二元一次不等式(组)表示的平面区域

二元一次不等式(组)表示的平面区域

(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧

x －y ≥0，

2x ＋y ≤2，

y ≥0，

x ＋y ≤a

表示的平面区

域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( D )

A ．⎣

⎢⎡⎭

⎪⎫

43，＋∞ B ．(0,1]

C ．⎣

⎢⎡

⎦

⎥⎤1，43

D ．(0,1]∪⎣

⎢⎡⎭

⎪⎫

43，＋∞

解析：不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ≥0，2x ＋y ≤2，

y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分

所示．

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫

23，23，

由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝0，

2x ＋y ＝2，得B (1,0)． 若原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧

x －y ≥0，

2x ＋y ≤2，

y ≥0，

x ＋y ≤a

表示的平面区域是一个三角形，

则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0＜a ≤1或a

≥4

3.

(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥0，x ＋3y ≥4，

3x ＋y ≤4

所表示的平面区域的面积被直线y

＝kx ＋4

3分为2∶1两部分，则k 的值是1或5.

解析：不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y ＝kx ＋4

3过定点⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，43.

因此只有直线过AB 的三等分点时，直线y ＝kx ＋4

3能把平面区域分为2∶1两部分．

因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 靠近A 的三等分点为⎝ ⎛⎭⎪⎫

23，2，靠近

B 的三等分点为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，当y ＝kx ＋4

3过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，k ＝1，当y ＝kx ＋4

3过点⎝ ⎛⎭⎪

⎫13，3时，k ＝5.

1.二元一次不等式(组)表示平面区域

的判断方法

直线定界，测试点定域． 2．求平面区域的面积

(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；

(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．

(1)不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，

y ≤2表示的平面区域的面积为( B ) A ．4 B ．1 C ．5

D ．无穷大

解析：不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，

y ≤2

表示的平面区域如图所示(阴

影部分)，△ABC 的面积即所求，求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S

＝1

2×(2－1)×2＝1.

(2)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，

则实数m 的最大值为( B )

A ．1

2 B ．1 C ．32

D ．2

解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x 的图象及

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0

所表示的平面区域，如图阴影部分所示．

由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.