五年级奥数同余问题
人教版五年级下册数学奥数试题 余数和同余 （含答案）
余数和同余一、走进来：在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。
据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后从1至5报数，最后令士兵从1至7 报数，分别记下每次最后一个士兵所报之数。
这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。
这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》。
算经中载有此题之算法，后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。
七子团圆正半月，除百零五便得知。
”这道题就是利用余数的性质来求解。
这一章我们来共同探讨这样的问题。
二、一起做：【例1】2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数。
提示：如何使2100能被这个两位数整除？【例2】用一个自然数分别去除69、90、125，所得的余数都是6，求这个自然数。
提示：把“有余数”转化成“没有余数”，就能解决了。
【例3】60,90和125分别除以某个自然数时，余数相同，这个自然数最大是多少？提示：余数相同，可以通过“不同的两数相减”的方式去掉余数，进而求解。
【例4】有一个整数，用它去除91、119、155得到的三个余数之和是20，求这个数。
提示：先根据已知条件，确定这个数的大致范围。
然后通过“三个数的和减去余数的和”去掉余数，再分解质因数来求解。
【例5】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小自然数。
提示：写出除以3余2的数，从中找出除以5余3的最小自然数，再写出满足前两个条件的数，从中找出除以7余2的最小数。
【例6】求71427×1379×5781的积除以7的余数。
提示：你可以利用这三个数分别除以7的余数，去研究71427×1379×5781除以7的余数。
小学奥数五年级同余问题教学内容
小学奥数五年级同余问题同余问题【模块一：带余除法的定义和性质】1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
2、(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？3、(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
4、(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【模块二：三大余数定理的应用】5、(2003年南京市少年数学智力冬令营) 20032与22003的和除以7的余数____． 6、(2004年南京市少年数学智力冬令营)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有___组．7、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________8、(华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351⨯⨯除以17的余数．9、(2008年奥数网杯)已知20082008200820082008a =L 144424443个，问：a 除以13所得的余数是多少？ 【模块三：余数综合应用】10、著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？答案1、本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。
方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。
五年级奥数同余问题
1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。
解析：28812.两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？解析：被除数是424，除数是79.3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来的除数。
解析：除数是10.4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也比原来大了3.求原来的除数。
解析：除数是9.5.求算式3218+26-757除以9的余数。
解析：3.6.求413除以5的余数。
解析：1.7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？解析：5.8. 19992000÷7的余数是多少？解析：0.9.……199200除以9的余数是________;解析：3.10. 数11…1(2007个1),被13除余多少?解析：711.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313——2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .因数与倍数：两数的最大公因数乘最小公倍数等于这两数的乘积。
小学五年级奥数—数论之同余问题
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小学五年级奥数—数论之同余问题之欧阳学文创作
一、带余除法的定义及性质：欧阳学文一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b 的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a －b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
五年级奥数数学【同余问题课件】
所以，61和180同余180-61=119 而，119=17×7 经检验，A=17
本课总结
1、带余除法
⑴ 一般地，A÷B＝c…d ⑵ 变整除：A－d，可以被B，或c整除.
2、余数的三大性质， ⑴ 余数的和、差、积. ⑵ 大数变小数，转化求解. 3、同余问题：
减掉
因为，连续9个数的和，一定可以被9 整除2009÷=□……2 因此，余数为1+2=3 所以，（原数-3）可以被9整， 即1234567891011121314…20082006可 以被9整除的个位数字，判断商的个位 为4。
拓展
用一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是 多少?
同余问题
五年级 第19课
本讲主线
1. 带余除法表达式 2、复习余数定理. 3、同余问题初步.
本讲主线
1、带余除法被除数÷除数＝商…余数 一般地，A÷B＝c…d d=0 整除 D≠0 余数 2. 被除数－余数＝除数×商.
小练习（★ ★ ）
1013除以一个两位数，余数是12. 求所有符合条件的两位数.
13 195 299 390 15 23 30
200÷A=…5 300÷A=…1 400÷A=…10
知识链接
余数的三大性质： ⑴ 和的余数等于余数的和 ⑵ 差的余数等于余数的差 ⑶ 积的余数等于余数的积
小练习
算式2007×2008＋2009×2010除以7的余数是 （ 5 ）
余5×余6+余0×余1，2007÷7=…5
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
014年4月13日(星期日)是小学“希望杯”全国数学邀请赛举行 复赛的日子，那么这天以后的第2014＋4×13天是星期
五年级奥数小学数学培优--第6讲-巧解余数和同余问题
五年级奥数小学数学培优--第6讲-巧解余数和同余问题第___讲巧解余数与同余问题第一节余数方法和技巧：（1）被除数=商×除数+余数。
（2）借助约数和倍数的知识。
上面两个性质是解题的关键。
例1：一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。
做一做1：237除以一个两位数所得的余数是6，问：这样的两位数是多少？例2:一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。
那么，被除数、除数、商及余数之和是多少？做一做2：两数相除，商是498，余数是3。
那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？例3:两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和是866。
求这两个数。
做一做3：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。
问：被除数是多少？例4:伸出你的左手，从大拇指开始按右图所示的那样数数字：1，2,,3，…问：数到2003时，你数在哪个手指上？做一做4：将全体非零自然数按下列方式排列，问：数1000排在哪个字母的下面？A B C D E F G___________________________________1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 2829 30 31 32 33 34 3536 37 38 39 …例5:把化为循环小数，问：小数点后1999个数字是几？这1999个数字的总和是几？做一做5：问：化成小数后，小数点的右边第1991位上的数字是多少？这1991个数字的和是多少？例6:某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小值能是多少？做一做6：一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余5。
求这个自然数能取得的最小值。
例7:有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和为25,那么这三个余数中最小的数是多少?巩固练习：1、填空：（1）顺次写出除以4余2，除以5余3的三个数__________________。
小学五年级奥数 同余问题(一)
⑴ 一般地，A÷B＝c…d ⑵ 变整除：A－d，可以被B，或c整除. 2. 余数的三大性质， ⑴ 余数的和、差、积. ⑵ 大数变小数，转化求解. 3. 同余问题： ⑴ A、B对C同余，则A、B差值可以被C整除 ⑵ C为差值的约数.(检验)
【今日讲题】例3，例4，例5 【讲题心得】 ___________________________________________________________________ 【家长评价】 ___________________________________________________________________
【小练习】(★☆) 算式2007×2008＋2009×2010除以7的余数是_____.
【例3】(★★☆) 2014年4月13日(星期日)是小学“希望杯”全国数学邀请赛举行复赛的 日子，那么这天以后的第2014＋4×13天是星期_____．
版块二：余数三大性质
知识要点屋 5. 同余问题：
若a，b除以c的余数相同，那么， (a－b)能被c整除 称a，b对于模c同余
【例1】(★★☆) 算式2008÷a＝b…6，a、b均为自然数. a有____种不同的取值.
知识要点屋
3. 整除判断
余数判断
⑴ 尾数系，(2,5)(4,25)(8,125)
⑵ 和系，数字和能否整除，(3,9)
⑶ 差系，末三位与其余位的差，7、11、13
11：奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差值能否被11整除.
用“同余式”表示为a≡b(modc) 例如，23、13除以5的余数都是3
那么，(23－13)可以被5整除.
2
【例4】(★★★) 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三 种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同. 请问学校共 有多少个班？
小学奥数 同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学奥数―同余问题
04
同余问题的应用实例
数字问题
数字的整除问题
密码学中的同余问题
计算机算法中的同余问题
数字的余数问题
图形问题
棋盘问题：在棋盘上利用同余原理解决相关问题，如象棋、围棋等棋局的胜负判断
图形问题：同余问题在几何图形中的应用，如计算图形的面积、周长等
拼图问题：利用同余原理解决拼图问题，如拼凑出指定的图形
03
同余问题的解题方法
枚举法
定义：通过一一列举所有可能的情况来解决问题的方法
适用范围：适用于问题较简单、答案个数较少的情况
解题步骤：逐一列举所有可能的情况，并逐一验证每种情况是否符合题目的要求，从而找到符合条件的答案
注意事项：列举时要注意全面、不遗漏，同时要善于总结规律，提高解题效率
代数法
定义：通过代数运算和等式性质解决同余问题的方法
计算机科学：同余定理在计算机科学中的应用，如模运算和取模运算
物理学：同余定理在物理学中的应用，如量子力学和相对论
05
同余问题的练习题及解析
同余问题的练习题
题目：从1至100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？
题目：在黑板上写有一串数：1、2、3、…、2011、2012，任意擦去几个数，写上被擦去的几个数的和被11除所得的余数（如：擦去8、9、10、11、12，因为(8+9+10+11+12)/11=4…6），如：写上6，这样操作下去，一直到黑板上只剩下一个数，则这个数是多少？
同余问题的应用：同余问题在数论、代数、组合数学等领域有广泛的应用。
同余问题的基本性质：同余问题具有一些基本性质，如模运算的消去律、模运算的交换律和结合律等。
同余问题的解题方法：解决同余问题的方法包括利用同余式的性质进行变形、利用模的性质进行推导、利用代数方程的解法等。
小学五年级奥数—数论之同余问题
一、带余除法的界说及性质：之马矢奏春创作时间：二O二一年七月二十九日一般地,如果a是整数,b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r,也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：(1)那时：我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商(2)那时：我们称a不成以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求依照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c 就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数.这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系.而且可以看出余数一定要比除数小.二、三年夜余数定理：a与b的和除以c的余数,即是a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数年夜时,所求的余数即是余数之和再除以c 的余数.例如：23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数即是3+4=7除以5的余数,即2.a与b的乘积除以c的余数,即是a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数即是3×1=3.当余数的和比除数年夜时,所求的余数即是余数之积再除以c 的余数.例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数即是3×4除以5的余数,即2.若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对模m同余,用式子暗示为：a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式.同余式读作：a同余于b,模m.由同余的性质,我们可以获得一个非常重要的推论：若两个数a,b除以同一个数m获得的余数相同,则a,b的差一定能被m整除用式子暗示为：如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a－b＝mk,k是整数,即m|(a－b)三、弃九法原理：在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丧失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的.上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同.而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,经常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找而且划去,所以这种方法被称作“弃九法”.所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和.以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可.利用十进制的这个特性,不单可以检验几个数相加,对检验相乘、相除和乘方的结果对分歧毛病同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确.例如：检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,可是显然算式是毛病的可是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律.这个思想往往可以帮手我们解决一些较复杂的算式迷问题.四、中国剩余定理：1.中国古代趣题：中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？”答曰：“二十三.”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”.韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问年夜将军韩信统御战士几多,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人…….刘邦茫然而不知其数.我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有几多？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加3,得9948（人）.孙子算经的作者及确实著作年代均不成考,不外根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理.中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代笼统代数学中占有一席非常重要的位置.2.核心思想和方法：对这一类问题,我们有一套看似繁琐可是一旦掌握即可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,分析此方法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？题目中我们可以知道,一个自然数分别除以3,5,7后,获得三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以3余1,而且还是5和7的公倍数.先由,即5和7的最小公倍数动身,先看35除以3余2,不符合要求,那么就继续看5和7的“下一个”倍数是否可以,很显然70除以3余1类似的,我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以符合要求.最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45符合要求,那么所求的自然数可以这样计算：,其中k是从1开始的自然数.也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数.例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,那么我们可以计算获得所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128.例题精讲：【模块一：带余除法的界说和性质】【例 1】(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数去除,获得商是46,余数是,求和．【解析】因为是的倍还多,获得,得,所以,．【巩固】(清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是,甲数除以乙数商余,求甲、乙两数．【解析】(法1)因为甲乙,所以甲乙乙乙乙；则乙,甲乙．(法2)将余数先去失落酿成整除性问题,利用倍数关系来做：从中减失落以后,就应当是乙数的倍,所以获得乙数,甲数．【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数.【解析】本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题.方法为用被除数减去余数,即获得一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以获得一个除数的倍数.本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数还要满足比37年夜,符合条件的有39,91.【例 1】(年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是,余数是,已知被除数、除数、商与余数之和为,则被除数是几多？【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113,所以被除数除数=2083,由于被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115,所以被除数=2083-115=1968．【巩固】用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是几多？【解析】本题为带余除法界说式的基本题型.根据题意设两个自然数分别为x,y,可以获得,解方程组得,即这两个自然数分别是856,21.【例 2】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个分歧的自然数的和为2001,它们分别除以19,23,31所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_______,_______,_______.【解析】设所得的商为,除数为．,,由,可求得,．所以,这三个数分别是,,.【巩固】(2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数,除以11时所获得的商和余数是相等的,除以9时所获得的商是余数的3倍,这个自然数是_________．【解析】设这个自然数除以11余,除以9余,则有,即,只有,,所以这个自然数为.【例 3】(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人．如果把书全部份给第一组,那么每人4本,有剩余；每人5本,书不够．如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余；每人4本,书不够．问：第二组有几多人?【解析】由,知,一组是10或11人．同理可知,知,二组是13、14或15人,因为二组比一组多5人,所以二组只能是15人,一组10人．【巩固】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数．【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数一定年夜于,而且小于；又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为．【模块二：三年夜余数定理的应用】【例 4】有一个年夜于1的整数,除所得的余数相同,求这个数.【解析】这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是几多,可是由于所得的余数相同,根据同余定理,我们可以获得：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数．,,,的约数有,所以这个数可能为.【巩固】有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【解析】(法1),,,12的约数是,因为余数为3要小于除数,这个数是；(法2)由于所得的余数相同,获得这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数．,,,所以这个数是．【巩固】在小于1000的自然数中,分别除以18及33所得余数相同的数有几多个?(余数可以为0)【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次．1～198之间只有1,2,3,…,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同,而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数．【巩固】(2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数,而且除以17后所得的商与余数的和即是它除以19后所获得的商与余数的和．那么这样的三位数中最年夜数是几多,最小数是几多？【解析】设这个三位数为,它除以17和19的商分别为和,余数分别为和,则．根据题意可知,所以,即,得．所以是9的倍数,是8的倍数．此时,由知．由于为三位数,最小为100,最年夜为999,所以,而,所以,,获得,而是9的倍数,所以最小为9,最年夜为54．那时,,而,所以,故此时最年夜为；那时,,由于,所以此时最小为．所以这样的三位数中最年夜的是930,最小的是154．【例 5】两位自然数与除以7都余1,而且,求．【解析】能被7整除,即能被7整除．所以只能有,那么可能为92和81,验算可得那时,满足题目要求,【巩固】学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有几多个班？【解析】所求班级数是除以余数相同的数．那么可知该数应该为和的公约数,所求谜底为17．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最年夜整数是_________．【解析】因为, ,由于13511,13903,14589要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除．,所以所求的最年夜整数是98．【例 6】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题)与的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2,,,,,,…的余数分别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2的个数是3的倍数时,用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时,用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时,用7除的余数为4．因为,所以除以7余4．又两个数的积除以7的余数,与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1,所以除以7余1．故与的和除以7的余数是．【巩固】(2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995,1998,2000,2001,2003中,若其中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【解析】1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5．因为,,所以这样的数组共有下面4个：, ,,．【例 7】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数,用它去除70,110,160所获得的3个余数之和是50,那么这个整数是______．【解析】,,除数应当是290的年夜于17小于70的约数,只可能是29和58,,,所以除数不是58．,,,,所以除数是【巩固】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63,91,129获得的三个余数之和为25,那么n=________【解析】n能整除．因为,所以n是258年夜于8的约数．显然,n不能年夜于63．符合条件的只有43．【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运带动进行乒乓球角逐,规定每两人角逐的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运带动打了几多盘?【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用.计算101,126,173,193除以3的余数分别为2,0,2,1.那么任意两名运带动的角逐盘数只需要用2,0,2,1两两相加除以3即可.显然126运带动打5盘是最多的.【例 8】(2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱,一起到新华书店购买《成语年夜辞书》．一看订价才发现有5个人带的钱不够,可是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语年夜辞书》的订价是________元．【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本,所以他们五人带的钱数是3的倍数,另一人带的钱除以3余1．易知,这个钱数只能是37元,所以每本《成语年夜辞书》的订价是(元) ．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【解析】两个顾客买的货物重量是的倍数．,剩下的一箱货物重量除以3应当余2,只能是20千克．【例 9】求的余数．【解析】因为,,,根据同余定理(三),的余数即是的余数,而,,所以的余数为5．【巩固】(华罗庚金杯赛模拟试题)求除以17的余数．【解析】先求出乘积再求余数,计算量较年夜．可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数．除以17的余数分别为2,7和11,．【巩固】求的最后两位数．【解析】即考虑除以100的余数．由于,由于除以25余2,所以除以25余8,除以25余24,那么除以25余1；又因为除以4余1,则除以4余1；即能被4 和25整除,而4与25互质,所以能被100整除,即除以100余1,由于,所以除以100的余数即即是除以100的余数,而除以100余29,除以100余43,,所以除以100的余数即是除以100的余数,而除以100余63,所以除以100余63,即的最后两位数为63．【巩固】除以13所得余数是_____.【解析】我们发现222222整除13,2000÷6余2,所以谜底为22÷13余9.【巩固】求除以7的余数．【解析】法一：由于 (143被7除余3),所以 (被7除所得余数与被7除所得余数相等)而,（729除以7的余数为1）,所以．故除以7的余数为5.法二：计算被7除所得的余数可以用找规律的方法,规律如下表：于是余数以6为周期变动．所以．【巩固】（2007年实验中学考题）除以7的余数是几多？【解析】由于,而1001是7的倍数,所以这个乘积也是7的倍数,故除以7的余数是0；【巩固】被除所得的余数是几多？【解析】31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,时被13除所得余数分别是5,12,8,1,5,12,8,1以4为周期循环呈现,所以被13除的余数与被13除的余数相同,余12,则除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,时,被13除所得的余数分别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,以6为周期循环呈现,所以被13除所得的余数即是被13除所得的余数,即4,故除以13的余数为4；所以被13除所得的余数是．【巩固】(2008年奥数网杯)已知,问：除以13所得的余数是几多？【解析】2008除以13余6,10000除以13余3,注意到；；；根据这样的递推规律求出余数的变动规律：20082008除以13余,200820082008除以13余,即200820082008是13的倍数．而除以3余1,所以除以13的余数与除以13的余数相同,为6.【巩固】除以41的余数是几多？【解析】找规律：,,,,,……,所以77777是41的倍数,而,所以可以分成399段77777和1个7组成,那么它除以41的余数为7．【巩固】除以10所得的余数为几多？【解析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的,而对一个数的幂方的个位数,我们知道它总是4个一循环的,因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组,则分歧组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算的个位数字,为的个位数字,为4,由于2005个加数共可分成100组另5个数,100组的个位数字和是的个位数即0,另外5个数为、、、、,它们和的个位数字是的个位数 3,所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3．【例 10】 求所有的质数P,使得与也是质数．【解析】 如果,则,都是质数,所以5符合题意．如果P 不即是5,那么P 除以5的余数为1、2、3或者4,除以5的余数即即是、、或者除以5的余数,即1、4、9或者16除以5的余数,只有1和4两种情况．如果除以5的余数为1,那么除以5的余数即是除以5的余数,为0,即此时被5整除,而年夜于5,所以此时不是质数；如果除以5的余数为4,同理可知不是质数,所以P 不即是5,与至少有一个不是质数,所以只有满足条件．【巩固】 在图表的第二行中,恰好填上这十个数,使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数,即是两个数分别除以11的余数之积．因此原题中的可以改换为,这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们获得下面的结果：因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数37195621048进而获得本题的谜底是：89909192939495969798因数91958997939490989296因数【巩固】(2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式(其中), 在校对时,发现右边的积的数字顺序呈现毛病,可是知道最后一位6是正确的,问原式中的是几多？【解析】由于,, 于是,从而(用代入上式检验)…(1),对进行讨论：如果,那么…(2),又的个位数字是6,所以的个位数字为4,可能为、、、,其中只有符合(2),经检验只有符合题意．如果,那么…(3),又的个位数字为2或7,则可能为、、、、,其中只有符合(3),经检验,分歧题意．如果,那么…(4),则可能为、,其中没有符合(4)的．如果,那么,,,因此这时不成能符合题意．综上所述,是本题唯一的解．【例 11】一个年夜于1的数去除290,235,200时,得余数分别为,,,则这个自然数是几多？【解析】根据题意可知,这个自然数去除290,233,195时,获得相同的余数（都为）．既然余数相同,我们可以利用余数定理,可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是的约数,又是的约数,因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1,而这个数年夜于1,所以这个自然数是19．【巩固】一个年夜于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和即是这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是几多？【解析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和即是这个自然数去除后所得的余数,所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同,因此这个自然数是的约数,又年夜于10,这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16,不符合题目条件；如果这个数是17,那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16,符合题目条件,所以这个自然数是17．【例 12】甲、乙、丙三数分别为603,939,393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍,除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求即是几多？【解析】根据题意,这三个数除以都有余数,则可以用带余除法的形式将它们暗示出来：由于,,要消去余数,,,我们只能先把余数处置成相同的,再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩年夜2倍,同理,第三个式子乘以4．于是我们可以获得下面的式子：这样余数就处置成相同的．最后两两相减消去余数,意味着能被整除．,,．51的约数有1、3、17、51,其中1、3显然不满足,检验17和51可知17满足,所以即是17．【巩固】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是、、,求这个自然数和的值.【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为的数：,、,这样这些数被这个自然数除所得的余数都是,故同余.将这三个数相减,获得、,所求的自然数一定是和的公约数,而,所以这个自然数是的约数,显然1是不符合条件的,那么只能是19.经过验证,当这个自然数是时,除、、所得的余数分别为、、,时成立,所以这个自然数是,.【模块三：余数综合应用】【例 13】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列傍边第2008个数除以3所得的余数为几多？【解析】斐波那契数列的构陈规则是从第三个数起每一个数都即是它前面两个数的和,由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1,与第一项和第二项的值相同且位置连续,所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环呈现,由于2008除以8的余数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数,为0.【巩固】（2009年走美预赛六年级）有一串数：1,1,2,3,5,8,……,从第三个数起,每个数都是前两个数之和,在这串数的前2009个数中,有几个是5的倍数？【解析】由于两个数的和除以5的余数即是这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数分别为：1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,……可以发现这串余数中,每20个数为一个循环,且一个循环中,每5个数中第五个数是5的倍数．由于,所以前2009个数中,有401个是5的倍数．【例 14】(圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数,而且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【解析】除以3、6和9的余数分别不超越2,5,8,所以这三个余数的和永远不超越,既然它们的和即是15,所以这三个余数分别就是2,5,8．所以该数加1后能被3,6,9整除,而,设该数为,则,即（为非零自然数）,所以它除以18的余数只能为17．【巩固】(2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭,有父、母、兄、妹四人,他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍,每人的岁数都是一个质数,四人岁数之和是100,父亲岁数最年夜,问：母亲是几多岁?【解析】从任意三人岁数之和是3的倍数,100除以3余1,就知四个岁数都是型的数,又是质数．只有7,13,19,31,37,43,就容易看出：父43岁,母37岁,兄13岁,妹7岁．【例 15】(华杯赛试题)如图,在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),小明像玩跳棋那样,从孔动身沿着逆时针方向,每隔几孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔,你知道这个圆圈上共有几多个孔吗?【解析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针方向顺次编号为2,3,4,…,B孔的编号就是圆圈上的孔数．我们先看每隔2孔跳一步时,小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1,4,7,10,…上,也就是说,小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意,小明最后跳到B孔,因此总孔数是3的倍数加1．同样事理,每隔4孔跳一步最后跳到B孔,就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔,就意味着总孔数是7的倍数．如果将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数,因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就即是孔数,设孔数为,则（为非零自然数）而且能被7整除．注意15被7除余1,所以被7除余6,15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出,15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除,而已经年夜于100．7以上的倍数都不用考虑,因此,总孔数只能是．【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克试题)将依次写到第1997个数字,组成一个1997位数,那么此数除以。
小学奥数。同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
小学奥数。
同余问题精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)同余问题教学目标：1.掌握同余的性质。
2.利用整除性质判断余数。
知识点拨：同余定理1.定义：若两个整数a和b被自然数m除有相同的余数，那么称a和b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(modm)，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
2.重要性质及推论：1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。
例如：17与11除以3的余数都是2，所以能被3整除。
(17-11=6，6可以被3整除)2）用式子表示为：如果有a≡b(modm)，那么一定有a-b=mk，k是整数，即m|(a-b)。
3.余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的。
建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余。
由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数。
⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数。
⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数。
⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数。
⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数。
⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数。
（不够减的话先适当加11的倍数再减）⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数。
例题精讲模块一、两个数的同余问题例1】有一个整数，除39、51、147所得的余数都是3，求这个数。
考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答解析】法1)39-3=36，51-3=48，147-3=144，(36,144)=12，12的约数是1、2、3、4、6、12，因为余数为3要小于除数，这个数是4、6、12.法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。
小学五年级奥数余数同余练习题
小学五年级奥数余数同余练习题1、一个两位数去除251，得到的余数是41、求这个两位数2、用一个自然数去除另一个整数，商是40，余数是16。
被除数,除数，商与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？3、某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？4、3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），得1993天是星期几5、一个数除以三余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数6、一个数除以5余三，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数7、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合此条件的最小自然数8、一个布袋中装有小球若干个，如果每次取出3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。
布袋中至少有小球多少个？9、69、90和125倍某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。
10、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是11被除数、除数、余数这四个数的和是463，求除数12、某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，求这个数最小是多少？13、某数除以除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？14、用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋。
这批贷至少有多少袋15、57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零。
求284被这个自然数除的余数16、判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？17、求乘积418×814×1616除以13所的得余数。
18、求14389除以7的余数19、四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且没0秒钟的定的颜色改变一次，每一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，，每三次又上下两灯互换颜色…、,这样一直进行下去。
请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？ 20、用弃九法检验下边的计算是否正确：23372458÷7312=354421、求自然数2100+3101+4102的个位数字22、1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？23、求33335555+55553333被7除的余数。
小学奥数教程：同余问题_全国通用(含答案)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711-（）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学五年级奥数课件 同余问题
1. 带余除法表达式 2、复习余数定理. 3、同余问题初步.
本讲主线
1、带余除法被除数÷除数＝商…余数 一般地,A÷B＝c…d d=0 整除 D≠0 余数 2. 被除数－余数＝除数×商.
小练习（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ★ ）
1013除以一个两位数,余数是12. 求所有符合条件的两位数.
减余数,变整除, 1013-12=1001 1001=7×11×13 那么所有的两位数有11,13,77,91 因为“余数小于除数”, 所有,只有13,77,91符合
余5×余6+余0×余1,2007÷7=…5
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
014年4月13日(星期日)是小学“希望杯”全国数学邀请赛举行 复赛的日子,那么这天以后的第2014＋4×13天是星期
．
2014÷7,余数5 4÷7,余数是4 13÷7余数是6 根据余数定理, 5+4×6,除以7的余数是1 所以,之后的第2014+4×13天是一周。
知识链接
同余问题：
若a,b除以c的余数相同, 那么, (a－b)能被c整除 称a,b对于模c同余用 “同余式”表示为a≡b(modc)
例如,23、13除以5的余数都是3 那么,(23－13)可以被5整除.
例题【四】（★ ★ ★ ）
学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将 这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同. 请问学校共有多少个班？
拓展
用一个数除200余5,除300余1,除400余10,这个数是多 少?
13 195 299 390 15 23 30
200÷A=…5 300÷A=…1 400÷A=…10
知识链接
余数的三大性质： ⑴ 和的余数等于余数的和 ⑵ 差的余数等于余数的差 ⑶ 积的余数等于余数的积
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1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。
解析：2881
2.两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？
解析：被除数是424，除数是79.
3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来
的除数。
解析：除数是10.
4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也
比原来大了3.求原来的除数。
解析：除数是9.
5.求算式3218+26-757除以9的余数。
解析：3.
6.求4
13除以5的余数。
解析：1.
7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？
解析：5.
8. 19992000÷7的余数是多少？
解析：0.
9.求123456789101112……199200除以9的余数是________;
解析：3.
10. 数11…1(2007个1),被13除余多少?
解析：7
11.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .
解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×
21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.
12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？
解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .。