高中数学解题方法系列：线性规划中的11种基本类型及策略

高中数学解题方法系列：线性规划中的11种基本类型及策略
一.线性目标函数问题
当目标函数是线性关系式如（）时，可把目标函数变形为 ，则可看作在上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：
1.做出可行域;
2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.
二.非线性目标函数问题的解法
当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。

近年来，出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：
1． 比值问题
当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

例2已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，
则y x 的取值范围是（）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，95
]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D ）[3，6]
解析 y x
是可行域内的点M （x ，y ）与原点O
（0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y x
取得 最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，y x
取得最大值6.答案A 2．.距离问题
当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点距离的平方，这样目标函数的最值就转化为
PQ 距离平方的最值。

例3已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，
求x 2＋y 2的最大值与最小值. 解析作出不等式组表示的平面区域（如图）.
设x 2＋y 2＝z ，则z 是以原点为圆心的圆的半径的平方.
当圆x 2＋y 2＝z 过点B （2，3）时，z 取得最大值，从而z 取得最大值z max ＝22＋32＝13； 当圆x 2＋y 2＝z 与直线AC ：2x ＋y －2＝0相切时，z 取得最小值，从而z 取得最小值. 设切点坐标为（x 0，y 0），则
⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋y 0－2＝0，y 0x 0
·（－2）＝－1. z ax by c =++0b ≠a z c y x b b -=-+z c b
-y 在轴y a z x b
-=-(,)P x y (,)Q b a 22()()z x a y b =-+-(,)P x y (,)Q a b
解得x 0＝45，y 0＝25.因此，z min ＝（45）2＋（25）2＝45. 故，当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2取得最大值13；当x ＝45，y ＝25时，x 2＋y 2取得最小值45
. 3． 截距问题
例4 不等式组表示的平面区域面积为81，则的最小值为_____
解析 令，则此式变形为，z 可看作是动
抛物线在y 轴上的截距，当此抛物线与相切
时，z 最小，故答案为 4．.向量问题 例5已知点P 的坐标（x ，y ）满足：及A （2，0），则的最大值 解析=||·cos ∠AOP 即为在上的投影长 由∴·cos ∠AOP 的最大值为5.
5线性变换问题
例6 在平面直角坐标系x O y 中，已知平面区域A ＝{（x ，y ）|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{（x ＋y ，x －y ）|（x ，y ）∈A }的面积为.
解析令x ＋y ＝u ，x －y ＝v ，则x ＝u ＋v 2，y ＝u －v 2
. 由x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0得
u ≤1，u ＋v ≥0，u －v ≥0.
因此，平面区域B 的图形如图.其面积为
S ＝12
×2×1＝1.
6线性规划的逆向问题
例8 给出平面区域如图所示.若当且仅当x ＝23，y ＝45
时，目标函数z ＝ax －y 取最小值，则实数a 的取值范
围是.
解析当直线y ＝ax －z （a ＜0）过点（23，45
），且不与直线AC ，BC 重合时,－z 取得最大值，从而z 取得最小值.
k AC ＝4523－1＝－ 125，k BC ＝45－123
＝－ 310.所以，实数a 的取值范围是（－ 125，－ 310）. x+y 00x y x a ≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩
2x y +2z x y =+2y x z =-+2y x z =-+y x =-14
-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-.01,2553,034x y x y x OP OA OA ⋅u u u r u u u r u u u u r OP OA OA
⋅u u u r u u u r u u u u r OP OP uuu r OA u u u r ，，M y x y x )25(25
53,034⇒⎩⎨⎧=+=+-OP u u u r
7、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例、在约束条件0
024x y y x s
y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）
A.[6,15]
B.[7,15]
C.[6,8]
D.[7,8]
解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时,目标函数
32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值,即
max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时,目标函数
32z x y
=+在点
(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。

8、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线22
4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形
区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C)0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D)0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩
解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围
成一个三角形区域（如图4所示）时有00
03x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩。

点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。

验证法或排除法是最效的方法。

9、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

例5已知变量x ，y 满足约束条件1422
x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。

若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取
值范围为。

解析：如图5作出可行域，由z ax y y ax z =+⇒=-+其表示为
斜率为a -，纵截距为ｚ的平行直线系,要使目标函数z ax y
=+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。

则直线y ax z =-+过
Ａ点且在直线4,3x y x +==（不含界线）之间。

即1 1.
a a -<-⇒> C
则a 的取值范围为(1,)+∞。

点评：本题通过作出可行域，在挖掘a z -与的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解。

求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

10、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
例６在平面直角坐标系中，不等式组20
200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面
区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2
解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20
200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表示
的平面区域是一个三角形。

容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：11||||42 4.22
S BC AO =⋅=⨯⨯=从而选Ｂ。

点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

11、研究线性规划中的整点最优解问题
例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,
932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
解析：如图７，作出可行域，由101010z z x y y x =+⇒=-+
，它表示为斜率为1-，纵截距为
10z 的平行直线系,要使1010z x y =+最得最大值。

当直线1010z x y =+通过119(,)22
A z 取得最大值。

因为,x y N ∈，故Ａ点不是最优整数解。

于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，max 90.Z =
点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。