合比等比性质及习题
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==y
x y x 那么
如果.52.2n
p
q m A =
.q n m p B =.p n m q C =.q p n m D =
.
比例的合比性质：如果d c
b
a =
,那么d d c b b a ±=
±； 比例的等比性质：
如果
d c b a ==…=n m
（b +d +…+n ≠0）,那么
b
a n d
b m
c a =++++++ 【基础练习2】
1、把mn=pq 写成比例式写错的是( )
3若
3=y x
，求y
y x +的值。（你会的方法越多越好啊！快来试一试！）
7、若
753z
y x ==,则z y x z y x -++-=________.
8、若65
432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. 则a ∶b ∶c.= 9、若
f e
d c b a ===2，则
=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 10、若
z y x y z x x z y +=+=+，求z
y x
+的值。 平行线分线段成比例
知识梳理1. 平行线分线段成比例定理
如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则
BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC
DE DF
=
. l 3
l 2l 1F
E D C
B A A
B
C
D
E
E
D
C B A
_______
,344=+=b b a b a 、则已知______;,9175==+y x y y x 、则若____,3,2
1
6=++=++===f d b e c a f e d c b a 、则且已知d kd c b kb a ±=±d
c c
b a a ±=
±
2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DE
AB AC BC
==
3. 平行的判定定理：如上图，如果有BC
DE
AC AE AB AD =
=，那么DE ∥ BC 。 专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
E
D
C
B
A
【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：1
11c a b
=+.
【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和
BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：
111
AB CD EF
+=
. F
E D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例3】 （2012年北师大附中期末试题）
（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14
AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则
BC
CD
=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF
FC FD
+ 的值为（ ）A.52 C.32
(1)
M
E
D
C
B
A
(2)
F
E
D C
A
【例4】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .
（1）当1A 2AE C =时，求
AO
AD 的值；
（2）当
11A 34AE C =、时，求
AO
AD
的值； （3）试猜想
1A 1AE C n =
+时AO
AD
的值，并证明你的猜想.
【例5】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：1
2
AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，
12AF AE
FC ED
=⋅
成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.
F E D
C
B
A
【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，
延长BE 交AC 于F 。求证：AF EF =。
F
E
D
C
B
A
【例6】 （宁德市中考题）如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ， 延长AB 交CE 的延长线于P 。若2AD DE =，求证:3AP AB =。
P
E
D
C
B
A
专题三、利用平行线转化比例 【例7】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且 与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P . 求证：PM PN PR PS ⋅=⋅