数列求和学案

数列求和学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

6.4数列求和

考情分析

掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法 基础知识

数列求和的常用方法 1．公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝

n a 1＋a n

2

＝na 1＋

n n －1

2

d ；

(2)等比数列的前n 项和公式：

S n ＝⎩⎨⎧

na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )

1－q ，q ≠1.

2．倒序相加法

如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． 3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

5．分组转化求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减． 6．并项求和法

一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．

例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 注意事项

1.一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．

2.在利用裂项相消法求和时应注意：

(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；

(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项． 3.(1)

1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1

；

(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝

⎛⎭⎪⎫

12n －1－12n ＋1； (3)

1n ＋

n ＋1

＝

n ＋1－n .

题型一 公式法求和

【例1】在等比数列{a n }中，a 3＝9，a 6＝243，求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ，并求a 9和S 8的值．

解 在等比数列{a n }中，设首项为a 1，公比为q ，由a 3＝9，a 6＝243，得q 3＝a 6

a

3

＝243

9＝27，∴q ＝3.

由a 1q 2＝a 3，得9a 1＝9，∴a 1＝1.

于是，数列{a n }的通项公式为a n ＝1×3n －1＝3n －1， 前n 项和公式为S n ＝1×(1－3n )1－3＝3n －1

2.

由此得a 9＝3

9－1

＝6 561，S 8＝38－1

2＝3 280.

【变式1】►已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，S n 是其前n 项和，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列． (1)求公比q 的值；

(2)求T n ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值． 解 (1)由题意得2a 5＝4a 1－2a 3. ∵{a n }是等比数列且a 1＝4，公比q ≠1， ∴2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，∴q 4＋q 2－2＝0， 解得q 2＝－2(舍去)或q 2＝1，∴q ＝－1.

(2)∵a 2，a 4，a 6，…，a 2n 是首项为a 2＝4×(－1)＝－4，公比为q 2＝1的等比数列，∴T n ＝na 2＝－4n . 题型二 分组转化求和

【例2】求和S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋12n －1. 解 和式中第k 项为

a k ＝1＋12＋14＋…＋12

k －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫

12k

1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k . ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋…＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－12n

＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋1＋…＋1)n 个－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1

22

＋…＋12n ＝2⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤n －12⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－12n 1－12＝12n －

1＋2n －2. 【变式2】已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求：

(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．

解 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又因为x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1.

(2)由(1)，知x n ＝2n ＋n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.

题型三 裂项相消法求和

【例3】在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝

⎛⎭

⎪⎫

S n －

12. (1)求S n 的表达式； (2)设b n ＝

S n

2n ＋1

，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝ ⎛

⎭⎪⎫S n

－12，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝ ⎛

⎭⎪⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意S n －1·S n ≠0，

①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1

＝2，

∴数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1S n 是首项为1S 1

＝1

a 1

＝1，公差为2的等差数列．

∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1.

(2)又b n ＝

S n 2n ＋1＝1

(2n －1)(2n ＋1)

＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2n －1－12n ＋1

＝12⎝

⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 【训练3】 在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列

{b n }的前n 项和S n .

解 a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n

n ＋1

＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n (n ＋1)2(n ＋1)＝n

2

.