线性规划

线性规划：

一、框架：

1、二元一次不等式组表示平面区域 已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0.

(1)直线与平面内的点：直线l 把直角坐标平面内的所有点分成三类：在直线上的点；在直线上方区域内的点；在直线下方区域内的点．

(2)不等式表示的区域：以不等式的解(x ，y )为坐标的所有点构成的区域，即为不等式表示的区域． 2、确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法

(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域． (2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点． 2、求目标函数的最值

求目标函数的最值要明确几个概念：

(1)约束条件：由变量x ，y 组成的不等式(组)；

(2)线性约束条件：由关于x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)； (3)目标函数：关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等； (4)可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )；

(5)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 3、线性规划常见题型：

(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值；(3)约束条件含参数的线性规划问题； (4)目标函数含参数的线性规划问题；(5)线性规划问题的简单应用．

4、求目标函数的最值的一般步骤为：一找二画三移四求五答，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 二、方法诠释

第一方面：线性规划的简单应用 例1：若满足条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ≥0，x ＋y －2≤0，

y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整

数a 的值为( )

A ．－3

B ．－2

C ．－1

D ．0

4、解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，故选C.

第二方面：线性规划中的最值问题 线性规划中常见的目标函数有：

(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z

b ，

通过求直线的截距z

b 的最值间接求出z 的最值．

(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －b

x －a

.

例2.1：设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )

A ．10

B ．8

C ．3

D ．2

解：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线 y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大． 故z max ＝2×5－2＝8.

例2.2：在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，

3x ＋y －8≤0

所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－13 D ．－1

2

解：选C 此题的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－1

3.

例2.3：设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤2y －x ≤2，

y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )

A ．[1,2]

B ．[1,4]

C ．[2，2]

D ．[2,4]

解：选B 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)， x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为 原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的

取值范围是[1,4]．

第三方面：约束条件含参数的线性规划问题 例3：若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，

y ≥0，

且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )

A ．2

B ．－2 C.12 D ．－1

2

解：选D 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，

y ≥0

的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴

上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值． 当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．

当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫－2

k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4⇒k ＝－1

2

.故选D.

第四方面：目标函数含参数的线性规划问题 例4：x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，

2x －y ＋2≥0.

若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )

A.12或－1 B ．2或1

2

C ．2或1

D ．2或－1 解：选D 法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.