二次函数与平行四边形专题练习

二次函数与平行四边形综合问题练习

1、如图，已知抛物线y=x 2

+bx+c 与x 轴交于点A ，B ，AB=2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值；（3）设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为

2、如图，抛物线y ＝x 2

＋4x 与x 轴分别相交于点B 、O ，它的顶点为A ，连接AB ，把AB 所在的直线沿y 轴向上平移，使它经过原点O ，得到直线l ，设P 是直线l 上一个动点．

(1)求直线l 的函数关系式； (2)试写出符合下列条件的点P 的坐标： ①当以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形是菱形时，点P 坐标为 ． ②当以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形是平行四边形时，点P 坐标为 ．

3、已知二次函数y=x 2

-2x-1的图象的顶点为A ．二次函数y=ax 2

+bx

的图象与x 轴交于原点O 及另一点C ，它的顶点B 在函数y=x 2

-2x-1的图象的对称轴上．

（1）求点A 与点C 的坐标；

（2）当四边形AOBC 为菱形时，求函数y=ax 2

+bx 的关系式．

4、如图，抛物线22

++=bx ax y 交x 轴于A （－1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D 坐标； （2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标．

5、如图，抛物线经过A （-1，0），B （5，0），C （0，

2

5

）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

6、如图，二次函数y=x 2

+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，且A 点坐标为（-3，0），经过B 点的直线交抛物线于点D （-2，-3）． （1）求抛物线的解析式和直线BD 解析式； （2）过x 轴上点E （a ，0）（E 点在B 点的右侧）作直线EF ∥BD ，交抛物线于点F ，是否存在实数a 使四边形BDFE 是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a ；如果不存在，请说明理由．

7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2

+bx+c 经过A 、B 、C 三点，已知点A （-3，0），B （0，3），C （1，0）． （1）求此抛物线的解析式．

（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD ⊥AB 于点D ． ①动点P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标；

②连接PA ，以AP 为边作图示一侧的正方形APMN ，随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M 或N 恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P 点的坐标．（结果保留根号）

8、如图，已知抛物线y ＝－x 2

＋bx ＋c 与x 轴交于点A （－1，0）和B(3，0)，与y 轴交于点C ．设抛物线的顶点为D ，连结CD 、DB 、AC ． (1)求此抛物线的解析式；(2)求四边形ABDC 的面积； (3)设Q 是抛物线上一点，连结BC 、QB 、QC ，把△QBC 沿直线BC 翻折得到△Q'BC ，若四边形QBQ'C 为菱形，求此时点Q 的坐标．

9、如图，在平面直角坐标系中，抛物线322

++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）求直线AC 的解析式及B 、D 两点的坐标； （2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

10、如图，抛物线y=

2

1x 2

-x+a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y=-2x 上．（1）求a 的值；（2）求A ，B 的坐标； （3）以AC ，CB 为一组邻边作▱ACBD ，则点D 关于x 轴的对称点D ′是否在该抛物线上？请说明理由

11、如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm 的速度匀速运动，设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)若△PBQ的面积为18cm2，求运动时间；(3)求△PBQ的面积的最大值．