解析】【分析】(1)设A 商品每件进价为x 元,B 商品每件的进价为(x-20)元,根据A 种商品毎件的进价比B 种商品每件的进价多20元,用3000元购进A 种商品和用1800元购进B 种商品的数量相同,列方程求解;(2)设购买A 种商品a 件,则购买B 商品(40a -)件,根据商店计划用不超过1560元的资金购进,A B 两种商品共40件,其中A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半,列出不等式组即可(3)先设销售,A B 两种商品共获利y 元,然后分析求解新的进货方案【详解】(1)设A 种商品每件的进价是x 元,则B 种商品每件的进价是()20x -元, 由题意得:3000180020x x =-, 解得:50x =,经检验,50x =是原方程的解,且符合题意,502030-=,答:A 种商品每件的进价是50元,B 种商品每件的进价是30元;(2)设购买A 种商品a 件,则购买B 商品(40a -)件,由题意得:()5030401560402a a a a ⎧+-⎪⎨-≥⎪⎩,解得:40183a ≤≤, ∵a 为正整数,∴a =14、15、16、17、18, ∴商店共有5种进货方案;(3)设销售,A B 两种商品共获利y 元,由题意得:()()()8050453040y m a a =--+--()15600m a =-+,①当1015m <<时,150m ->,y 随a 的增大而增大,∴当18a =时,获利最大,即买18件A 商品,22件B 商品,②当15m =时,150m -=,y 与a 的值无关,即(2)问中所有进货方案获利相同,③当1520m <<时,150m -<,y 随a 的增大而减小,∴当14a =时,获利最大,即买14件A 商品,26件B 商品.【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用,分式方程的应用,解题关键在于根据题意列出方程四、压轴题26.(1)5;(2)直角三角形,理由见解析;(3)44,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭或82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)先求出直线122y x =+与x 轴的交点B 的坐标和与y 轴的交点C 的坐标,把点C 代入直线2y x m =-+,求出m 的值,再求它与x 轴的交点A 的坐标,ABC 的面积用AB 乘OC 除以2得到;(2)用勾股定理求出BC 的平方,AC 的平方,再根据AB 的平方,用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形;(3)先根据角平分线求出D 的坐标,再去分两种情况构造全等三角形,利用全等三角形的性质求出对应的边长,从而得到点E 的坐标.【详解】解:(1)令0x =,则10222y =⨯+=, ∴()0,2C ,令0y =,则1202x +=,解得4x =-, ∴()4,0B -,将()0,2C 代入2y x m =-+,得2m =,∴22y x =-+,令0y =,则220x -+=,解得1x =,∴1,0A ,∴5AB =,2OC =, ∴152ABC S AB OC =⋅=△; (2)根据勾股定理,222224220BC BO OC =+=+=,22222125AC AO OC =+=+=,且22525AB ==,∴222AB BC AC =+,则ABC 是直角三角形;(3)∵CD 平分ACB ∠, ∴12AD AC BD BC ==, ∴1533AD AB ==, ∴23OD AD OA =-=, ∴2,03D ⎛⎫- ⎪⎝⎭①如图,CED ∠是直角,过点E 作EN x ⊥轴于点N ,过点C 作CM EN ⊥于点M , 由(2)知,90ACB ∠=︒,∵CD 平分ACB ∠,∴45ECD ∠=︒,∴CDE △是等腰直角三角形,∴CE DE =,∵90NED MEC ∠+∠=︒,90NED NDE ∠+∠=︒,∴MEC NDE ∠=∠,在DNE △和EMC △中,NDE MEC DNE EMC DE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()DNE EMC AAS ≅,设DN EM x ==,EN CM y ==,根据图象列式:DO DN CMEN EM CO+=⎧⎨+=⎩,即232x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得2343xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴43EN CM==,∴44,33E⎛⎫-⎪⎝⎭;②如图,CDE∠是直角,过点E作EG x⊥轴于点G,同理CDE△是等腰直角三角形,且可以证得()CDO DEG AAS≅,∴2DG CO==,23EG DO==,∴28233GO GD DO=+=+=,∴82,33E⎛⎫-⎪⎝⎭,综上:44,33E⎛⎫-⎪⎝⎭,82,33E⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】本题考查一次函数综合,解题的关键是掌握一次函数解析式的求解,与坐标轴交点的求解,图象围成的三角形面积的求解,还涉及勾股定理、角平分线的性质、全等三角形等几何知识,需要运用数形结合的思想去求解.27.(1)见解析;(2)①见解析;②见解析【解析】【分析】(1)由点M是AC中点知AM=CM,结合∠AMD=∠CMB和DM=BM即可得证;(2)①由点M,N分别是AC,BC的中点及AC=BC可得CM=CN,结合∠C=∠C和BC=AC 即可得证;②取AD中点F,连接EF,先证△EAF≌△ANC得∠NAC=∠AEF,∠C=∠AFE=90°,据此知∠AFE=∠DFE=90°,再证△AFE≌△DFE得∠EAD=∠EDA=∠ANC,从而由∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM即可得证.【详解】解:(1)∵点M是AC中点,∴AM=CM,在△DAM和△BCM中,∵AM CMAMD CMBDM BM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DAM≌△BCM(SAS);(2)①∵点M是AC中点,点N是BC中点,∴CM=12AC,CN=12BC,∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,∴CM=CN,在△BCM和△ACN中,∵CM CNC C BC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCM≌△ACN(SAS);②证明:取AD中点F,连接EF,则AD=2AF,∵△BCM≌△ACN,∴AN=BM,∠CBM=∠CAN,∵△DAM ≌△BCM ,∴∠CBM=∠ADM ,AD=BC=2CN ,∴AF=CN ,∴∠DAC=∠C=90°,∠ADM=∠CBM=∠NAC ,由(1)知,△DAM ≌△BCM ,∴∠DBC=∠ADB ,∴AD ∥BC ,∴∠EAF=∠ANC ,在△EAF 和△ANC 中,AE AN EAF ANC AF NC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EAF ≌△ANC (SAS ),∴∠NAC=∠AEF ,∠C=∠AFE=90°,∴∠AFE=∠DFE=90°,∵F 为AD 中点,∴AF=DF ,在△AFE 和△DFE 中,AF DF AFE DFE EF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AFE ≌△DFE (SAS ),∴∠EAD=∠EDA=∠ANC ,∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°,∴BD ⊥DE .【点睛】本题是三角形的综合问题,解题的关键是掌握中点的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点.28.(1)443y x =-+;(2)612(,)55M ;(3)23(0,)7G 或(0,-1)G 【解析】【分析】(1)求出点B ,C 坐标,再利用待定系数法即可解决问题;(2)结合图形,由S △AMB =S △AOB 分析出直线OM 平行于直线AB ,再利用两直线相交建立方程组求得交点M 的坐标;(3)分两种情形:①当n >2时,如图2-1中,点Q 落在BC 上时,过G 作直线平行于x 轴,过点F ,Q 作该直线的垂线,垂足分别为M ,N .求出Q (n-2,n-1).②当n <2时,如图2-2中,同法可得Q (2-n ,n+1),代入直线BC 的解析式解方程即可解决问题.【详解】解:(1)∵直线y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,∴A(-2,0),B(0,4),,又∵OC=3,∴C(3,0),设直线BC的解析式为y=kx+b,将B、C的坐标代入得:304k bb+=⎧⎨=⎩,解得:434kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线BC的解析式为443y x=-+;(2)连接OM,∵S△AMB=S△AOB,∴直线OM平行于直线AB,故设直线OM解析式为:2y x=,将直线OM的解析式与直线BC的解析式联立得方程组2443y xy x=⎧⎪⎨=-+⎪⎩,解得:65125xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点612(,)55M;(3)∵FA=FB,A(-2,0),B(0,4),∴F(-1,2),设G(0,n),①当n>2时,如图2-1中,点Q落在BC上时,过G作直线平行于x轴,过点F,Q作该直线的垂线,垂足分别为M,N.。
无锡市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)
无锡市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)一、选择题1.低碳环保理念深入人心,共享单车已经成为出行新方式下列共享单车图标中,是轴对称图形的是( )A .B .C .D .2.下列图书馆的馆徽不是..轴对称图形的是( ) A . B . C . D .3.如图,△ABC ≌△ADE ,∠B=20°,∠E=110°,则∠EAD 的度数为( )A .80°B .70°C .50°D .130° 4.下列各点中在第四象限的是( )A .()2,3--B .()2,3-C .()3,2-D .()3,25.如图,△ABC 中,AB =AC ,AD 是∠BAC 的平分线.已知AB =5,AD =3,则BC 的长为( )A .5B .6C .8D .106.如图,两个一次函数图象的交点坐标为(2,4),则关于x ,y 的方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为( )A .2,4x y =⎧⎨=⎩B .4,2x y =⎧⎨=⎩C .4,0x y =-⎧⎨=⎩D .3,0x y =⎧⎨=⎩7.在平面直角坐标系中,点P(-2,2x +1)所在的象限是( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限8.直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x 的不等式12k x b k x +>的解为( )A .x >-1B .x <-1C .x <-2D .无法确定9.下列二次根式中属于最简二次根式的是( ) A .32B .24x yC .yxD .24+x y10.下列各数:4,﹣3.14,227,2π,3无理数有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题11.如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC 的顶点O 在坐标原点,顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上:OA =3,OC =4,D 为OC 边的中点,E 是OA 边上的一个动点,当△BDE 的周长最小时,E 点坐标为_____.12.若x +2y =2xy ,则21+x y的值为_____. 13.4的平方根是 .14.Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,点D 在边AB 上,连接CD .有以下4种说法:①当DC DB =时,BCD ∆一定为等边三角形 ②当AD CD =时,BCD ∆一定为等边三角形③当ACD ∆是等腰三角形时,BCD ∆一定为等边三角形 ④当BCD ∆是等腰三角形时,ACD ∆一定为等腰三角形 其中错误的是__________.(填写序号即可)15.已知点(,)P m n 在一次函数31y x =-的图像上,则2296m mn n -+=___________. 16.使函数6y x =-有意义的自变量x 的取值范围是_______.17.如图,在长方形ABCD 中,5,6AB BC ==,将长方形ABCD 沿BE 折叠,点A 落在'A 处,若'EA 的延长线恰好过点C ,则AE 的长为__________.18.在△ABC 中,AB =AC =5,BC =6,若点P 在边AB 上移动,则CP 的最小值是_____.19.将一次函数y =2x +2的图象向下平移2个单位长度,得到相应的函数表达式为____. 20.如图,在Rt △ABC 中,∠A=90°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ,AD=3,BC=10,则△BDC 的面积是_____.三、解答题21.如图,△ABC 中,∠ACB =90°,AB =10cm ,BC =6cm ,若点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动,设运动时间为t 秒(t >0).(1)若点P 在AC 上,且满足PA =PB 时,求出此时t 的值;(2)若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上(但不与A 点重合),求t 的值. 22.如图,在平面直角坐标系中,点B 坐标为()6,0-,点A 是y 轴正半轴上一点,且10AB =,点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点,设点P 的坐标为()0m ,.(1)点A 的坐标为___________;(2)当ABP △是等腰三角形时,求P 点的坐标;(3)如图2,过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ,连接OE ,若点A 关于直线OE 的对称点为A ',当点A '恰好落在直线PE 上时,BE =_____________.(直接写出答案) 23.如图,四边形ABCD 中,AB =20,BC =15,CD =7,AD =24,∠B =90°.(1)判断∠D 是否是直角,并说明理由. (2)求四边形ABCD 的面积.24.已知一次函数y=kx+b 的图象经过点A (—1,—5),且与正比例函数的图象相交于点B (2,a ).(1)求a 的值;(2)求一次函数y=kx+b 的表达式;(3)在同一坐标系中,画出这两个函数的图象,并求这两条直线与y 轴围成的三角形的面积. 25.已知21a =+,求代数式223a a -+的值.四、压轴题26.如图,以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点,以OC ,OA 所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系,点A (0,a ),C (b ,0)满足a 6b 80-+-=. (1)a = ;b = ;直角三角形AOC 的面积为 .(2)已知坐标轴上有两动点P ,Q 同时出发,P 点从C 点出发以每秒2个单位长度的速度向点O 匀速移动,Q 点从O 点出发以每秒1个单位长度的速度向点A 匀速移动,点P 到达O 点整个运动随之结束.AC 的中点D 的坐标是(4,3),设运动时间为t 秒.问:是否存在这样的t ,使得△ODP 与△ODQ 的面积相等?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由.(3)在(2)的条件下,若∠DOC =∠D CO ,点G 是第二象限中一点,并且y 轴平分∠GOD .点E 是线段OA 上一动点,连接接CE 交OD 于点H ,当点E 在线段OA 上运动的过程中,探究∠GOD ,∠OHC ,∠ACE 之间的数量关系,并证明你的结论(三角形的内角和为180).27.如图1所示,直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴,y 轴正半轴分别交于A 、B 两点.(1)当OA OB =时,求点A 坐标及直线L 的解析式.(2)在(1)的条件下,如图2所示,设Q 为AB 延长线上一点,作直线OQ ,过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ,BN OQ ⊥于N ,若17AM =,求BN 的长. (3)当m 取不同的值时,点B 在y 轴正半轴上运动,分别以OB 、AB 为边,点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆,连接EF 交y 轴于P 点,如图3.问:当点B 在y 轴正半轴上运动时,试猜想PB 的长是否为定值?若是,请求出其值;若不是,说明理由.28.如图,在平面直角坐标系中,直线334y x =-+分别交,x y 轴于A B ,两点,C 为线段AB 的中点,(,0)D t 是线段OA 上一动点(不与A 点重合),射线//BF x 轴,延长DC交BF 于点E . (1)求证:AD BE =;(2)连接BD ,记BDE 的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式;(3)是否存在t 的值,使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的t 的值;若不存在,请说明理由.29.学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”)后,我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. (初步思考)我们不妨将问题用符号语言表示为:在△DEF 中,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E ,然后,对∠B 进行分类,可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究. (深入探究)第一种情况:当∠B 是直角时,△ABC ≌△DEF .(1)如图①,在△ABC 和△DEF 中,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E =90°,根据______,可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF .第二种情况:当∠B 是钝角时,△ABC ≌△DEF .(2)如图②,在△ABC 和△DEF 中,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E ,且∠B 、∠E 都是钝角.求证:△ABC ≌△DEF .第三种情况:当∠B 是锐角时,△ABC 和△DEF 不一定全等.(3)在△ABC 和△DEF 中,AC =DF ,BC =EF ,∠B =∠E ,且∠B 、∠E 都是锐角.请你用直尺在图③中作出△DEF ,使△DEF 和△ABC 不全等,并作简要说明.30.在ABC 中,AB AC =,D 是直线AB 上一点,E 在直线BC 上,且DE DC =. (1)如图1,当D 在AB 上,E 在CB 延长线上时,求证:EDB ACD ∠=∠; (2)如图2,当ABC 为等边三角形时,D 是BA 的延长线上一点,E 在BC 上时,作//EF AC ,求证:BE AD =;(3)在(2)的条件下,ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ,连AF ,过A 点作AH CD ⊥于点H ,当30EDC ∠=︒,6CF =时,求DH 的长度.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【详解】A、是轴对称图形.故选项正确;B、不是轴对称图形.故选项错误;C、不是轴对称图形.故选项错误;D、不是轴对称图形.故选项错误.故选:A.【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合.2.D解析:D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.【详解】解:A、是轴对称图形,不符合题意;B、是轴对称图形,不符合题意;C、是轴对称图形,不符合题意;D、因为找不到任何这样的一条直线,使它沿这条直线折叠后,直线两旁的部分能够重合,即不满足轴对称图形的定义.不是轴对称图形,符合题意;故选:D.【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.3.C解析:C【解析】【分析】根据全等的性质知∠D=∠B=20°,再根据三角形的内角和即可求出∠EAD.【详解】∵△ABC≌△ADE,∠B=20°,∠E=110°,∴∠D=∠B=20°,∴∠EAD=180°-20°-110°=50°,故选C.【点睛】本题是对三角形全等知识的考查,熟练掌握全等知识及三角形的内角和是解决本题的关键. 4.C解析:C【解析】【分析】根据第四象限点的坐标特点,在选项中找到横坐标为正,纵坐标为负的点即可. 【详解】解:A .(-2,-3)在第三象限; B .(-2,3)在第二象限; C .(3,-2)在第四象限; D .(3,2)在第一象限; 故选:C . 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点,用到的知识点为:点在第四象限内,那么横坐标大于0,纵坐标小于0.5.C解析:C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°,再根据勾股定理得出BD 的长,即可得出BC 的长. 【详解】在△ABC 中,AB =AC ,AD 是∠BAC 的平分线,∴AD ⊥BC ,BC=2BD. ∴∠ADB=90°在Rt △ABD 中,根据勾股定理得:=4∴BC=2BD=2×4=8.故选C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理,熟练掌握性质定理是解题的关键.6.A解析:A 【解析】 【分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程,再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案. 【详解】解:∵直线y 1=k 1x+b 1与y 2=k 2x+b 2的交点坐标为(2,4), ∴二元一次方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,4.x y =⎧⎨=⎩故选A. 【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系,满足解析式的点就在函数的图象上,在函数的图象上的点,就一定满足函数解析式.函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解.7.B解析:B【解析】【分析】【详解】∵-20,2x+10,∴点P (-2,2x+1)在第二象限,故选B.8.B解析:B【解析】【分析】如图,直线l1:y1=k1x+b与直线l2:y2=k2x在同一平面直角坐标系中的图像如图所示,则求关于x的不等式k1x+b>k2x的解集就是求:能使函数y1=k1x+b的图象在函数y2=k2x的上方的自变量的取值范围.【详解】解:能使函数y1=k1x+b的图象在函数y2=k2x的上方的自变量的取值范围是x<-1.故关于x的不等式k1x+b>k2x的解集为:x<-1.故选B.9.D解析:D【解析】【分析】最简二次根式即被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式,由此判断即可.【详解】解:A32232B24x y2y24x yC yxxy yxD24+x y故选:D.【点睛】本题考查了最简二次根式,熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键. 10.B解析:B【解析】【分析】根据无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,找出无理数的个数.【详解】无理数有2π2个.故选:B.【点睛】本题考查的是无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.二、填空题11.(1,0)【解析】【分析】本题是典型的“将军饮马”问题,只需作D关于x轴的对称点D′,连接D′B 交x轴于点E,如图,则此时△BDE的周长最小,易得点B和D′坐标,故可利用待定系数法求出直线BD解析:(1,0)【解析】【分析】本题是典型的“将军饮马”问题,只需作D关于x轴的对称点D′,连接D′B交x轴于点E,如图,则此时△BDE的周长最小,易得点B和D′坐标,故可利用待定系数法求出直线BD'的解析式,然后求直线BD'与x轴的交点即得答案.【详解】解:如图,作D关于x轴的对称点D′,连接D′B交x轴于点E,连接DE,则DE= D′E,此时△BDE的周长最小,∵D为CO的中点,∴CD=OD=2,∵D和D′关于x轴对称,∴D′(0,﹣2),由题意知:点B(3,4),∴设直线BD'的解析式为y=kx+b,把B(3,4),D′(0,﹣2)代入解析式,得:342k bb+=⎧⎨=-⎩,解得,22kb=⎧⎨=-⎩,∴直线BD'的解析式为y=2x﹣2,当y=0时,x=1,故E点坐标为(1,0).故答案为:(1,0).【点睛】本题考查的是利用待定系数法求直线的解析式和两线段之和最小问题,属于常考题型,熟练掌握求解的方法是解题关键.12.【解析】【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则变形,把已知等式代入计算即可求出值.【详解】解:∵x+2y=2xy,∴原式==2,故答案为:2【点睛】此题考查了分式的化简求值,熟解析:【解析】【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则变形,把已知等式代入计算即可求出值.【详解】解:∵x+2y=2xy,∴原式=22x y xyxy xy+==2,故答案为:2【点睛】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.13.±2.【解析】试题分析:∵,∴4的平方根是±2.故答案为±2.考点:平方根.解析:±2.【解析】试题分析:∵2(2)4±=,∴4的平方根是±2.故答案为±2.考点:平方根.14.③【解析】【分析】根据题意,将不同情况下的示意图作出,逐一分析即可得解.【详解】如下图:①∵,,∴,∵,∴为等边三角形∴①正确;②∵,,∴,∵,∴,,∴,∴为等边三角形∴②正确;解析:③【解析】【分析】根据题意,将不同情况下的示意图作出,逐一分析即可得解.【详解】如下图:①∵90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,∴60B ∠=︒,∵DC DB =,∴BCD ∆为等边三角形 ∴①正确;②∵90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,∴60B ∠=︒,∵AD CD =,∴30ACD ∠=︒,903060DCB ∠=︒-︒=︒,∴60CDB ∠=︒,∴BCD ∆为等边三角形∴②正确;③当DA DC =时∵90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,ACD ∆是等腰三角形,∴30ACD ∠=︒,903060DCB ∠=︒-︒=︒,∴60CDB ∠=︒,∴BCD ∆为等边三角形;当AC AD =时,易得BCD ∆不为等边三角形∴③错误;④∵90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,∴60B ∠=︒,∵BCD ∆是等腰三角形,∴BCD ∆是等边三角形,60DCB ∠=︒∴30ACD ∠=︒,∴ACD ∆为等腰三角形;∴④正确;故答案为:③.【点睛】本题主要考查了等边三角形,等腰三角形的判定及性质,熟练掌握等边三角形、等腰三角形的判定及性质的证明方法是解决本题的关键.15.1【解析】【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标性质直接代入求出即可.【详解】把x=m ,y=n 代入y=3x-1,可得:n=3m-1,把n=3m-1代入===.故答案为:1.【解析:1【解析】【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标性质直接代入求出即可.【详解】把x=m ,y=n 代入y=3x-1,可得:n=3m-1,把n=3m-1代入2296m mn n -+=223196())31(m m m m -+--=2229186196m m m m m -++-+=1.故答案为:1.【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质,正确代入点的坐标求出是解题关键.16.【解析】【分析】根据二次根式,被开方数a≥0,可得6-x≥0,解不等式即可.【详解】解:∵有意义∴6-x≥0∴故答案为:【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围,二次根式有意义的条解析:6x ≤【解析】【分析】a≥0,可得6-x≥0,解不等式即可.【详解】解:∵y =∴6-x≥0∴6x ≤故答案为:6x ≤【点睛】,被开方数a≥0是解题的关键. 17.【解析】【分析】结合长方形与折叠的性质在在中根据勾股定理可得的长,设设,可知,中,由勾股定理得方程,求出x 值即可.【详解】解:四边形ABCD 是长方形由折叠的性质可得在中,根据勾股解析:6【解析】【分析】结合长方形与折叠的性质在在'Rt BAC 中根据勾股定理可得'AC 的长,设设AE x =,可知',6,A E x DE x CE x ==-=+Rt CDE △中,由勾股定理得方程222(6)5(x x -+=+,求出x 值即可.【详解】解:四边形ABCD 是长方形90,5,6A D AB CD AD BC ︒∴∠=∠=====由折叠的性质可得''',5,90A E AE A B AB EA B A ︒===∠=∠=在'Rt BAC 中,根据勾股定理得'AC ==设AE x =,则',6,A E x DE x CE x ==-=+在Rt CDE △中,根据勾股定理得222DE CD CE +=即222(6)5(x x -+=+可得2236122511x x x -++=++12)50x ∴=6)6x ∴====-=故答案为:6【点睛】本题考查了勾股定理,灵活利用折叠三角形的性质结合勾股定理求线段长是解题的关键. 18.8【解析】【分析】作BC 边上的高AF ,利用等腰三角形的三线合一的性质求BF =3,利用勾股定理求得AF 的长,利用面积相等即可求得AB 边上的高CP 的长.【详解】解:如图,作AF ⊥BC 于点F ,作解析:8【解析】【分析】作BC 边上的高AF ,利用等腰三角形的三线合一的性质求BF =3,利用勾股定理求得AF 的长,利用面积相等即可求得AB 边上的高CP 的长.【详解】解:如图,作AF ⊥BC 于点F ,作CP ⊥AB 于点P ,根据题意得此时CP 的值最小;解:作BC 边上的高AF ,∵AB =AC =5,BC =6,∴BF =CF =3,∴由勾股定理得:AF =4,∴S △ABC =12AB •PC =12BC •AF =12×5CP =12×6×4 得:CP =4.8故答案为4.8.【点睛】此题主要考查直角三角形的性质,解题的关键是熟知勾股定理及三角形的面积公式的运用. 19.y=2x【解析】【分析】直接利用一次函数平移规律:左右平移,x左加右减;上下平移,b上加下减,得出答案.【详解】解:将函数y=2x+2的图象向下平移2个单位长度后,所得图象的函数关系式为y解析:y=2x【解析】【分析】直接利用一次函数平移规律:左右平移,x左加右减;上下平移,b上加下减,得出答案.【详解】解:将函数y=2x+2的图象向下平移2个单位长度后,所得图象的函数关系式为y=2x+2﹣2=2x.故答案为:y=2x.【点睛】本题考查的知识点是一次函数图象与几何变换,掌握一次函数图象平移的规律“左右平移,x左加右减;上下平移,b上加下减”是解此题的关键.20.15【解析】【分析】试题分析:过D作DE⊥BC于E,根据角平分线性质求出DE=3,根据三角形的面积求出即可.【详解】解:过D作DE⊥BC于E,∵∠A=90°,∴DA⊥AB,∵BD 平分解析:15【解析】【分析】试题分析:过D 作DE ⊥BC 于E ,根据角平分线性质求出DE=3,根据三角形的面积求出即可.【详解】解:过D 作DE ⊥BC 于E ,∵∠A=90°,∴DA ⊥AB ,∵BD 平分∠ABC ,∴AD=DE=3,∴△BDC 的面积是:12×DE×BC=12×10×3=15, 故答案为15.考点:角平分线的性质.三、解答题21.(1)254t =;(2)323t =. 【解析】【分析】(1)根据中垂线性质可知,作AB 的垂直平分线,与AC 交于点P ,则满足PA=PB ,在Rt △ABC 中,用勾股定理计算出AC=8cm ,再用t 表示出PA=t cm ,则PC=()8t -cm ,在Rt △PBC 中,利用勾股定理建立方程求t ;(2)过P 作PD ⊥AB 于D 点,由角平分线性质可得PC=PD ,由题意PC=()t 8-cm ,则PB=()()6t 8=14t ---cm ,在Rt △ABD 中,利用勾股定理建立方程求t.【详解】(1)作AB 的垂直平分线交AB 于D ,交AC 于P ,连接PB ,如图所示,由垂直平分线的性质可知PA=PB ,此时P 点满足题意,在Rt △ABC 中,2222AC=AB BC =106=8--cm ,由题意PA= t cm ,PC=()8t -cm ,在Rt △PBC 中,222PC +BC =PB ,即()2228t +6=t -,解得25t=4(2)作∠CAB 的平分线AP ,过P 作PD ⊥AB 于D 点,如图所示∵AP 平分∠CAB ,PC ⊥AC ,PD ⊥AB ,∴PC=PD在Rt △ACP 和Rt △ADP 中,AP=AP PC=PD ⎧⎨⎩∴()Rt ACP Rt ADP HL ≅∴AD=AC=8cm∴BD=AB-AD=10-8=2cm由题意PD=PC=()t 8-cm ,则PB=()()6t 8=14t ---cm ,在Rt △ABD 中,222PD +BD =PB即()()222t 8+2=14t -- 解得32t=3【点睛】 本题考查了勾股定理的动点问题,熟练运用中垂线性质和角平分线性质,找出线段长度,利用勾股定理建立方程是关键.22.(1)()0,8;(2)()4,0或()6,0或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭;(3)425【解析】【分析】 (1)根据勾股定理可以求出AO 的长,则可得出A 的坐标; (2)分三种情况讨论等腰三角形的情况,得出点P 的坐标; (3)根据PE AB ⊥,点A '在直线PE 上,得到EAG OPG ,利用点A ,A '关于直线OE 对称点,根据对称性,可证'OPG EAO ,可得'8OP OA ,82AP , 设BE x =,则有6AEx ,根据勾股定理,有:22222BP BE EP AP AE 解之即可.【详解】解:(1)∵点B 坐标为6,0,点A 是y 轴正半轴上一点,且10AB =, ∴ABO 是直角三角形,根据勾股定理有: 22221068AO AB BO ,∴点A 的坐标为()0,8;(2)∵ABP △是等腰三角形,当BP AB 时,如图一所示:∴1064OP BP BO ,∴P 点的坐标是()4,0;当AP AB =时,如图二所示:∴6OP BO∴P 点的坐标是()6,0;当AP BP =时,如图三所示:设OP x =,则有6AP x∴根据勾股定理有:222OP AO AP +=即:22286x x解之得:73x = ∴P 点的坐标是7,03; (3)当ABP △是钝角三角形时,点A '不存在;当ABP △是锐角三角形时,如图四示:连接'OA ,∵PE AB ⊥,点A '在直线PE 上, ∴AEG △和GOP 是直角三角形,EGA OGP ∴EAG OPG ,∵点A ,A '关于直线OE 对称点, 根据对称性,有'8OA OA ,'EAEA ∴'FAO FAO ,'FAE FAE ∴'EAG EAO 则有:'OPGEAO ∴'AOP 是等腰三角形,则有'8OP OA , ∴22228882AP AO OP ,设BE x =,则有6AEx ,根据勾股定理,有: 22222BP BE EP AP AE 即:2222688210x x 解之得:425BEx 【点睛】 本题考查了三角形的综合问题,涉及的知识点有:解方程,等腰三角形的判定与性质,对称等知识点,能分类讨论,熟练运用各性质定理,是解题的关键.23.(1)∠D 是直角.理由见解析;(2)234.【解析】【分析】(1)连接AC ,先根据勾股定理求得AC 的长,再根据勾股定理的逆定理,求得∠D=90°即可;(2)根据△ACD 和△ACB 的面积之和等于四边形ABCD 的面积,进行计算即可.【详解】(1)∠D是直角.理由如下:连接AC.∵AB=20,BC=15,∠B=90°,∴由勾股定理得AC2=202+152=625.又∵CD=7,AD=24,∴CD2+AD2=625,∴AC2=CD2+AD2,∴∠D=90°.(2)四边形ABCD的面积=12AD•DC+12AB•BC=12×24×7+12×20×15=234.【点睛】考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的综合运用,解决问题时需要区别勾股定理及其逆定理.通过作辅助线,将四边形问题转化为三角形问题是关键.24.(1)a=1 (2)y=2x-3 (3)3【解析】【分析】(1)将点(2,a)代入正比例函数解析式求出a的值;(2)将(-1,-5)和(2,1)代入一次函数解析式求出k和b的值,从而得出函数解析式;(3)根据描点法画出函数图象.【详解】解:(1)∵正比例函数y=12x的图象过点(2,a)∴ a=1(2)∵一次函数y=kx+b的图象经过两点(-1,-5)(2,1)∴5 21k bk b-+=-⎧⎨+=⎩解得23 kb=⎧⎨=-⎩∴y=2x-3(3)函数图像如图【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式;描点法画函数图象25.4【解析】试题分析:先将223a a -+变形为(a-1)2+2,再将21a =代入求值即可.试题解析:223a a -+=221a a -++2=(a-1)2+2当2+1时,原式=2+1-1)2+2=2)2+2=2+2=4. 四、压轴题26.(1)6;8;24;(2)存在 2.4t =时,使得△ODP 与△ODQ 的面积相等;(3)∠GOD+∠ACE=∠OHC ,见解析【解析】【分析】(1)利用非负性即可求出a ,b 即可得出结论,即可求出△ABC 的面积;(2)先表示出OQ ,OP ,利用那个面积相等,建立方程求解即可得出结论;(3)先判断出∠OAC=∠AOD ,进而判断出OG ∥AC ,即可判断出∠FHC=∠ACE ,同理∠FHO=∠GOD ,即可得出结论.【详解】解:(1) 解:(1)∵a 6b 80--=, ∴a-6=0,b-8=0,∴a=6,b=8,∴A (0,6),C (8,0);∴S △ABC=6×8÷2=24,故答案为(0,6),(8,0); 6;8;24 (2) ∵114222ODQ D S OQ x t t ∆=⋅=⋅⋅= 11(82)312322ODP D S OP y t t ∆=⋅=⋅-⋅=- 由2123t t =-时, 2.4t =∴存在 2.4t =时,使得△ODP 与△ODQ 的面积相等(3) )∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC ,理由如下:∵x 轴⊥y 轴,∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°∴∠OAC+∠ACO=90°又∵∠DOC=∠DCO∴∠OAC=∠AOD∵y 轴平分∠GOD∴∠GOA=∠AOD∴∠GOA=∠OAC∴OG ∥AC ,如图,过点H 作HF ∥OG 交x 轴于F ,∴HF ∥AC∴∠FHC=∠ACE同理∠FHO=∠GOD ,∵OG ∥FH ,∴∠GOD=∠FHO ,∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC即∠GOD+∠ACE=∠OHC ,∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC .∴∠GOD+∠ACE=∠OHC .【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了非负性的性质,三角形的面积公式,角平分线的定义,平行线的性质,正确作出辅助线是解本题的关键.27.(1)5y x =+;(2)223)PB 的长为定值52 【解析】【分析】(1)先求出A 、B 两点坐标,求出OA 与OB ,由OA= OB ,求出m 即可;(2)用勾股定理求AB ,再证AMO OBN ∆≅∆,BN=OM ,由勾股定理求OM 即可; (3)先确定答案定值,如图引辅助线EG ⊥y 轴于G ,先证AOB EBG ∆≅∆,求BG 再证BFP GEP ∆≅∆,可确定BP 的定值即可.【详解】(1)对于直线:5L y mx m =+.当0y =时,5x =-.当0x=时,5y m =.()5,0A ∴-,()0,5B m .OA OB =.55m ∴=.解得1m =.∴直线L 的解析式为5y x =+.(2)5OA =,17AM =.∴由勾股定理,2222OM OA AM =-=.180AOM AOB BON ∠+∠+∠=︒.90AOB ∠=︒.90AOM BON ∴∠+∠=︒.90AOM OAM ∠+∠=︒.BON OAM ∴∠=∠.在AMO ∆与OBN ∆中,90BON OAM AMO BNO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩.()AMO OBN AAS ∴∆≅∆.22BN OM ∴==..(3)如图所示:过点E 作EG y ⊥轴于G 点.AEB ∆为等腰直角三角形,AB EB ∴=90ABO EBG ∠+∠=︒.EG BG ⊥,90GEB EBG ∴∠+∠=︒.ABO GEB ∴∠=∠.AOB EBG ∴∆≅∆.5BG AO ∴==,OB EG =OBF ∆为等腰直角三角形,OB BF ∴=BF EG ∴=.BFP GEP ∴∆≅∆.1522BP GP BG ∴===. 【点睛】本题考查求解析式,线段的长,判断定值问题,关键是掌握求坐标,利用条件OA= OB ,求OM ,用勾股定理求AB ,再证AMO OBN ∆≅∆,构造 AOB EBG ∆≅∆,求BG ,再证BFP GEP ∆≅∆.28.(1)详见解析;(2)36(04)2BDE t t S -+≤<=;(3)存在,当78t =或43时,使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形.【解析】【分析】(1)先判断出EBC DAC ∠=∠,CEB CDA ∠=∠,再判断出BC AC =,进而判断出△BCE ≌△ACD ,即可得出结论;(2)先确定出点A ,B 坐标,再表示出AD ,即可得出结论;(3)分两种情况:当BD BE =时,利用勾股定理建立方程2223(4)t t +=-,即可得出结论;当BD DE =时,先判断出Rt △OBD ≌Rt △MED ,得出DM OD t ==,再用OM BE =建立方程求解即可得出结论.【详解】解:(1)证明:射线//BF x 轴, EBC DAC ∴∠=∠,CEB CDA ∠=∠, 又C 为线段AB 的中点,BC AC ∴=,在△BCE 和△ACD 中,CEB CDA EBC DAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE ≌△ACD (AAS ),BE AD ∴=;(2)解:在直线334y x =-+中, 令0x =,则3y =,令0y =,则4x =,A ∴点坐标为(4,0),B 点坐标为(0,3), D 点坐标为(,0)t ,4AD t BE ∴=-=,113(4)36(04)222BDE ABD B S S AD y t t t ∴==⋅=-⨯=-+<;(3)当BD BE =时,在Rt OBD ∆中,90BOD ∠=︒,由勾股定理得:222OB OD DB +=,即2223(4)t t +=-解得:78t =; 当BD DE =时,过点E 作EM x ⊥轴于M ,90BOD EMD ∴∠=∠=︒,//BF OA ,OB ME ∴=在Rt △OBD 和Rt △MED 中,==BD DE OB ME ⎧⎨⎩, ∴Rt △OBD ≌Rt △MED (HL ),OD DM t ∴==,由OM BE =得:24t t =- 解得:43t =, 综上所述,当78t =或43时,使得△BDE 是以BD 为腰的等腰三角形.【点睛】本题是一次函数综合题,主要考查了平行线的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,用方程的思想解决问题是解本题的关键.29.(1)HL;(2)见解析;(3)如图②,见解析;△DEF就是所求作的三角形,△DEF 和△ABC不全等.【解析】【分析】(1)根据直角三角形全等的方法“HL”证明;(2)过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H,根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH,再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等,根据全等三角形对应边相等可得CG=FH,再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等,根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D,然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等;(3)以点C为圆心,以AC长为半径画弧,与AB相交于点D,E与B重合,F与C重合,得到△DEF与△ABC不全等;(4)根据三种情况结论,∠B不小于∠A即可.【详解】(1)在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL.(2)证明:如图①,分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH,其中G、H为垂足.∵∠ABC、∠DEF都是钝角∴G、H分别在AB、DE的延长线上.∵CG⊥AG,FH⊥DH,∴∠CGA=∠FHD=90°.∵∠CBG=180°-∠ABC,∠FEH=∠180°-∠DEF,∠ABC=∠DEF,∴∠CBG=∠FEH.在△BCG和△EFH中,∵∠CGB=∠FHE,∠CBG=∠FEH,BC=EF,∴△BCG≌△EFH.∴CG=FH.又∵AC=DF.∴Rt△ACG≌△DFH.∴∠A=∠D.在△ABC和△DEF中,∵∠ABC=∠DEF,∠A=∠D,AC=DF,∴△ABC≌△DEF.(3)如图②,△DEF就是所求作的三角形,△DEF和△ABC不全等.【点睛】本题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,应用与设计作图,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键,阅读量较大,审题要认真仔细.30.(1)见解析;(2)见解析;(3)3【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论;(2)过E 作EF ∥AC 交AB 于F ,根据已知条件得到△ABC 是等边三角形,推出△BEF 是等边三角形,得到BE=EF ,∠BFE=60°,根据全等三角形的性质即可得到结论; (3)连接AF ,证明△ABF ≌△CBF ,得AF=CF ,再证明DH=AH=12CF=3. 【详解】解:(1)∵AB=AC ,∴∠ABC=∠ACB ,∵DE=DC ,∴∠E=∠DCE ,∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB ,即∠EDB=∠ACD ;(2)∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=60°,∴△BEF 是等边三角形,∴BE=EF ,∠BFE=60°,∴∠DFE=120°,∴∠DFE=∠CAD ,在△DEF 与△CAD 中, EDF DCA DFE CAD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DEF ≌△CAD (AAS ),∴EF=AD ,∴AD=BE ;(3)连接AF,如图3所示:∵DE=DC,∠EDC=30°,∴∠DEC=∠DCE=75°,∴∠ACF=75°-60°=15°,∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF,在△ABF和△CBF中,AB BCABF CBFBF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△ABF≌△CBF(SAS),∴AF=CF,∴∠FAC=∠ACF=15°,∴∠AFH=15°+15°=30°,∵AH⊥CD,∴AH=12AF=12CF=3,∵∠DEC=∠ABC+∠BDE,∴∠BDE=75°-60°=15°,∴∠ADH=15°+30°=45°,∴∠DAH=∠ADH=45°,∴DH=AH=3.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形和直角三角形的性质,三角形的外角的性质,等边三角形的判定和性质,证明三角形全等是解决问题的关键.。
江苏省无锡市八年级期上册末数学试卷
江苏省无锡市八年级期上册末数学试卷一、选择题1.下列无理数中,在﹣1与2之间的是( ) A .﹣3B .﹣2C .2D .52.如图,将△ABC 折叠,使点A 与BC 边中点D 重合,折痕为MN ,若AB=9,BC=6,则△DNB 的周长为( )A .12B .13C .14D .153.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )A .()a x y ax ay -=-B .()()311x x x x x -=+- C .()()21343x x x x ++=++D .()22121x x x x ++=++4.若+1x 有意义,则x 的取值范围是( ). A .x >﹣1B .x ≥0C .x ≥﹣1D .任意实数5.以下关于多边形内角和与外角和的表述,错误的是( ) A .四边形的内角和与外角和相等B .如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补C .六边形的内角和是外角和是2倍D .如果一个多边形的每个内角是120︒,那么它是十边形. 6.下列交通标识中,是轴对称图形的是( ) A .B .C .D .7.在平面直角坐标系中,点P(-2,2x +1)所在的象限是( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限8.估计(130246的值应在( ) A .1和2之间 B .2和3之间 C .3和4之间 D .4和5之间 9.一次函数y =﹣2x+3的图象不经过的象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 10.下列计算,正确的是( )A .a 2﹣a=aB .a 2•a 3=a 6C .a 9÷a 3=a 3D .(a 3)2=a 6二、填空题11.下表给出的是关于某个一次函数的自变量x 及其对应的函数值y 的部分对应值,x … ﹣2 ﹣1 0 … y…m2n…则m +n 的值为_____.12.在一个不透明的袋子中装有2个黄球和3个红球,每个除颜色外完全相同,将球摇匀从中任取一球:①恰好取出白球;②恰好取出红球;③恰好取出黄球,根据你的判断,将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列___________(只需填写序号).13.根据如图所示的计算程序,小明输入的x 的值为36,则输出的y 的值为__________.14.函数y x 3=-中,自变量x 的取值范围是 .15.如图,数轴上点A 表示的数为a ,化简:a 244a a +-+=_____.16.如图,正比例函数y=kx 与反比例函数y=6x的图象有一个交点A(2,m),AB ⊥x 轴于点B ,平移直线y=kx 使其经过点B ,得到直线l ,则直线l 对应的函数表达式是_________ .17.已知点(,)P m n 在一次函数31y x =-的图像上,则2296m mn n -+=___________. 18.在△ABC 中,已知AB =15,AC =11,则BC 边上的中线AD 的取值范围是____. 19.如图,等边三角形的顶点A (1,1)、B (3,1),规定把等边△ABC “先沿y 轴翻折,再向下平移1个单位”为一次变换,如果这样连续经过2020次变换后,等边△ABC 的顶点C 的坐标为____.20.如图,在Rt △ABC 中,∠A=90°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ,AD=3,BC=10,则△BDC 的面积是_____.三、解答题21.目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们带来了很多便利,初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行了调查,随机调查了m 人(每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种)并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.(1)根据图中信息求出m =___________,n =_____________; (2)请你帮助他们将这两个统计图补全;(3)根据抽样调查的结果,请估算全校2000名学生种,大约有多少人最认可“微信”这一新生事物?22.(1)求x 的值:225x = (2)计算:23(2)816--+23.如图,ABC ∆中,90BAC ∠=,8AC cm =,DE 是BC 边上的垂直平分线,ABD ∆的周长为14cm ,求BC 的长.24.(12216-(3)(3)8+-(2)化简:22x 9x 31-69x 4x x -+÷-++ 25.涟水外卖市场竞争激烈,美团、饿了么等公司订单大量增加,某公司负责招聘外卖送餐员,具体方案如下:每月不超出750单,每单收入4元;超出750单的部分每单收入m 元.(1)若某“外卖小哥”某月送了500单,收入 元;(2)若“外卖小哥”每月收入为y (元),每月送单量为x 单,y 与x 之间的关系如图所示,求y 与x 之间的函数关系式;(3)若“外卖小哥”甲和乙在某个月内共送单1200单,且甲送单量低于乙送单量,共收入5000元,问:甲、乙送单量各是多少?四、压轴题26.如图,直线2y x m =-+交x 轴于点A ,直线122y x =+交x 轴于点B ,并且这两条直线相交于y 轴上一点C ,CD 平分ACB ∠交x 轴于点D .(1)求ABC 的面积.(2)判断ABC 的形状,并说明理由.(3)点E 是直线BC 上一点,CDE △是直角三角形,求点E 的坐标. 27.如图,在平面直角坐标系中,直线y =﹣34x+m 分别与x 轴、y 轴交于点B 、A .其中B 点坐标为(12,0),直线y =38x 与直线AB 相交于点C . (1)求点A 的坐标. (2)求△BOC 的面积.(3)点D 为直线AB 上的一个动点,过点D 作y 轴的平行线DE ,DE 与直线OC 交于点E (点D 与点E 不重合).设点D 的横坐标为t ,线段DE 长度为d .①求d 与t 的函数解析式(写出自变量的取值范围).②当动点D 在线段AC 上运动时,以DE 为边在DE 的左侧作正方形DEPQ ,若以点H (12,t )、G (1,t )为端点的线段与正方形DEPQ 的边只有一个交点时,请直接写出t 的取值范围.28.(1)填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上,那么EMF ∠的度数是________;②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠,B 点与M 点重合,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上,那么EMF ∠的度数是_______. (2)解答:①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧,且80EMF ∠=︒,求11C MB ∠的度数; ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠,B 点与M 点重合,EM ,FM 为折痕,折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧,且60EMF ∠=︒,求11C MA ∠的度数.(3)探究:把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠,EB ,FB 为折痕,设ABC α∠=︒,EBF β∠=︒,11A BC γ∠=︒,求α,β,γ之间的数量关系.29.如图1中的三种情况所示,对于平面内的点M ,点N ,点P ,如果将线段PM 绕点P 顺时针旋转90°能得到线段PN ,就称点N 是点M 关于点P 的“正矩点”.(1)在如图2所示的平面直角坐标系xOy 中,已知(3,1),(1,3),(1,3)S P Q ---,(2,4)M -.①在点P ,点Q 中,___________是点S 关于原点O 的“正矩点”; ②在S ,P ,Q ,M 这四点中选择合适的三点,使得这三点满足:点_________是点___________关于点___________的“正矩点”,写出一种情况即可; (2)在平面直角坐标系xOy 中,直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,点A 关于点B 的“正矩点”记为点C ,坐标为(,)C C C x y .①当点A 在x 轴的正半轴上且OA 小于3时,求点C 的横坐标C x 的值; ②若点C 的纵坐标C y 满足12C y -<≤,直接写出相应的k 的取值范围.30.阅读下面材料,完成(1)-(3)题. 数学课上,老师出示了这样一道题:如图1,已知等腰△ABC 中,AB =AC ,AD 为BC 边上的中线,以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ,直线CE 与直线AD 交于点F .请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系,并证明. 同学们经过思考后,交流了自已的想法:小明:“通过观察和度量,发现∠DFC 的度数可以求出来.”小强:“通过观察和度量,发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系.” 小伟:“通过做辅助线构造全等三角形,就可以将问题解决.” ......老师:“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ,其它条件均不改变,请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系,并证明你的结论.”(1)求∠DFC的度数;(2)在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系,并证明;(3)在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF之间的数量关系,并证明.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【解析】试题分析:A31,故错误;B2<﹣1,故错误;C.﹣12<2,故正确;52,故错误;故选C.【考点】估算无理数的大小.2.A解析:A【解析】【分析】根据中点的定义可得BD=3,由折叠的性质可知DN=AN,即DN+BN=AB=9,可得△DNB的周长.【详解】解:∵D是BC的中点,BC=6,∴BD=3,由折叠的性质可知DN=AN,∴△DNB的周长=DN+BN+BD=AN+BN+BD=AB+BD=9+3=12.故选A.【点睛】本题主要考查翻折变换,解题的关键是掌握翻折变换的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等3.B解析:B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可. 【详解】解:A 、不是因式分解,故本选项不符合题意; B 、是因式分解,故本选项符合题意; C 、不是因式分解,故本选项不符合题意; D 、不是因式分解,故本选项不符合题意; 故选:B . 【点睛】本题考查了因式分解的定义,能熟记因式分解的定义是解此题的关键,把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解.4.C解析:C 【解析】 【分析】根据二次根式的意义可得出x +1≥0,即可得到结果. 【详解】解:由题意得:x +1≥0, 解得:x ≥﹣1, 故选:C . 【点睛】本题主要是考查了二次根式有意义的条件应用,计算得出的不等式是关键.5.D解析:D 【解析】 【分析】根据多边形的内角和和外角和定理,逐一判断排除即可得解. 【详解】A.四边形的内角和为360°,外角和也为360°,A 选项正确;B.根据四边形的内角和为360°可知,一组对角互补,则另一组对角也互补,B 选项正确;C.六边形的内角和为62180720()-⨯︒=︒,外角和为360°,C 选项正确;D.假设是n 边形,(2)180120n n-⨯︒=︒解得610n =≠,D 选项错误.故选:D. 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和、外角和定理,熟练掌握计算公式是解决本题的关键.6.B解析:B 【解析】某个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形,以上图形中,B 是轴对称图形,故选B7.B解析:B 【解析】 【分析】 【详解】∵-20,2x +10,∴点P (-2,2x +1)在第二象限, 故选B .8.B解析:B 【解析】【分析】先利用分配律进行计算,然后再进行化简,根据化简的结果即可确定出值的范围. 【详解】(130246=11302466=252,而25=45=20⨯ 20, 所以2<252-<3, 所以估计(1302462和3之间, 故选B.【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小,熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.9.C解析:C 【解析】试题解析:∵k=-2<0, ∴一次函数经过二四象限; ∵b=3>0,∴一次函数又经过第一象限,∴一次函数y=-x+3的图象不经过第三象限,故选C.10.D解析:D【解析】【详解】A、a2-a,不能合并,故A错误;B、a2•a3=a5,故B错误;C、a9÷a3=a6,故C错误;D、(a3)2=a6,故D正确,故选D.二、填空题11.【解析】【分析】设y=kx+b,将(﹣2,m)、(﹣1,2)、(0,n)代入即可得出答案.【详解】设一次函数解析式为:y=kx+b,将(﹣2,m)、(﹣1,2)、(0,n)代入y=kx+解析:【解析】【分析】设y=kx+b,将(﹣2,m)、(﹣1,2)、(0,n)代入即可得出答案.【详解】设一次函数解析式为:y=kx+b,将(﹣2,m)、(﹣1,2)、(0,n)代入y=kx+b,得:﹣2k+b=m;﹣k+b=2;b=n;∴m+n=﹣2k+b+b=﹣2k+2b=2(﹣k+b)=2×2=4.故答案为:4.【点睛】本题主要考查一次函数的待定系数法,把m+n看作一个整体,进行计算,是解题的关键.12.①③②【解析】【分析】根据可能性大小的求法,求出各个事件发生的可能性的大小,再按照大小顺序从小到大排列起来即可.【详解】解:根据题意,袋子中共5个球, 2个黄球和3个红球,故将球摇匀,从中 解析:①③②【解析】【分析】根据可能性大小的求法,求出各个事件发生的可能性的大小,再按照大小顺序从小到大排列起来即可.【详解】解:根据题意,袋子中共5个球, 2个黄球和3个红球,故将球摇匀,从中任取1球,则①恰好取出白球的可能性为0,②恰好取出红球的可能性为35,③恰好取出黄球的可能性为25, 故这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是①③②.故答案为:①③②.【点睛】本题主要考查了可能性大小计算,即概率的计算方法,用到的知识点为:可能性等于所求情况数与总情况数之比,难度适中.13.0【解析】【分析】根据题意,由时,代入,求出答案即可.【详解】解:∵小明输入的的值为36,∴;故答案为:0.【点睛】本题考查了代数式求值:把满足条件的字母的值代入代数式进行计算得到 解析:0【解析】【分析】根据题意,由36x =时,代入3y =-,求出答案即可. 【详解】解:∵小明输入的x 的值为36,∴3330y =-=-=; 故答案为:0.【点睛】本题考查了代数式求值:把满足条件的字母的值代入代数式进行计算得到对应的代数式的值.14..【解析】【分析】求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,二次根式有意义的条件是:被开方数为非负数.【详解】依题意,得x-3≥0,解得:x≥3.【点睛】本题考查的知识点.解析:x3【解析】【分析】求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,二次根式有意义的条件是:被开方数为非负数.【详解】依题意,得x-3≥0,解得:x≥3.【点睛】本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数.15.【解析】【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可.【详解】由数轴可得:0<a<2,则a+=a+=a+(2﹣a)=2.故答案为2.【点睛】本题主要考查了解析:【解析】【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可.【详解】由数轴可得:0<a<2,则(2﹣a)=2.故答案为2.【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简,正确得出a的取值范围是解题的关键.16.y=x-3【解析】【分析】由已知先求出点A、点B的坐标,继而求出y=kx的解析式,再根据直线y=kx平移后经过点B,可设平移后的解析式为y=kx+b,将B点坐标代入求解即可得.【详解】当x=2解析:y=32x-3【解析】【分析】由已知先求出点A、点B的坐标,继而求出y=kx的解析式,再根据直线y=kx平移后经过点B,可设平移后的解析式为y=kx+b,将B点坐标代入求解即可得.【详解】当x=2时,y=6x=3,∴A(2,3),B(2,0),∵y=kx过点 A(2,3),∴3=2k,∴k=32,∴y=32 x,∵直线y=32x平移后经过点B,∴设平移后的解析式为y=32x+b,则有0=3+b,解得:b=-3,∴平移后的解析式为:y=32x-3,故答案为:y=32x-3.【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用,涉及到待定系数法,一次函数图象的平移等,求出k的值是解题的关键.17.1【解析】【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标性质直接代入求出即可.【详解】把x=m ,y=n 代入y=3x-1,可得:n=3m-1,把n=3m-1代入===.故答案为:1.【解析:1【解析】【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标性质直接代入求出即可.【详解】把x=m ,y=n 代入y=3x-1,可得:n=3m-1,把n=3m-1代入2296m mn n -+=223196())31(m m m m -+--=2229186196m m m m m -++-+=1.故答案为:1.【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质,正确代入点的坐标求出是解题关键. 18.2<AD<13【解析】【分析】延长AD 至E ,使得DE=AD ,连接CE ,然后根据“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等,再根据全等三角形对应边相等可得AB=CE ,然后利用三角形任意两边之和大于第三解析:2<AD <13【解析】【分析】延长AD 至E ,使得DE=AD ,连接CE ,然后根据“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等,再根据全等三角形对应边相等可得AB =CE ,然后利用三角形任意两边之和大于第三边,两边之和小于第三边求出AE 的取值范围,从而得解.【详解】解:如图,延长AD至E,使得DE=AD,连接CE,∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,在△ABD和△ECD中,∵AD=DE,∠ADB=∠EDC,BD=CD∴△ABD≌△ECD(SAS),∴AB=CE,∵AB=15,∴CE=15,∵AC=11,∴在△ACE中,15-11=4,15+11=26,∴4<AE<26,∴2<AD<13;故答案为:2<AD<13.【点睛】本题既考查了全等三角形的性质与判定,也考查了三角形的三边的关系,解题的关键是将中线AD延长得AD=DE,构造全等三角形,然后利用三角形的三边的关系解决问题.19.(2,).【解析】【分析】据轴对称判断出点C变换后在y轴的右侧,根据平移的距离求出点C变换后的纵坐标,最后写出即可.【详解】∵△ABC是等边三角形,AB=3﹣1=2,∴点C到y轴的距离为解析:(232019).【解析】【分析】据轴对称判断出点C变换后在y轴的右侧,根据平移的距离求出点C变换后的纵坐标,最后写出即可.【详解】∵△ABC是等边三角形,AB=3﹣1=2,∴点C到y轴的距离为1+2×12=2,点C到AB,∴C(2,把等边△ABC先沿y轴翻折,得C’(-2,再向下平移1个单位得C’’( -2故经过一次变换后,横坐标变为相反数,纵坐标减1,故第2020次变换后的三角形在y轴右侧,点C的横坐标为2,+1﹣﹣2019,所以,点C的对应点C'的坐标是(22019).故答案为:(22019).【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移,等边三角形的性质,读懂题目信息,确定出连续2020次这样的变换得到三角形在y轴右侧是解题的关键.20.15【解析】【分析】试题分析:过D作DE⊥BC于E,根据角平分线性质求出DE=3,根据三角形的面积求出即可.【详解】解:过D作DE⊥BC于E,∵∠A=90°,∴DA⊥AB,∵BD平分解析:15【解析】【分析】试题分析:过D作DE⊥BC于E,根据角平分线性质求出DE=3,根据三角形的面积求出即可.【详解】解:过D作DE⊥BC于E,∵∠A=90°,∴DA⊥AB,∵BD平分∠ABC,∴AD=DE=3,∴△BDC的面积是:12×DE×BC=12×10×3=15,故答案为15.考点:角平分线的性质.三、解答题21.(1)100,35;(2)详见解析;(3)800人.【解析】【分析】(1)由共享单车的人数以及其所占百分比可求得总人数m,用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值;(2)总人数乘以网购的百分比可求得网购人数,用微信人数除以总人数求得其百分比,由此即可补全两个图形;(3)总人数乘以样本中微信人数所占百分比即可求得答案.【详解】(1)抽查的总人数m=10÷10%=100,支付宝的人数所占百分比n%=35100100%⨯=35%,所以n=35,故答案为:100,35;(2)网购人数为:100×15%=15人,微信对应的百分比为:40100%40% 100⨯=,补全图形如图所示:(3)估算全校2000名学生种,最认可“微信”这一新生事物的人数为:2000×40%=800人.【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关问题,读懂统计图,从中找到必要的信息是解题的关键.22.(1)5x=±;(2)4【解析】【分析】(1)直接开平方,即可得到答案;(2)先根据二次根式的性质进行化简,然后合并同类项即可.【详解】解:(1)225x=,∴5x=±;(22244=-+=;【点睛】本题考查了二次根式的性质,立方根,以及直接开平方法解方程,解题的关键是熟练掌握二次根式的性质进行解题.23.10BC=【解析】【分析】由垂直平分线的性质得到BD=CD,则得到AB+AC=14,然后求出AB,由勾股定理即可求出BC的长度.【详解】解:∵DE是BC边上的垂直平分线,∴BD=CD,∵ABD∆的周长为14cm,∴AB+AD+DB=14,∴AB+AD+DC=AB+AC=14,∵8AC=,∴1486AB=-=,在Rt△ABC中,由勾股定理,得10BC=.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质定理,勾股定理,解题的关键是掌握由垂直平分线的性质定理,求出AB的长度.24.(1) 2; (2)73 x--【解析】【分析】(1)首先计算平方根和立方根,然后进行加减运算即可;(2)根据分式的除法和减法进行计算.【详解】解:(1)原式=4332-+-=2;(2)原式=()()()2334 133x x xxx+-+ -⨯+-=4 13xx+ --=343x xx----=73 x--【点睛】本题考查分式的混合运算和二次根式的混合运算,解题的关键是明确它们各自的计算方法.25.(1)2000;(2)y=5x﹣750;(3)甲送250单,乙送950单【解析】【分析】(1)根据题意可以求得“外卖小哥”某月送了500单的收入情况;(2)分段函数,运用待定系数法解答即可;(3)根据题意,利用分类讨论的方法可以求得甲、乙送单量各是多少.【详解】解:(1)由题意可得,“外卖小哥”某月送了500单,收入为:4×500=2000元,故答案为:2000;(2)当0≤x<750时,y=4x当x≥750时,当x=4时,y=3000设y=kx+b,根据题意得3000750 55001250k bk b=+⎧⎨=+⎩,解得5750kb=⎧⎨=-⎩,∴y=5x﹣750;(3)设甲送a单,则a<600<750,则乙送(1200﹣a)单,若1200﹣a<750,则4a+4(1200﹣a)=4800≠5000,不合题意,∴1200﹣a>750,∴4a+5(1200﹣a)﹣750=5000,∴a=250,1200﹣a=950,故甲送250单,乙送950单.【点睛】本题考查的知识点是一次函数的应用以及二元一次方程组,从函数图象中找出有用的信息是解此题的关键.四、压轴题26.(1)5;(2)直角三角形,理由见解析;(3)44,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭或82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)先求出直线122y x =+与x 轴的交点B 的坐标和与y 轴的交点C 的坐标,把点C 代入直线2y x m =-+,求出m 的值,再求它与x 轴的交点A 的坐标,ABC 的面积用AB 乘OC 除以2得到;(2)用勾股定理求出BC 的平方,AC 的平方,再根据AB 的平方,用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形;(3)先根据角平分线求出D 的坐标,再去分两种情况构造全等三角形,利用全等三角形的性质求出对应的边长,从而得到点E 的坐标.【详解】解:(1)令0x =,则10222y =⨯+=, ∴()0,2C ,令0y =,则1202x +=,解得4x =-, ∴()4,0B -,将()0,2C 代入2y x m =-+,得2m =,∴22y x =-+,令0y =,则220x -+=,解得1x =,∴1,0A ,∴5AB =,2OC =, ∴152ABC S AB OC =⋅=△; (2)根据勾股定理,222224220BC BO OC =+=+=,22222125AC AO OC =+=+=,且22525AB ==,∴222AB BC AC =+,则ABC 是直角三角形;(3)∵CD 平分ACB ∠,∴12 AD AC BD BC==,∴1533AD AB==,∴23OD AD OA=-=,∴2,03D⎛⎫-⎪⎝⎭①如图,CED∠是直角,过点E作EN x⊥轴于点N,过点C作CM EN⊥于点M,由(2)知,90ACB∠=︒,∵CD平分ACB∠,∴45ECD∠=︒,∴CDE△是等腰直角三角形,∴CE DE=,∵90NED MEC∠+∠=︒,90NED NDE∠+∠=︒,∴MEC NDE∠=∠,在DNE△和EMC△中,NDE MECDNE EMCDE EC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()DNE EMC AAS≅,设DN EM x==,EN CM y==,根据图象列式:DO DN CMEN EM CO+=⎧⎨+=⎩,即232x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得2343xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴43EN CM==,∴44,33E⎛⎫-⎪⎝⎭;②如图,CDE ∠是直角,过点E 作EG x ⊥轴于点G ,同理CDE △是等腰直角三角形,且可以证得()CDO DEG AAS ≅,∴2DG CO ==,23EG DO ==, ∴28233GO GD DO =+=+=, ∴82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,综上:44,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭,82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查一次函数综合,解题的关键是掌握一次函数解析式的求解,与坐标轴交点的求解,图象围成的三角形面积的求解,还涉及勾股定理、角平分线的性质、全等三角形等几何知识,需要运用数形结合的思想去求解.27.(1)点A 坐标为(0,9);(2)△BOC 的面积=18;(3)①当t <8时,d =﹣98t+9,当t >8时,d =98t ﹣9;②12≤t≤1或7617≤t≤8017. 【解析】【分析】(1)将点B 坐标代入解析式可求直线AB 解析式,即可求点A 坐标;(2)联立方程组可求点C 坐标,即可求解;(3)由题意列出不等式组,可求解.【详解】解:(1)∵直线y =﹣34x+m 与y 轴交于点B (12,0), ∴0=﹣34×12+m , ∴m =9,∴直线AB的解析式为:y=﹣34x+9,当x=0时,y=9,∴点A坐标为(0,9);(2)由题意可得:38394y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,解得:83 xy=⎧⎨=⎩,∴点C(8,3),∴△BOC的面积=12×12×3=18;(3)①如图,∵点D的横坐标为t,∴点D(t,﹣34t+9),点E(t,38t),当t<8时,d=﹣34t+9﹣38t=﹣98t+9,当t>8时,d=38t+34t﹣9=98t﹣9;②∵以点H(12,t)、G(1,t)为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点,∴12≤t≤1或919829918t tt t⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪-+≥-⎪⎩,∴12≤t≤1或7617≤t≤8017.【点睛】本题是一次函数综合题,考查了待定系数法求解析式,三角形的面积公式,不等式组的应用,灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.28.90︒,45︒;20︒,30︒;2a γβ+=,2a γβ-=.【解析】【分析】(1)①如图①知1112EMC BMC ∠=∠,1112C MF C MC ∠=∠得 ()1112EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.(2)①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠,可推出11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠,即可求出解.②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠,可推出()112906090AMC ︒︒︒-+∠=,即可求出解. (3)如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知,a ββγ-=-、a ββγ-=+,即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.【详解】解:(1)①如图①中,1112EMC BMC ∠=∠,1112C MF C MC ∠=∠, ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=∠⨯=+∠=, 故答案为90︒. ②如图②中,111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠, ()111111904522EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯=, 故答案为45︒.(2)①如图③中由折叠可知,11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠,1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠,11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠,11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠,111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=;②如图④中根据折叠可知,11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠,112290CMF ABE A MC ︒∠+∠+∠=,112()90CMF ABE A MC ︒∴∠+∠+∠=,()1129090EMF AMC ︒︒∴-∠+∠=,()112906090AMC ︒︒︒∴-+∠=, 1130A MC ︒∴∠=;(3)如图⑤-1中,由折叠可知,a ββγ-=-,2a γβ∴+=;如图⑤-2中,由折叠可知,a ββγ-=+,2a γβ∴-=.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换,图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题,突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力,本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.29.(1)①点P ;②见解析;(2)①点C 的横坐标C x 的值为-3;②334k -≤<-【解析】【分析】(1)①在点P ,点Q 中,点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ,故S 关于点O 的“正矩点”为点P ;②利用新定义得点S 是点P 关于点M 的“正矩点”(答案不唯一);(2)①利用新定义结合题意画出符合题意的图形,利用新定义的性质证明△BCF ≌△AOB ,则FC=OB 求得点C 的横坐标;②用含k 的代数式表示点C 纵坐标,代入不等式求解即可.【详解】解:(1)①在点P ,点Q 中,点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ,故S 关于点O 的“正矩点”为点P ,故答案为点P ;②因为MP 绕M 点顺时针旋转90︒得MS ,所以点S 是点P 关于点M 的“正矩点”,同理还可以得点Q 是点P 关于点S 的“正矩点”.(任写一种情况就可以)(2)①符合题意的图形如图1所示,作CE ⊥x 轴于点E ,CF ⊥y 轴于点F ,可得 ∠BFC=∠AOB=90°.∵直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,∴点B 的坐标为3(0,3),(,0)B A k-在x 轴的正半轴上, ∵点A 关于点B 的“正矩点”为点(,)C C C x y ,∴∠ABC=90°,BC=BA ,∴∠1+∠2=90°,∵∠AOB=90°,∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.∴△BFC ≌△AOB ,∴3FC OB ==,可得OE =3.∵点A 在x 轴的正半轴上且3OA <,0C x ∴<,∴点C 的横坐标C x 的值为-3.②因为△BFC ≌△AOB ,3(,0)A k-,A 在x 轴正半轴上, 所以BF =OA ,所以OF =OB-OF =33k +点3(3,3)C k -+,如图2, -1<C y ≤2,即:-1<33k+ ≤2, 则334k -≤<-. 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用,涉及到三角形全等、解不等式,新定义等,此类新定义题目,通常按照题设的顺序,逐次求解.30.(1)60°;(2)EF=AF+FC,证明见解析;(3)AF=EF+2DF,证明见解析.【解析】【分析】(1)可设∠BAD=∠CAD=α,∠AEC=∠ACE=β,在△ACE中,根据三角形内角和可得2α+60+2β=180°,从而有α+β=60°,即可得出∠DFC的度数;(2)在EC上截取EG=CF,连接AG,证明△AEG≌△ACF,然后再证明△AFG为等边三角形,从而可得出EF=EG+GF=AF+FC;(3)在AF上截取AG=EF,连接BG,BF,证明方法类似(2),先证明△ABG≌△EBF,再证明△BFG为等边三角形,最后可得出结论.【详解】解:(1)∵AB=AC,AD为BC边上的中线,∴可设∠BAD=∠CAD=α,又△ABE为等边三角形,∴AE=AB=AC,∠EAB=60°,∴可设∠AEC=∠ACE=β,在△ACE中,2α+60°+2β=180°,∴α+β=60°,∴∠DFC=α+β=60°;(2)EF=AF+FC,证明如下:∵AB=AC,AD为BC边上的中线,∴AD⊥BC,∴∠FDC=90°,∵∠CFD=60°,则∠DCF=30°,∴CF=2DF,在EC上截取EG=CF,连接AG,又AE=AC,∴∠AEG=∠ACF,∴△AEG≌△ACF(SAS),∴∠EAG=∠CAF,AG=AF,又∠CAF=∠BAD,∴∠EAG=∠BAD,∴∠GAF=∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°,∴△AFG为等边三角形,∴EF=EG+GF=AF+FC,即EF=AF+FC;(3)补全图形如图所示,结论:AF=EF+2DF.证明如下:同(1)可设∠BAD=∠CAD=α,∠ACE=∠AEC=β,∴∠CAE=180°-2β,∴∠BAE=2α+180°-2β=60°,∴β-α=60°,∴∠AFC=β-α=60°,又△ABE为等边三角形,∴∠ABE=∠AFC=60°,∴由8字图可得:∠BAD=∠BEF,在AF上截取AG=EF,连接BG,BF,又AB=BE,∴△ABG≌△EBF(SAS),∴BG=BF,又AF垂直平分BC,∴BF=CF,∴∠BFA=∠AFC=60°,∴△BFG为等边三角形,∴BG=BF,又BC⊥FG,∴FG=BF=2DF,∴AF=AG+GF=BF+EF=2DF+EF.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识,解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形,属于中考常考题型.。
2022-2023学年江苏省无锡市八年级(上)期末数学试卷
2022-2023学年江苏省无锡市八年级(上)期末数学试卷考试时间:120分钟试卷满分:130分考试范围:第1章-第6章姓名:___________班级:___________考号:___________题号一二三总分得分评卷人得分一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)1.(3分)(2020春•兴化市月考)下列交通标志中,轴对称图形的是()A.B.C.D.2.(3分)(2020•甘肃)下列实数是无理数的是()A.﹣2B.C.D.3.(3分)(2022•南山区模拟)要使式子有意义,则q的取值范围是()A.q=7B.q≥7C.q≤7D.q≠74.(3分)(2020秋•曲沃县期末)下列各组数中能作为直角三角形三边长的是()A.8,8,15B.6,6,6C.6,8,10D.6,12,135.(3分)(2019秋•市中区期末)已知直线y=2x经过点(1,a),则a的值为()A.a=2B.a=﹣1C.a=﹣2D.a=16.(3分)(2022春•历城区期末)如图,按以下方法作一个角的平分线:(1)以O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA、OB于点M、N.(2)分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C.(3)画射线OC,射线OC即为所求.这种作图方法的依据是()A.AAS B.SAS C.SSS D.ASA7.(3分)(2020秋•红桥区期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,若AB=6,则△DEB的周长为()A.4B.6C.8D.108.(3分)(2019•碑林区校级模拟)若一次函数y=2x+m和y=2﹣x图象的交点位于第一象限,则m的取值范围是()A.﹣2<m<4B.﹣2≤m≤4C.﹣4<m<2D.﹣4≤m≤29.(3分)(2022春•邕宁区期末)如图,一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P.下列结论中,正确的有()①b<0②ac>0③当x>1时,ax+b>cx+d④a+b=c+d⑤c<dA.1个B.2个C.3个D.4个10.(3分)(2021秋•开福区校级期末)如图,△ABC中,∠C=90°,∠CAB的角平分线AD交BC于D,DE⊥AB于E,DE=2cm,且DB=4cm,则BC的长是()A.6cm B.4cm C.10cm D.以上都不对评卷人得分二.填空题(共8小题,满分16分,每小题2分)11.(2分)若第三象限内的点P(x,y)满足x=﹣,y=,则点P的坐标是.12.(2分)(2014春•高港区校级月考)写一个的同类二次根式.13.(2分)(2021秋•洮北区校级月考)已知点P(m﹣1,n+2)与点Q(2m﹣4,2)关于x轴对称,则(m+n)2021的值是.14.(2分)(2021春•庆阳期末)将函数y=﹣2x+1的图象平移,使它经过点(﹣2,0),则平移后的函数解析式是.15.(2分)(2019秋•禅城区期末)如图,一座城墙高11.7米,墙外有一个宽为9米的护城河,那么一个长为15米的云梯(填“能”或“否”)到达墙的顶端.16.(2分)(2021秋•蔡甸区期中)如图,△ABC中,AB=AC,∠B=50°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点F,将∠C沿EG(E在AC上,G在BC上)折叠,使点C与点F恰好重合,则∠FGE =.17.(2分)(2017秋•浦东新区期末)已知在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=﹣4x的图象经过点A (﹣3,m),点B在x轴的负半轴上,过点A作直线AC∥x轴,交∠AOB的平分线OC于点C,那么点C到直线OA的距离等于.18.(2分)(2021秋•武侯区期末)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=2x+4的图象分别与x轴,y轴相交于A,B两点.将直线AB绕点A逆时针旋转45°后,与y轴交于点C,则点C的坐标为.评卷人得分三.解答题(共10小题,满分84分)19.(16分)(2022春•沙依巴克区校级期末)(1)用适当的方法解方程:4x2﹣1=0;(2)计算:+||﹣.20.(8分)(2021春•沙坪坝区校级期末)(1)化简:(2x+y)2﹣x(x+4y);(3)化简:a﹣1+÷.(4)21.(6分)(2020秋•龙海市校级月考)先化简再求值:,其中x=﹣2,y=+2.22.(6分)(2010•新建区校级模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,(1)添加一个条件,使DE=DF;(2)证明(1)的结论.23.(6分)(2019秋•温岭市期中)如图,△ABC中,AB=AC,(1)请你利用直尺和圆规完成如下操作:①作△ABC的角平分线AD;②作边AB的垂直平分线EF,EF与AD相交于点P;③连接PB,PC.请你观察图形解答下列问题:(2)线段P A,PB,PC之间的数量关系是;请说明理由.(3)若∠ABC=70°,求∠BPC的度数.24.(6分)(2021春•庆阳期末)如图,直线y=x+5与x轴交于点A,直线y=﹣x+b与x轴交于点B(1,0),且这两条直线交于点C.(1)求直线BC的解析式和点C的坐标;(2)求△ABC的面积.25.(6分)(2021秋•岚皋县期末)如图,△ABC和△DCE都是等边三角形,且B,C,D三点在一条直线上,连接AD,BE相交于点P.(1)求证:BE=AD.(2)求∠APB的度数.26.(10分)2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震.某市接到上级通知,立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区,乙组由于要携带物资,比甲组迟出发1.25小时(从甲组出发时开始计时).图中的折线分别表示甲、乙两组所走路程y甲(千米),y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系对应的图象.请根据图象所提供的信息,解决下列问题:乙(1)由于汽车发生故障,甲组在途中停留了小时;(2)求线段EF所在直线的解析式;(3)求线段BD所在直线的解析式;(4)甲组的汽车排除故障后,立即提速赶往灾区,请问甲组的汽车在排除故障时,距出发点的路程是多少千米?27.(10分)(2022春•青浦区校级期中)已知长方形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),点A,C 分别在坐标轴上,P是线段BC上的动点,设PC=m,(1)已知点D在第一象限且是直线y=2x+6上的一点,设D点横坐标为n,则D点纵坐标可用含n的代数式表示为,此时若△APD是等腰直角三角形,求点D的坐标;(2)直线y=2x+b过点(3,0),请问在该直线上,是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形?若存在,请直接写出这些点的坐标,若不存在,请说明理由.。
江苏省无锡市八年级上数学期末试卷
江苏省无锡市八年级上数学期末试卷一、选择题1.已知等腰三角形的两边长分别为3和4,则它的周长为( ) A .10B .11C .10或11D .72.如图,以Rt ABC ∆的三边为边,分别向外作正方形,它们的面积分别为1S 、2S 、3S ,若12316S S S ++=,则1S 的值为( )A .7B .8C .9D .103.估计()-⋅1230246的值应在( ) A .1和2之间B .2和3之间C .3和4之间D .4和5之间4.下列四个图形中轴对称图形的个数是( )A .1B .2C .3D .45.给出下列实数:227、25-、39、 1.44、2π、0.16、0.1010010001-⋯(每相邻两个1之间依次多一个0),其中无理数有( )A .2个B .3个C .4个D .5个 6.点(2,-3)关于原点对称的点的坐标是( ) A .(-2,3)B .(2,3)C .(-3,-2)D .(2,-3)7.下列式子中,属于最简二次根式的是( ) A .12B .0.5C .52D .128.下列各数中,无理数是( ) A .π B .C .D .9.将直线y =12x ﹣1向右平移3个单位,所得直线是( )A .y =12x +2 B .y =12x ﹣4 C .y =12x ﹣52D .y =12x +1210.2的算术平方根是() A .4B .±4C .2D .2±二、填空题11.如果点P (m+1,m+3)在y 轴上,则m=_____.12.等腰三角形中有一个角的度数为40°,则底角为_____________. 13.在ABC ∆中,13AC BC ==, 10AB =,则ABC ∆面积为_______. 14. 在实数范围内分解因式35x x -=___________.15.在一次函数(1)5y k x =-+中,y 随x 的增大而增大,则k 的取值范围__________.16.若分式293x x --的值为0,则x 的值为_______.17.已知点(,)P m n 在一次函数31y x =-的图像上,则2296m mn n -+=___________.18.如图,△ABC 中,AD 平分∠BAC ,AB =4,AC =2,且△ABD 的面积为2,则△ABC 的面积为_________.19.如图,△ABC 中,AB =AC ,AB 的垂直平分线分别交边AB ,BC 于D ,E 点,且AC =EC ,则∠BAC =_____.20.已知A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)是一次函数y =(2﹣m )x +3图象上两点,且(x 1﹣x 2)(y 1﹣y 2)<0,则m 的取值范围为_____.三、解答题21.解方程:21142x xx x --=-+ 22.已知y 是x 的函数,自变量x 的取值范围是x >0,下表是y 与x 的几组对应值. x ··· 1 2 3 5 7 9 ··· y···1.983.952.631.581.130.88···小腾根据学习一次函数的经验,利用上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究.下面是小腾的探究过程,请补充完整:(1)如图,在平面直角坐标系xOy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;(2)根据画出的函数图象,写出: ①x =4对应的函数值y 约为________; ②该函数的一条性质:__________________. 23.先化简,再求值:()3212m m m ⎛⎫++÷+ ⎪-⎝⎭,其中22m -≤≤且m 为整数.请你从中选取一个喜欢的数代入求值.24.小明骑自行车从甲地到乙地,图中的折线表示小明行驶的路程()km s 与所用时间()h t 之间的函数关系.试根据函数图像解答下列问题:(1)小明在途中停留了____h ,小明在停留之前的速度为____km/h ; (2)求线段BC 的函数表达式;(3)小明出发1小时后,小华也从甲地沿相同路径匀速向乙地骑行,6t =h 时,两人同时到达乙地,求t 为何值时,两人在途中相遇.25.为缓解油价上涨给出租车待业带来的成本压力,某巿自2018年11月17日起,调整出租车运价,调整方案见下列表格及图象(其中a ,b ,c 为常数)行驶路程收费标准调价前调价后 不超过3km 的部分起步价6元起步价a 元 超过3km 不超出6km 的部分 每公里2.1元每公里b 元超出6km的部分每公里c元设行驶路程xkm时,调价前的运价y1(元),调价后的运价为y2(元)如图,折线ABCD 表示y2与x之间的函数关系式,线段EF表示当0≤x≤3时,y1与x的函数关系式,根据图表信息,完成下列各题:(1)填空:a= ,b= ,c= .(2)写出当x>3时,y1与x的关系,并在上图中画出该函数的图象.(3)函数y1与y2的图象是否存在交点?若存在,求出交点的坐标,并说明该点的实际意义,若不存在请说明理由.四、压轴题26.(1)在等边三角形ABC中,①如图①,D,E分别是边AC,AB上的点且AE=CD,BD与EC交于点F,则∠BFE的度数是度;②如图②,D,E分别是边AC,BA延长线上的点且AE=CD,BD与EC的延长线交于点F,此时∠BFE的度数是度;(2)如图③,在△ABC中,AC=BC,∠ACB是锐角,点O是AC边的垂直平分线与BC的交点,点D,E分别在AC,OA的延长线上,AE=CD,BD与EC的延长线交于点F,若∠ACB=α,求∠BFE的大小.(用含α的代数式表示).27.直角三角形ABC中,∠ACB=90°,直线l过点C.(1)当AC=BC时,如图①,分别过点A、B作AD⊥l于点D,BE⊥l于点E.求证:△ACD≌△CBE.(2)当AC=8,BC=6时,如图②,点B与点F关于直线l对称,连接BF,CF,动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动,同时动点N从点F出发,以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动,点M、N到达相应的终点时停止运动,过点M作MD⊥l于点D,过点N作NE⊥l于点E,设运动时间为t秒.①CM=,当N在F→C路径上时,CN=.(用含t的代数式表示)②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值.28.在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛,它们同时出发,分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行,其中一只蜗牛爬到终点时,另一只也停止运动,经过t分钟后,它们分别爬行到D、E处,请问:(1)如图1,在爬行过程中,CD和BE始终相等吗,请证明?(2)如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”,改为“沿着AB和CA的延长线爬行”,EB与CD交于点Q,其他条件不变,蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变,请利用图2说明:∠CQE=60°;(3)如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行,连接DE交AC于F”,其他条件不变,如图3,则爬行过程中,证明:DF=EF29.如图,在平面直角坐标系中,直线AB经过点A(32,32)和B3,0),且与y轴交于点D,直线OC与AB交于点C,且点C3.(1)求直线AB 的解析式;(2)连接OA ,试判断△AOD 的形状;(3)动点P 从点C 出发沿线段CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O 运动,运动时间为t 秒,同时动点Q 从点O 出发沿y 轴的正半轴以相同的速度运动,当点Q 到达点D 时,P ,Q 同时停止运动.设PQ 与OA 交于点M ,当t 为何值时,△OPM 为等腰三角形?求出所有满足条件的t 值.30.如图已知ABC 中,,8B C AB AC ∠=∠==厘米,6BC =厘来,点D 为AB 的中点.如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动,设运动时间为t (秒). (1)用含t 的代数式表示线段PC 的长度;(2)若点,P Q 的运动速度相等,经过1秒后,BPD △与CQP 是否全等,请说明理由;(3)若点,P Q 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使BPD △与CQP 全等?(4)若点Q 以(3)中的运动速度从点C 出发,点v 以原来的运动速度从点B 同时出发,都顺时针沿三边运动,求经过多长时间,点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇?【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】可分3是腰长与底边,两种情况讨论求解即可. 【详解】解:①3是腰长时,三角形的三边分别为:3、3、4, 能组成三角形,周长=3+3+4=10,②3是底边时,三角形的三边分别为3、4、4, 能组成三角形,周长=3+4+4=11, ∴三角形的周长为10或11. 故选择:C . 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键,难点在于要分情况讨论.2.B解析:B 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式及勾股定理即可求得结果. 【详解】因为是以Rt ABC ∆的三边为边,分别向外作正方形, 所以AB 2=AC 2+BC 2 所以123S S S =+ 因为12316S S S ++= 所以1S =8 故选:B 【点睛】考核知识点:勾股定理应用.熟记并理解勾股定理是关键.3.B解析:B 【解析】【分析】先利用分配律进行计算,然后再进行化简,根据化简的结果即可确定出值的范围.【详解】(==2,而,所以2<2-<3,所以估计(2和3之间, 故选B.【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小,熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.4.C解析:C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【详解】解:根据轴对称图形的定义可知:第1,2,3个图形为轴对称图形,第4个图形不是轴对称图形,轴对称图共3个, 故选:C . 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.5.B解析:B 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数,可得答案. 【详解】解:−5,实数:227、2π、0.16、0.1010010001-⋯(每相邻两个1之间依次多一个02π、-0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0)共3个.故选:B.【点睛】本题考查了无理数,无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.6.A解析:A【解析】【分析】根据关于原点对称点的坐标特点:两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得答案.【详解】解:在平面直角坐标系中,关于原点对称的两点横坐标和纵坐标均满足互为相反数, 点(2,-3)关于原点对称的点的坐标是(-2,3).故选A.【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标,熟练掌握坐标特征是解题的关键.7.C解析:C【解析】A. 12=22,被开方数含分母,不是最简二次根式,故本选项错误;B. 0.5=12,被开方数含分母,不是最简二次根式,故本选项错误;C.52,是最简二次根式,故本选项正确;D. 12= 23,被开方数含能开得尽方的因数,不是最简二次根式,故本选项错误;故选C.8.A解析:A【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.【详解】A. π是无理数;B. =2,是有理数;C. 是有理数;D. =2,是有理数.故选:A.【点睛】此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.9.C解析:C【解析】【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可.【详解】由“左加右减”的原则可知,将直线y=12x﹣1向右平移3个单位,所得直线的表达式是y=12(x﹣3)﹣1,即y=12x﹣52.故选:C.【点睛】此题主要考查一次函数的平移,熟练掌握平移规律,即可解题. 10.C解析:C【解析】【分析】根据算术平方根的定义求解即可.【详解】解:22故选C.【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义,熟练掌握概念是解题的关键.二、填空题11.﹣1.【解析】∵点P(m+1,m+3)在y轴上,∴m+1=0,∴m=-1.故答案为:-1.解析:﹣1.【解析】∵点P(m+1,m+3)在y轴上,∴m+1=0,∴m=-1.故答案为:-1.12.40°或70°【解析】解:当40°的角为等腰三角形的顶角时,底角的度数=(180°-40°)÷2=70°;当40°的角为等腰三角形的底角时,其底角为40°,故它的底角的度数是70°或40°.故解析:40°或70°【解析】解:当40°的角为等腰三角形的顶角时,底角的度数=(180°-40°)÷2=70°;当40°的角为等腰三角形的底角时,其底角为40°,故它的底角的度数是70°或40°.故答案为:40°或70°.点睛:此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握,由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角,所以要采用分类讨论的思想.13.60【解析】【分析】根据题意可以判断为等腰三角形,利用勾股定理求出AB边的高,即可得到答案. 【详解】如图作出AB边上的高CD∵AC=BC=13, AB=10,∴△ABC是等腰三角形,解析:60【解析】【分析】为等腰三角形,利用勾股定理求出AB边的高,即可得到答案.根据题意可以判断ABC【详解】如图作出AB边上的高CD∵AC=BC=13, AB=10,∴△ABC 是等腰三角形,∴AD=BD=5,根据勾股定理 CD 2=AC 2-AD 2,,12ABC SCD AB =⋅=112102⨯⨯=60, 故答案为:60.【点睛】 此题主要考查了等腰三角形的判定及勾股定理,关键是判断三角形的形状,利用勾股定理求出三角形的高.14.【解析】提取公因式后利用平方差公式分解因式即可,即原式=.故答案为解析:(x x x -【解析】提取公因式后利用平方差公式分解因式即可,即原式=2(5)(x x x x x -=-.故答案为(.x x x15.【解析】【分析】根据一次函数的性质,即可求出k 的取值范围.【详解】解:∵一次函数中,随的增大而增大,∴,∴;故答案为:.【点睛】本题考查了一次函数的性质,解题的关键是熟练掌握一次解析:1k >【解析】【分析】根据一次函数的性质,即可求出k 的取值范围.【详解】解:∵一次函数(1)5y k x =-+中,y 随x 的增大而增大,∴10k ->,∴1k >;【点睛】本题考查了一次函数的性质,解题的关键是熟练掌握一次函数的性质进行解题. 16.-3【解析】【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值.【详解】解:根据题意得:,解得:x=-3.故答案为:-3.【点睛】若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2解析:-3【解析】【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值.【详解】解:根据题意得:29=030 xx⎧-⎨-≠⎩,解得:x=-3.故答案为:-3.【点睛】若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.17.1【解析】【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标性质直接代入求出即可.【详解】把x=m,y=n代入y=3x-1,可得:n=3m-1,把n=3m-1代入===.【解析:1【解析】【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标性质直接代入求出即可.【详解】把x=m ,y=n 代入y=3x-1,可得:n=3m-1,把n=3m-1代入2296m mn n -+=223196())31(m m m m -+--=2229186196m m m m m -++-+=1.故答案为:1.【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质,正确代入点的坐标求出是解题关键. 18.3;【解析】【分析】过D 作DE⊥AB 于E ,DF⊥AC 于F ,由面积可求得DE ,根据角平分线的性质可求得DF ,可求得△ACD 的面积,进而求△ABC 的面积.【详解】解:过点D 作DE⊥AB 于E ,解析:3;【解析】【分析】过D 作DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,由面积可求得DE ,根据角平分线的性质可求得DF ,可求得△ACD 的面积,进而求△ABC 的面积.【详解】解:过点D 作DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,∵S △ABD =2∴12AB•DE=2,又∵AB=4∴12×4×DE=2,解得DE=1,∵AD平分∠BAC,且DE⊥AB,DF⊥AC ∴DF=DE=1,∴S△ACD=12AC•DF=12×2×1=1,∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=2+1=3故答案为:3.【点睛】本题主要考查角平分线的性质,掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.19.108°【解析】【分析】连接AE,多次利用等腰三角形的等边对等角的性质得到相等的角,然后在三角形ABC中利用三角形内角和求得∠C的度数,从而求得答案.【详解】连接AE,如图所示:∵AB解析:108°【解析】【分析】连接AE,多次利用等腰三角形的等边对等角的性质得到相等的角,然后在三角形ABC中利用三角形内角和求得∠C的度数,从而求得答案.【详解】连接AE,如图所示:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AB的垂直平分线分别交边AB,BC于D,E点,∴AE=BE,∴∠B=∠BAE,∵AC =EC ,∴∠EAC =∠AEC ,设∠B =x °,则∠EAC =∠AEC =2x °,则∠BAC =3x °,在△AEC 中,x +2x +2x =180,解得:x =36,∴∠BAC =3x °=108°,故答案为:108°.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质,解题关键是利用三角形内角和构建方程.20.m >2.【解析】【分析】根据(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0,得出y 随x 的增大而减小,再根据2﹣m <0,求出其取值范围即可.【详解】(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0,即:或,也就是,y解析:m >2.【解析】【分析】根据(x 1﹣x 2)(y 1﹣y 2)<0,得出y 随x 的增大而减小,再根据2﹣m <0,求出其取值范围即可.【详解】(x 1﹣x 2)(y 1﹣y 2)<0,即:121200x x y y >⎧⎨<⎩﹣﹣或121200x x y y <⎧⎨>⎩﹣﹣, 也就是,y 随x 的增大而减小,因此,2﹣m <0,解得:m >2,故答案为:m >2.【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质,掌握一次函数的增减性以及适当的转化是解决问题的关键.三、解答题21.3x =【解析】【分析】将分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x 的值,经检验即可得到分式方程的解.【详解】 21142x x x x --=-+, 方程两边同时乘以(2)(2)x x +-,得2(1)(2)4x x x x ---=-,解这个方程,得3x =.验证:当3x =时,(2)(2)0x x +-≠ ∴原方程的解为:3x =.【点睛】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.22.(1)作图见解析;(2)①2(2.1到1.8之间都正确);②该函数有最大值(其他正确性质都可以).【解析】试题分析:(1)描点即可作出函数的图象;(2)①观察图象可得出结论;②观察图象可得出结论.试题解析:(1)如下图:(2)①2(2.1到1.8之间都正确)②该函数有最大值(其他正确性质都可以).考点:函数图象,开放式数学问题.23.12m m --;当0m =时,原式12= 【解析】【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子,然后从22m -≤≤且m 为整数中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题.【详解】 解:3212m m m 223121m m m m 243211m m m 11112m m m m21m m , ∵22m -≤≤且m 为整数, ∴当m=0时,原式011022【点睛】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.24.(1)2,10;(2)s=15t-40(45)t ≤≤;(3)t=3h 或t=6h.【解析】【分析】(1)由图象中的信息可知:小明从第2小时到第4小时行驶的路程没有发生变化,所以途中停留了2h ;小明2小时内行驶的路程是20 km ,据此可以求出他的速度;(2)由图象可知:B(4,20),C(5,35),设线段BC 的函数表达式为s=kt+b,代入后得到方程组,解方程组即可;(3)先求出从甲地到乙地的总路程,现求小华的速度,然后分三种情况讨论两人在途中相遇问题.当02t <≤时, 10t=10(t-1);当24t <<时, 20=10(t-1);当46t ≤≤时, 15t-40=10(t-1);逐一求解即可.【详解】解:(1)由图象可知:小明从第2小时到第4小时行驶的路程没有发生变化,所以途中停留了2h ;由图象可知:小明2小时内行驶的路程是20 km ,所以他的速度是20210÷=(km/ h );故答案是:2;10.(2)设线段BC 的函数表达式为s=kt+b,由图象可知:B(4,20),C(5,35), ∴420535k b k b +=⎧⎨+=⎩,∴1540k b =⎧⎨=-⎩, ∴线段BC 的函数表达式为s=15t-40(45)t ≤≤;(3)在s=15t-40中,当t=6时,s=15×6-40=50,∴从甲地到乙地全程为50 km ,∴小华的速度=50(61)10÷-=(km/ h ),下面分三种情况讨论两人在途中相遇问题:当02t <≤时,两人在途中相遇,则10t=10(t-1),方程无解,不合题意,舍去;当24t <<时,两人在途中相遇,则20=10(t-1),解得t=3;当46t ≤≤时,两人在途中相遇,则15t-40=10(t-1),解得t=6;∴综上所述,当t=3h 或t=6h 时,两人在途中相遇.【点睛】本题考查了一次函数的应用,能够正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,解题关键是理解一些关键点的含义,并结合实际问题数量关系进行求解.25.(1)7,1.4,2.1;(2)y 1=2.1x ﹣0.3;图象见解析;(3)函数y 1与y 2的图象存在交点(317,9);其意义为当 x <317时是方案调价前合算,当x >317时方案调价后合算. 【解析】【分析】 (1)a 由图可直接得出;b 、c 根据:运价÷路程=单价,代入数值,求出即可;(2)当x >3时,y 1与x 的关系,由两部分组成,第一部分为起步价6,第二部分为(x ﹣3)×2.1,所以,两部分相加,就可得到函数式,并可画出图象;(3)当y 1=y 2时,交点存在,求出x 的值,再代入其中一个式子中,就能得到y 值;y 值的意义就是指运价.【详解】①由图可知,a=7元,b=(11.2﹣7)÷(6﹣3)=1.4元,c=(13.3﹣11.2)÷(7﹣6)=2.1元,故答案为7,1.4,2.1;②由图得,当x >3时,y 1与x 的关系式是:y 1=6+(x ﹣3)×2.1,整理得,y 1=2.1x ﹣0.3,函数图象如图所示:③由图得,当3<x<6时,y2与x的关系式是:y2=7+(x﹣3)×1.4,整理得,y2=1.4x+2.8;所以,当y1=y2时,交点存在,即,2.1x﹣0.3=1.4x+2.8,解得,x=317,y=9;所以,函数y1与y2的图象存在交点(317,9);其意义为当 x<317时是方案调价前合算,当 x>317时方案调价后合算.【点睛】本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用,根据题意中的等量关系建立函数关系式,根据函数解析式求得对应的x的值,根据解析式作出函数图象,运用数形结合思想等,熟练运用相关知识是解题的关键.四、压轴题26.(1)①60°;②60°;(2)∠BFE =α.【解析】【分析】(1)①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD,再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF;②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF,再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA;(2)证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D,则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.【详解】(1)如图①中,∵△ABC是等边三角形,∴AC=CB,∠A=∠BCD=60°,∵AE=CD,∴△ACE≌△CBD,∴∠ACE=∠CBD,∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°.故答案为60.(2)如图②中,∵△ABC是等边三角形,∴AC=CB,∠A=∠BCD=60°,∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD,∴△ACE≌△CBD,∴∠ACE=∠CBD=∠DCF,∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°.故答案为60.(3)如图③中,∵点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点,∴OC=OA ,∴∠EAC=∠DCB=α,∵AC=BC ,AE=CD ,∴△AEC ≌△CDB ,∴∠E=∠D ,∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.【点睛】本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.27.(1)证明见解析;(2)①CM =8t -,CN =63t -;②t =3.5或5或6.5.【解析】【分析】(1)根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ,利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ;(2)①由折叠的性质可得出答案;②动点N 沿F→C 路径运动,点N 沿C→B 路径运动,点N 沿B→C 路径运动,点N 沿C→F 路径运动四种情况,根据全等三角形的判定定理列式计算.【详解】(1)∵AD ⊥直线l ,BE ⊥直线l ,∴∠DAC+∠ACD=90°,∵∠ACB=90°,∴∠BCE+∠ACD=90°,∴∠DAC=∠ECB ,在△ACD 和△CBE 中,ADC CEB DAC ECB CA CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△ACD ≌△CBE (AAS );(2)①由题意得,AM=t ,FN=3t ,则CM=8-t ,由折叠的性质可知,CF=CB=6,∴CN=6-3t ;故答案为:8-t ;6-3t ;②由折叠的性质可知,∠BCE=∠FCE ,∵∠MCD+∠CMD=90°,∠MCD+∠BCE=90°,∴∠NCE=∠CMD ,∴当CM=CN 时,△MDC 与△CEN 全等,当点N 沿F→C 路径运动时,8-t=6-3t ,解得,t=-1(不合题意),当点N 沿C→B 路径运动时,CN=3t-6,则8-t=3t-6,解得,t=3.5,当点N沿B→C路径运动时,由题意得,8-t=18-3t,解得,t=5,当点N沿C→F路径运动时,由题意得,8-t=3t-18,解得,t=6.5,综上所述,当t=3.5秒或5秒或6.5秒时,△MDC与△CEN全等.【点睛】本题考查了折叠的性质,全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理,灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.28.(1)相等,证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)先证明△ACD≌△CBE,再由全等三角形的性质即可证得CD=BE;(2)先证明△BCD≌△ABE,得到∠BCD=∠ABE,求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC,∠CQE=180°-∠DQB,即可解答;(3)如图3,过点D作DG∥BC交AC于点G,根据等边三角形的三边相等,可以证得AD=DG=CE;进而证明△DGF和△ECF全等,最后根据全等三角形的性质即可证明.【详解】(1)解:CD和BE始终相等,理由如下:如图1,AB=BC=CA,两只蜗牛速度相同,且同时出发,∴CE=AD,∠A=∠BCE=60°在△ACD与△CBE中,AC=CB,∠A=∠BCE,AD=CE∴△ACD≌△CBE(SAS),∴CD=BE,即CD和BE始终相等;(2)证明:根据题意得:CE=AD,∵AB=AC,∴AE=BD,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠BAC=∠ACB=60°,∵∠EAB+∠ABC=180°,∠DBC+∠ABC=180°,∴∠EAB=∠DBC,在△BCD和△ABE中,BC=AB,∠DBC=∠EAB,BD=AE∴△BCD≌△ABE(SAS),∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°,∴∠CQE=180°-∠DQB=60°,即CQE=60°;(3)解:爬行过程中,DF始终等于EF是正确的,理由如下:如图,过点D作DG∥BC交AC于点G,∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°,∠GDF=∠E,∴△ADG为等边三角形,∴AD=DG=CE,在△DGF和△ECF中,∠GFD=∠CFE,∠GDF=∠E,DG=EC∴△DGF≌△EDF(AAS),∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质;题弄懂题中所给的信息,再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键.29.(1)y 3+2;(2)△AOD为直角三角形,理由见解析;(3)t=2323.【解析】【分析】(1)将点A、B的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b,即可求解;(2)由点A、O、D的坐标得:AD2=1,AO2=3,DO2=4,故DO2=OA2+AD2,即可求解;(3)点C3,1),∠DBO=30°,则∠ODA=60°,则∠DOA=30°,故点C3 1),则∠AOC=30°,∠DOC=60°,OQ=CP=t,则OP=2﹣t.①当OP=OM时,OQ=QH+OH 3(2﹣t)+12(2﹣t)=t,即可求解;②当MO=MP时,∠OQP=90°,故OQ=12O P,即可求解;③当PO=PM时,故这种情况不存在.【详解】解:(1)将点A、B的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b得:33203bk b ⎧+⎪⎨⎪=+⎩,解得:3 =32kb⎧⎪⎨⎪=⎩,故直线AB的表达式为:y 3+2;(2)直线AB的表达式为:y=﹣33x+2,则点D(0,2),由点A、O、D的坐标得:AD2=1,AO2=3,DO2=4,故DO2=OA2+AD2,故△AOD为直角三角形;(3)直线AB的表达式为:y=﹣33x+2,故点C(3,1),则OC=2,则直线AB的倾斜角为30°,即∠DBO=30°,则∠ODA=60°,则∠DOA=30°故点C(3,1),则OC=2,则点C是AB的中点,故∠COB=∠DBO=30°,则∠AOC=30°,∠DOC=60°,OQ=CP=t,则OP=OC﹣PC=2﹣t,①当OP=OM时,如图1,则∠OMP=∠MPO=12(180°﹣∠AOC)=75°,故∠OQP=45°,过点P作PH⊥y轴于点H,则OH=12OP=12(2﹣t),由勾股定理得:PH 32﹣t)=QH,OQ=QH+OH 32﹣t)+12(2﹣t)=t,解得:t 23;②当MO=MP时,如图2,则∠MPO=∠MOP=30°,而∠QOP=60°,∴∠OQP=90°,故OQ=12OP,即t=12(2﹣t),解得:t=23;③当PO=PM时,则∠OMP=∠MOP=30°,而∠MOQ=30°,故这种情况不存在;综上,t=2323.【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一次函数解析式、勾股定理、含30°的角的直角三角形的性质等知识点,还利用了方程和分类讨论的思想,综合性较强,难度较大,解题的关键是学会综合运用性质进行推理和计算.30.(1)6-2t;(2)全等,理由见解析;(3)83;(4)经过24s后,点P与点Q第一次在ABC的BC边上相遇【解析】【分析】(1)根据题意求出BP,由PC=BC-BP,即可求得;(2)根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中,点运动轨迹的边长,由∠B=∠C,利用SAS判定BPD△和CQP全等即可;(3)根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系,得出BP=PC,再根据路程=速度×时间公式,求点P的运动时间,然后求点Q的运动速度即得;(4)求出点P、Q的路程,根据三角形ABC的三边长度,即可得出答案.【详解】(1)由题意知,BP=2t,则PC=BC-BP=6-2t,故答案为:6-2t;(2)全等,理由如下:∵p Q V V =,t=1,∴BP=2=CQ ,∵AB=8cm ,点D 为AB 的中点,∴BD=4(cm ),又∵PC=BC-BP=6-2=4(cm ),在BPD △和CQP 中BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BPD △≌CQP (SAS )故答案为:全等.(3)∵p Q V V ≠,∴BP CQ ≠,又∵BPD △≌CPQ ,∠B=∠C ,∴BP=PC=3cm ,CQ=BD=4cm ,∴点,P Q 运动时间322BP t ==(s ), ∴48332Q CQ V t===(cm/s ), 故答案为:83; (4)设经过t 秒时,P 、Q 第一次相遇,∵2/p V cm s =,8/3Q V cm s =, ∴2t+8+8=83t ,解得:t=24此时点Q 走了824643⨯=(cm ),∵ABC 的周长为:8+8+6=22(cm ),∴6422220÷=,∴20-8-8=4(cm ),经过24s 后,点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇,故答案为:24s ,在 BC 边上相遇.【点睛】考查了全等三角形的判定和性质,路程,速度,时间的关系,全等三角形中的动点问题,动点的追及问题,熟记三角形性质和判定,熟练掌握全等的判定依据和动点的运动规律是解题的关键,注意动点中追及问题的方向.。
江苏省无锡市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)
江苏省无锡市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)一、选择题1.下列四组线段a 、b 、c ,不能组成直角三角形的是( ) A .4,5,3a b c === B . 1.5,2, 2.5a b c === C .5,12,13a b c ===D .1,2,3a b c ===2.当12(1)a -+与13(2)a --的值相等时,则( )A .5a =-B .6a =-C .7a =-D .8a =-3.下列图案中,属于轴对称图形的是( ) A .B .C .D .4.在平面直角坐标系中,把直线23y x =-沿y 轴向上平移2个单位后,所得直线的函数表达式为( ) A .22y x =+B .25y x =-C .21y x =+D .21y x =-5.下列实数中,无理数是( ) A .227B .3πC .4-D 3276.下列说法正确的是( ) A .(﹣3)2的平方根是3 B 16±4 C .1的平方根是1 D .4的算术平方根是27.在平面直角坐标系中,将函数3y x =的图象向上平移6个单位长度,则平移后的图象与x 轴的交点坐标为( ) A .(2,0) B .(-2,0) C .(6,0) D .(-6,0) 8.下列一次函数中,y 随x 增大而增大的是( )A .y=﹣3xB .y=x ﹣2C .y=﹣2x+3D .y=3﹣x9.小明体重为 48.96 kg ,这个数精确到十分位的近似值为( ) A .48 kgB .48.9 kgC .49 kgD .49.0 kg10.下列分式中,x 取任意实数总有意义的是( )A .21x x+B .221(2)x x -+C .211xx -+ D .2x x + 二、填空题11.关于x 的分式方程211x ax +=+的解为负数,则a 的取值范围是_________. 12.地球的半径约为6371km ,用科学记数法表示约为_____km .(精确到100km )13.若等腰三角形的两边长为10cm,5cm,则周长为__________cm.14.已知点P(m﹣2,2m﹣1)在第二象限,则实数m的取值范围是_____.15.如果2x-有意义,那么x可以取的最小整数为______.16.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC 边上一动点,则DP长的最小值为.17.点(−1,3)关于x轴对称的点的坐标为____.18.已知某地的地面气温是20℃,如果每升高1000m气温下降6℃,则气温t(℃)与高度h(m)的函数关系式为_____.19.如图,已知直线l1:y=kx+4交x轴、y轴分别于点A(4,0)、点B(0,4),点C为x轴负半轴上一点,过点C的直线l2:12y x n=+经过AB的中点P,点Q(t,0)是x轴上一动点,过点Q作QM⊥x轴,分别交l1、l2于点M、N,当MN=2MQ时,t的值为_____.20.一个正方形的边长增加2cm,它的面积就增加24cm,这个正方形的边长是______cm.三、解答题21.一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发,匀速相向而行,两车在途中相遇后都停留一段时间,然后分别按原速一同驶往甲地后停车.设慢车行驶的时间为x小时,两车之间的距离为y千米,图中折线表示y与x之间的函数图象,请根据图象解决下列问题:(1)甲乙两地之间的距离为 千米; (2)求快车和慢车的速度;(3)求线段DE 所表示的y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.22.已知y 是x 的函数,自变量x 的取值范围是x >0,下表是y 与x 的几组对应值. x ··· 1 2 3 5 7 9 ··· y···1.983.952.631.581.130.88···小腾根据学习一次函数的经验,利用上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究.下面是小腾的探究过程,请补充完整:(1)如图,在平面直角坐标系xOy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;(2)根据画出的函数图象,写出: ①x =4对应的函数值y 约为________; ②该函数的一条性质:__________________.23.如图,在ABC ∆中,4AB =,8BC =,AC 的垂直平分线交AC 于点D ,交BC 于点E ,3CE =,连接AE . (1)求证:ABE ∆是直角三角形; (2)求ACE ∆的面积.24.如图,△ABC 中,∠ABC =30°,∠ACB =50°,DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线,E 、G 分别为垂足. (1)求∠DAF 的度数;(2)若△DAF 的周长为10,求BC 的长.25.快车和慢车都从甲地驶向乙地,两车同时出发行在同一条公路上,途中快车休息1小时后加速行驶比慢车提前0.5小时到达目的地,慢车没有体息整个行驶过程中保持匀速不变.设慢车行驶的时间为x 小时,快车行驶的路程为y 1千米,慢车行驶的路程为y 2千米,图中折线OAEC 表示y 1与x 之间的函数关系,线段OD 表示y 2与x 之间的函数关系,请解答下列问题:(1)甲、乙两地相距 千米,快车休息前的速度是 千米/时、慢车的速度是 千米/时;(2)求图中线段EC 所表示的y 1与x 之间的函数表达式;(3)线段OD 与线段EC 相交于点F ,直接写出点F 的坐标,并解释点F 的实际意义.四、压轴题26.定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点(),A a b ,(),B c d ,若点(),T x y 满足3a c x +=,3b dy +=那么称点T 是点A ,B 的融合点.例如:()1,8A -,()4,2B -,当点(),T x y 满足1413x -+==,()8223y +-==时,则点()1,2T 是点A ,B 的融合点.(1)已知点()1,5A -,()7,4B ,()2,3C ,请说明其中一个点是另外两个点的融合点. (2)如图,点()4,0D ,点(),25E t t +是直线l 上任意一点,点(),T x y 是点D ,E 的融合点.①试确定y 与x 的关系式;②在给定的坐标系xOy 中,画出①中的函数图象;③若直线ET 交x 轴于点H .当DTH 为直角三角形时,直接写出点E 的坐标.27.如图,A 点的坐标为(0,3),B 点的坐标为(﹣3,0),D 为x 轴上的一个动点且不与B ,O 重合,将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得线段AE ,使得AE ⊥AD ,且AE =AD ,连接BE 交y 轴于点M .(1)如图,当点D 在线段OB 的延长线上时, ①若D 点的坐标为(﹣5,0),求点E 的坐标. ②求证:M 为BE 的中点. ③探究:若在点D 运动的过程中,OMBD的值是否是定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.(2)请直接写出三条线段AO ,DO ,AM 之间的数量关系(不需要说明理由).28.阅读下面材料,完成(1)-(3)题. 数学课上,老师出示了这样一道题:如图1,已知等腰△ABC 中,AB =AC ,AD 为BC 边上的中线,以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ,直线CE 与直线AD 交于点F .请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系,并证明. 同学们经过思考后,交流了自已的想法:小明:“通过观察和度量,发现∠DFC 的度数可以求出来.”小强:“通过观察和度量,发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系.” 小伟:“通过做辅助线构造全等三角形,就可以将问题解决.” ......老师:“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ,其它条件均不改变,请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系,并证明你的结论.”(1)求∠DFC 的度数;(2)在图1中探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系,并证明;(3)在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系,并证明. 29.如图,在平面直角坐标系中,直线AB 经过点A (3,32)和B (23,0),且与y 轴交于点D ,直线OC 与AB 交于点C ,且点C 的横坐标为3. (1)求直线AB 的解析式;(2)连接OA ,试判断△AOD 的形状;(3)动点P 从点C 出发沿线段CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O 运动,运动时间为t 秒,同时动点Q 从点O 出发沿y 轴的正半轴以相同的速度运动,当点Q 到达点D 时,P ,Q 同时停止运动.设PQ 与OA 交于点M ,当t 为何值时,△OPM 为等腰三角形?求出所有满足条件的t 值.30.在Rt ABC 中,ACB =∠90°,30A ∠=︒,点D 是AB 的中点,连结CD .(1)如图①,BC 与BD 之间的数量关系是_________,请写出理由;(2)如图②,若P 是线段CB 上一动点(点P 不与点B 、C 重合),连结DP ,将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°,得到线段DF ,连结BF ,请猜想BF ,BP ,BD 三者之间的数量关系,并证明你的结论;(3)若点P 是线段CB 延长线上一动点,按照(2)中的作法,请在图③中补全图形,并直接写出BF ,BP ,BD 三者之间的数量关系.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理,即若三角形中两边到的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,对每项进行计算判断即可. 【详解】解:A.2222223491625,525,a b c +=+==+=,B.222221.52 2.254 6.25,2.5 6.25,a b c +=+==+=,C.22222251225144169,13169,a b c +=+==+=,222222(2)123,39,.1D a b c +=+==+≠.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理,解决本题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理,正确计算出每项的结果.2.C解析:C 【解析】 【分析】根据题意列出等式,由负整数指数幂的运算法则将分式方程转化为一元一次方程求解即可. 【详解】依题意,112(1)3(2)a a --+=-,即3(1)2(2)a a +=-,解得7a =-,经检验7a =-是原分式方程的解, 故选:C. 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂的运算及分式方程的解,熟练掌握相关运算知识及运算能力是解决本题的关键.3.D解析:D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐一分析即可. 【详解】A 选项不是轴对称图形,故本选项不符合题意;B 选项不是轴对称图形,故本选项不符合题意;C 选项不是轴对称图形,故本选项不符合题意;D 选项是轴对称图形,故本选项符合题意; 故选D . 【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别,掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键.4.D解析:D 【解析】 【分析】根据平移法则“上加下减”可得出平移后的解析式. 【详解】解:直线23y x =-沿y 轴向上平移2个单位后的解析式为:y=2x-3+2,即y=2x-1. 故选:D . 【点睛】本题考查一次函数图象平移问题,掌握平移法则“左加右减,上加下减”是解决此题的关键.5.B解析:B 【解析】 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项. 【详解】 A.227是有理数,不符合题意;B.3π是无理数,符合题意;C.=-2,是有理数,不符合题意;是有理数,不符合题意. 故选:B. 【点睛】此题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.如π,0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式.6.D解析:D 【解析】 【分析】根据平方根和算术平方根的定义解答即可. 【详解】A 、(﹣3)2的平方根是±3,故该项错误;B 4,故该项错误;C 、1的平方根是±1,故该项错误;D 、4的算术平方根是2,故该项正确.故选D. 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根的定义,解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义.7.B解析:B 【解析】 【分析】先求出平移后的解析式,继而令y=0,可得关于x 的方程,解方程即可求得答案. 【详解】根据函数图象平移规律,可知3y x =向上平移6个单位后得函数解析式应为36y x =+, 此时与x 轴相交,则0y =, ∴360x +=,即2x =-, ∴点坐标为(-2,0), 故选B. 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移,一次函数图象与坐标轴的交点坐标,先出平移后的解析式是解题的关键.8.B解析:B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可. 【详解】解:A、∵一次函数y=﹣3x中,k=﹣3<0,∴此函数中y随x增大而减小,故本选项错误;B、∵正比例函数y=x﹣2中,k=1>0,∴此函数中y随x增大而增大,故本选项正确;C、∵正比例函数y=﹣2x+3中,k=﹣2<0,∴此函数中y随x增大而减小,故本选项错误;D、正比例函数y=3﹣x中,k=﹣1<0,∴此函数中y随x增大而减小,故本选项错误.故选B.【点睛】本题考查的是一次函数的性质,即一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k>0时,y随x的增大而增大,函数从左到右上升;k<0,y随x的增大而减小,函数从左到右下降.9.D解析:D【解析】【分析】把百分位上的数字6进行四舍五入即可.【详解】解:48.96≈49.0(精确到十分位).故选:D.【点睛】本题考查了近似数:近似数与精确数的接近程度,可以用精确度表示,精确到哪位,就是对它后边的一位进行四舍五入.10.C解析:C【解析】【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零即可判断.【详解】A.x=0时,x2=0,A选项不符合题意;B.x=﹣2时,分母为0,B选项不符合题意;C.x取任意实数总有意义,C选项符号题意;D.x=﹣2时,分母为0.D选项不符合题意.故选:C.【点睛】此题主要考查分式有意义的条件,熟练掌握,即可解题.二、填空题11.【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a的范围即可【详解】分式方程去分母得:2x+a=x+1解得:x=1-a,由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1解析:12且a a>≠【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a的范围即可【详解】分式方程去分母得:2x+a=x+1解得:x=1-a,由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1-a≠-1解得:a>1且a≠2,故答案为: a>1且a≠2【点睛】此题考查分式方程的解,解题关键在于求出x的值再进行分析12.4×103.【解析】【分析】先把原数写成科学记数法,再根据精确度四舍五入取近似数,即可.【详解】6371 km =6.371×103 km≈6.4×103 km(精确到100km).故答解析:4×103.【解析】【分析】先把原数写成科学记数法,再根据精确度四舍五入取近似数,即可.【详解】6371 km =6.371×103 km≈6.4×103 km(精确到100km).故答案为:6.4×103【点睛】本题主要考查科学记数法和近似数,掌握科学记数法的定义和近似数精确度的意义是解题的关键.13.【解析】【分析】此题有两种可能:10厘米的边长做腰或5厘米的边长做腰进行分类讨论,结合三角形三边关系,从而求解.【详解】解:①以10cm为腰时,三角形周长为10+10+5=25cm;②以5解析:25cm【解析】【分析】此题有两种可能:10厘米的边长做腰或5厘米的边长做腰进行分类讨论,结合三角形三边关系,从而求解.【详解】解:①以10cm为腰时,三角形周长为10+10+5=25cm;②以5cm为腰,因为5+5=10,不符合三角形两边之和大于第三边,此情况不成立;故答案为:25cm.【点睛】此题主要考查三角形三边关系及等腰三角形的性质,注意分类讨论思想的应用是本题的解题关键.14.<m<2.【解析】【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数,纵坐标是正数列出不等式组,然后求解即可.【详解】解:∵点P(m﹣2,2m﹣1)在第二象限,∴,解不等式①得,m<2,解不等式解析:12<m<2.【解析】【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数,纵坐标是正数列出不等式组,然后求解即可.【详解】解:∵点P(m﹣2,2m﹣1)在第二象限,∴20210mm-<⎧⎨->⎩①②,解不等式①得,m<2,解不等式②得,m>12,所以,不等式组的解集是12<m<2,故答案为12<m<2.【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(−,+);第三象限(−,−);第四象限(+,−).15.2【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可.【详解】根据题意得,x-2≥0,解得x≥2,∴x可以取的最小整数为2.故填:2.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,根据解析:2【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可.【详解】根据题意得,x-2≥0,解得x≥2,∴x可以取的最小整数为2.故填:2.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,根据被开方数大于等于列式求解即可,比较简单.16.4【解析】如图,过点D作DE⊥BC于点E,当DP=DE时,DP最小,∵BD⊥DC,∠A=90°,∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A,∠BDC=90°,∴∠C+∠CDE=90°,∠CDE+【解析】如图,过点D作DE⊥BC于点E,当DP=DE时,DP最小,∵BD⊥DC,∠A=90°,∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A,∠BDC=90°,∴∠C+∠CDE=90°,∠CDE+∠BDE=90°,∴∠BDE=∠C,又∵∠ADB=∠C,∴∠ADB=∠BDE,∴在△ABD和△EBD中A DEBADB BDEBD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴DE=AD=4,即DP的最小值为4.17.(-1,-3).【解析】【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数可得答案.【详解】解:点(-1,3)关于x轴对称的点的坐标为(-1,-3),故答案是:(-1,解析:(-1,-3).【解析】【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数可得答案.【详解】解:点(-1,3)关于x轴对称的点的坐标为(-1,-3),故答案是:(-1,-3).【点睛】此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标,关键是掌握点的坐标变化规律.18.t=﹣0.006h+20【解析】根据题意得到每升高1m 气温下降0.006℃,由此写出关系式即可.【详解】∵每升高1000m 气温下降6℃,∴每升高1m 气温下降0.006℃,∴气温解析:t=﹣0.006h+20【解析】【分析】根据题意得到每升高1m 气温下降0.006℃,由此写出关系式即可.【详解】∵每升高1000m 气温下降6℃,∴每升高1m 气温下降0.006℃,∴气温t (℃)与高度h (m )的函数关系式为t=﹣0.006h+20,故答案为:t=﹣0.006h+20.【点睛】本题考查了函数关系式,正确找出气温与高度之间的关系是解题的关键.19.10或【解析】【分析】先求出的值,确定的关系式,然后根据一次函数图象上点的坐标特征求得点M 、N 的坐标,由两点间的距离公式求得MN ,MQ 的代数式,由已知条件,列出方程,借助于方程求得t 的值即可;解析:10或227 【解析】【分析】先求出k n ,的值,确定12l l ,的关系式,然后根据一次函数图象上点的坐标特征求得点M 、N 的坐标,由两点间的距离公式求得MN ,MQ 的代数式,由已知条件,列出方程,借助于方程求得t 的值即可;【详解】解:把()40A ,代入到4y kx =+中得:440k +=,解得:1k =-, ∴1l 的关系式为:4y x =-+,∵P 为AB 的中点,()40A ,,()0,4B ∴由中点坐标公式得:()2,2P ,把()2,2P 代入到12y x n =+中得:1222n ⨯+=,解得:1n =, ∴2l 的关系式为:112y x =+, ∵QM x ⊥轴,分别交直线1l ,2l 于点M N 、,()0Q t ,, ∴(),4M t t -+,1,12N t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, ∴()1341322MN t t t ⎛⎫=-+-+=- ⎪⎝⎭,44MQ t t =-+=-, ∵2MN MQ =, ∴33242t t -=-, 分情况讨论得:①当4t ≥时,去绝对值得:()33=242t t --, 解得:10t =;②当24t ≤<时,去绝对值得:()33=242t t --, 解得:227t =; ③当2t <时,去绝对值得:()33=242t t --, 解得:102t =>,故舍去;综上所述:10t =或227t =; 故答案为:10或227. 【点睛】本题属于一次函数综合题,需要熟练掌握待定系数法确定函数关系式,一次函数图象上点的坐标特征,两点间的距离公式等知识点,能够表示出线段的长度表达式,合理的使用分类讨论思想是解决本题的关键,有一定的难度.20.a=5【解析】【分析】本题是平方差公式的应用,设这个正方形的边长为a,根据正方形面积公式有(a+2)2-a2=24,先用平方差公式化简,再求解.【详解】解:设这个正方形的边长为a,依题意有解析:a=5【解析】【分析】本题是平方差公式的应用,设这个正方形的边长为a,根据正方形面积公式有(a+2)2-a2=24,先用平方差公式化简,再求解.【详解】解:设这个正方形的边长为a,依题意有(a+2)2-a2=24,(a+2)2-a2=(a+2+a)(a+2-a)=4a+4=24,解得a=5.【点睛】本题考查了平方差公式,掌握正方形面积公式并熟记公式结构是解题的关键.三、解答题21.(1)560;(2)快车的速度是80km/h,慢车的速度是60km/h.(3)y=-60x+540(8≤x≤9).【解析】【分析】(1)根据函数图象直接得出甲乙两地之间的距离;(2)根据题意得出慢车往返分别用了4小时,慢车行驶4小时的距离,快车3小时即可行驶完,进而求出快车速度以及利用两车速度之比得出慢车速度;(3)利用(2)所求得出D,E点坐标,进而得出函数解析式.【详解】(1)由题意可得出:甲乙两地之间的距离为560千米;故答案为:560;(2)由题意可得出:慢车和快车经过4个小时后相遇,相遇后停留了1个小时,出发后两车之间的距离开始增大,快车到达甲地后两车之间的距离开始缩小,由图分析可知快车经过3个小时后到达甲地,此段路程慢车需要行驶4小时,因此慢车和快车的速度之比为3:4,∴设慢车速度为3xkm/h,快车速度为4xkm/h,∴(3x+4x)×4=560,x=20,∴快车的速度是80km/h,慢车的速度是60km/h.(3)由题意可得出:快车和慢车相遇地离甲地的距离为4×60=240km,当慢车行驶了7小时后,快车已到达甲地,此时两车之间的距离为240-3×60=60km,∴D(8,60),∵慢车往返各需4小时,∴E(9,0),设DE的解析式为:y=kx+b,∴90860k bk b+⎧⎨+⎩==,解得:60540kb-⎧⎨⎩==.∴线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为:y=-60x+540(8≤x≤9).【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的应用,根据题意得出D,E 点坐标是解题关键.22.(1)作图见解析;(2)①2(2.1到1.8之间都正确);②该函数有最大值(其他正确性质都可以).【解析】试题分析:(1)描点即可作出函数的图象;(2)①观察图象可得出结论;②观察图象可得出结论.试题解析:(1)如下图:(2)①2(2.1到1.8之间都正确)②该函数有最大值(其他正确性质都可以).考点:函数图象,开放式数学问题.23.(1)详见解析;(2)185.【解析】【分析】(1)根据线段垂直平分线性质得AE=CE=3,利用勾股定理逆定理可得;(2)作AH⊥BC,由1122AB AE BE AH•=•可得高AH,再求面积.【详解】(1)因为AC 的垂直平分线交AC 于点D ,所以AE=CE=3因为BC=BE+CE所以BE=BC-CE=8-3=5因为32+42=52所以AB 2+AE 2=BE 2所以ABE ∆是直角三角形;(2)作AH ⊥BC由(1)可知1122AB AE BE AH •=• 所以435AH ⨯=所以AH=125所以ACE ∆的面积=11121832255EC AH •=⨯⨯= 【点睛】 考核知识点:线段垂直平分线、勾股定理逆定理.理解线段垂直平分线性质和勾股定理逆定理是关键.24.(1)20°;(2)10.【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠BAC ,根据线段垂直平分线的性质得到DA =DB ,FA =FC ,得到∠DAB =∠ABC =30︒,∠FAC =∠ACB =50︒,结合图形计算,得到答案;(2)根据三角形的周长公式计算即可.【详解】(1)∠BAC =180︒﹣∠ABC ﹣∠ACB =180︒﹣30︒﹣50︒=100︒,∵DE 是AB 的垂直平分线,∴DA =DB ,∴∠DAB =∠ABC =30︒,∵FG 是AC 的垂直平分线,∴FA =FC ,∴∠FAC =∠ACB =50︒,∴∠DAF =∠BAC ﹣(∠DAB +∠FAC )=20︒;(2)∵△DAF 的周长为10,∴AD +DF +FC =10,∴BC =BD +DF +FC =AD +DF +FC =10.【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.25.(1)300,75,60;(2)y 1=100x ﹣150(3≤x ≤4.5);(3)点F 的坐标为(3.75,225),点F 代表的实际意义是在3.75小时时,快车与慢车行驶的路程相等【解析】【分析】(1)根据图象可直接得出甲、乙两地的距离;根据图象可得A 、B 两点坐标,然后利用速度=路程÷时间求解即可;(2)根据快车休息1小时可得点E 坐标,根据快车比慢车提前0.5小时到达目的地可得点C 坐标,然后利用待定系数法求解即可;(3)易得y 2与x 之间的函数关系式,然后只要求直线EC 与直线OD 的交点即得点F 坐标,为此只要解由直线EC 与直线OD 的的解析式组成的方程组即可,进而可得点F 的实际意义.【详解】解:(1)甲、乙两地相距300千米,快车休息前的的速度为:150÷2=75千米/小时,慢车的速度为:150÷2.5=60千米/小时.故答案为:300,75,60;(2)由题意可得,点E 的横坐标为:2+1=3,则点E 的坐标为(3,150),快车从点E 到点C 用的时间为:300÷60﹣0.5=4.5(小时),则点C 的坐标为(4.5,300),设线段EC 所表示的y 1与x 之间的函数表达式是y 1=kx +b ,把E 、C 两点代入,得:4.53003150k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得:100150k b =⎧⎨=-⎩, 即线段EC 所表示的y 1与x 之间的函数表达式是y 1=100x ﹣150(3≤x ≤4.5);(3)y 2与x 之间的函数关系式为:260y x =,设点F 的横坐标为a ,则60a =100a ﹣150,解得:a =3.75,则60a =225,即点F 的坐标为(3.75,225),点F 代表的实际意义是在3.75小时时,快车与慢车行驶的路程相等.【点睛】本题是一次函数的应用问题,主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征和两个函数的交点等知识,属于常考题型,正确读懂图象信息、熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键.四、压轴题26.(1)点C 是点A 、B 的融合点;(2)①2-1y x =;②见详解;③点E 的坐标为:(2,9)或(8,21)【解析】【分析】(1)根据融合点的定义3a c x +=,3b d y +=,即可求解; (2)①由题意得:分别得到x 与t 、y 与t 的关系,即可求解;②利用①的函数关系式解答;③分∠DTH =90°、∠TDH =90°、∠HTD =90°三种情况,分别求解即可.【详解】解:(1)x =-17233a c ++==,y =54333b d ++==, 故点C 是点A 、B 的融合点;(2)①由题意得:x =433a c t ++=,y =2533b d t ++=,则3-4t x =, 则()23-452-13x y x +==; ②令x =0,y =-1;令y =0,x =12,图象如下:③当∠THD =90°时,∵点E (t ,2t +5),点T (t ,2t−1),点D (4,0),且点T (x ,y )是点D ,E 的融合点.∴t =13(t +4), ∴t =2,∴点E (2,9);当∠TDH =90°时,∵点E(t,2t+5),点T(4,7),点D(4,0),且点T(x,y)是点D,E的融合点.∴4=13(4+t)∴t=8,∴点E(8,21);当∠HTD=90°时,由于EH与x轴不平行,故∠HTD不可能为90°;故点E的坐标为:(2,9)或(8,21).【点睛】本题是一次函数综合运用题,涉及到直角三角形的运用,此类新定义题目,通常按照题设顺序,逐次求解.27.(1)①E(3,﹣2)②见解析;③12OMBD,理由见解析;(2)OD+OA=2AM或OA﹣OD=2AM【解析】【分析】(1)①过点E作EH⊥y轴于H.证明△DOA≌△AHE(AAS)可得结论.②证明△BOM≌△EHM(AAS)可得结论.③是定值,证明△BOM≌△EHM可得结论.(2)根据点D在点B左侧和右侧分类讨论,分别画出对应的图形,根据全等三角形的判定及性质即可分别求出结论.【详解】解:(1)①过点E作EH⊥y轴于H.∵A(0,3),B(﹣3,0),D(﹣5,0),∴OA=OB=3,OD=5,∵∠AOD=∠AHE=∠DAE=90°,∴∠DAO+∠EAH=90°,∠EAH+∠AEH=90°,∴∠DAO=∠AEH,∴△DOA≌△AHE(AAS),∴AH=OD=5,EH=OA=3,∴OH=AH﹣OA=2,∴E(3,﹣2).②∵EH⊥y轴,∴∠EHO=∠BOH=90°,∵∠BMO=∠EMH,OB=EH=3,∴△BOM≌△EHM(AAS),∴BM=EM.③结论:OMBD=12.理由:∵△DOA≌△AHE,∴OD=AH,∵OA=OB,∴BD=OH,∵△BOM≌△EHM,∴OM=MH,∴OM=12OH=12BD.(2)结论:OA+OD=2AM或OA﹣OD=2AM.理由:当点D在点B左侧时,∵△BOM≌△EHM,△DOA≌△AHE∴OM=MH,OD=AH∴OH=2OM,OD-OB=AH-OA∴BD=OH∴BD=2OM,∴OD﹣OA=2(AM﹣AO),∴OD+OA=2AM.当点D在点B右侧时,过点E作EH⊥y轴于点H∵∠AOD=∠AHE=∠DAE=90°,∴∠DAO+∠EAH=90°,∠EAH+∠AEH=90°,∴∠DAO=∠AEH,∵AD=AE∴△DOA≌△AHE(AAS),∴EH=AO=3=OB,OD=AH∴∠EHO=∠BOH=90°,∵∠BMO=∠EMH,OB=EH=3,∴△BOM≌△EHM(AAS),∴OM=MH∴OA+OD= OA+AH=OH=OM+MH=2MH=2(AM+AH)=2(AM+OD)整理可得OA﹣OD=2AM.综上:OA+OD=2AM或OA﹣OD=2AM.【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、旋转的性质和平面直角坐标系,掌握全等三角形的判定及性质、旋转的性质和点的坐标与线段长度的关系是解决此题的关键.28.(1)60°;(2)EF=AF+FC,证明见解析;(3)AF=EF+2DF,证明见解析.【解析】【分析】(1)可设∠BAD=∠CAD=α,∠AEC=∠ACE=β,在△ACE中,根据三角形内角和可得2α+60+2β=180°,从而有α+β=60°,即可得出∠DFC的度数;(2)在EC上截取EG=CF,连接AG,证明△AEG≌△ACF,然后再证明△AFG为等边三角形,从而可得出EF=EG+GF=AF+FC;(3)在AF上截取AG=EF,连接BG,BF,证明方法类似(2),先证明△ABG≌△EBF,再证明△BFG为等边三角形,最后可得出结论.【详解】解:(1)∵AB=AC,AD为BC边上的中线,∴可设∠BAD=∠CAD=α,又△ABE为等边三角形,∴AE=AB=AC,∠EAB=60°,∴可设∠AEC=∠ACE=β,在△ACE中,2α+60°+2β=180°,∴α+β=60°,∴∠DFC=α+β=60°;(2)EF=AF+FC,证明如下:∵AB=AC,AD为BC边上的中线,∴AD⊥BC,∴∠FDC=90°,∵∠CFD=60°,则∠DCF=30°,∴CF=2DF,在EC上截取EG=CF,连接AG,又AE=AC,∴∠AEG=∠ACF,∴△AEG≌△ACF(SAS),∴∠EAG=∠CAF,AG=AF,又∠CAF=∠BAD,∴∠EAG=∠BAD,∴∠GAF=∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°,∴△AFG为等边三角形,∴EF=EG+GF=AF+FC,即EF=AF+FC;(3)补全图形如图所示,结论:AF=EF+2DF.证明如下:同(1)可设∠BAD =∠CAD =α,∠ACE =∠AEC =β,∴∠CAE =180°-2β,∴∠BAE =2α+180°-2β=60°,∴β-α=60°,∴∠AFC=β-α=60°,又△ABE 为等边三角形,∴∠ABE=∠AFC=60°,∴由8字图可得:∠BAD =∠BEF ,在AF 上截取AG =EF ,连接BG ,BF ,又AB=BE ,∴△ABG ≌△EBF (SAS ),∴BG =BF ,又AF 垂直平分BC ,∴BF=CF ,∴∠BFA=∠AFC=60°,∴△BFG 为等边三角形,∴BG=BF ,又BC ⊥FG ,∴FG=BF=2DF ,∴AF =AG +GF =BF +EF =2DF +EF .【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识,解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形,属于中考常考题型.29.(1)y+2;(2)△AOD 为直角三角形,理由见解析;(3)t =23. 【解析】【分析】(1)将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式:y =kx +b ,即可求解;(2)由点A 、O 、D 的坐标得:AD 2=1,AO 2=3,DO 2=4,故DO 2=OA 2+AD 2,即可求解; (3)点C,1),∠DBO =30°,则∠ODA =60°,则∠DOA =30°,故点C1),则∠AOC =30°,∠DOC =60°,OQ =CP =t ,则OP =2﹣t .①当OP =OM 时,OQ =QH +OH,即2(2﹣t )+12(2﹣t )=t ,即可求解;②当MO =MP 时,∠OQP =90°,故OQ =12O P ,即可求解;③当PO =PM 时,故这种情况不存在. 【详解】 解:(1)将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式:y =kx +b 得:3=220k b b ⎧+⎪⎨⎪=+⎩,解得:=32k b ⎧⎪⎨⎪=⎩,故直线AB的表达式为:y=﹣33x+2;(2)直线AB的表达式为:y=﹣3x+2,则点D(0,2),由点A、O、D的坐标得:AD2=1,AO2=3,DO2=4,故DO2=OA2+AD2,故△AOD为直角三角形;(3)直线AB的表达式为:y=﹣33x+2,故点C(3,1),则OC=2,则直线AB的倾斜角为30°,即∠DBO=30°,则∠ODA=60°,则∠DOA=30°故点C(3,1),则OC=2,则点C是AB的中点,故∠COB=∠DBO=30°,则∠AOC=30°,∠DOC=60°,OQ=CP=t,则OP=OC﹣PC=2﹣t,①当OP=OM时,如图1,则∠OMP=∠MPO=12(180°﹣∠AOC)=75°,故∠OQP=45°,过点P作PH⊥y轴于点H,则OH=12OP=12(2﹣t),由勾股定理得:PH 32﹣t)=QH,OQ=QH+OH 32﹣t)+12(2﹣t)=t,解得:t=33;②当MO=MP时,如图2,。
江苏省无锡市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)
江苏省无锡市八年级上学期期末数学试卷 (解析版)一、选择题1.如图,∠AOB=60°,点P 是∠AOB 内的定点且OP=3,若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点,则△PMN 周长的最小值是( )A .362B .332C .6D .32.在平面直角坐标系中,点()23P -,关于x 轴的对称点的坐标是( ) A .()23-,B .()23,C .()23--,D .()23-, 3.当12(1)a -+与13(2)a --的值相等时,则( )A .5a =-B .6a =-C .7a =-D .8a =- 4.关于三角形中边与角之间的不等关系,提出如下命题:命题1:在一个三角形中,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大;命题2:在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大;命题3:如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角,这个三角形一定是锐角三角形; 命题4:直角三角形中斜边最长;以上真命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4 5.下列说法正确的是( ) A .(﹣3)2的平方根是3 B 16±4C .1的平方根是1D .4的算术平方根是2 6.下列各点中,位于平面直角坐标系第四象限的点是( )A .(1,2)B .(﹣1,2)C .(1,﹣2)D .(﹣1,﹣2)7.如图所示,三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分,小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形,那么这两个三角形完全重合的依据是( )A .SSSB .SASC .AASD .ASA 8.一次函数y =﹣2x+3的图象不经过的象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限9.估算x =5值的大小正确的是( ) A .0<x <1 B .1<x <2 C .2<x <3D .3<x <4 10.若关于x 的分式方程211x a x -=+的解为负数,则字母a 的取值范围为( ) A .a ≥﹣1 B .a ≤﹣1且a ≠﹣2C .a >﹣1D .a <﹣1且a ≠﹣2 二、填空题11.如图,已知函数y =3x +b 和y =ax -3的图象交于点P(-2,-5),则根据图象可得不等式3x +b >ax -3的解集是________.12.已知点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2 )是函数y =﹣2x +1图象上的两个点,若x 1<x 2,则y 1﹣y 2_____0(填“>”、“<”或“=”).13.如图,在平面直角坐标系中,函数y mx n =+的图像与y kx b =+的图像交于点(1,2)P -,则方程组,y mx n y kx b =+⎧⎨=+⎩的解为________.14.如图,点C 坐标为(0,1)-,直线334y x =+交x 轴,y 轴于点A 、点B ,点D 为直线上一动点,则CD 的最小值为_________.15.矩形ABCD 中,其中三个顶点的坐标分别是(0,0)、(5,0)、(5,3),则第四个顶点的坐标是______.16.在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=100°,点D 在BC 边上,连接AD ,若△ABD 为直角三角形,则∠ADC 的度数为_____.17.甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做4个,甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等,则乙每小时所做零件的个数为_____.18.如图,ABC ∆中,B C ∠=∠,D ,E ,F 分别是BC ,AC ,AB 上的点,且BF CD =,BD CE =,55FDE ∠=︒,则A ∠=__________︒.19.点P (3,-4)到 x 轴的距离是_____________.20.函数y 1=x+1与y 2=ax+b 的图象如图所示,那么,使y 1、y 2的值都大于0的x 的取值范围是______.三、解答题21.如图,ABC ∆的三个顶点都在格点上.(1)直接写出点B 的坐标;(2)画出ABC ∆关于x 轴对称的111A B C ∆,(3)直接写出点1A 的坐标22.如图,在边长为12cm 的正方形ABCD 中,M 是AD 边的中点,点P 从点A 出发,在正方形边上沿A B C D →→→的方向以大于1 cm/s 的速度匀速移动,点Q 从点D 出发,在CD 边上沿D C →方向以1 cm/s 的速度匀速移动,P 、Q 两点同时出发,当点P 、Q 相遇时即停止移动.设点P 移动的时间为t(s),正方形ABCD 与PMQ ∠的内部重叠部分面积为y (cm 2).已知点P 移动到点B 处,y 的值为96(即此时正方形ABCD 与PMQ ∠的内部重叠部分面积为96cm 2).(1)求点P 的速度:(2)求y 与t 的函数关系式,并直接写出的取值范围.23.如图,正方形网格中每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点. (1)在图①中,以格点为端点画一条长度为13的线段MN ;(2)在图②中,A 、B 、C 是格点,求∠ABC 的度数.24.已知,如图,//AB CD,E是AB的中点,CE DE=,求证:AC BD=.25.一次函数的图象经过点A(2,4)和B(﹣1,﹣5)两点.(1)求出该一次函数的表达式;(2)画出该一次函数的图象;(3)判断(﹣5,﹣4)是否在这个函数的图象上?(4)求出该函数图象与坐标轴围成的三角形面积.四、压轴题26.阅读并填空:如图,ABC是等腰三角形,AB AC=,D是边AC延长线上的一点,E在边AB 上且联接DE交BC于O,如果OE OD,那么CD BE=,为什么?解:过点E作EF AC交BC于F所以ACB EFB∠=∠(两直线平行,同位角相等)D OEF∠=∠(________)在OCD与OFE△中()________COD FOEOD OED OEF⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE△≌△,(________)所以CD FE=(________)因为AB AC=(已知)所以ACB B=∠∠(________)所以EFB B∠=∠(等量代换)所以BE FE=(________)所以CD BE=27.已知ABC和ADE都是等腰三角形,AB AC=,AD AE=,DAE BAC∠=∠.(初步感知)(1)特殊情形:如图①,若点D,E分别在边AB,AC上,则DB__________EC.(填>、<或=)(2)发现证明:如图②,将图①中的ADE 绕点A 旋转,当点D 在ABC 外部,点E 在ABC 内部时,求证:DB EC =.(深入研究)(3)如图③,ABC 和ADE 都是等边三角形,点C ,E ,D 在同一条直线上,则CDB ∠的度数为__________;线段CE ,BD 之间的数量关系为__________.(4)如图④,ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,90BAC DAE ∠=∠=︒,点C 、D 、E 在同一直线上,AM 为ADE 中DE 边上的高,则CDB ∠的度数为__________;线段AM ,BD ,CD 之间的数量关系为__________.(拓展提升)(5)如图⑤,ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,90BAC DAE ∠=∠=︒,将ADE 绕点A 逆时针旋转,连结BE 、CD .当5AB =,2AD =时,在旋转过程中,ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________.28.如图,在平面直角坐标系中,直线AB 经过点A (32,32)和B (23,0),且与y 轴交于点D ,直线OC 与AB 交于点C ,且点C 的横坐标为3.(1)求直线AB 的解析式;(2)连接OA ,试判断△AOD 的形状;(3)动点P 从点C 出发沿线段CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O 运动,运动时间为t 秒,同时动点Q 从点O 出发沿y 轴的正半轴以相同的速度运动,当点Q 到达点D 时,P ,Q 同时停止运动.设PQ 与OA 交于点M ,当t 为何值时,△OPM 为等腰三角形?求出所有满足条件的t 值.29.如图,已知直线l 1:y 1=2x +1与坐标轴交于A 、C 两点,直线l 2:y 2=﹣x ﹣2与坐标轴交于B 、D 两点,两直线的交点为P 点.(1)求P 点的坐标;(2)求△APB 的面积;(3)x 轴上存在点T ,使得S △ATP =S △APB ,求出此时点T 的坐标.30.如图已知ABC 中,,8B C AB AC ∠=∠==厘米,6BC =厘来,点D 为AB 的中点.如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动,设运动时间为t (秒).(1)用含t 的代数式表示线段PC 的长度;(2)若点,P Q 的运动速度相等,经过1秒后,BPD △与CQP 是否全等,请说明理由; (3)若点,P Q 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使BPD △与CQP 全等?(4)若点Q以(3)中的运动速度从点C出发,点v以原来的运动速度从点B同时出发,都顺时针沿三边运动,求经过多长时间,点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇?【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【解析】分析:作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图,利用轴对称的性质得MP=MC,NP=ND,3∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,所以∠COD=2∠AOB=120°,利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H,则CH=DH,然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可.详解:作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图,则MP=MC,NP=ND,3∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC,∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,∴此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H,则CH=DH,∵∠OCH=30°,∴OH=123CH=3OH=32, ∴CD=2CH=3.故选D .点睛:本题考查了轴对称﹣最短路线问题:熟练掌握轴对称的性质,会利用两点之间线段最短解决路径最短问题.2.B解析:B【解析】【分析】根据关于x 轴对称的点的坐标与原坐标横坐标相等,纵坐标互为相反数的性质解答即可.【详解】∵P (2,-3)关于x 轴对称,∴对称点与点P 横坐标相同,纵坐标互为相反数,∴对称点的坐标为(-2,-3).故答案为(-2,-3).【点睛】本题考查的是坐标与图形的变换,关于y 轴对称的点的坐标与原坐标纵坐标相等,横坐标互为相反数;关于x 轴对称的点的坐标与原坐标横坐标相等,纵坐标互为相反数;掌握轴对称的性质是解题的关键,3.C解析:C【解析】【分析】根据题意列出等式,由负整数指数幂的运算法则将分式方程转化为一元一次方程求解即可.【详解】依题意,112(1)3(2)a a --+=-,即3(1)2(2)a a +=-,解得7a =-,经检验7a =-是原分式方程的解,故选:C.【点睛】本题主要考查了负整数指数幂的运算及分式方程的解,熟练掌握相关运算知识及运算能力是解决本题的关键.4.D解析:D【解析】【分析】根据三角形边与角的关系逐一分析即可得解.【详解】假设它们所对的边相等,则根据等腰三角形的性质定理,“等边对等角”知它们所对的角也相等,这就与题设两个角不等相矛盾,因此假设不成立,故原结论成立,同时根据三角形中大边对大角,大角对大边可知命题1,2正确;因为三角形中大边对大角,大角对大边,所以当最大边所对角是锐角时,可知另外两个角也为锐角,则命题3正确;因为直角三角形中,直角所对的边时斜边,而另外两个角为锐角,所以直角所对斜边最大,所以命题4正确,故选:D.【点睛】本题主要考查了三角形边与角的关系,熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.5.D解析:D【解析】【分析】根据平方根和算术平方根的定义解答即可.【详解】A、(﹣3)2的平方根是±3,故该项错误;B4,故该项错误;C、1的平方根是±1,故该项错误;D、4的算术平方根是2,故该项正确.故选D.【点睛】本题考查了平方根、算术平方根的定义,解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义.6.C解析:C【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解.【详解】A、(1,2)在第一象限,故本选项错误;B、(﹣1,2)在第二象限,故本选项错误;C、(1,﹣2)在第四象限,故本选项正确;D、(﹣1,﹣2)在第三象限,故本选项错误.【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣).7.D解析:D【解析】【分析】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边,根据全等三角形的判定方法解答即可.【详解】解:由图可知,三角形两角及夹边还存在,∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形,所以,依据是ASA.故选:D.【点睛】本题考查了全等三角形的应用,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.8.C解析:C【解析】试题解析:∵k=-2<0,∴一次函数经过二四象限;∵b=3>0,∴一次函数又经过第一象限,∴一次函数y=-x+3的图象不经过第三象限,故选C.9.C解析:C【解析】【分析】.【详解】∴23,故选:C.【点睛】此题主要考查无理数的估值,熟练掌握,即可解题.10.D【解析】【分析】先求出分式方程的解,由分式方程有意义的条件可知1x ≠-,即方程的解1≠-,由解为负数可知分式方程的解小于0,可得字母a 的取值范围.【详解】解:方程两边同时乘以(x +1),得2x ﹣a =x +1,解得:x =a +1,∵解为负数,∴a +1<0,∴a <﹣1,因为分式有意义,则10x +≠,1x ≠-,即11a +≠-,解得2a ≠-∴a <﹣1且a ≠﹣2,故选:D .【点睛】本题考查了分式方程,根据分式方程解的情况确定参数的取值范围,解题过程中易忽视分式有意义的条件,熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.二、填空题11.x >-2【解析】【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案.【详解】解:观察图象知,当x >-2时,y =3x +b 的图象在y =ax -3的图象的上方,故该不等式的解集为x >-2故解析:x >-2【解析】【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案.【详解】解:观察图象知,当x >-2时,y =3x +b 的图象在y =ax -3的图象的上方,故该不等式的解集为x >-2故答案为:x >-2【点睛】本题考查了议程函数与一元一次不等式的应用,主要考查学生的观察能力和理解能力,题型较好,难度不大.【解析】【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性,再根据x1<x2,即可得出结论.【详解】∵一次函数y=﹣2x+1中,k=﹣2<0,∴y随着x的增大而减小.∵点A(x1,y解析:>.【解析】【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性,再根据x1<x2,即可得出结论.【详解】∵一次函数y=﹣2x+1中,k=﹣2<0,∴y随着x的增大而减小.∵点A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数y=﹣2x+1图象上的两个点,且x1<x2,∴y1>y2.∴y1﹣y2>0,故答案为:>.【点睛】本题主要考查一次函数的性质,掌握一次函数的增减性,是解题的关键.13.【解析】【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断.【详解】∵函数的图像与的图像交于点,则关于x,y的二元一次方程组的解是,故答案为:.【点睛】本题考查了解析:12 xy=-⎧⎨=⎩【解析】【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断.【详解】∵函数y mx n =+的图像与y kx b =+的图像交于点(1,2)P -,则关于x ,y 的二元一次方程组,y mx n y kx b =+⎧⎨=+⎩的解是12x y =-⎧⎨=⎩, 故答案为:12x y =-⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程(组):方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值,而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式,因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标. 14.【解析】【分析】过点C 作直线AB 的垂线段CD ,利用三角形的面积即可求出CD 的长.【详解】连接AC ,过点C 作CD⊥AB,则CD 的长最短,如图,对于直线令y=0,则,解得x=-4,令x=0解析:165【解析】【分析】过点C 作直线AB 的垂线段CD ,利用三角形的面积即可求出CD 的长.【详解】连接AC ,过点C 作CD ⊥AB ,则CD 的长最短,如图,对于直线334y x =+令y=0,则3304x +=,解得x=-4,令x=0,则y=3,∴A(-4,0),B(0,3),∴OA=4,OB=3,在Rt △OAB 中,222AB OA OB =+∴AB=22435∵C(0,-1),∴OC=1,∴BC=3+1=4,∴1122ABCS BC AO AB CD==,即1144=522CD⨯⨯⨯⨯,解得,165 CD=.故答案为:16 5.【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及三角形面积公式的运用,解答此题的关键是利用三角形面积相等求出CD的长.15.(0,3)【解析】【分析】画图分析,由矩形的性质求得第四点的坐标,再解答.【详解】如图,根据图形易知第四点的坐标是(0,3).故填:(0,3).【点睛】用到的知识点为:矩形的邻边垂直解析:(0,3)【解析】【分析】画图分析,由矩形的性质求得第四点的坐标,再解答.【详解】如图,根据图形易知第四点的坐标是(0,3).故填:(0,3).【点睛】用到的知识点为:矩形的邻边垂直,对边平行.本题画出图后可很快求解.16.130°或90°.【解析】分析:根据题意可以求得∠B和∠C的度数,然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数.详解:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=40°解析:130°或90°.【解析】分析:根据题意可以求得∠B和∠C的度数,然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC 的度数.详解:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=40°,∵点D在BC边上,△ABD为直角三角形,∴当∠BAD=90°时,则∠ADB=50°,∴∠ADC=130°,当∠ADB=90°时,则∠ADC=90°,故答案为130°或90°.点睛:本题考查等腰三角形的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答.17.8【解析】【分析】【详解】解:设乙每小时做x个,则甲每小时做(x+4)个,甲做60个所用的时间为,乙做40个所用的时间为,列方程为:=,解得:x=8,经检验:x=8是原分式方程的解,解析:8【解析】【分析】【详解】解:设乙每小时做x个,则甲每小时做(x+4)个,甲做60个所用的时间为604x+,乙做40个所用的时间为40x,列方程为:604x+=40x,解得:x=8,经检验:x=8是原分式方程的解,且符合题意,所以乙每小时做8个,故答案为8.【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用,解答时甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等建立方程是关键.18.【解析】【分析】根据SAS 定理判定△FBD≌△DCE,然后根据全等三角形的性质求得∠FDB=∠DEC,从而求得∠DEC+∠EDC 的度数,然后求出∠C 的度数,最后利用等腰三角形的性质求∠A.【解析:70︒【解析】【分析】根据SAS 定理判定△FBD ≌△DCE ,然后根据全等三角形的性质求得∠FDB=∠DEC ,从而求得∠DEC+∠EDC 的度数,然后求出∠C 的度数,最后利用等腰三角形的性质求∠A.【详解】解:∵BF CD =,B C ∠=∠,BD CE =∴△FBD ≌△DCE∴∠FDB=∠DEC∵55FDE ∠=︒∴∠FDB++∠EDC=∠DEC+∠EDC=180°-55°=125°∴∠C=180°-125°=55°∴∠A=180°-2×55°=70°【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质,掌握判定定理正确推理论证是本题的解题关键.19.4【解析】试题解析:根据点与坐标系的关系知,点到x 轴的距离为点的纵坐标的绝对值,故点P (3,﹣4)到x 轴的距离是4.解析:4【解析】试题解析:根据点与坐标系的关系知,点到x 轴的距离为点的纵坐标的绝对值,故点P (3,﹣4)到x 轴的距离是4.20.−1<x<2.【解析】【分析】根据x 轴上方的图象的y 值大于0进行解答.【详解】如图所示,x>−1时,y>0,当x<2时,y>0,∴使y 、y 的值都大于0的x 的取值范围是:−1<x<2.解析:−1<x<2.【解析】【分析】根据x 轴上方的图象的y 值大于0进行解答.【详解】如图所示,x>−1时,y 1>0,当x<2时,y 2>0,∴使y 1、y 2的值都大于0的x 的取值范围是:−1<x<2.故答案为:−1<x<2.【点睛】此题考查两条直线相交或平行问题,解题关键在于x 轴上方的图象的y 值大于0三、解答题21.(1)(2,3)-;(2)画图见解析;(3)(1,1)-【解析】【分析】(1)根据平面直角坐标系中点与有序数对的对应关系解答即可;(2)ABC ∆各顶点关于x 轴对称的点A 1,B 1,C 1,然后用线段顺次连接即可;(3)根据平面直角坐标系中点与有序数对的对应关系解答即可.【详解】解:(1)点B 的坐标是(2,3)-;(2)如图,(3)点1A 的坐标是(1,1)-.【点睛】本题考查了作图-轴对称变换,熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.22.(1)3 cm/s ;(2)()()()144120418021481081289t t y t t t t ⎧-≤≤⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩. 【解析】【分析】(1)由于P 的速度比Q 的速度大,因此P 到达B 点时,Q 在DC 边上,此时重叠部分面积为正方形的面积减去△DQM 和△ABM 的面积,求解即可;(2)分三种情况讨论:当点P 在边AB 上时,当点P 在边BC 上时,当点P 在边CD 上时,根据题意列函数关系式即可.【详解】解:(1)由已知得,AB=AD=CD=BC=12,∵M 是AD 边的中点,∴AM=MD=6,由题意可知当P 到达B 点时Q 在DC 边上,DQ=t ,∴ABM DMQ ABCD y S S S =--△△正方形 , ∴11961212612622t =⨯-⨯⨯-⨯⨯, 解得,t=4,∴ P 点的速度为12÷4=3 cm/s ;(2)当点P 在边AB 上时,04t ≤≤, APM DMQ ABCD y S S S =--△△正方形,111212636=144-1222y t t t =⨯-⨯⨯-⨯⨯ 当点P 在边BC 上时,48t <≤,DMQ ABCD AMPB y S S S =--△正方形梯形()1112123126126=180-2122y t t t =⨯-⨯-+⨯-⨯⨯ 当点P 在边CD 上时,8t <≤9,MQ y S =△P ,()112336=108-122y t t t =⨯⨯--⨯; 综上所述,y 与t 的函数关系式为()()()144120418021481081289t ty t tt t⎧-≤≤⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩.【点睛】本题考查了四边形的动点问题,注意分类讨论是解题的关键.23.(1)见解析;(2)45°【解析】【分析】(1)根据网格和勾股定理即可在图①中,以格点为端点画一条长度为13的线段MN;(2)连接AC,根据勾股定理及逆定理可得三角形ABC 是等腰直角三角形,进而可求∠ABC的度数.【详解】解:(1)如图根据勾股定理,得MN22AM AN+2223+13(2)连接AC∵221310AC+221310BC,222425AB=+=∴AC2+BC2=AB2,∴ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°.【点睛】此题考查的是勾股定理和网格问题,掌握勾股定理及逆定理是解决此题的关键.24.见解析【解析】【分析】由CE=DE易得∠ECD=∠EDC,结合AB∥CD易得∠AEC=∠BED,由此再结合AE=BE,CE=DE 即可证得△AEC≌△BED,由此即可得到AC=BD.【详解】∵CE DE=,∴ECD EDC∠=∠,∵//AB CD,∴AEC ECD ∠=∠,BED EDC ∠=∠,∴AEC BED ∠=∠,又∵E 是AB 的中点,∴AE BE =,在AEC 和BED 中,AE BE AEC BED CE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴AEC ≌BED .∴AC BD =.【点睛】熟悉“等腰三角形的性质、平行线的性质和全等三角形的判定方法”是解答本题的关键.25.(1)y =3x ﹣2;(2)图象见解析;(3)(﹣5,﹣4)不在这个函数的图象上;(4)23. 【解析】【分析】 (1)利用待定系数法即可求得;(2)利用两点法画出直线即可;(3)把x =﹣5代入解析式,即可判断;(4)求得直线与坐标轴的交点,即可求得.【详解】解:(1)设一次函数的解析式为y =kx+b∵一次函数的图象经过点A (2,4)和B (﹣1,﹣5)两点∴245k b k b +=⎧⎨-+=-⎩, 解得:k 3b 2=⎧⎨=-⎩∴一次函数的表达式为y =3x ﹣2;(2)描出A 、B 点,作出一次函数的图象如图:(3)由(1)知,一次函数的表达式为y=3x﹣2将x=﹣5代入此函数表达式中得,y=3×(﹣5)﹣2=﹣17≠﹣4∴(﹣5,﹣4)不在这个函数的图象上;(4)由(1)知,一次函数的表达式为y=3x﹣2令x=0,则y=﹣2,令y=0,则3x﹣2=0,∴x=23,∴该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为:12×2×23=23.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式,一次函数图象上点的坐标特征,一次函数的图象以及三角形的面积,熟练掌握待定系数法是解题的关键.四、压轴题26.见解析【解析】【分析】先根据平行线的性质,得到角的关系,然后证明OCD OFE△≌△,写出证明过程和依据即可.【详解】解:过点E作//EF AC交BC于F,∴ACB EFB∠=∠(两直线平行,同位角相等),∴D OEF ∠=∠(两直线平行,内错角相等),在OCD 与OFE △中()()()COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等已知已证, ∴OCD OFE △≌△,(ASA )∴CD FE =(全等三角形对应边相等)∵AB AC =(已知)∴ACB B =∠∠(等边对等角)∴EFB B ∠=∠(等量代换)∴BE FE =(等角对等边)∴CD BE =;【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行线的性质,解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件,从而进行证明.27.(1)=;(2)证明见解析;(3)60°,BD=CE ;(4)90°,AM+BD=CM ;(5)7【解析】【分析】(1)由DE ∥BC ,得到DB EC AB AC=,结合AB=AC ,得到DB=EC ; (2)由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ,得到DB=CE ; (3)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB ≌△EAC ,根据全等三角形的性质求出结论;(4)根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论;(5)根据旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变,而在旋转的过程中,△ADC 的AC 始终保持不变,即可.【详解】[初步感知](1)∵DE ∥BC , ∴DB EC AB AC=, ∵AB=AC ,∴DB=EC ,故答案为:=,(2)成立. 理由:由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ,在△DAB 和△EAC 中AD AEDAB EACAB AC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===,∴△DAB≌△EAC(SAS),∴DB=CE;[深入探究](3)如图③,设AB,CD交于O,∵△ABC和△ADE都是等边三角形,∴AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°,∴∠DAB=∠EAC,在△DAB和△EAC中AD AEDAB EACAB AC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===,∴△DAB≌△EAC(SAS),∴DB=CE,∠ABD=∠ACE,∵∠BOD=∠AOC,∴∠BDC=∠BAC=60°;(4)∵△DAE是等腰直角三角形,∴∠AED=45°,∴∠AEC=135°,在△DAB和△EAC中AD AEDAB EACAB AC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===,∴△DAB≌△EAC(SAS),∴∠ADB=∠AEC=135°,BD=CE,∵∠ADE=45°,∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°,∵△ADE都是等腰直角三角形,AM为△ADE中DE边上的高,∴AM=EM=MD,∴AM+BD=CM;故答案为:90°,AM+BD=CM;【拓展提升】(5)如图,由旋转可知,在旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变,△ADE与△ADC面积的和达到最大,∴△ADC面积最大,∵在旋转的过程中,AC始终保持不变,∴要△ADC面积最大,∴点D到AC的距离最大,∴DA⊥AC,∴△ADE与△ADC面积的和达到的最大为2+12×AC×AD=5+2=7,故答案为7.【点睛】此题是几何变换综合题,主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定,旋转过程中面积变化分析,解本题的关键是三角形全等的判定.28.(1)y=﹣33x+2;(2)△AOD为直角三角形,理由见解析;(3)t=23或33.【解析】【分析】(1)将点A、B的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b,即可求解;(2)由点A、O、D的坐标得:AD2=1,AO2=3,DO2=4,故DO2=OA2+AD2,即可求解;(3)点C3,1),∠DBO=30°,则∠ODA=60°,则∠DOA=30°,故点C3 1),则∠AOC=30°,∠DOC=60°,OQ=CP=t,则OP=2﹣t.①当OP=OM时,OQ =QH+OH3(2﹣t)+12(2﹣t)=t,即可求解;②当MO=MP时,∠OQP=90°,故OQ=12O P,即可求解;③当PO=PM时,故这种情况不存在.【详解】解:(1)将点A、B的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b得:33=2203k bk b⎧+⎪⎨⎪=+⎩,解得:3=2kb⎧⎪⎨⎪=⎩-故直线AB的表达式为:y=﹣33x+2;(2)直线AB的表达式为:y=﹣3x+2,则点D(0,2),由点A、O、D的坐标得:AD2=1,AO2=3,DO2=4,故DO2=OA2+AD2,故△AOD为直角三角形;(3)直线AB的表达式为:y=﹣3x+2,故点C(3,1),则OC=2,则直线AB的倾斜角为30°,即∠DBO=30°,则∠ODA=60°,则∠DOA=30°故点C(3,1),则OC=2,则点C是AB的中点,故∠COB=∠DBO=30°,则∠AOC=30°,∠DOC=60°,OQ=CP=t,则OP=OC﹣PC=2﹣t,①当OP=OM时,如图1,则∠OMP=∠MPO=12(180°﹣∠AOC)=75°,故∠OQP=45°,过点P作PH⊥y轴于点H,则OH=12OP=12(2﹣t),由勾股定理得:PH32﹣t)=QH,OQ=QH+OH32﹣t)+12(2﹣t)=t,解得:t=33;②当MO=MP时,如图2,则∠MPO=∠MOP=30°,而∠QOP=60°,∴∠OQP=90°,故OQ=12OP,即t=12(2﹣t),解得:t=23;③当PO=PM时,则∠OMP=∠MOP=30°,而∠MOQ=30°,故这种情况不存在;综上,t=2323.【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一次函数解析式、勾股定理、含30°的角的直角三角形的性质等知识点,还利用了方程和分类讨论的思想,综合性较强,难度较大,解题的关键是学会综合运用性质进行推理和计算.29.(1)P(﹣1,﹣1);(2)32;(3)T(1,0)或(﹣2,0).【解析】【分析】(1)解析式联立构成方程组,该方程组的解就是交点坐标;(2)利用三角形的面积公式解答;(3)求得C的坐标,因为S△ATP=S△APB,S△ATP=S△ATC+S△PTC=|x+12|,所以|x+12|=32,解得即可.【详解】解:(1)由212y xy x=+⎧⎨=--⎩,解得11xy=-⎧⎨=-⎩,所以P(﹣1,﹣1);(2)令x=0,得y1=1,y2=﹣2∴A (0,1),B (0,﹣2),则 S △APB =12×(1+2)×1=32; (3)在直线l 1:y 1=2x +1中,令y =0,解得x =﹣12, ∴C (﹣12,0), 设T (x ,0), ∴CT =|x +12|, ∵S △ATP =S △APB ,S △ATP =S △ATC +S △PTC =12•|x +12|•(1+1)=|x +12|, ∴|x +12|=32, 解得x =1或﹣2,∴T (1,0)或(﹣2,0).【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组,解题的关键是准确将条件转化为二元一次方程组,并求出各点的坐标.30.(1)6-2t ;(2)全等,理由见解析;(3)83;(4)经过24s 后,点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇【解析】【分析】(1)根据题意求出BP ,由PC=BC-BP ,即可求得;(2)根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中,点运动轨迹的边长,由∠B=∠C ,利用SAS 判定BPD △和CQP 全等即可;(3)根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系,得出BP=PC ,再根据路程=速度×时间公式,求点P 的运动时间,然后求点Q 的运动速度即得;(4)求出点P 、Q 的路程,根据三角形ABC 的三边长度,即可得出答案.【详解】(1)由题意知,BP=2t ,则PC=BC-BP=6-2t ,故答案为:6-2t ;(2)全等,理由如下:∵p Q V V ,t=1,∴BP=2=CQ ,∵AB=8cm ,点D 为AB 的中点,∴BD=4(cm ),又∵PC=BC-BP=6-2=4(cm ),在BPD △和CQP 中BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BPD △≌CQP (SAS )故答案为:全等.(3)∵p Q V V ≠,∴BP CQ ≠,又∵BPD △≌CPQ ,∠B=∠C ,∴BP=PC=3cm ,CQ=BD=4cm ,∴点,P Q 运动时间322BP t ==(s ), ∴48332Q CQ V t===(cm/s ), 故答案为:83; (4)设经过t 秒时,P 、Q 第一次相遇,∵2/p V cm s =,8/3Q V cm s =, ∴2t+8+8=83t , 解得:t=24此时点Q 走了824643⨯=(cm ),∵ABC 的周长为:8+8+6=22(cm ),∴6422220÷=,∴20-8-8=4(cm ),经过24s 后,点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇,故答案为:24s ,在 BC 边上相遇.【点睛】考查了全等三角形的判定和性质,路程,速度,时间的关系,全等三角形中的动点问题,动点的追及问题,熟记三角形性质和判定,熟练掌握全等的判定依据和动点的运动规律是解题的关键,注意动点中追及问题的方向.。
无锡市八年级(上)期末数学试卷(含答案)
无锡市八年级(上)期末数学试卷(含答案)一、选择题1.下列成语描述的事件为随机事件的是( ) A .守株待兔 B .水中捞月 C .瓮中捉鳖 D .水涨船高 2.下列无理数中,在﹣1与2之间的是( )A .﹣3B .﹣2C .2D .53.如图,我们知道数轴上的点与实数一一对应,由图中的信息可知点P 表示的数是( )A .132--B .132-+C .132-D .13-4.如图,将△ABC 折叠,使点A 与BC 边中点D 重合,折痕为MN ,若AB=9,BC=6,则△DNB 的周长为( )A .12B .13C .14D .155.在22、0.3•、227-、38中,无理数的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个 6.已知点(,21)P a a -在一、三象限的角平分线上,则a 的值为( )A .1-B .0C .1D .27.如图,直线(0)y x b b =+>分别交x 轴、y 轴于点A 、B ,直线(0)y kx k =<与直线(0)y x b b =+>交于点C ,点C 在第二象限,过A 、B 两点分别作AD OC ⊥于D ,BE OC ⊥于E ,且8BE BO +=,4=AD ,则ED 的长为( )A .2B .32C .52D .18.等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为( ) A .1 B .5 C .7 D .49 9.一次函数y =﹣2x+3的图象不经过的象限是( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 10.估算x =5值的大小正确的是( ) A .0<x <1B .1<x <2C .2<x <3D .3<x <4二、填空题11.如图,点O 是边长为2的等边三角ABC 内任意一点,且OD AC ⊥,OE AB ⊥,OF BC ⊥,则OD OE OF ++=__________.12.如图,在四边形ABCD 中,∠A =90°,AD =4,连接BD ,BD ⊥CD ,∠ADB =∠C .若P 是BC边上一动点,则DP 长的最小值为 .13.当a =_______时,分式2123a a a +--的值为1.14.若关于x 的方程233x mx +=-的解不小于1,则m 的取值范围是_______. 15.若1712a +=,则352020a a -+=__________. 16.如图,在Rt ABC △中,90B ∠=︒,30A ∠=︒,DE 垂直平分斜边AC ,交AB 于D ,E 是垂足,连接CD ,若1BD =,则AC 的长是__________.17.已知某地的地面气温是20℃,如果每升高1000m 气温下降6℃,则气温t (℃)与高度h (m )的函数关系式为_____.18.如图,已知ABD CBD ∠∠=,若以“SAS”为依据判定ABD ≌CBD ,还需添加的一个直接条件是______.19.计算:16=_______.20.如图,等腰Rt △OAB ,∠AOB =90°,斜边AB 交y 轴正半轴于点C ,若A (3,1),则点C 的坐标为_____.三、解答题21.如图是88⨯的正方形网格,每个小方格都是边长为1的正方形,在网格中建立平面直角坐标系xOy ,使点A 坐标为()2,3-,点B 坐标为()41-,.(1)试在图中画出这个直角坐标系;(2)标出点()1,1C ,连接AB 、AC ,画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆. 22.如图,已知某开发区有一块四边形空地ABCD ,现计划在该空地上种植草皮,经测量∠ADC=90°,CD=6m ,AD=8m ,BC=24cm ,AB=26m ,若每平方米草皮需200元,则在该空地上种植草皮共需多少钱?23.如图,在四边形ABCD 中,AB=DC ,延长线段CB 到E ,使BE=AD ,连接AE 、AC ,且AE=AC ,求证:(1)△ABE ≌△CDA ; (2)AD ∥EC .24.如图,过点A (2,0)的两条直线1l ,2l 分别交y 轴于B ,C ,其中点B 在原点上方,点C 在原点下方,已知AB=13.(1)求点B 的坐标;(2)若△ABC 的面积为4,求2l 的解析式.25.已知:如图,ABC △和ADE △均为等腰直角三角形,90BAC DAE ∠=∠=︒,连结AC ,BD ,且D 、E 、C 三点在一直线上,2AD =,2DE EC =.(1)求证:ADB AEC △≌△; (2)求线段BC 的长.四、压轴题26.阅读并填空:如图,ABC 是等腰三角形,AB AC =,D 是边AC 延长线上的一点,E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ,如果OE OD ,那么CD BE =,为什么?解:过点E作EF AC交BC于F所以ACB EFB∠=∠(两直线平行,同位角相等)D OEF∠=∠(________)在OCD与OFE△中()________COD FOEOD OED OEF⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE△≌△,(________)所以CD FE=(________)因为AB AC=(已知)所以ACB B=∠∠(________)所以EFB B∠=∠(等量代换)所以BE FE=(________)所以CD BE=27.在平面直角坐标系中,点A、B在坐标轴上,其中A(0,a)、B(b,0)满足:222110a b a b--++-=.(1)直接写出A 、B 两点的坐标;(2)将线段AB平移到CD,点A的对应点为C(-3,m),如图(1)所示.若SΔABC=16,求点D 的坐标;(3)平移线段AB到CD,若点C、D也在坐标轴上,如图(2)所示,P为线段AB上一动点(不与A、B重合),连接OP,PE平分∠OPB,交x轴于点M,且满足∠BCE=2∠ECD.求证:∠BCD=3(∠CEP-∠OPE).28.在平面直角坐标系xOy中,若P,Q为某个矩形不相邻的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”.图1为点P,Q的“相关矩形”的示意图.已知点A的坐标为(1,2).(1)如图2,点B的坐标为(b,0).①若b=﹣2,则点A,B的“相关矩形”的面积是;②若点A,B的“相关矩形”的面积是8,则b的值为.(2)如图3,点C在直线y=﹣1上,若点A,C的“相关矩形”是正方形,求直线AC的表达式;(3)如图4,等边△DEF的边DE在x轴上,顶点F在y轴的正半轴上,点D的坐标为(1,0).点M的坐标为(m,2),若在△DEF的边上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,请直接写出m的取值范围.29.如图,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1s后,BP= cm,CQ= cm.(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1s后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?(4)若点Q以(3)中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次相遇?30.阅读下列材料,并按要求解答.(模型建立)如图①,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E.求证:△BEC≌△CDA.(模型应用)应用1:如图②,在四边形ABCD中,∠ADC=90°,AD=6,CD=8,BC=10,AB2=200.求线段BD的长.应用2:如图③,在平面直角坐标系中,纸片△OPQ为等腰直角三角形,QO=QP,P(4,m),点Q始终在直线OP的上方.(1)折叠纸片,使得点P与点O重合,折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M,当m=2时,求Q点的坐标和直线l与x轴的交点坐标;(2)若无论m取何值,点Q总在某条确定的直线上,请直接写出这条直线的解析式.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A解析:A【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.【详解】解:A.守株待兔是随机事件,故A符合题意;B.水中捞月是不可能事件,故B不符合题意;C.瓮中捉鳖是必然事件,故C不符合题意;D.水涨船高是必然事件,故D不符合题意;故选:A.【点睛】本题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.2.C解析:C试题分析:A .﹣3<﹣1,故错误;B .﹣2<﹣1,故错误;C .﹣1<2<2,故正确;D.5>2,故错误;故选C . 【考点】估算无理数的大小.3.A解析:A 【解析】 【分析】根据可知AP=AB ,在直角三角形ABC 中,由勾股定理可求AB 的长度,由点P 在0的左边,即可得到答案. 【详解】 解:如图所示,由图可知,AP=AB ,△ABC 是直角三角形, ∵AC=2,BC=3,由勾股定理,得:22222313AB AC BC -+=,∴13AP AB == ∴132PC =,∵点P 在点C 的左边,点C 表示的数为0, ∴点P 表示的数为:132)132-=; 故选择:A. 【点睛】本题考查了利用数轴表示无理数,解题的关键是掌握利用数轴表示有理数,依据掌握勾股定理计算长度.4.A解析:A 【解析】 【分析】根据中点的定义可得BD=3,由折叠的性质可知DN=AN ,即DN+BN=AB=9,可得△DNB 的周长. 【详解】解:∵D 是BC 的中点,BC=6,由折叠的性质可知DN=AN ,∴△DNB 的周长=DN+BN+BD=AN+BN+BD=AB+BD=9+3=12. 故选A. 【点睛】本题主要考查翻折变换,解题的关键是掌握翻折变换的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等5.A解析:A 【解析】 【分析】根据无理数的三种形式,①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,结合题意判断即可. 【详解】解:在实数2、•0.3、227-中,2是无理数; •0.3循环小数,是有理数; 227-是分数,是有理数;=2,是整数,是有理数;所以无理数共1个. 故选:A . 【点睛】此题考查了无理数的概念,解答本题的关键是掌握无理数的定义,属于基础题,要熟练掌握无理数的三种形式,难度一般.6.C解析:C 【解析】 【分析】根据第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可. 【详解】∵点P (a ,2a-1)在一、三象限的角平分线上, ∴a=2a-1, 解得a=1. 故选:C . 【点睛】本题考查了坐标与图形性质,熟记第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键.7.D解析:D 【解析】 【分析】图中直线y=x+b 与x 轴负半轴,y 轴正半轴分别交于A ,B 两点,可以根据两点的坐标得出OA=OB ,由此可证明△AOD ≌△OBE ,证出OC=AD ,BE=OD ,在Rt △OBE 中,运用勾股定理可求出BE 的长,再根据线段的差可求出DE 的长. 【详解】直线y=x+b(b >0)与x 轴的交点坐标A 为(-b ,0)与y 轴的交点坐标B 为(0,-b ), 所以,OA=OB , 又∵AD ⊥OC ,BE ⊥OC , ∴∠ADO=∠BEO=90°,∵∠DOA+∠DAO=90°,∠DOA+∠DOB=90°, ∴∠DAO=∠DOB , 在△DAO 和△BOE 中,DAO BOE ADO BEO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAO ≌EOB , ∴OD=BE.AD=OE , ∵AD=4, ∴OE=4, ∵BE+BO=8, ∴B0=8-BE ,在Rt △OBE 中,222BO BE OE =+, ∴222(8)BE BE OE -=+ 解得,BE=3, ∴OD=3, ∴ED=OE-OD=4-3=1. 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及全等三角形的判定与性质,根据全等三角形的性质求出OD=BE 是解题的关键.8.B解析:B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可知BC上的中线AD同时是BC上的高线,根据勾股定理求出AB的长即可.【详解】∵等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是BC上的中线,∴BD=CD=12BC=3,AD同时是BC上的高线,∴2222345BD AD+=+=.故它的腰长为5.故选:B.【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质.解题关键是得出中线AD同时是BC上的高线.9.C解析:C【解析】试题解析:∵k=-2<0,∴一次函数经过二四象限;∵b=3>0,∴一次函数又经过第一象限,∴一次函数y=-x+3的图象不经过第三象限,故选C.10.C解析:C【解析】【分析】549.【详解】459<<∴253<<,故选:C.【点睛】此题主要考查无理数的估值,熟练掌握,即可解题.二、填空题11.【解析】过点A作AG⊥BC于点G,由等边三角形的性质求出BG的长,再根据勾股定理求出AG的长;连接OA,OB,OC,根据三角形的面积公式即可得出结论.【详解】解:过点A作AG⊥BC解析:3【解析】【分析】过点A作AG⊥BC于点G,由等边三角形的性质求出BG的长,再根据勾股定理求出AG的长;连接OA,OB,OC,根据三角形的面积公式即可得出结论.【详解】解:过点A作AG⊥BC于点G,连接OA,OB,OC,∵AB=AC=BC=2,∴BG=12BC=1,∴22213∵S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC,∴12AB×(OD+OE+OF)=12BC•AG,∴3.3【点睛】本题考查的是等边三角形的性质,以及勾股定理,熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键.12.4【解析】如图,过点D作DE⊥BC于点E,当DP=DE时,DP最小,∵BD⊥DC,∠A=90°,∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A,∠BDC=90°,∴∠C+∠CDE=90°,∠CDE+【解析】如图,过点D作DE⊥BC于点E,当DP=DE时,DP最小,∵BD⊥DC,∠A=90°,∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A,∠BDC=90°,∴∠C+∠CDE=90°,∠CDE+∠BDE=90°,∴∠BDE=∠C,又∵∠ADB=∠C,∴∠ADB=∠BDE,∴在△ABD和△EBD中A DEBADB BDEBD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴DE=AD=4,即DP的最小值为4.13.-3【解析】【分析】根据题意列出方程,解出a即可.【详解】解:根据题意得:=1,即可得到解得:根据中得到舍弃所以故答案为:-3.【点睛】此题主要考查了可化为一元解析:-3【解析】【分析】根据题意列出方程,解出a即可.解:根据题意得:2123a a a +--=1, 即可得到 2123a a a +-=-解得 :3a =± 根据2123a a a +--中 30a -≠ 得到3a ≠ 舍弃3a =所以3a =-故答案为:-3.【点睛】此题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程,关键是根据题意列出分式方程.14.m≥-8 且m≠-6【解析】【分析】首先求出关于x 的方程的解,然后根据解不小于1列出不等式,即可求出.【详解】解:解关于x 的方程得x=m+9因为的方程的解不小于,且x≠3所以m+解析:m ≥-8 且m≠-6【解析】【分析】首先求出关于x 的方程233x m x +=-的解,然后根据解不小于1列出不等式,即可求出. 【详解】解:解关于x 的方程233x m x +=- 得x=m+9 因为x 的方程233x m x +=-的解不小于1,且x ≠3 所以m+9≥1 且m+9≠3解得m ≥-8 且m≠-6 .故答案为:m ≥-8 且m≠-6【点睛】 此题主要考查了分式方程的解,是一个方程与不等式的综合题目,重点注意分式方程存在的意义分母不为零.【解析】【分析】,代入a 值,根据乘法法则进行计算即可.【详解】===4+2020=2024故答案为:2024【点睛】考核知识点:二次根式运算.掌握运算法则,运用乘法公解析:2024【解析】【分析】352020a a -+=()252020a a -+,代入a 值,根据乘法法则进行计算即可.【详解】352020a a -+=()225202052020a a ⎡⎤⎢⎥-+=-+⎢⎥⎝⎭⎣⎦=1185202024⎡⎤+⨯-+⎢⎥⎣⎦=11202022⨯+ =4+2020=2024故答案为:2024【点睛】 考核知识点:二次根式运算.掌握运算法则,运用乘法公式是关键.16.【解析】解:,,∴.又∵垂直平分,∴,.∵,∴,∴,,.由勾股定理可得.故答案为.解析:【解析】解:90B ∠=︒,30A ∠=︒,∴60ACB ∠=︒.又∵DE 垂直平分AC ,∴CD AD =,30ACD A DCB ∠=∠=︒=∠.∵1BD =,∴2CD AD ==,∴3AB =,30A ∠=︒,12BC AC =.由勾股定理可得AC =故答案为 17.t=﹣0.006h+20【解析】【分析】根据题意得到每升高1m 气温下降0.006℃,由此写出关系式即可.【详解】∵每升高1000m 气温下降6℃,∴每升高1m 气温下降0.006℃,∴气温解析:t=﹣0.006h+20【解析】【分析】根据题意得到每升高1m 气温下降0.006℃,由此写出关系式即可.【详解】∵每升高1000m 气温下降6℃,∴每升高1m 气温下降0.006℃,∴气温t (℃)与高度h (m )的函数关系式为t=﹣0.006h+20,故答案为:t=﹣0.006h+20.【点睛】本题考查了函数关系式,正确找出气温与高度之间的关系是解题的关键.18.AB=BC【解析】【分析】利用公共边BD 以及∠ABD=∠CBD,依据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等,即可得到需要的条件.【详解】如图,∵在△ABD 与△CBD 中,∠ABD=∠CBD解析:AB=BC【解析】【分析】利用公共边BD 以及∠ABD=∠CBD ,依据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等,即可得到需要的条件.【详解】如图,∵在△ABD 与△CBD 中,∠ABD=∠CBD ,BD=BD ,∴添加AB=CB 时,可以根据SAS 判定△ABD ≌△CBD ,故答案为AB=CB .【点睛】本题考查了全等三角形的判定.本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.19.4【解析】【分析】根据算术平方根的概念去解即可.算术平方根的定义:一个非负数的正的平方根,即为这个数的算术平方根,由此即可求出结果.【详解】解:原式==4.故答案为4.【点睛】此题主解析:4【解析】【分析】根据算术平方根的概念去解即可.算术平方根的定义:一个非负数的正的平方根,即为这个数的算术平方根,由此即可求出结果.【详解】解:原式.故答案为4.【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义,算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误.20.(0,)【解析】【分析】过B作BE⊥y轴于E,过A作AF⊥x轴于F,根据全等三角形的性质得到B(﹣1,3),设直线AB的解析式为y=kx+b,求得直线AB的解析式为y=﹣x+,于是得到结论.解析:(0,52)【解析】【分析】过B作BE⊥y轴于E,过A作AF⊥x轴于F,根据全等三角形的性质得到B(﹣1,3),设直线AB的解析式为y=kx+b,求得直线AB的解析式为y=﹣12x+52,于是得到结论.【详解】过B作BE⊥y轴于E,过A作AF⊥x轴于F,如图所示:∴∠BCO=∠AFO=90°,∵A(3,1),∴OF=3,AF=1,∵∠AOB=90°,∴∠BOC+∠OBC=∠BOC+∠AOF=90°,∴∠BOC=∠AOF,∵OA=OB,∴△BOE≌△AOF(AAS),∴BE=AF=1,OE=OF=3,∴B(﹣1,3),设直线AB的解析式为y=kx+b,∴3 31k bk b-+=⎧⎨+=⎩,解得:1252kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴直线AB的解析式为y=﹣12x+52,当x=0时,y=52,∴点C的坐标为(0,52),故答案为:(0,52).【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质,解题关键是利用全等得出点坐标进而求得解析式.三、解答题21.(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】【分析】(1)由点A的坐标可建立平面直角坐标系;(2)先作出点C,再分别作出点A、B、C关于y轴的对称点,顺次连接即可得.【详解】如图所示;(2)如图所示.【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换,熟知轴对称变换的性质是解答此题的关键.22.19200【解析】【分析】连接AC,在Rt△ACD中,根据勾股定理求出AC2,由于AC2+BC2=AB2根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°,由S四边形ABCD=S△ACB-S△ACD可得最终结果.【详解】解:连接AC,在Rt△ACD中,AC2=CD2+AD2=62+82=102,在△ABC中,AB2=262,BC2=242,而102+242=262,即AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,S四边形ABCD=S△ACB-S△ACD=12•AC•BC-12AD•CD,=12×10×24-12×8×6=96.所以需费用96×200=19200(元).【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理的灵活应用.23.(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】试题分析:(1)直接根据SSS 就可以证明△ABE ≌△CDA ;(2)由△ABE ≌△CDA 可以得出∠E=∠CAD ,就可以得出∠ACE=∠CAD ,从而得出结论. 试题解析:(1)在△ABE 和△CDA 中{AE ACAB CD BE AD===∵△ABE ≌△CDA (SSS );(2)∵△ABE ≌△CDA ,∴∠E=∠CAD .∵AE=AC ,∴∠E=∠ACE∴∠ACE=∠CAD ,∴AD ∥EC .考点:全等三角形的判定与性质.【详解】请在此输入详解!24.(1)(0,3);(2)112y x =-. 【解析】【分析】(1)在Rt △AOB 中,由勾股定理得到OB=3,即可得出点B 的坐标;(2)由ABC S ∆=12BC•OA ,得到BC=4,进而得到C (0,-1).设2l 的解析式为y kx b =+, 把A (2,0),C (0,-1)代入即可得到2l 的解析式.【详解】(1)在Rt △AOB 中,∵222OA OB AB +=,∴2222OB +=,∴OB=3,∴点B 的坐标是(0,3) .(2)∵ABC S ∆=12BC•OA , ∴12BC×2=4, ∴BC=4,∴C (0,-1).设2l 的解析式为y kx b =+,把A (2,0),C (0,-1)代入得:20{1k b b +==-, ∴1{21k b ==-,∴2l 的解析式为是112y x =-. 考点:一次函数的性质. 25.(1)详见解析;(2)BC =【解析】【分析】(1)根据等式的基本性质可得∠DAB =∠EAC ,然后根据等腰直角三角形的性质可得DA =EA ,BA =CA ,再利用SAS 即可证出结论;(2)根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出DE ,从而求出EC 和DC ,再根据全等三角形的性质即可求出DB ,∠ADB=∠AEC ,从而求出∠BDC=90°,最后根据勾股定理即可求出结论.【详解】证明:(1)∵90BAC DAE ∠=∠=︒∴∠DAE -∠BAE =∠BAC -∠BAE∴∠DAB =∠EAC∵ABC ∆和ADE ∆均为等腰直角三角形∴DA =EA ,BA =CA在△ADB 和△AEC 中DA EA DAB EAC BA CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△AEC(2)∵ADE △是等腰直角三角形,AD AE ==∴2=,∵2DE EC =∴EC=112DE =, ∴DC=DE +EC=3∵△ADB ≌△AEC ∴DB=EC=3,∠ADB=∠AEC∵∠ADB=∠ADE +∠BDC ,∠AEC=∠ADE +∠DAE=∠ADE +90°∴∠BDC=90°在Rt △BDC 中,2210BC DB DC =+=【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理,掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键. 四、压轴题26.见解析【解析】【分析】先根据平行线的性质,得到角的关系,然后证明OCD OFE △≌△,写出证明过程和依据即可.【详解】解:过点E 作//EF AC 交BC 于F ,∴ACB EFB ∠=∠(两直线平行,同位角相等),∴D OEF ∠=∠(两直线平行,内错角相等),在OCD 与OFE △中()()()COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等已知已证, ∴OCD OFE △≌△,(ASA )∴CD FE =(全等三角形对应边相等)∵AB AC =(已知)∴ACB B =∠∠(等边对等角)∴EFB B ∠=∠(等量代换)∴BE FE =(等角对等边)∴CD BE =;【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行线的性质,解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件,从而进行证明.27.(1)A (0,3),B (4,0);(2)D (1,-265);(3)见解析 【解析】【分析】(1)根据非负数的性质求解; (2)如图1中,设直线CD 交y 轴于E .首先求出点E 的坐标,再求出直线CD 的解析式以及点C 坐标,利用平移的性质得到点D 坐标;(3)如图2中,延长AB 交CE 的延长线于M .利用平行线的性质以及三角形的外角的性质求证;【详解】(1)∵222110a b a b --++-=,∴220,2110a b a b --=+-=,∴2202110a b a b --=⎧⎨+-=⎩ ,∴34a b =⎧⎨=⎩,∴A (0,3),B (4,0);(2)如图1中,设直线CD 交y 轴于E .∵CD//AB ,∴S △ACB =S △ABE ,∴12AE×BO=16,∴12×AE×4=16,∴AE=8,∴E (0,-5),设直线AB 的解析式为y=kx+b ,将点A (0,3),(4,0)代入解析式中得:343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ , ∴直线AB 的解析式为y=334x -+, ∵AB//CD ,∴直线CD 的解析式为y=34x c -+, 又∵点E (0,-5)在直线CD 上,∴c=5,即直线CD 的解析式为y=354x --, 又∵点C (-3,m )在直线CD 上, ∴m=115, ∴C (-3,115), ∵点A (0,3)平移后的对应点为C (-3,115), ∴直线AB 向下平移了265个单位,向左平移了3个单位, 又∵B (4,0)的对应点为点D ,∴点D 的坐标为(1,-265); (3)如图2中,延长AB 交CE 的延长线于点M .∵AM ∥CD ,∴∠DCM=∠M ,∵∠BCE=2∠ECD ,∴∠BCD=3∠DCM=3∠M ,∵∠M=∠PEC-∠MPE ,∠MPE=∠OPE ,∴∠BCD=3(∠CEP-∠OPE ).【点睛】考查了非负数的性质、平行线的性质、三角形的外角的性质、一次函数的应用等知识,解题关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,利用平行线的性质解决问题.28.(1)①6;②5或﹣3;(2)直线AC的表达式为:y=﹣x+3或y=x+1;(3)m的取值范围为﹣3≤m≤﹣或2m≤3.【解析】【分析】(1)①由矩形的性质即可得出结果;②由矩形的性质即可得出结果;(2)过点A(1,2)作直线y=﹣1的垂线,垂足为点G,则AG=3求出正方形AGCH的边长为3,分两种情况求出直线AC的表达式即可;(3)由题意得出点M在直线y=2上,由等边三角形的性质和题意得出OD=OE=12DE=1,EF=DF=DE=2,得出OF OD①当点N在边EF上时,若点N与E重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M的坐标为(﹣3,2)或(1,2);若点N与F重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M的坐标为(﹣2);得出m的取值范围为﹣3≤m≤﹣或2﹣≤m≤1;②当点N在边DF上时,若点N与D重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M 的坐标为(3,2)或(﹣1,2);若点N与F重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M的坐标为(22);得出m的取值范围为2≤m≤3或2﹣≤m≤1;即可得出结论.【详解】解:(1)①∵b=﹣2,∴点B的坐标为(﹣2,0),如图2﹣1所示:∵点A的坐标为(1,2),∴由矩形的性质可得:点A,B的“相关矩形”的面积=(1+2)×2=6,故答案为:6;②如图2﹣2所示:由矩形的性质可得:点A,B的“相关矩形”的面积=|b﹣1|×2=8,∴|b﹣1|=4,∴b=5或b=﹣3,故答案为:5或﹣3;(2)过点A(1,2)作直线y=﹣1的垂线,垂足为点G,则AG=3,∵点C在直线y=﹣1上,点A,C的“相关矩形”AGCH是正方形,∴正方形AGCH的边长为3,当点C在直线x=1右侧时,如图3﹣1所示:CG=3,则C(4,﹣1),设直线AC的表达式为:y=kx+a,则214k ak a=+⎧⎨-=+⎩,解得;13ka=-⎧⎨=⎩,∴直线AC的表达式为:y=﹣x+3;当点C在直线x=1左侧时,如图3﹣2所示:CG=3,则C(﹣2,﹣1),设直线AC的表达式为:y=k′x+b,则212k bk b=+⎧⎨-=-+''⎩,解得:k1 b1=⎧⎨='⎩,∴直线AC的表达式为:y=x+1,综上所述,直线AC的表达式为:y=﹣x+3或y=x+1;(3)∵点M的坐标为(m,2),∴点M在直线y=2上,∵△DEF是等边三角形,顶点F在y轴的正半轴上,点D的坐标为(1,0),∴OD=OE=12DE=1,EF=DF=DE=2,∴OF OD分两种情况:如图4所示:①当点N在边EF上时,若点N与E重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M的坐标为(﹣3,2)或(1,2);若点N与F重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M的坐标为(﹣2)或(2,2);∴m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2m≤1;②当点N在边DF上时,若点N与D重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M的坐标为(3,2)或(﹣1,2);若点N与F重合,点M,N的“相关矩形”为正方形,则点M的坐标为(22)或(﹣,2);∴m的取值范围为2m≤3或﹣1≤m≤﹣综上所述,m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2m≤3.【点睛】此题主要考查图形与坐标综合,解题的关键是熟知正方形的性质、一次函数的图像与性质及新定义的应用.29.(1)BP=3cm,CQ=3cm;(2)全等,理由详见解析;(3)154;(4)经过803s点P与点Q第一次相遇.【解析】(1)速度和时间相乘可得BP 、CQ 的长;(2)利用SAS 可证三角形全等;(3)三角形全等,则可得出BP=PC ,CQ=BD ,从而求出t 的值;(4)第一次相遇,即点Q 第一次追上点P ,即点Q 的运动的路程比点P 运动的路程多10+10=20cm 的长度.【详解】解:(1)BP=3×1=3㎝,CQ=3×1=3㎝(2)∵t=1s ,点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等∴BP=CQ=3×1=3cm ,∵AB=10cm ,点D 为AB 的中点,∴BD=5cm .又∵PC=BC ﹣BP ,BC=8cm ,∴PC=8﹣3=5cm ,∴PC=BD又∵AB=AC ,∴∠B=∠C ,在△BPD 和△CQP 中,PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BPD ≌△CQP(SAS)(3)∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,∴BP 与CQ 不是对应边,即BP≠CQ∴若△BPD ≌△CPQ ,且∠B=∠C ,则BP=PC=4cm ,CQ=BD=5cm ,∴点P ,点Q 运动的时间t=433BP =s , ∴154Q CQ V t ==cm/s ; (4)设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇. 由题意,得154x=3x+2×10, 解得80x=3 ∴经过803s 点P 与点Q 第一次相遇.本题考查动点问题,解题关键还是全等的证明和利用,将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程.30.模型建立:见解析;应用1:2:(1)Q(1,3),交点坐标为(52,0);(2)y=﹣x+4【解析】【分析】根据AAS证明△BEC≌△CDA,即可;应用1:连接AC,过点B作BH⊥DC,交DC的延长线于点H,易证△ADC≌△CHB,结合勾股定理,即可求解;应用2:(1)过点P作PN⊥x轴于点N,过点Q作QK⊥y轴于点K,直线KQ和直线NP 相交于点H,易得:△OKQ≌△QHP,设H(4,y),列出方程,求出y的值,进而求出Q(1,3),再根据中点坐标公式,得P(4,2),即可得到直线l的函数解析式,进而求出直线l与x轴的交点坐标;(2)设Q(x,y),由△OKQ≌△QHP,KQ=x,OK=HQ=y,可得:y=﹣x+4,进而即可得到结论.【详解】如图①,∵AD⊥ED,BE⊥ED,∠ACB=90°,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°,∴∠DAC=∠BCE,∵AC=BC,∴△BEC≌△CDA(AAS);应用1:如图②,连接AC,过点B作BH⊥DC,交DC的延长线于点H,∵∠ADC=90°,AD=6,CD=8,∴AC=10,∵BC=10,AB2=200,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∵∠ADC=∠BHC=∠ACB=90°,∴∠ACD=∠CBH,∵AC=BC=10,∴△ADC≌△CHB(AAS),∴CH=AD=6,BH=CD=8,∴DH=6+8=14,∵BH⊥DC,∴BD=应用2:(1)如图③,过点P作PN⊥x轴于点N,过点Q作QK⊥y轴于点K,直线KQ和直线NP相交于点H,由题意易:△OKQ≌△QHP(AAS),设H(4,y),那么KQ=PH=y﹣m=y﹣2,OK=QH=4﹣KQ=6﹣y,又∵OK=y,∴6﹣y=y,y=3,∴Q(1,3),∵折叠纸片,使得点P与点O重合,折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M,∴点M是OP的中点,∵P(4,2),∴M(2,1),设直线Q M的函数表达式为:y=kx+b,把Q(1,3),M(2,1),代入上式得:213k bk b+=⎧⎨+=⎩,解得:25kb=-⎧⎨=⎩∴直线l的函数表达式为:y=﹣2x+5,∴该直线l与x轴的交点坐标为(52,0);(2)∵△OKQ≌△QHP,∴QK=PH,OK=HQ,设Q(x,y),∴KQ=x,OK=HQ=y,∴x+y=KQ+HQ=4,∴y=﹣x+4,∴无论m取何值,点Q总在某条确定的直线上,这条直线的解析式为:y=﹣x+4,故答案为:y=﹣x+4.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理,勾股定理,一次函数的图象和性质,掌握“一线三垂直”模型,待定系数法是解题的关键.。
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江苏省无锡市初二数学上学期期末试卷 一、选择题1.如图,△ABC 的顶点在网格的格点上,则tanA 的值为( )A .12B .10C .3D .10 2.如图,已知点D 在ABC ∆的BC 边上,若CAD B ∠=∠,且:1:2CD AC =,则:CD BD =( )A .1:2B .2:3C .1:4D .1:3 3.将抛物线23y x =向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为( )A .23(2)3y x =++B .23(2)3y x =-+C .23(2)3y x =+-D .23(2)3y x =--4.下列说法中,不正确的是( )A .圆既是轴对称图形又是中心对称图形B .圆有无数条对称轴C .圆的每一条直径都是它的对称轴D .圆的对称中心是它的圆心 5.已知二次函数y =(a ﹣1)x 2﹣x+a 2﹣1图象经过原点,则a 的取值为( ) A .a =±1B .a =1C .a =﹣1D .无法确定 6.某班7名女生的体重(单位:kg )分别是35、37、38、40、42、42、74,这组数据的众数是( )A .74B .44C .42D .407.如图,小正方形边长均为1,则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是A .B .C .D .8.为了考察某种小麦的长势,从中抽取了5株麦苗,测得苗高(单位:cm)为:10、16、8、17、19,则这组数据的极差是( )A .8B .9C .10D .11 9.如图,抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点,点P 在一次函数6y x =-+的图像上,Q 是线段PA 的中点,连结OQ ,则线段OQ 的最小值是( )A .22B .1C 2D .210.已知反比例函数k y x =的图象经过点(m ,3m ),则此反比例函数的图象在( ) A .第一、二象限 B .第一、三象限 C .第二、四象限 D .第三、四象限11.某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c =0时,只抄对了a =1,b =﹣8,解出其中一个根是x =﹣1.他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数,则原方程的根的情况是( )A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .有一个根是x =1D .不存在实数根 12.小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618.已知这本书的长为20cm ,则它的宽约为( )A .12.36cmB .13.6cmC .32.386cmD .7.64cm 13.若二次函数y =x 2﹣2x +c 的图象与坐标轴只有两个公共点,则c 应满足的条件是( ) A .c =0 B .c =1 C .c =0或c =1 D .c =0或c =﹣1 14.如图,点A ,B ,C ,D 的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C ,D ,E 为顶点的三角形与△ABC 相似,则点E 的坐标不可能是A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)15.某市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元,用于改造农村义务教育薄弱学校100所数据120 000 000用科学记数法表示为()A.12×108B.1.2×108C.1.2×109D.0.12×109二、填空题16.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC,若点A、D、E在同一条直线上,∠ACD=70°,则∠EDC的度数是_____.17.如图,在半径为3的⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD.若AC=2,则cosD=________.18.圆锥的母线长为5cm,高为4cm,则该圆锥的全面积为_______cm2.19.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点D是AB边上一点(不与A、B重合),若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似,并且平分△ABC的周长,则AD的长为____.20.若扇形的半径长为3,圆心角为60°,则该扇形的弧长为___.21.在△ABC 中,∠C=90°,若AC=6,BC=8,则△ABC 外接圆半径为________;22.如图,由边长为1的小正方形组成的网格中,点,,,A B C D 为格点(即小正方形的顶点),AB 与CD 相交于点O ,则AO 的长为_________.23.在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,12AC =,9BC =,圆P 在ABC ∆内自由移动.若P 的半径为1,则圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域的面积为______.24.某厂一月份的总产量为500吨,通过技术更新,产量逐月提高,三月份的总产量达到720吨.若平均每月增长率是,则可列方程为__.25.如图,圆锥的底面半径OB =6cm ,高OC =8cm ,则该圆锥的侧面积是_____cm 2.26.像23x +=x 这样的方程,可以通过方程两边平方把它转化为2x +3=x 2,解得x 1=3,x 2=﹣1.但由于两边平方,可能产生增根,所以需要检验,经检验,当x 1=3时,9=3满足题意;当x 2=﹣1时,1=﹣1不符合题意;所以原方程的解是x =3.运用以上经验,则方程x +5x +=1的解为_____.27.如图,边长为2的正方形ABCD ,以AB 为直径作O ,CF 与O 相切于点E ,与AD 交于点F ,则CDF ∆的面积为__________.28.如图,在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=,6AC =,8BC =,D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点,且4DE =,P 是DE 的中点,连接PA ,PB ,则14PA PB +的最小值为__________.29.二次函数y =2x 2﹣4x +4的图象如图所示,其对称轴与它的图象交于点P ,点N 是其图象上异于点P 的一点,若PM ⊥y 轴,MN ⊥x 轴,则2MN PM=_____.30.如图,已知矩形ABCD 的顶点A 、D 分别落在x 轴、y 轴,OD =2OA =6,AD :AB =3:1.则点B 的坐标是_____.三、解答题31.如图,已知矩形ABCD 的边6AB =,4BC =,点P 、Q 分别是AB 、BC 边上的动点.(1)连接AQ 、PQ ,以PQ 为直径的O 交AQ 于点E .①若点E 恰好是AQ 的中点,则QPB ∠与AQP ∠的数量关系是______;②若3BE BQ ==,求BP 的长;(2)已知3AP =,1BQ =,O 是以PQ 为弦的圆.①若圆心O 恰好在CB 边的延长线上,求O 的半径: ②若O 与矩形ABCD 的一边相切,求O 的半径.32.某网店销售一种商品,其成本为每件30元.根据市场调查,当每件商品的售价为x 元(30x >)时,每周的销售量y (件)满足关系式:10600y x =-+.(1)若每周的利润W 为2000元,且让消费者得到最大的实惠,则售价应定为每件多少元?(2)当3552x ≤≤时,求每周获得利润W 的取值范围.33.解方程:(1)2620x x ++=(2)2(3)3(3)x x x -=-34.计算:(128233-(2)()103127+3.14+2π-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 35.如图,AB 是⊙O 的直径,弦DE 垂直平分半径OA ,C 为垂足,弦DF 与半径OB 相交于点P ,连接EF 、EO ,若DE =2,∠DPA =45°.(1)求⊙O 的半径;(2)求图中阴影部分的面积.四、压轴题36.已知P 是⊙O 上一点,过点P 作不过圆心的弦PQ ,在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ,Q 重合),连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ.(1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=22时,求⊙O 的半径;(2)如图2,选接AB ,交PQ 于点M ,点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合),连接ON 、OP ,若∠NOP+2∠OPN=90°,探究直线AB 与ON 的位置关系,并证明.37.如图,等边ABC 内接于O ,P 是AB 上任一点(点P 不与点A 、B 重合),连接AP 、BP ,过点C 作CM BP 交PA 的延长线于点M .(1)求APC ∠和BPC ∠的度数;(2)求证:ACM BCP △≌△;(3)若1PA =,2PB =,求四边形PBCM 的面积;(4)在(3)的条件下,求AB 的长度.38.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,tan B=34,OB=8.(1)求OA、AB的长;(2)点Q从点O出发,沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点A出发,沿着AB方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动,设运动时间为t秒(0<t≤5)以P为圆心,PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D,连结CD,QC.①当t为何值时,点Q与点D重合?②若⊙P与线段QC只有一个公共点,求t的取值范围.39.如图,在边长为5的菱形OABC中,sin∠AOC=45,O为坐标原点,A点在x轴的正半轴上,B,C两点都在第一象限.点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周,设运动时间为t(秒).请解答下列问题:(1)当CP⊥OA时,求t的值;(2)当t<10时,求点P的坐标(结果用含t的代数式表示);(3)以点P为圆心,以OP为半径画圆,当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切时,请直接写出t的值.40.如图,扇形OMN的半径为1,圆心角为90°,点B是上一动点,BA⊥OM于点A,BC⊥ON于点C,点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点,GF与CE相交于点P,DE与AG相交于点Q.(1)当点B移动到使AB:OA=:3时,求的长;(2)当点B移动到使四边形EPGQ为矩形时,求AM的长.(3)连接PQ,试说明3PQ2+OA2是定值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A解析:A【解析】【分析】根据勾股定理,可得BD、AD的长,根据正切为对边比邻边,可得答案.【详解】解:如图作CD⊥AB于D,CD=2,AD=22,tanA=21222CDAD==,故选A.【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.2.D解析:D【解析】【分析】根据两角对应相等证明△CAD ∽△CBA ,由对应边成比例得出线段之间的倍数关系即可求解.【详解】解:∵∠CAD=∠B ,∠C=∠C,∴△CAD ∽△CBA, ∴12CD CA CA CB, ∴CA=2CD,CB=2CA, ∴CB=4CD,∴BD=3CD, ∴13CD BD. 故选:D.【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质,得出线段之间的关系是解答此题的关键. 3.A解析:A【解析】【分析】直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可.【详解】将抛物线23y x =向上平移3个单位,再向左平移2个单位,根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为23(2)3y x =++,故答案选A . 4.C解析:C【解析】【分析】圆有无数条对称轴,但圆的对称轴是直线,故C 圆的每一条直线都是它的对称轴的说法是错误的【详解】本题不正确的选C ,理由:圆有无数条对称轴,其对称轴都是直线,故任何一条直径都是它的对称轴的说法是错误的,正确的说法应该是圆有无数条对称轴,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴故选C【点睛】此题主要考察对称轴图形和中心对称图形,难度不大5.C【解析】【分析】将(0,0)代入y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1 即可得出a的值.【详解】解:∵二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点,∴a2﹣1=0,∴a=±1,∵a﹣1≠0,∴a≠1,∴a的值为﹣1.故选:C.【点睛】本题考查了二次函数,二次函数图像上的点满足二次函数解析式,熟练掌握这一点是解题的关键,同时解题过程中要注意二次项系数不为0.6.C解析:C【解析】试题分析:众数是这组数据中出现次数最多的数据,在这组数据中42出现次数最多,故选C.考点:众数.7.B解析:B【解析】【分析】根据网格的特点求出三角形的三边,再根据相似三角形的判定定理即可求解.【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC、2只有选项B的各边为1B.【点晴】此题主要考查相似三角形的判定,解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.8.D解析:D【解析】【分析】计算最大数19与最小数8的差即可.【详解】19-8=11,【点睛】此题考查极差,即一组数据中最大值与最小值的差.9.A解析:A【解析】【分析】先求得A 、B 两点的坐标,设()6P m m -,,根据之间的距离公式列出2PB 关于m 的函数关系式,求得其最小值,即可求得答案.【详解】令0y =,则21404x -=, 解得:4x =±,∴A 、B 两点的坐标分别为:()()4040A B -,、,, 设点P 的坐标为()6m m -,, ∴()()2222246220522(5)2PB m m m m m =-+-=-+=-+,∵20>,∴当5m =时,2PB 有最小值为:2,即PB ,∵A 、B 为抛物线的对称点,对称轴为y 轴,∴O 为线段AB 中点,且Q 为AP 中点,∴122OQ PB ==. 故选:A .【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题,涉及到的知识有:两点之间的距离公式,三角形中位线的性质,二次函数的最值问题,利用两点之间的距离公式求得2PB 的最小值是解题的关键.10.B解析:B【解析】【分析】【详解】解:将点(m ,3m )代入反比例函数k y x=得, k=m•3m=3m 2>0;故函数在第一、三象限,故选B .解析:A【解析】【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值,再解方程根据根的判别式分析即可.【详解】∵x =﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c =0的根,1+8﹣c =0,解得c =9,∴原方程为x 2-8x +9=0,∵24b ac ∆=-=(﹣8)2-4×9>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选:A .【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式,解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ,根的情况由24b ac ∆=-来判别,当24b ac ->0时,方程有两个不相等的实数根,当24b ac -=0时,方程有两个相等的实数根,当24b ac -<0时,方程没有实数根.12.A解析:A【解析】【分析】根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解.【详解】解:∵书的宽与长之比为黄金比,书的长为20cm ,∴书的宽约为20×0.618=12.36cm .故选:A .【点睛】本题考查了黄金比例的应用,掌握黄金比例的比值是解题的关键.13.C解析:C【解析】【分析】根据二次函数y =x 2﹣2x +c 的图象与坐标轴只有两个公共点,可知二次函数y =x 2﹣2x +c 的图象与x 轴只有一个公共点或者与x 轴有两个公共点,其中一个为原点两种情况,然后分别计算出c 的值即可解答本题.【详解】解:∵二次函数y =x 2﹣2x +c 的图象与坐标轴只有两个公共点,∴二次函数y =x 2﹣2x +c 的图象与x 轴只有一个公共点或者与x 轴有两个公共点,其中一个当二次函数y=x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时,(﹣2)2﹣4×1×c=0,得c=1;当二次函数y=x2﹣2x+c的图象与轴有两个公共点,其中一个为原点时,则c=0,y=x2﹣2x=x(x﹣2),与x轴两个交点,坐标分别为(0,0),(2,0);由上可得,c的值是1或0,故选:C.【点睛】本题考查了二次函数与坐标的交点问题,掌握解二次函数的方法是解题的关键.14.B解析:B【解析】试题分析:△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=3,AB:BC=2.A、当点E的坐标为(6,0)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=1,则AB:BC=CD:DE,△CDE∽△ABC,故本选项不符合题意;B、当点E的坐标为(6,3)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=2,则AB:BC≠CD:DE,△CDE与△ABC不相似,故本选项符合题意;C、当点E的坐标为(6,5)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=4,则AB:BC=DE:CD,△EDC∽△ABC,故本选项不符合题意;D、当点E的坐标为(4,2)时,∠ECD=90°,CD=2,CE=1,则AB:BC=CD:CE,△DCE∽△ABC,故本选项不符合题意.故选B.15.B解析:B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】120 000 000=1.2×108,故选:B.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.二、填空题16.115°【解析】【分析】根据∠EDC=180°﹣∠E﹣∠DCE,想办法求出∠E,∠DCE即可.【详解】由题意可知:CA=CE,∠ACE=90°,∴∠E=∠CAE=45°,∵∠ACD=7解析:115°【解析】【分析】根据∠EDC=180°﹣∠E﹣∠DCE,想办法求出∠E,∠DCE即可.【详解】由题意可知:CA=CE,∠ACE=90°,∴∠E=∠CAE=45°,∵∠ACD=70°,∴∠DCE=20°,∴∠EDC=180°﹣∠E﹣∠DCE=180°﹣45°﹣20°=115°,故答案为115°.【点睛】本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,三角形的内角和定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,问题,属于中考常考题型.17.【解析】试题分析:连接BC,∴∠D=∠A,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵AB=3×2=6,AC=2,∴cosD=cosA===.故答案为.考点:1.圆周角定理;2.解直角三角形解析:1 3【解析】试题分析:连接BC,∴∠D=∠A,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵AB=3×2=6,AC=2,∴cosD=cosA=ACAB=26=13.故答案为13.考点:1.圆周角定理;2.解直角三角形.18.24π【解析】【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径,表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2.【详解】解:∵圆锥母线长为5cm,圆锥的高为4cm,∴底解析:24π【解析】【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径,表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2.【详解】解:∵圆锥母线长为5cm,圆锥的高为4cm,∴底面圆的半径为3,则底面周长=6π,∴侧面面积=12×6π×5=15π;∴底面积为=9π,∴全面积为:15π+9π=24π.故答案为24π.【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解.19.、、【解析】【分析】根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系,再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.【详解】解:设过点D的直线与△AB C的另一个交点为E,∵AC=4,BC=解析:83、103、54【解析】【分析】根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系,再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.【详解】解:设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E,∵AC=4,BC=3,∴AB=2234+=5设AD=x,BD=5-x,∵DE平分△ABC周长,∴周长的一半为(3+4+5)÷2=6,分四种情况讨论:①△BED∽△BCA,如图1,BE=1+x∴BE BDBC AB=,即:5153x x-+=,解得x=54,②△BDE∽△BCA,如图2,BE=1+x∴BD BEBC AB=,即:5135x x-+=,解得:x=11 4,BE=154>BC,不符合题意.③△ADE∽△ABC,如图3,AE=6-x∴AD AEAB AC=,即654x x-=,解得:x=103,④△BDE∽△BCA,如图4,AE=6-x∴AD AEAC AB=,即:645x x-=,解得:x=83,综上:AD的长为83、103、54.【点睛】本题考查的相似三角形的判定和性质,根据不同的相似模型分情况讨论,根据不同的线段比例关系求解.20.【解析】【分析】根据弧长的公式列式计算即可.∵一个扇形的半径长为3,且圆心角为60°,∴此扇形的弧长为=π.故答案为:π.【点睛】此题考查弧长公式,熟记公式是解题关键.解析:π【解析】【分析】根据弧长的公式列式计算即可.【详解】∵一个扇形的半径长为3,且圆心角为60°,∴此扇形的弧长为603 180π⨯=π.故答案为:π.【点睛】此题考查弧长公式,熟记公式是解题关键.21.5【解析】【分析】先确定外接圆的半径是AB,圆心在AB的中点,再计算AB的长,由此求出外接圆的半径为5.【详解】∵在△ABC中,∠C=90°,∴△ABC外接圆直径为斜边AB、圆心是AB的解析:5【解析】【分析】先确定外接圆的半径是AB,圆心在AB的中点,再计算AB的长,由此求出外接圆的半径为5.【详解】∵在△ABC中,∠C=90°,∴△ABC外接圆直径为斜边AB、圆心是AB的中点,∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴22226810AB AC BC,∴△ABC外接圆半径为5.故答案为:5.此题考查勾股定理的运用、三角形外接圆的确定.根据圆周角定理,直角三角形的直角所对的边为直径,即可确定圆的位置及大小.22.【解析】【分析】如图所示,由网格的特点易得△CEF≌△DBF,从而可得BF的长,易证△BOF∽△AOD,从而可得AO与AB的关系,然后根据勾股定理可求出AB 的长,进而可得答案.【详解】解:解析:9【解析】【分析】如图所示,由网格的特点易得△CEF≌△DBF,从而可得BF的长,易证△BOF∽△AOD,从而可得AO与AB的关系,然后根据勾股定理可求出AB的长,进而可得答案.【详解】解:如图所示,∵∠CEB=∠DBF=90°,∠CFE=∠DFB,CE=DB=1,∴△CEF≌△DBF,∴BF=EF=12BE=12,∵BF∥AD,∴△BOF∽△AOD,∴11248 BO BFAO AD===,∴89AO AB=,∵AB=∴AO=故答案为:9【点睛】本题以网格为载体,考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识,属于常考题型,熟练掌握上述基本知识是解答的关键.23.24【解析】【分析】根据题意做图,圆心在内所能到达的区域为△EFG ,先求出AB 的长,延长BE 交A C 于H 点,作HM ⊥AB 于M ,根据圆的性质可知BH 平分∠ABC ,故CH=HM,设CH=x=HM ,根解析:24【解析】【分析】根据题意做图,圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域为△EFG ,先求出AB 的长,延长BE 交AC 于H 点,作HM ⊥AB 于M ,根据圆的性质可知BH 平分∠ABC ,故CH=HM,设CH=x=HM ,根据Rt △AMH 中利用勾股定理求出x 的值,作EK ⊥BC 于K 点,利用△BEK ∽△BHC ,求出BK 的长,即可求出EF 的长,再根据△EFG ∽△BCA 求出FG ,即可求出△EFG 的面积.【详解】如图,由题意点O 所能到达的区域是△EFG ,连接BE ,延长BE 交AC 于H 点,作HM ⊥AB 于M ,EK ⊥BC 于K ,作FJ ⊥BC 于J .∵90C ∠=︒,12AC =,9BC =,∴2212915+=根据圆的性质可知BH 平分∠ABC∴故CH=HM,设CH=x=HM ,则AH=12-x ,BM=BC=9,∴AM=15-9=6在Rt △AMH 中,AH 2=HM 2+AM 2即AH 2=HM 2+AM 2(12-x )2=x 2+62解得x=4.5∵EK ∥AC ,∴△BEK ∽△BHC , ∴EK BK HC BC =,即14.59BK =∴BK=2, ∴EF=KJ=BC-BK-JC=9-2-1=6,∵EG ∥AB ,EF ∥AC ,FG ∥BC ,∴∠EGF =∠ABC ,∠FEG =∠CAB ,∴△EFG ∽△ACB ,故EF FG BC AC =,即6912FG = 解得FG=8 ∴圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域的面积为12FG×EF=12×8×6=24, 故答案为24.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质综合,解题的关键是熟知勾股定理、相似三角形的判定与性质.24.【解析】【分析】根据增长率的定义列方程即可,二月份的产量为:,三月份的产量为:.【详解】二月份的产量为:,三月份的产量为:.【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题,解题关键是熟解析:2500(1)720x +=【解析】【分析】根据增长率的定义列方程即可,二月份的产量为:500(1)x +,三月份的产量为:2500(1)720x +=.【详解】二月份的产量为:500(1)x +,三月份的产量为:2500(1)720x +=.【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题,解题关键是熟练理解增长率的表示方法,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率).25.60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长度,然后利用扇形的面积公式求解即可.【详解】解:∵它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm.∴BC==10(cm),∴圆锥的侧面积是:(解析:60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长度,然后利用扇形的面积公式求解即可.【详解】解:∵它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm.∴BC==10(cm),∴圆锥的侧面积是:12610602r l rlππππ⋅⋅==⋅⨯=(cm2).故答案为:60π.【点睛】本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式,掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键.26.x=﹣1【解析】【分析】根据等式的性质将x移到等号右边,再平方,可得一元二次方程,根据解一元二次方程,可得答案.【详解】解:将x移到等号右边得到:=1﹣x,两边平方,得x+5=1﹣2x解析:x=﹣1【解析】【分析】根据等式的性质将x移到等号右边,再平方,可得一元二次方程,根据解一元二次方程,可得答案.解:将x 1﹣x ,两边平方,得x +5=1﹣2x +x 2,解得x 1=4,x 2=﹣1,检验:x =4时,=5,左边≠右边,∴x =4不是原方程的解,当x =﹣1时,﹣1+2=1,左边=右边,∴x =﹣1是原方程的解,∴原方程的解是x =﹣1,故答案为:x =﹣1.【点睛】本题主要考查解无理方程的知识点,去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键,注意观察方程的结构特点,把无理方程转化成一元二次方程的形式进行解答,需要同学们仔细掌握.27.【解析】【分析】运用切线长定理和勾股定理求出DF ,进而完成解答.【详解】解:∵与相切于点,与交于点∴EF=AF,EC=BC=2设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x在Rt△C 解析:32【解析】【分析】运用切线长定理和勾股定理求出DF ,进而完成解答.【详解】解:∵CF 与O 相切于点E ,与AD 交于点F∴EF=AF,EC=BC=2设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x在Rt △CDF 中,由勾股定理得:DF 2=CF 2-CD 2,即(2-x)2=(2+x)2-22解得:x=12,则DF=32∴CDF ∆的面积为13222⨯⨯=32 故答案为32.本题考查了切线长定理和勾股定理等知识点,根据切线长定理得到相等的线段是解答本题的关键.28.【解析】【分析】先在CB 上取一点F ,使得CF=,再连接PF 、AF ,然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF ,即可解答.【详解】解:如图:在CB 上取一点F ,使得CF=,再连接PF 、AF ,【解析】【分析】先在CB 上取一点F ,使得CF=12,再连接PF 、AF ,然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF ,即可解答.【详解】解:如图:在CB 上取一点F ,使得CF=12,再连接PF 、AF , ∵∠DCE=90°,DE=4,DP=PE ,∴PC=12DE=2, ∵14CF CP =,14CP CB = ∴CF CP CP CB= 又∵∠PCF=∠BCP ,∴△PCF ∽△BCP , ∴14PF CF PB CP == ∴PA+14PB=PA+PF ,∵PA+PF≥AF ,==∴PA+14∴PA+14PB故答案为1452.【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识,正确添加常用辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键.29.【解析】【分析】根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标,然后设出点M 、点N 的坐标,然后计算即可解答本题.【详解】解:∵二次函数y =2x2﹣4x+4=2(x ﹣1)2+2,∴点P 的坐标为(1解析:【解析】【分析】根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标,然后设出点M 、点N 的坐标,然后计算2MN PM即可解答本题. 【详解】解:∵二次函数y =2x 2﹣4x +4=2(x ﹣1)2+2,∴点P 的坐标为(1,2),设点M 的坐标为(a ,2),则点N 的坐标为(a ,2a 2﹣4a +4),∴2MN PM =()222442(1)a a a -+--=()22222212422121a a a a a a a a -+-+=-+-+=2, 故答案为:2.【点睛】本题考查了二次函数与几何的问题,解题的关键是求出点P 左边,设出点M 、点N 的坐标,表达出2MN PM . 30.(5,1)【解析】过B 作BE⊥x 轴于E ,根据矩形的性质得到∠DAB=90°,根据余角的性质得到∠ADO=∠BAE,根据相似三角形的性质得到AE=OD=2,DE=OA=1,于是得到结论.解析:(5,1)【解析】【分析】过B 作BE ⊥x 轴于E ,根据矩形的性质得到∠DAB =90°,根据余角的性质得到∠ADO =∠BAE ,根据相似三角形的性质得到AE =13OD =2,DE =13OA =1,于是得到结论. 【详解】解:过B 作BE ⊥x 轴于E ,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ADC =90°,∴∠ADO +∠OAD =∠OAD +∠BAE =90°,∴∠ADO =∠BAE ,∴△OAD ∽△EBA ,∴OD :AE =OA :BE =AD :AB∵OD =2OA =6,∴OA =3∵AD :AB =3:1, ∴AE =13OD =2,BE =13OA =1, ∴OE =3+2=5,∴B (5,1)故答案为:(5,1) 【点睛】本题考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,坐标与图形性质,正确的作出辅助线并证明△OAD∽△EBA 是解题的关键.三、解答题31.(1)①2QPB AQP ∠=∠;②1.5;(2)①5;②53、255,35630、5.【分析】(1)①根据直径所对的圆周角是直角判断△APQ为等腰三角形,结合等腰三角形的两底角相等和圆周角定理证明;②证明△PBQ∽△QBA,由对应边成比例求解;(2)①画出图形,由勾股定理列方程求解;②分O与矩形ABCD的四边分别相切,画出图形,利用切线性质,由勾股定理列方程求解.【详解】解:(1)①如图,PQ是直径,E在圆上,∴∠PEQ=90°,∴PE⊥AQ,∵AE=EQ,∴PA=PQ,∴∠PAQ=∠PQA,∴∠QPB=∠PAQ+∠PQA=2∠AQP,∵∠QPB=2∠AQP.\②解:如图,∵BE=BQ=3,∴∠BEQ=∠BQE,∵∠BEQ=∠BPQ,∵∠PBQ=∠QBA,∴△PBQ∽△QBA,∴BP BQ BQ BA,∴3 36 BP,∴BP=1.5;(2)①如图, BP=3,BQ=1,设半径OP=r,在Rt△OPB中,根据勾股定理得,PB2+OB2=OP2∴32+(r-1)2=r2,∴r=5,∴O的半径是5.②如图,O与矩形ABCD的一边相切有4种情况,如图1,当O与矩形ABCD边BC相切于点Q,过O作OK⊥AB于K,则四边形OKBQ为矩形,设OP=OQ=r,则PK=3x,由勾股定理得,r2=12+(3-r)2,解得,r=5 3 ,∴O半径为5 3 .如图2,当O与矩形ABCD边AD相切于点N,延长NO交BC于L,则OL⊥BC,过P作PS⊥NL于S,设OS=x,则ON=OP=OQ=3+x,设PS=BL=y,由勾股定理得,2222223331x x yx x y,解得125 23x(舍去),225 23x,∴ON=25 53,∴O半径为25 53.如图3,当O与矩形ABCD边CD相切于点M,延长MO交AB于R,则OR⊥AB,过O作OH⊥BC于H,设OH=BR=x,设HQ=y, 则OM=OP=OQ=4-1-y=3-y,由勾股定理得,2222223331y x yy x y,解得163032x (舍去),263032x,∴OM=35630,∴O半径为35630.如图4,当O与矩形ABCD边AB相切于点P,过O作OG⊥BC于G,则四边形AFCG为矩形,设OF=CG=x,,则OP=OQ=x+4,由勾股定理得(x+4)2=32+(x+3)2,解得,x=1,∴OP=5,∴O半径为5.综上所述,若O与矩形ABCD的一边相切,为O的半径53,2553,35630,5.【点睛】本题考查圆的相关性质,涉及圆周角定理,垂径定理,切线的性质等,综合性较强,利用分类思想画出对应图形,化繁为简是解答此题的关键.32.(1)售价应定为每件40元;(2)每周获得的利润的取值范围是1250元W≤≤2250元.【解析】【分析】(1)根据题意列出方程即可求解;(2)根据题意列出二次函数,根据3552x ≤≤求出W 的取值.【详解】解:(1)根据题意得()()30106002000x x --+=,解得140x =,250x =.∵让消费者得到最大的实惠,∴140x =.答:售价应定为每件40元.(2)()()230106001090018000W x x x x =--+=-+- ()210452250x =--+.∵100-<,∴当45x =时,W 有最大值2250.当35x =时,1250W =;当52x =时,1760W =.∴每周获得的利润的取值范围是1250元W ≤≤2250元.【点睛】此题主要考查二次函数的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程或二次函数进行求解.33.(1)1233x x =-=-;(2)122,33x x == 【解析】【分析】(1)根据配方法即可求解;(2)根据因式分解法即可求解.【详解】(1)2620x x ++= 2697x x ++=2(3)7x +=3x +=1233x x =-=-.(2)2(3)3(3)x x x -=-2(3)3(3)0x x x ---=(23x)(x 3)0--=,2-3x=0或x-3=0 ∴122,33x x == 【点睛】 此题主要考查一元二次方程的求解,解题的关键是熟知方程的解法.34.(1)2;(2)6【解析】【分析】(1)将原式三项化简,合并同类二次根式后即可得到结果;(2)原式第一项利用绝对值的代数意义化简,第二项利用零指数公式化简,第三项利用负指数公式化简,合并后即可得到结果;【详解】解:(1)原式=22+3-2-3=2,(2)原式=3+1+2=6【点睛】此题考查了实数的混合运算,涉及的知识有:算术平方根和立方根,绝对值的性质,0指数和负整指数幂,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.35.(1)23;(2)13π﹣23.【解析】【分析】(1)根据垂径定理得CE的长,再根据已知DE平分AO得CO=12AO=12OE,根据勾股定理列方程求解.(2)先求出扇形的圆心角,再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可.【详解】解:(1)连接OF,∵直径AB⊥DE,∴CE=12DE=1.∵DE平分AO,∴CO=12AO=12OE.设CO=x,则OE=2x.由勾股定理得:12+x2=(2x)2.x3∴OE =2x=3. 即⊙O. (2)在Rt △DCP 中,∵∠DPC =45°,∴∠D =90°﹣45°=45°.∴∠EOF =2∠D =90°.∴S 扇形OEF=290360π⋅⋅⎝⎭=13π. ∵∠EOF =2∠D =90°,OE =OF=3S Rt △OEF=212⨯⎝⎭=23. ∴S 阴影=S 扇形OEF ﹣S Rt △OEF =13π﹣23. 【点睛】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系. 四、压轴题36.(1) ☉O 的半径是32;(2)AB ∥ON ,证明见解析. 【解析】【分析】(1) 连接AB ,根据题意可AB 为直径,再用勾股定理即可.(2) 连接OA , OB , OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠,从而证出OC AB ⊥,延长PO 交☉0于点R ,则有2OPN QOR ∠=∠,再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证.【详解】解:(1)连接AB ,。