平行线等分线段定理(初中八年级数学课件)

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平行线等分线段定理课件

∴O′A′＝O′C′. 同理，O′D′＝O′B′.∴A′D′＝B′C′.
平行线等分线段定理推论1的运用 [例2] 如图，在△ABC中，AD，BF为中线，AD，BF交于点G，CE∥FB交AD的延长线于点E. 求证：Байду номын сангаасG＝2DE.
[思路点拨] AF＝FC，GF∥EC → AG＝GE → △BDG≌△CDE → AG＝2DE
3．如图，在▱ ABCD中，对角线AC，BD相
交于点O，OE平行于AB交BC于E，AD＝ 6，求BE的长．解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，BC＝AD. 因为AB∥DC，OE∥AB，所以DC∥OE∥AB. 因为AD＝6，所以BE＝EC＝12BC＝12AD＝3.
4．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点， BE的延长线交AC于点F. 求证：AF＝13AC. 证明：如图，过D作DG∥BF交AC于点G. 在△BCF中，D是BC的中点， DG∥BF， ∴G为CF的中点，即CG＝GF. 在△ADG中，E是AD的中点， EF∥DG， ∴F是AG的中点，即AF＝FG. ∴AF＝13AC.
有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．
5．若将本例中“M是CD的中点”与“AM＝BM”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明．解：结论成立．证明如下：过点 M 作 ME⊥AB 于点 E， ∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴AD⊥AB，BC⊥AB. ∵ME⊥AB， ∴ME∥BC∥AD. ∵AM＝BM，且 ME⊥AB， ∴E 为 AB 的中点， ∴M 为 CD 的中点．
由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，
又OE＝6，所以BE＝9.

平行线等分线段定理课件

反思感悟证明不在同一条直线上的两条线段相等，可以根据等腰三角形的两腰相等或者根据全等三角形对应边相等来证明．
题型三平行线等分线段定理的综合应用【例3】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.
求证：AF＝BF.
[ 思维启迪 ] 延长 AE 交 BC 于 M ，由于 CD 是 ∠ACB 的角平分线，所以 ∠ACE ＝ ∠ECM ，并且 AM⊥CE，因此容易得到△ACE≌△MCE.则AE＝ME，又EF∥BM，则AF＝BF.
题型二平行线等分线段定理的推论【例2】如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，点E是AB边的中点，连接ED、EC.
求证：ED＝EC.
[思维启迪] 由E是AB的中点，作EF∥BC交DC于F，即可得EF⊥DC，从而利用线段中垂线的性质得到结论．
证明如图所示，过点E作EF∥BC交DC于F， ∵在梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AD∥EF∥BC， ∵E是AB的中点， ∴F是CD的中点． ∵∠ADC＝90°，∴∠DFE＝90°， ∴EF⊥DC于F. 又∵F是DC的中点， ∴EF是DC的垂直平分线， ∴ED＝EC.
3．在几何证明中添加辅助线的方法 (1)在三角形中，由角平分线可构造全等或相似三角形； (2)在三角形或梯形中，若有一边上的中点，则过这点可作辅助线．
题型一平行线等分线段定理及其应用【例1】如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC的三等分点(BE>CE)，AE与CD交于点F.求证：
F是CD的中点． [思维启迪] 过D作DG∥AE交BC于G，再用平行线等分定理证定义：如果一组 _平_ _行_ _线_ _ 在一条

平行线等分线段精选教学PPT课件

Ｇ
Ｆ
Ｍ
Ｅ
Ｄ
ＡＩＪＫＬＢＮ
２）在射线ＡＣ上顺次截取ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。
３）连结ＨＢ。
４）过点Ｇ、Ｆ、Ｅ、Ｄ分别作ＨＢ的平行线ＧＬ、ＦＫ、ＥＪ、ＤＩ，分别交ＡＢ于点Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ。
Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ就是所求的五等分点
A
F. H.
D
例２：
如图，平行四边形ABCD中， BC与AD的中点分别为E、F，且BF、DE、与对角线AC交于H、G。求证：AH=HG=GC
我唯一的靠山倒了，但是母亲教会了我在逆境中学会坚强，勇敢地面对困难和失败，适应任何环境而求生存，这就是我的母亲留给我的无比珍贵的财富和爱。母亲虽然走了，可她永远活在我的心里，我永远怀念她，她是我地唯一，无人取代，也是我的最爱，更是难忘的爱！
我想不起小姨妈在母亲有病的时候是怎样抱着我，还是背着我，我不知道，从小姨妈对那段往事的回忆中，我才知道别人对她的冷眼，天寒地冷的无奈…… 我才知道她的棉衣前襟是明亮发光的，而且经常是湿地；才知道烧无烟煤时熏黑了的脸上那双有黑有大的眼睛的明亮。那时候小姨妈只有十六岁，一个失去父母关爱的小女孩，能在姐姐病重的时候撑起一个家，还带着一个不满周岁的孩子，可想而知，这是多么不容易
当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不

19.2.3 三角形的中位线及平行线等分线段定理(课件(沪科版)(共34张PPT)

DE=
1 2
BC
验证猜想
已知：如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.
求证： DE∥
BC，且 DE=
1 2
BC
证明：延长DE到F，使 EF=DE 连接AF , CF , DC. A
∵ AE=CE，DE=EF ∴ 四边形ADCF是平行四边形
D
EF
∴ AD＝∥ CF ∴ BD＝∥CF
B
C
中点 D
E 中点
它就是我们这节课要学习的三角形的中位线.
B
F
C
中点
概念学习
A 1、你能给“三角形中位线”下个定义吗？
连接三角形两边中点的线段叫做
三角形的中位线.
中点 D
E 中点
2、一个三角形有几条中位线？
一个三角形有三条中位线
B
F
C
3、三角形的中位线与中线有什么区别？
中点
答：中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
A
D
O
(1) AB∥ CD，BC∥ AD
B
C
(2) AB∥ CD，AB=CD
(3) AB=CD，BC=AD
□ ABCD
(4) ∠A=∠C ， ∠ B=∠D
(5) AO=OC， BO=OD
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (平行四边形的定义)
平
行
从边考虑
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (判定定理1)
同步精品课堂
沪科版数学八年级下册
中物理
第19章四边形
19.2.2 三角形的中位线及平行线等分线段定理
知识回顾平行四边形的性质共有哪些？

平行线等分线段定理课件

(2)推论2,如图③,已知在梯形ACC'A'中,AA'∥CC',B是AC的中点,
过点B作BB'∥CC'交A'C'于点B',求证:点B'是A'C'的中点.
证明:如图④,∵AA'∥CC',BB'∥CC',
∴AA'∥BB'∥CC'.
∵AB=BC,
∴A'B'=B'C',即点B'是A'C'的中点.
题型一
任意等分已知线段
性质来解决有关问题.
2.本题也可用平行线等分线段定理来证明,过点E作DC的平行线
即可.
交AB于点A1,A2,A3,A4,则点A1,A2,A3,A4将线段AB五等分.
证明:过点A作MN∥D5B.
则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.
∵AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5.
∴AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B.
∴点A1,A2,A3,A4就是所求的线段AB的五等分点.
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理的两个推论的证明
剖析:(1)推论1,如图①,在△ABC中,B'为AB的中点,过点B'作
B'C'∥BC交AC于点C',求证:点C'是AC的中点.
证明:如图②,过点A作直线a∥BC,
∵BC∥B'C',∴a∥BC∥B'C'.
∵AB'=BB',∴AC'=CC',
即点C'是AC的中点.
题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二

关于平行线等分线段定理的课件

如果直线BD与如果直线与 AC不平行，前面得不平行，不平行到的线段还相等？到的线段还相等？
如果直线BD与都不如果直线与AC都不与平行线垂直，与平行线垂直，前面得到的结论还成立吗？结论还成立吗？
ห้องสมุดไป่ตู้
你能在生活中找到平行线等分线段定理的应用实例吗？理的应用实例吗？
平行线等分线段定理
下图是生活中常见的门的图案，见的门的图案，我们来看它的局部。来看它的局部。
在左图门的局部图案中，图案中，有没有我们常见的四边形？常见的四边形？
如果抽象成几何图形，图形，会得到一个什么样的图形？么样的图形？
根据原型，根据原型，你能从下图中得到哪些线段相等？段相等？

平行线等分线段PPT教学课件

这两句对仗工整，表现出词人的巧思深情：
花的凋落，春的消逝，时光的流逝，都是不可抗
拒的自然规律，所以说“无可奈何” ；然而在这
暮春天气中，翩翩归来的燕子也有令人欣慰的重
现。
蕴涵着的某种生活哲理：一切必然要消逝的美好事
物都无法阻止其消逝，但在消逝的同时，仍会有美好的
事物出现。然而，美好的事物并不是原封不动地重现，
壮词与结尾一句话是否相符？
相符。一方面表明了前面所描述的年轻时的
经历现在只是一种追忆。一方面说明自己已年近半百，还能有
机会实现自己的理想吗? 所以最后一句也是壮语，只是它已变
雄壮为悲壮，充满了作者壮志不遂的抑郁、愤慨。
本文凭什么可以称得上是“壮词”？
•
明确： • 从题材看写军营生活； • 从情感看表达了建功立业的雄心壮志； • 从语言看豪放、壮丽。
夕阳西下几时回?
眼前的夕阳西下了，不知何时会再回来。
这是一种对岁月流逝、时光不再的感慨。。
上片的大体意思：
作者看见“夕阳西下”想到了岁月在不断地流逝，时间是不能倒流的。
在这里，作者向我们倾诉的是他所感到的生活的空虚，同时也有一种对时光流逝的惋惜之情。
。
对花的凋落，春的消逝，时光的流逝，虽惋惜留恋也无济于事，但归来的燕子象征着美好的事物，令人欣慰。在惋惜与欣慰的交织中，词人悟出了某种生活哲理。
《浣溪沙》这首词巧借“花落去”“燕归来”的自然景象，
抒写了心灵的感受——物是人非，时光不再。
本词为晏殊的名篇之一，抒写悼惜春残花落，好景不长的愁怀。语意十分蕴藉含蓄，通篇无一字正面表现思情别绪，读者却能从“去年天气旧亭台”、“燕归来”、“独徘徊”等句，领会到作者对景物依旧、人事全非的暗示和深深的叹恨。词中“无可奈何花落去”一联工巧而流丽，风韵天然，向称名句。

平行线等分线段定理课件

【典例训练】1.如图，A，B，C，D把OE五等分，且AA′∥ BB′∥CC′∥DD′∥EE′，如果OE′=20 cm，那么B′D′等于
()
(A)12 cm (B)10 cm (C)6 cm (D)8 cm
2.如图，AB∥CD∥EF，AF，BE相交于点O，若AO＝OD＝DF，BE ＝6 cm，则OE的长为______.
如图①～④，如果l1∥l2∥l3，AB＝BC，那么根据定理就可以得到 A1B1＝B1C1.因此，被一组平行线所截的两条直线的相对位置，不影响定理的结论. (2)以上结论和证明方法对“一组平行线”多于三条的情形同样适用.
4.用特殊化的方法研究定理的推论对定理的两种特殊情况，由上面的图形①，②分解出被截的两条直线与平行线组相交构成的梯形、三角形，就得到了定理在梯形和三角形中的特例，即推论2和推论1.
平行线等分线段定理
1.平行线等分线段定理 (1)条件：一组平行线在一条直线上_截__得__的__线__段__相__等___. 结论：在其他直线上_截__得__的__线__段__也__相__等____. (2)如图，l1∥l2∥l3,l分别交l1,l2,l3于A，B，C，l′分别交l1,l2,l3 于A1，B1，C1，若AB=BC，则_A_1_B_1_=_B_1C_1__.
如图⑤，在梯形ABCD中， ∵AD∥BC，AE＝EB，EF∥BC， ∴DF＝FC. 如图⑥，在△ABC.
核心要点是提升学科素养的关键。本栏目突破核心要点，讲练结合，提醒认知误区，点拨规律技巧，循序渐进，培养主动思考意识，提升自主探究能力。请根据授课情况有选择地讲解，帮助学生理解突破知识重难点！
EF＝FG＝GH＝1 EH＝1 ×4.5＝1.5(cm)，
3
3

【数学课件】平行线等分线段定理

P
.M
则PN= 2 厘米。 N
∟
B
D
C
练习：
二、判断题：
1、如图，若 AC=CE，BD=DF，
× 则AB∥CD∥EF。 ( )
A
B
B
A
C
D
CD
E
F
E
F
练习：
二、判断题：
2、如图，已知□ABCD中，A
D
AA1⊥l,
O
BB1⊥l,
CC1⊥l,
B
DD1⊥l,
C
则A1B1=C1D1. B1
(√ )
A1 O1 C1
AD的延长线交EC于F， A 求证：EF=FC.
DF
分析法线2：段延. 长ED交BC于点H，B
H
C
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥ED，且AB=ED，
又∵AD∥BC，∴四边形ABHD是平行四边形， ∴AB=DH，∴ED=DH；∴EF=FC.
作业：
1、教材：P188 2题
2、已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形， AD的延长线交EC于F，A
求证：EF=FC.
（此题有人一共找到10种证法）
B
E DF
C
A
E C
O
B D
F
练习：
一、填空题：
3、已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，
则DG= BG ，H是 AC 的中点，
F是 CD 的中点。 A
D
E G HF
B
C
练习：
一、填空题：
4、已知△ABC中，AB=AC， A
AD⊥BC，M是AD的中点，
CM交AB于P， DN∥CM交AB于N，

平行线等分线段定理课件

4. 如图所示，D、E、F 分别△ABC 三边的中点，则与△DEF 全等的三角形有____3_1 已知线段AB，求作AB的五等分点．
分析：本题是平行线等分线段定理的实际应用．只要作射线 AM，在 AM 上任意截取 5 条相等线段，设分别为 AA1、A1A2、 A2A3、A3A4、A4A5，连接端点 A5 与点 B，再过其他端点作 BA5 的平行线，分别交 AB 于 C、D、E、F，则 AB 就被这些平行线分成五等分了．
题型2 证明线段间关系
例2 如图，已知在△ABC中，D是AC的中点， DE∥BC，交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，求证：BF ＝CF.
分析：D 是 AC 的中点，利用定理知 E 是 AB 的中点，再利用定理得 F 是 BC 的中点．
证明：在△ABC 中， ∵D 是 AC 的中点，DE∥BC， ∴E 是 AB 的中点(推论 1)．又∵EF∥AC 且交 BC 于点 F， ∴F 是 BC 的中点(推论 1)． ∴BF＝FC. 点评：应用定理证明线段间关系，常与三角形中位线、梯形中位线有关．
平行线等分线段定理
1．平行线等分线段定理：如果一组_平__行__线___在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
2．推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必__平__分____第三边．
3．推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线___平__分___另一腰．
题型3 求线段的长
例 3 如下图所示，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 的中点，BE 的延长线交 AC 于点 F.求证：AF＝13AC.
证明：如下图，过点 D 作 DG∥BF 交 AC 于点 G.
在△BCF 中，点 D 是 BC 的中点，DG∥BF， ∴点 G 为 CF 的中点，即 CG＝GF.

平行线等分线段定理(初中 八年级 数学课件)

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【数学课件】平行线等分线段定理

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