7-4-5 二次函数与方程、不等式综合.题库教师版

7-4-5二次函数与方程、不等式综合

题库·教师版

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一、二次函数与一元二次方程的联系

1. 直线与抛物线的交点

（1） y 轴与抛物线2y ax bx c =++得交点为()0c ，

. （2） 与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点()

2h ah bh c ++，.

（3） 抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应

一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；

②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与

x 轴相切； ③没有交点⇔

0∆<⇔抛物线与x 轴相离.

（4） 平行于x 轴的直线与抛物线的交点．可能有0

个交点、1个交点、2个交点.当有2

个交点时，两

交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.

（5） 抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，

，，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b c

x x x x a

+=-

⋅=， 12AB x x =-=

=

2. 二次函数常用的解题方法

（1） 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

（2） 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

（3） 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的

符号判断图象的位置，要数形结合；

（4） 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴

的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

中考要求

知识点睛

二次函数与方程、不等式综合