雪花曲线中的科克数学问题

雪花曲线中的科克数学问题

（i ）将正三角形（1）的每边三等分，并以中间的那一条线段为以底边向形外作等边三角

形，然后去掉底边，得到图（2）；

（ii ）将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3）； （iii ）再按上述方法无限多次继续作下去，所得的曲线称为科克雪花曲线（koch snowflake ）

·····

（1） （2） （3） （4） （5） 设图（1）中的等边三角形的边长为1，并分别将图（1）、（2）、（3）···中的图形依次记作1M 、2M 、3M 、···。 （1） 求n M 中的边长n N ； （2） 求n M 中每条边的长度n T ； （3） 求n M 的周长n L ； （4） 求n M 所围成的面积n S ；

（5） 求周长和面积的极限。

解：从科克雪花曲线的生成过程不难发现：

（1） 因为每个圆形中的一条线段在后一个圆形中变成四条线段，所以n N 的递推公式

为

1143

{

n n N N N -==，

()2n ≥，

其通项公式为

134n n N -=⋅

（2） 因为圆形中的每条线段长度在后一个圆形中变为原长的

13

，所以n T 的递推公式为

1

1131,

{

(2)

n n T T T n -==≥。

其通项公式为 1

13n n T -⎛⎫

= ⎪⎝⎭

。

（3） 因为n

n n L N T =⋅，所以n L 的通项公式为

1

433n n L -⎛⎫=⋅ ⎪

⎝⎭

。

（4） 为了便于表述，将图形（1）中的正三角形的面积记作

1A

则14

A =

。 当由1n M -生成n M 时，在1n M -的每一条边上多了一个面积为2

1n

T A 的小等边

三角形，这些小等边三角形的面积之和为2

11n n

N T A -，其中1A

的面积为4

。

于是得到科克雪花曲线面积的递推公式：

···

()2221122311n n A N T N T N T -=++++L .

把1

11113,1,,34,23n n n n N T T N n --⎛⎫====⋅≥ ⎪

⎝⎭

代入上式，经简化得

容易验证：12,43

A A =

=等。

（5） 由周长n L 和面积n A 的表达式可知

1

433n n L -⎛⎫

=⋅ ⎪

⎝⎭

。

当n 无限增大时，也随之无限增大。

因为1

4lim 09n n -→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭

，所以

11

244 lim lim lim

520952095

n n

n

n n n

A

--→∞→∞→∞

⎡⎤

⎛⎫⎛⎫

=-=-=

⎢⎥

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

⎢⎥

⎣⎦

注释:科克雪花曲线图形与高中二年级的数列知识联系起来，不仅运用了数学数列的递推公

式，还涉及到一定的递推思想，找到一定的规律并解出问题。此外，科克雪花曲线图形与新

兴的分形几何有一定的联系，分形几何中最典型的例子就是“英吉利亚海岸线有多长”的提

出，随之，分形几何这个名词诞生。根据分形几何的原理，用有足够精度的尺子去度量海岸

线的长度，那么只要尺子的精度足够小，海岸线的周长就可以无限的长。也就是说，海岸线

的面积有上限，而它的周长却可以无限的长。这里，科克雪花曲线图形就是这样，将其边长

无限的分割下去，那么它的面积有限，而周长却是无限的。但可以根据数列极限求出其和函

数。当我们对它无限分割的时候，这时整个图形的边缘看起来就好像是雪花的形状，这也就

是它为什么叫做雪花曲线图形的原因。这个数学问题有趣之处在于它不仅代表了一门学科的

发展，而且，还从数学图形中得到了优美的雪花图形，这在数学问题中是很少见的。