数学软件与建模1-1矩阵基本运算
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以及A的行列式
1 2 3
1 2 1
例5. 已知 A 4 5 6 B 1 1 2
7 8 0
2 1 1
求：AB，B-1，B-AT，|A|
解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=[1,2,1;1,1,2;2,1,1];
a=A*B,b=inv(B),c=B- A',d=det(A) a = 9 7 8 b = -1/4 1/4 -3/4 c = 0 -2 -6
第二节 线性代数运算 一. 矩阵的特征值与特征向量
定义：设A为n阶矩阵， 是一个数，若存在n
阶非零向量 ，使得
A
则称 是A的一个特征值， 称为矩阵A对应于
特征值 的特征向量.
注意:一个特征值可以有无穷多个特征向量，但 一个特征向量只对应唯一的一个特征值，即特 征值是由特征向量唯一确定的.
在后续的课程中，我们将介绍特征值与特 征向量在经济分析中的作用.
其中a=[1,3,4]称为索引向量.
练习：求矩阵A的第1,3,4列元素组成的矩阵
例4. 求从矩阵A中去掉第1,2列后，剩余元素
组成的矩阵.
B= 1 0 1
解： a=[3,4,5]; B=A(:, a);
011
可以写为 B=A(:,3:5); 注意：3:5 表示从3开
101
始按步长为1 增加到5.
011
k 3 1, 1, 1T
例8.求矩阵B，BB’ 的特征值、特征向量
3 0 0
B 0 2 0 1 1 1
解：B=[3,0,0;0,2,0;1,1,1], [D1,V1]=eig(B), [D,V]=eig(B*B’),
D= -0.2953 -0.3048 -0.9054 -0.4954 0.8592 -0.1277 0.8169 0.4109 -0.4048
3 7 1 0 1 4 8 0 1 1
A=[1,5,1,0,1;2,6,0,1,1;3,7,1,0,1;4,8,0,1,1];
注意： 行尾分号的作用在于运算结果不显示.
n维行(列)向量可以看成是一个行(列) 矩
阵，因此向量的输入和矩阵一样.
2.矩阵的合成与分解
1 5 1 0 1
例2.矩阵A= 2
3
21 19 20 3/4 -1/4 -1/4 -1 -4 -6
15 22 23 -1/4 3/4 -1/4 -1 -5 1 det(A)=27
作业：1.自己构造两个5*6阶矩阵A与B，计算两 个矩阵的加减法、乘法
2. 从A与B矩阵中分别提取一个4*4阶方阵C与D， 求其逆运算、C与D的乘积和点乘积、点除运算 等
0
此线性齐次方程组有非零解的充要条件是系数 行列式的值为零，由 E A 0
1 12.1229, 2 - 5.7345,3 - 0.3884
在MATLAB中计算矩阵X的特征值与特征向量 的方法如下： [V,D] = eig(X)
produces a diagonal matrix D of eigenvalues and a full matrix V whose columns are the corresponding eigenvectors so that X*V = V*D.
MATLAB— 入门
1. 双击图标，进入Matlab界面（command)
2. 单击file New M—file 进入编辑
界面(Untitled1) ,进行编程之后，点击保存
时可以修改文件名.
必须用英
3.要显示运算的结果，有两种方法： 文开头
(1)进入command界面，健入你定义的文件 名，然后按回车键即可得到计算结果；
D是由矩阵X的特征值组成的对角矩阵，V 的每一列是对应于特征值的特征向量.
4 6 0
例7 求矩阵 A 3 5 0 的特征值与特征向量
3 6 1
解：A=[4,6,0;-3,-5,0;-3,-6,1];[V,D]=eig(A)
V =0 0.5774 -0.8944 0 -0.5774 0.4472 1 -0.5774 0
(2)点击编辑界面上方Debug Run或箭头
于是运行结果出现在command界面。
一. 矩阵与向量的基本运算
1.矩阵（向量、数组）的输入方法 矩阵的输入利用[ ]，采取分行输入方法， 每个元素之间用逗号或空格，每行之间用分号.
1 5 1 0 1
例1.矩阵 A= 2 6 0 1 1 的Matlab输入：
V= 0.7024 0
0
4.9564
0
0
0 0 10.3412
Hale Waihona Puke Baidu
二.向量的标准化与矩阵的范数
1.Matlab中将矩阵的行向量、列向量单位化的命令：
6 7
0 1
1 0
1 1
求A的第一行 与第一列
4 8 0 1 1
解：A1=A(1,:) 表示矩阵A的第一行；
A2=A(:,1) 表示矩阵A的第一列； 练习：A(4,:)，A(3,2)，分别表示什么？
如果需要两行(列)以上怎么表示呢?
例3. 求矩阵A的第1,3,4行元素组成的矩阵.
解：首先健入a=[1,3,4];然后健入 B=A(a,:)即可
例6.计算矩阵
A
1 4
2 5
3 的特征值
6
7 8 0
解：设 为A的特征值， 是对应于 的特征向量
设 (x1,x2 ,x3 )T由 A ,可得：
4xx11
2x2 5x2
3x3 6x3
x1 x2
(1 4x1
)x1 2x2
(5 )x2
3x3 6x3
0 0
7x1 8x2
x3 7x1 8x2 x3
D =1 0 0 0 -2 0 001
即 1 对应的两个特征向量为：
(0,0,1)T ,(0.8944,0.4472,0)T
而 2 对应的一个特征向量为：
(0.5744,0.5744,0.5744)T 2 0
1对应的全部特征向量为：
k
1
1
k20
而 2 对应的全部特征向量为： 0 1
练习：求从A中去掉2,5两行后所得到的子矩阵
解法一： a=[1,3,4]； B=A(a,:)
解法二：B=[A(1,:);A(3,:);A(4,:)]
B= 15101 37101 48011
注意：这里 用分号和逗
号的区别
3. 矩阵的加减法、乘法、转置与求逆运算等
A+B, A-B, A*B, A.^2, A’, inv(A), det(A) 分别表示：A,B的和,差,积,点乘方,转置,求逆
1 2 3
1 2 1
例5. 已知 A 4 5 6 B 1 1 2
7 8 0
2 1 1
求：AB，B-1，B-AT，|A|
解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=[1,2,1;1,1,2;2,1,1];
a=A*B,b=inv(B),c=B- A',d=det(A) a = 9 7 8 b = -1/4 1/4 -3/4 c = 0 -2 -6
第二节 线性代数运算 一. 矩阵的特征值与特征向量
定义：设A为n阶矩阵， 是一个数，若存在n
阶非零向量 ，使得
A
则称 是A的一个特征值， 称为矩阵A对应于
特征值 的特征向量.
注意:一个特征值可以有无穷多个特征向量，但 一个特征向量只对应唯一的一个特征值，即特 征值是由特征向量唯一确定的.
在后续的课程中，我们将介绍特征值与特 征向量在经济分析中的作用.
其中a=[1,3,4]称为索引向量.
练习：求矩阵A的第1,3,4列元素组成的矩阵
例4. 求从矩阵A中去掉第1,2列后，剩余元素
组成的矩阵.
B= 1 0 1
解： a=[3,4,5]; B=A(:, a);
011
可以写为 B=A(:,3:5); 注意：3:5 表示从3开
101
始按步长为1 增加到5.
011
k 3 1, 1, 1T
例8.求矩阵B，BB’ 的特征值、特征向量
3 0 0
B 0 2 0 1 1 1
解：B=[3,0,0;0,2,0;1,1,1], [D1,V1]=eig(B), [D,V]=eig(B*B’),
D= -0.2953 -0.3048 -0.9054 -0.4954 0.8592 -0.1277 0.8169 0.4109 -0.4048
3 7 1 0 1 4 8 0 1 1
A=[1,5,1,0,1;2,6,0,1,1;3,7,1,0,1;4,8,0,1,1];
注意： 行尾分号的作用在于运算结果不显示.
n维行(列)向量可以看成是一个行(列) 矩
阵，因此向量的输入和矩阵一样.
2.矩阵的合成与分解
1 5 1 0 1
例2.矩阵A= 2
3
21 19 20 3/4 -1/4 -1/4 -1 -4 -6
15 22 23 -1/4 3/4 -1/4 -1 -5 1 det(A)=27
作业：1.自己构造两个5*6阶矩阵A与B，计算两 个矩阵的加减法、乘法
2. 从A与B矩阵中分别提取一个4*4阶方阵C与D， 求其逆运算、C与D的乘积和点乘积、点除运算 等
0
此线性齐次方程组有非零解的充要条件是系数 行列式的值为零，由 E A 0
1 12.1229, 2 - 5.7345,3 - 0.3884
在MATLAB中计算矩阵X的特征值与特征向量 的方法如下： [V,D] = eig(X)
produces a diagonal matrix D of eigenvalues and a full matrix V whose columns are the corresponding eigenvectors so that X*V = V*D.
MATLAB— 入门
1. 双击图标，进入Matlab界面（command)
2. 单击file New M—file 进入编辑
界面(Untitled1) ,进行编程之后，点击保存
时可以修改文件名.
必须用英
3.要显示运算的结果，有两种方法： 文开头
(1)进入command界面，健入你定义的文件 名，然后按回车键即可得到计算结果；
D是由矩阵X的特征值组成的对角矩阵，V 的每一列是对应于特征值的特征向量.
4 6 0
例7 求矩阵 A 3 5 0 的特征值与特征向量
3 6 1
解：A=[4,6,0;-3,-5,0;-3,-6,1];[V,D]=eig(A)
V =0 0.5774 -0.8944 0 -0.5774 0.4472 1 -0.5774 0
(2)点击编辑界面上方Debug Run或箭头
于是运行结果出现在command界面。
一. 矩阵与向量的基本运算
1.矩阵（向量、数组）的输入方法 矩阵的输入利用[ ]，采取分行输入方法， 每个元素之间用逗号或空格，每行之间用分号.
1 5 1 0 1
例1.矩阵 A= 2 6 0 1 1 的Matlab输入：
V= 0.7024 0
0
4.9564
0
0
0 0 10.3412
Hale Waihona Puke Baidu
二.向量的标准化与矩阵的范数
1.Matlab中将矩阵的行向量、列向量单位化的命令：
6 7
0 1
1 0
1 1
求A的第一行 与第一列
4 8 0 1 1
解：A1=A(1,:) 表示矩阵A的第一行；
A2=A(:,1) 表示矩阵A的第一列； 练习：A(4,:)，A(3,2)，分别表示什么？
如果需要两行(列)以上怎么表示呢?
例3. 求矩阵A的第1,3,4行元素组成的矩阵.
解：首先健入a=[1,3,4];然后健入 B=A(a,:)即可
例6.计算矩阵
A
1 4
2 5
3 的特征值
6
7 8 0
解：设 为A的特征值， 是对应于 的特征向量
设 (x1,x2 ,x3 )T由 A ,可得：
4xx11
2x2 5x2
3x3 6x3
x1 x2
(1 4x1
)x1 2x2
(5 )x2
3x3 6x3
0 0
7x1 8x2
x3 7x1 8x2 x3
D =1 0 0 0 -2 0 001
即 1 对应的两个特征向量为：
(0,0,1)T ,(0.8944,0.4472,0)T
而 2 对应的一个特征向量为：
(0.5744,0.5744,0.5744)T 2 0
1对应的全部特征向量为：
k
1
1
k20
而 2 对应的全部特征向量为： 0 1
练习：求从A中去掉2,5两行后所得到的子矩阵
解法一： a=[1,3,4]； B=A(a,:)
解法二：B=[A(1,:);A(3,:);A(4,:)]
B= 15101 37101 48011
注意：这里 用分号和逗
号的区别
3. 矩阵的加减法、乘法、转置与求逆运算等
A+B, A-B, A*B, A.^2, A’, inv(A), det(A) 分别表示：A,B的和,差,积,点乘方,转置,求逆