高中数学三角形四心向量性质
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
☆平面向量的坐标运算：
(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则()1212,a b x x y y ±=±±r r ，1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅r
r (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--u u u r
(3) 若a r =(x,y)，则λa r
=(λx, λy)
(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则1221//0a b x y x y ⇔-=r
r (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==r r
，则a b ⊥r r ，02121=⋅+⋅y y x x
☆两个向量的数量积：
已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为θ，则a r ·b r =︱a r
︱·︱b r ︱cos θ 叫做a r
与b r 的数量积（或内积） 规定0a ⋅=r r
☆向量的投影：︱b r ︱cos θ=||
a b
a ⋅r r r ∈R ，称为向量
b r 在a r 方向上的投影投影的绝
对值称为射影
☆数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r
方向上的投影的乘积
☆向量的模与平方的关系：2||a a a a ⋅==r r r r
☆乘法公式成立：
()()
2222a b a b
a b a b +⋅-=-=-r r r r r r r r ； (
)
2
222a b
a a
b b ±=±⋅+r
r r r r r 22
2a a b b =±⋅+r r r r
☆向量的夹角：已知两个非零向量a r
与b r ，作OA uu u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=θ （0
1800≤≤θ）叫做向量a r
与b r 的夹角
cos θ=cos ,a b
a b a b •<>=•r r r r r r 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00
，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，
同时0r
与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
补充：
☆ 线段的定比分点
()()()设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212l
l 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212λλλ→=→
P P P P P P P P 12121200→
><所成的比（，在线段内，，在外），且λλ
x x x y y y P P P x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪=+=+⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪1212121212
1122λλλλ，为中点时， ()()()如：，，，，，，∆ABC A x y B x y C x y 112233
则重心的坐标是，∆ABC G x x x y y y 123
12333
++++⎛⎝ ⎫⎭⎪
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）⇔=++O 是ABC ∆的重心.
（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.
（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心
O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.
（4）==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题
例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，
则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心
例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P
满足
OA OP +
+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
例3：1)O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满
足OA OP +
+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过
ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
2)已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，
动点P 满足()||sin ||sin AB AC
OP OA AB B AC C λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一
定通过△ABC 的( )
A. 重心
B. 垂心
C. 外心
D. 内心
3)已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，