第五章 刚体的转动

第五章 刚体的转动

一、教材系统的安排与教学目的 1、教材的安排 本章从观察一些刚体定轴转动的现象开始，说明物体具有保持原有运动状态的特性—转动惯性。转动惯性的大小由转动惯量来量度。改变刚体的转动状态，需要外力矩；进而讲授力矩的瞬时作用规律—转动定律，力矩对空间积累作用规律—动能定理，力矩对时间的积累作用规律—角动量定理，以及角动量守恒定律和它们对的应用 2、教学目的：使学生理解力矩、转动惯量、冲量矩、角动量等概念，掌握力矩的规律，并学会运用它们说明、解释一些现象，分析、解决一些有关的问题。 二、教学要求 1、理解力矩的概念，明确刚体具有转动惯性。牢固掌握转动定律并能熟练地运用。 2、明确转动惯量的物理意义，会计算简单情况下物体的转动惯量。 3、掌握刚体定轴转动的动能定理，并会运用。 4、理解角动量和冲量矩的概念，掌握并会运用角动量定理和角动量守恒定律 三、内容提要 1、力矩 定义：力ρ

F 与力的作用线，到转轴的垂直距离的乘积

公式 ρρρM r F M Fr =⨯⇒=⎡⎣⎢

大小方向：按右手螺旋法则判断

：sin α

物理意义：表明了改变刚体转动状态的效果 2、转动定律

公式 ρ

ρM J =β

J 为转动惯量，ρ

β为角加速度

意义：为刚体定轴转动中的基本定律，与平动中的牛顿第二定律相当。

说明：ρ

M 为刚体所受的合外力矩，在定轴转动中它只有正负之分。

3、转动惯量

定义：J m r i i =

⇒∑()∆2即对于质点系转动惯量大小等于刚体上各质点的质量与各

质点到转轴的距离平方的乘积之和。 如果刚体上各质点是连续分布的，则有 J r dm dm dl dm ds dm dv =⇒=⋅⇒=⋅⇒=⋅⇒⎡⎣⎢⎢⎢⎰2λσρ质量为线分布

质量为面分布质量为体分布

物理意义：是刚体转动惯性大小的量度，与平动中的质量相当。

应掌握的几种转动惯量公式：

杆对其中心轴：

J ml =

1

12

2

杆对其一端： J ml =132

均匀圆盘：

J ml =1

2

2

4、转动动能：E J k =

⇒1

2

2ω与平动中的动能相当，是描写刚体转动状态的物理量。

5、刚体定轴转动的动能定理

公式：W J J =

-1212

202ωω 意义：表明力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。

6、角动量与冲量矩

（1）角动量：J ρ

ω，是描写刚体转动运动量大小的物理量，是描写刚体转动状态的物理量。它是一个矢量，其方向为角速度的方向，与平动中的动量相当。它是一个状态量。

（2）冲量矩：ρ

Mdt ⎰，是描写力矩对时间积累作用的物理量，也是一个矢量，其大小

为Mdt ⎰

，方向为力矩的方向，它与平动中的冲量相当。它是一个过程量。 7、角动量定理和角动量守恒定律

（1）角动量定理：ρρρ

ρρρ

ρM t J J M Mdt J J M t t ∆=-⇒=-⇒⎡⎣⎢⎢⎰ωωωω00000

：：为恒力矩

为变力矩 其意义表明冲量矩等于角动量的增量

（2）角动量守恒定律：J J 1122ρρ

ωω=

适用条件：合外力矩为零，即ρ

M =0 意义：自然界的基本定律之一，表明了空间转动不变性，即物理规律不会由于坐标系的旋转而发生变化。 四、解题步骤 1、确定研究对象，进行受力分析，求出合外力矩； 2、再考虑研究对象的特点，有无角加速度，选定转动正方向； 3、可首选转动定律来解答习题，次选转动中的动能定理； 4、当涉及角动量与冲量矩时，则应选用角动量定理或角动量守恒定律来解答习题； 5、说明，解决刚体动力学问题，力的分析仍是关键所在。若一系统中既有做平动的物体，又有绕定轴转动的物体时，应注意（1）对系统中的平动物体应逐个分析力，并列出与每个物体相对应的牛顿第二定律方程；（2）对转动物体，也应在分析力的基础上求出对固定轴的合外力矩，然后列出转动方程；（3）由角量与线量的关系，找出平动与转动之间的联系，即；a r v r t ==βω,。

五、典型例题

例1、一辆汽车以16.67m ·s -1的速度行驶，其车轮直径为0.76m 。（1）求车轮绕轴转动的角速度；（2）如果使车轮在30转内匀减速地停下来，问角加速度多大？（3）在刹车期间

汽车前进了多远？

解：（1）由v r =⋅ω，可得ω==⨯=-v r s 21667076

4391... （2）βωωω=

-=0

0∆t

,，∆t =30转×每转一周所需时间，

但每转一周所需时间=220381667

0143ππr v =⨯=...秒

所以β=

-⨯=--439

300143

10232...s

（3）汽车前进的距离：s r m =⨯=302716π.

例2、质量为0.50kg ，长为0.40m 的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置，然后任其落下，求（1）在开始转动时角加速度；（2）下落到铅直位置时的动能；（3）下落到铅直位置时的角速度。

解：（1）如图5-1所示，水平位置时棒所受的力矩为重力乘以力臂（等于棒长的一半） 由转动定律M J =β得： β==

==-M J

mg

l ml g l s 213

3236822. （2）在棒下落过程中，仅有重力作用，故机械能守恒：

122

050980200982J mg l

ω==⨯⨯=....焦耳 （3）

ω====-mgl

J

mgl ml g l s

13

385722. 例3、密度为σ的均匀矩形板，求通过与板面垂直的几何中心轴线的转动惯量为

1

12

22σah a b ()+。其中a 为矩形板的长，b 为矩形板的宽。 解：由转动惯量的定义J r dm =⋅⎰

2

，可知，关键在于确定质量元dm 等于什么。由于质量是平面分布，可取三维直角坐标系，如图5-2所示。在XOY 平面上任取一面元ds ，它的面积ds=dx ·dy ，而质量元dm ds dxdy =⋅=σσ。

则质量元dm 对Z 轴的转动惯量dJ r dm =⋅2，r 为质元到原点O 的距

离（原点O 为平板的中心点）所以整个

图5-1