朗肯土压力计算

5.3 朗肯土压力理论

朗肯土压力理论是根据半空间的应力状态和土的极限平衡条件而得出的土压力计算方法。

图5-5(a)表示一表面为水平面的半空间，即土体向下和沿水平方向都伸展至无穷，在离地表z 处取一单位微体M ，当整个土体都处于静止状态时，各点都处于弹性平衡状态。设土的重度为，显然M 单元水平截面上的法向应力等于该处土的自重应力，即：

而竖直截面上的法向应力为：

由于土体内每一竖直面都是对称面，因此竖直截面和水平截面上的剪应力

都等于零，因而相应截面上的法向应力和都是主应力，此时的应力状态

用莫尔圆表示为如图5-5(b)所示的圆Ⅰ，由于该点处于弹性平衡状态，故莫尔圆没有和抗剪强度包线相切。

图5-5 半空间的极限平衡状态

设想由于某种原因将使整个土体在水平方向均匀地伸展或压缩，使土体由弹性平衡状态转为塑性平衡状态。如果土体在水平方向伸展，则M 单元在水平截面上的法向应力不变而竖直截面上的法向应力却逐渐减少，直至满足极限

平衡条件为止(称为主动朗肯状态)，此时达最低限值，因此，是小主

应力，而是大主应力，并且莫尔圆与抗剪强度包线相切，如图5-5(b)圆Ⅱ所示。若土体继续伸展，则只能造成塑性流动，而不致改变其应力状态。反之，

如果土体在水平方向压缩，那末不断增加而却仍保持不变，直到满足极

限平衡条件(称为被动朗肯状态)时达最大限值，这时，是大主应力而是小主应力，莫尔圆为图5-5(b)中的圆Ⅲ。

由于土体处于主动朗肯状态时大主应力所作用的面是水平面，故剪切破坏

面与竖直面的夹角为[图5-5(c)]，当土体处于被动朗肯状态时，大主应力所作用的面是竖直面，故剪切破坏面与水平面的夹角为[图5-γz z γσ=z K z γσ0=z σx

σz σz σa σa σz σx σz σx σp σp σz σ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-︒245ϕ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-︒245ϕ

5（d ）]，因此，整个土体由互相平行的两簇剪切面组成。剪切破坏面与大主应

力方向的夹角为。 朗肯将上述原理应用于挡土墙土压力计算中，他设想用墙背直立的挡土墙代替半空间左边的土（书中139页图5-3），如果墙背与土的接触面上满足剪应力为零的边界应力条件以及产生主动或被动朗肯状态的边界变形条件，则墙后土体的应力状态不变。由此可以推导出主动和被动土压力计算公式。

5.3.1 主动土压力

由土的强度理论可知，当土体中某点处于极限平衡状态时，大主应力和

小主应力之间应满足以下关系式：

粘性土：

或

无粘性土：

或

对于如图5-6所示的挡土墙，设墙背光滑（为了满足剪应力为零的边界应力条件）、直立、填土面水平。当挡土墙偏离土体时，由于墙后土体中离地表为

任意深度z 处的竖向应力不变，亦即大主应力不变，而水平应力却逐渐

减少直至产生主动朗肯状态，此时，是小主应力，也就是主动土压力强

度，由极限平衡条件得：

无粘性土：

（5-3） 或 （5-4） 粘性土：

（5-5） 或 （5-6）

上列各式中 —主动土压力系数，

； —墙后填土的重度，kN/m ³，地下水位以下用有效重度；

c —填土的粘聚力，kPa ； —填土的内摩擦角，度；

z —所计算的点离填土面的深度，m 。 ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-︒245ϕ1σ3σ)245tan(2)245(tan 231ϕϕσσ+︒++︒=c )245tan(2)245(tan 213ϕϕσσ-︒--︒=c )245(tan 231ϕσσ+︒=)245(tan 213ϕσσ-︒=z z γσx σz σa σ)245(tan 2ϕγσ-︒=z a a a

zk γσ=)245tan(2)245(tan 2ϕϕγσ-︒--︒=c z a a a a K c zK 2-=γσa K )245(tan 2ϕ-︒=a K γϕ

图5-6 主动土压力强度分布图

（a ）主动土压力的计算 （b ）无粘性土 （c ）粘性土

由式（5-4）可知：无粘性土的主动土压力强度与z 成正比，沿墙高的压力分布为三角形，如图5-6（b ）所示，如取单位墙长计算，则主动土压力为：

（5-7）

或 （5-8）

通过三角形的形心，即作用在离墙底H/3处。

由式（5-6）可知，粘性土的主动土压力强度包括两部分：一部分是由土自

重引起的土压力

，另一部分是由粘聚力c 引起的负侧压力，这两部分土压力叠加的结果如图5-6（c ）所示，其中ade 部分是负侧压力，对墙背是拉力，但实际上墙与土在很小的拉力作用下就会分离，故在计算土压力时，这部分应略去不计，因此粘性土的土压力分布仅是abc 部分。

点离填土面的深度常称为临界深度，在填土面无荷载的条件下，可令

式（5-6）为零求得值，即：

得

（5-9） 如取单位墙长计算，则主动土压力为：

将式（5-9）代入上式后得 （5-10）

主动土压力通过在三角形压力分布图abc 的形心，即作用在离墙底

处。

5.3.2 被动土压力

当墙受到外力作用而推向土体时[图5-7（a ）]，填土中任意一点的竖向应)245(tan 2122ϕγ-︒=H E a a a K H E 221γ=a E a zK γa K c 2a 0Z 0Z 020=-=a a a K c K z γσa K c Z γ20=a E )2)((210a a a K c HK z H E --=γ)22212

2γγc K cH K H E a a a +-=a E 3/)(0z H -

力仍不变，而水平向应力却逐渐增大，直至出现被动朗肯状态，此

时，达最大限值，因此是大主应力，也就是被动土压力强度，而则是小主应力。于是由极限平衡条件得：

无粘性土：＝ （5-11）

粘性土：

＝+ （5-12）

式中 —被动土压力系数，。 其余符号同前。

图5-7 被动土压力的计算

(a)被动土压力的计算； (b)无粘性土；(c)粘性土

由式(5-11)和式(5-12)可知，无粘性土的被动土压力强度呈三角形分布[图5-7(b)]，粘性土的被动土压力强度则呈梯形分布[图5-7(b)]取单位墙长计算，则被动土压力可由下式计算：

无粘性土： (5-13)

粘性土：

(5-14)

被动土压力通过三角形或梯形压力分布图的形心。

z z γσ=x σx σp σp σz

σp σP zK γp

σP zK γP K c 2p K )245(tan 2p ϕ+︒=K P P K H E 221γ=P P P K cH K H E 2212+=γP E