第4章 晶体定向和晶体学符号
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结晶学与矿物学
晶棱符号
• 表征晶棱（直线）方向的符号 • 晶棱符号只涉及方向, 不涉及 具体位置 • 表达为[r s t] r : s : t = MR/a : MK/b : MF/c
• [r s t] = [r s t]
此例：[r s t] = [1 2 3]
22
结晶学与矿物学
晶棱符号
• 四轴定向时的晶棱符号
– 适当的晶棱为 x, y, z 轴
– 大致上 z 轴直立， y 轴左右， x 轴前后
13
二、各对称型中对称要素的空间分布
各对称要素及其在空间的分布见课本 表4-2（P52~P62）
14
三、对称型的国际符号及圣弗利斯符号
1、对称型的国际符号：
既表明了对称要素的组合，也表明了对称要素的方位 以1、2、3、4、6和 1、2、3、4、6分别表示各种轴次 的对称轴和旋转反伸轴。以m 表示对称面。 若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横线 隔开，如L2PC 以2/m表示，L4PC 以4/m 表示
5
结晶学与矿物学
晶体定向方法
• 各晶系的晶体几何常数特点
– – – – – – 等轴晶系：a = b = c，a = b = g = 90； 四方晶系：a = b ≠ c，a = b = g = 90； 三方和六方晶系：a = b ≠ c，a = b = 90，g = 120； 斜方晶系：a ≠ b ≠ c，a = b = g = 90； 单斜晶系：a ≠ b ≠ c，a = g = 90，b > 90； 三斜晶系：a ≠ b ≠ c，a ≠ b ≠ g；
– 任意两晶棱（晶带）相交必可决定一可能晶面，而任 意两晶面相交必可决定一可能晶棱（晶带） 任一属于[u v w]晶带的晶面(h k l)，必定有： h u + k v + l w = 0---晶带方程
29
结晶学与矿物学
晶带定律的应用
• • • • 已知两个晶面，求包含此二晶面的晶带之符号 求同时属于某二已知晶带的该晶面之晶面符号 判断某一已知晶面是否属于某个已知的晶带 由四个互不平行的已知晶面, 或四个已知晶带, 求出晶体 上一切可能 的晶面与晶带(即晶棱)
符号统称结晶符号
由于晶体的各种特性(形态、物性、结构等)都与晶 体的方向有关，所以晶体定向是研究晶体的最基本 的工作
2
一、晶体定向方法
晶体定向就是在晶体中以晶 体中心为原点建立一个坐标 系，这个坐标系一般由三根 晶轴X、Y、Z轴(也可用a、b、 c轴表示)组成。三根晶轴正 端之 间的夹角分别表示为 α(Y∧Z)、β(Z∧X)、 γ(X∧Y)。对于三、六方晶 系的晶体，通常要用四轴定 向法，即要选出四根晶轴
10
结晶学与矿物学
各晶系的定向法则
• 斜方晶系的定向:
– 晶体常数为: a = b = g = 90°, a < > b < > c – 三个相互垂直的L2为 z, x, y 轴; 或L2为z轴, 相互垂直的 对称面法线为 x, y 轴 – z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平
11
结晶学与矿物学
30
结晶学与矿物学
晶带定律的应用
• 举例：若已知属于同一晶带的两晶面为(h1 k1 l1)和(h2 k2 l2)，求 晶带符号。
– 根据晶带方程hu + kv + lw = 0，可以得出： • h1u + k1v + l1w = 0 (1) • h2u + k2v + l2w = 0 (2) – 解联立式(1)和式(2)的方程组，可得 [u v w] = u : v : w = (k1l2 - k2l1) : (l1h2 - l2h1) : (h1k2 - h2k1)
25
结晶学与矿物学
实际晶体之晶面
26
结晶学与矿物学
晶带符号
• 晶带(zone)
– 交棱相互平行的一组晶面的组合
• 晶带轴(zone axis)
– 表示晶带方向的一根直线，即该晶带中各晶面交棱方 向直线，并移至过晶体中心
• 晶带符号(zone symbol)
– 晶带轴的符号就是晶棱符号。通常以晶带轴符号来表 示晶带符号
四、晶面符号、晶棱符号
• 晶面符号(面号):
– 它是根据晶面(或晶体中平行于晶面的其他平面) 与各结晶轴的交截关系，用简单的数字符号形
式来表达它们在晶体上方位的一种晶体学符号;
– 目前国际上通用的都是米氏符号，亦称米勒符
号：晶面在三根晶轴上的截距系数的倒数比
17
结晶学与矿物学
晶面符号
• 晶面符号的确定:
3
结晶学与矿物学
晶体定向原则
• 与晶体的对称特点相符合
–适宜的对称元素作为结晶轴
–适宜的晶棱方向作为结晶轴
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
4
结晶学与矿物学
晶体定向原则
• 晶体的三轴定向:
– 选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体
• 晶体的四轴定向:
– 适用于六方和三方晶系 – 一个直立轴，三个水平轴
• 晶面可与晶轴垂直, 平行或斜交
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结晶学与矿物学
晶面符号
– 举例（3D）
c
C Z
x = (h k l) = ? y = (h k l) = ?
A
O Y
B
X
a
20ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
结晶学与矿物学
晶面符号
四轴定向时的晶面 符号:
– 定义同三轴定向 – 用(h k i l)的形式表达 – 指数依次与X、Y、U 和Z轴相对应 – 存在 h + k + i = 0
8
结晶学与矿物学
各晶系的定向法则
• 四方晶系的定向:
– 晶体常数为: a = b = g = 90°, a = b < > c – 唯一的L4或Li4为 z 轴; 相互垂直的L2, 或相互 垂直的对称面法线, 或 适当的晶棱为 x, y 轴 – z 轴直立， y 轴左右水 平，x 轴前后水平
9
结晶学与矿物学
– 以[u v p w]的形式表达 – 也有三指数形式: [r s t] • 四指数和三指数之间的比较
• r : s : t =(u-p):(v-p):w
23
结晶学与矿物学
五、整数定律及晶带定律
整数定律或有理指
数定律：晶面指数
为简单整数
24
结晶学与矿物学
布拉维法则
实际晶面为面网密 度大 的面网所包围
– 晶体上任意一个晶面，若它在三 个结晶轴 X 轴、 Y 轴、 Z 轴上的截 距依次为 OA、OB、OC, 已知轴 率为a∶b∶c，则该晶面在晶轴上 的截距系数p, q, r分别为: p = OX/a, q = OY/b, r = OZ/c 其倒数比 1/p:1/q:1/r = h : k : l – 晶面指数( 米氏指数): 取h:k:l的最 简单整数比, 此时的h, k, l就称为 晶面指数;
晶体宏观形态中按对称特点选出的晶轴，实际上与晶体内部 结构中空间格子的三个不共面的行列方向一致 6
结晶学与矿物学
晶胞参数及晶体常数特点
X、Y、Z三根晶轴方向上的行列上的结点间距分别 表示为a0、b0、c0，称为轴长；三根晶轴正端之间的
夹角α、β、γ称为轴角，轴长和轴角统称晶胞参数
在晶体宏观形态上是定不出轴长的，只能根据对称
结晶学与矿物学
晶体定向和结晶符号
• • • • • 晶体定向方法 各对称型中对称要素的空间分布 对称型的国际符号及圣弗利斯符号 晶面符号、晶棱符号 整数定律、晶带定律
1
结晶学与矿物学
晶体定向的概念
晶体定向就是在晶体中建立一个坐标系，这样晶体 中各个晶面、晶棱以及对称要素就可以在其中标定 方向，这种表示晶面、晶棱及对称要素等的方位的
27
结晶学与矿物学
晶带符号
• 例如 – (1-10), (100), (110), (010)… 的交棱相互平行，组成一个 晶带; 直线CC’即可表达为 此晶带的晶带轴 –此组晶棱的符号,即该晶带 轴的符号，为[001]（或者 [00-1]）晶带
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结晶学与矿物学
晶带定律
• 晶带定律(zone law)
特点定出a0∶b0∶c0（或 表示为a∶b∶c），这一比
例称为轴率。轴率与轴角统称晶体常数。晶体常数 特点是可以在晶体宏观形态上体现出来的
7
结晶学与矿物学
各晶系的定向法则
• 等轴晶系的定向:
– 晶体常数为: a = b = g = 90°, a = b = c – 三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 – z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
各晶系的定向法则
• 单斜晶系的定向:
– 晶格常数为: a = b = 90°, g > 90°, a < > b < > c – L2为 y 轴; 或对称面法线为 y 轴 – z 轴起立， y 轴左右水平， x 轴前后向前下倾斜
12
结晶学与矿物学
各晶系的定向法则
• 三斜晶系的定向:
– 晶体常数为: a < > b < > g < > 90 °, a < > b < > c
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对称型的国际符号：
在国际符号中有1～3个序位，每一序位中的一个
对称要素符号可代表一定方向的、可以互相派生
（ 或复制）的多个对称要素，即在对称型的国 际符号中凡是可以通过其它对称要素可以派生出 来的对称要素都省略了
2、对称型的圣弗利斯符号：
见课本P64~P65及表3-4（P40~P41）
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结晶学与矿物学
h1 k1 h2 k 2
l1 l2
h1 h2
k1 l1 k 2 l2
31
[uvw] u : v : w (k1l 2 k 2 l1 ) : (l1 h2 l 2 h1 ) : (h1 k 2 h2 k1 )
作业
课后习题：第1、5、6、7题
32
各晶系的定向法则
• 三方和六方晶系的四轴定向
选择唯一的高次轴作为直立结晶轴c轴，在垂直 z 轴的平面内 选择三个相同的、即互成60°交角的L2或P的法线，或适当的 显著晶棱方向作为水平结晶轴，即x 轴、 y 轴以及 d 轴(U轴) – 晶格常数为: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c – z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
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结晶学与矿物学
晶面符号
– 米氏指数(Miller indices)是指：用来表达晶面在晶体 上之方向的一组无公约数的整数，它们的具体数值 等于该晶面在结晶轴上所截截距系数的倒数比。 – 如果将米氏指数按顺序连写，并置于园括号内, 表达
为(h k l), 便构成了晶面的米氏符号。
• 按X、Y、Z轴顺序，不得颠倒！ • 晶轴有正负方向，指数的负号写在上面
结晶学与矿物学
晶棱符号
• 表征晶棱（直线）方向的符号 • 晶棱符号只涉及方向, 不涉及 具体位置 • 表达为[r s t] r : s : t = MR/a : MK/b : MF/c
• [r s t] = [r s t]
此例：[r s t] = [1 2 3]
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结晶学与矿物学
晶棱符号
• 四轴定向时的晶棱符号
– 适当的晶棱为 x, y, z 轴
– 大致上 z 轴直立， y 轴左右， x 轴前后
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二、各对称型中对称要素的空间分布
各对称要素及其在空间的分布见课本 表4-2（P52~P62）
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三、对称型的国际符号及圣弗利斯符号
1、对称型的国际符号：
既表明了对称要素的组合，也表明了对称要素的方位 以1、2、3、4、6和 1、2、3、4、6分别表示各种轴次 的对称轴和旋转反伸轴。以m 表示对称面。 若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横线 隔开，如L2PC 以2/m表示，L4PC 以4/m 表示
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结晶学与矿物学
晶体定向方法
• 各晶系的晶体几何常数特点
– – – – – – 等轴晶系：a = b = c，a = b = g = 90； 四方晶系：a = b ≠ c，a = b = g = 90； 三方和六方晶系：a = b ≠ c，a = b = 90，g = 120； 斜方晶系：a ≠ b ≠ c，a = b = g = 90； 单斜晶系：a ≠ b ≠ c，a = g = 90，b > 90； 三斜晶系：a ≠ b ≠ c，a ≠ b ≠ g；
– 任意两晶棱（晶带）相交必可决定一可能晶面，而任 意两晶面相交必可决定一可能晶棱（晶带） 任一属于[u v w]晶带的晶面(h k l)，必定有： h u + k v + l w = 0---晶带方程
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结晶学与矿物学
晶带定律的应用
• • • • 已知两个晶面，求包含此二晶面的晶带之符号 求同时属于某二已知晶带的该晶面之晶面符号 判断某一已知晶面是否属于某个已知的晶带 由四个互不平行的已知晶面, 或四个已知晶带, 求出晶体 上一切可能 的晶面与晶带(即晶棱)
符号统称结晶符号
由于晶体的各种特性(形态、物性、结构等)都与晶 体的方向有关，所以晶体定向是研究晶体的最基本 的工作
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一、晶体定向方法
晶体定向就是在晶体中以晶 体中心为原点建立一个坐标 系，这个坐标系一般由三根 晶轴X、Y、Z轴(也可用a、b、 c轴表示)组成。三根晶轴正 端之 间的夹角分别表示为 α(Y∧Z)、β(Z∧X)、 γ(X∧Y)。对于三、六方晶 系的晶体，通常要用四轴定 向法，即要选出四根晶轴
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结晶学与矿物学
各晶系的定向法则
• 斜方晶系的定向:
– 晶体常数为: a = b = g = 90°, a < > b < > c – 三个相互垂直的L2为 z, x, y 轴; 或L2为z轴, 相互垂直的 对称面法线为 x, y 轴 – z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平
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结晶学与矿物学
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结晶学与矿物学
晶带定律的应用
• 举例：若已知属于同一晶带的两晶面为(h1 k1 l1)和(h2 k2 l2)，求 晶带符号。
– 根据晶带方程hu + kv + lw = 0，可以得出： • h1u + k1v + l1w = 0 (1) • h2u + k2v + l2w = 0 (2) – 解联立式(1)和式(2)的方程组，可得 [u v w] = u : v : w = (k1l2 - k2l1) : (l1h2 - l2h1) : (h1k2 - h2k1)
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结晶学与矿物学
实际晶体之晶面
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结晶学与矿物学
晶带符号
• 晶带(zone)
– 交棱相互平行的一组晶面的组合
• 晶带轴(zone axis)
– 表示晶带方向的一根直线，即该晶带中各晶面交棱方 向直线，并移至过晶体中心
• 晶带符号(zone symbol)
– 晶带轴的符号就是晶棱符号。通常以晶带轴符号来表 示晶带符号
四、晶面符号、晶棱符号
• 晶面符号(面号):
– 它是根据晶面(或晶体中平行于晶面的其他平面) 与各结晶轴的交截关系，用简单的数字符号形
式来表达它们在晶体上方位的一种晶体学符号;
– 目前国际上通用的都是米氏符号，亦称米勒符
号：晶面在三根晶轴上的截距系数的倒数比
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结晶学与矿物学
晶面符号
• 晶面符号的确定:
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结晶学与矿物学
晶体定向原则
• 与晶体的对称特点相符合
–适宜的对称元素作为结晶轴
–适宜的晶棱方向作为结晶轴
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
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结晶学与矿物学
晶体定向原则
• 晶体的三轴定向:
– 选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体
• 晶体的四轴定向:
– 适用于六方和三方晶系 – 一个直立轴，三个水平轴
• 晶面可与晶轴垂直, 平行或斜交
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结晶学与矿物学
晶面符号
– 举例（3D）
c
C Z
x = (h k l) = ? y = (h k l) = ?
A
O Y
B
X
a
20ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
结晶学与矿物学
晶面符号
四轴定向时的晶面 符号:
– 定义同三轴定向 – 用(h k i l)的形式表达 – 指数依次与X、Y、U 和Z轴相对应 – 存在 h + k + i = 0
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结晶学与矿物学
各晶系的定向法则
• 四方晶系的定向:
– 晶体常数为: a = b = g = 90°, a = b < > c – 唯一的L4或Li4为 z 轴; 相互垂直的L2, 或相互 垂直的对称面法线, 或 适当的晶棱为 x, y 轴 – z 轴直立， y 轴左右水 平，x 轴前后水平
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结晶学与矿物学
– 以[u v p w]的形式表达 – 也有三指数形式: [r s t] • 四指数和三指数之间的比较
• r : s : t =(u-p):(v-p):w
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结晶学与矿物学
五、整数定律及晶带定律
整数定律或有理指
数定律：晶面指数
为简单整数
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结晶学与矿物学
布拉维法则
实际晶面为面网密 度大 的面网所包围
– 晶体上任意一个晶面，若它在三 个结晶轴 X 轴、 Y 轴、 Z 轴上的截 距依次为 OA、OB、OC, 已知轴 率为a∶b∶c，则该晶面在晶轴上 的截距系数p, q, r分别为: p = OX/a, q = OY/b, r = OZ/c 其倒数比 1/p:1/q:1/r = h : k : l – 晶面指数( 米氏指数): 取h:k:l的最 简单整数比, 此时的h, k, l就称为 晶面指数;
晶体宏观形态中按对称特点选出的晶轴，实际上与晶体内部 结构中空间格子的三个不共面的行列方向一致 6
结晶学与矿物学
晶胞参数及晶体常数特点
X、Y、Z三根晶轴方向上的行列上的结点间距分别 表示为a0、b0、c0，称为轴长；三根晶轴正端之间的
夹角α、β、γ称为轴角，轴长和轴角统称晶胞参数
在晶体宏观形态上是定不出轴长的，只能根据对称
结晶学与矿物学
晶体定向和结晶符号
• • • • • 晶体定向方法 各对称型中对称要素的空间分布 对称型的国际符号及圣弗利斯符号 晶面符号、晶棱符号 整数定律、晶带定律
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结晶学与矿物学
晶体定向的概念
晶体定向就是在晶体中建立一个坐标系，这样晶体 中各个晶面、晶棱以及对称要素就可以在其中标定 方向，这种表示晶面、晶棱及对称要素等的方位的
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结晶学与矿物学
晶带符号
• 例如 – (1-10), (100), (110), (010)… 的交棱相互平行，组成一个 晶带; 直线CC’即可表达为 此晶带的晶带轴 –此组晶棱的符号,即该晶带 轴的符号，为[001]（或者 [00-1]）晶带
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结晶学与矿物学
晶带定律
• 晶带定律(zone law)
特点定出a0∶b0∶c0（或 表示为a∶b∶c），这一比
例称为轴率。轴率与轴角统称晶体常数。晶体常数 特点是可以在晶体宏观形态上体现出来的
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结晶学与矿物学
各晶系的定向法则
• 等轴晶系的定向:
– 晶体常数为: a = b = g = 90°, a = b = c – 三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 – z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
各晶系的定向法则
• 单斜晶系的定向:
– 晶格常数为: a = b = 90°, g > 90°, a < > b < > c – L2为 y 轴; 或对称面法线为 y 轴 – z 轴起立， y 轴左右水平， x 轴前后向前下倾斜
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结晶学与矿物学
各晶系的定向法则
• 三斜晶系的定向:
– 晶体常数为: a < > b < > g < > 90 °, a < > b < > c
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对称型的国际符号：
在国际符号中有1～3个序位，每一序位中的一个
对称要素符号可代表一定方向的、可以互相派生
（ 或复制）的多个对称要素，即在对称型的国 际符号中凡是可以通过其它对称要素可以派生出 来的对称要素都省略了
2、对称型的圣弗利斯符号：
见课本P64~P65及表3-4（P40~P41）
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结晶学与矿物学
h1 k1 h2 k 2
l1 l2
h1 h2
k1 l1 k 2 l2
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[uvw] u : v : w (k1l 2 k 2 l1 ) : (l1 h2 l 2 h1 ) : (h1 k 2 h2 k1 )
作业
课后习题：第1、5、6、7题
32
各晶系的定向法则
• 三方和六方晶系的四轴定向
选择唯一的高次轴作为直立结晶轴c轴，在垂直 z 轴的平面内 选择三个相同的、即互成60°交角的L2或P的法线，或适当的 显著晶棱方向作为水平结晶轴，即x 轴、 y 轴以及 d 轴(U轴) – 晶格常数为: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c – z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
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结晶学与矿物学
晶面符号
– 米氏指数(Miller indices)是指：用来表达晶面在晶体 上之方向的一组无公约数的整数，它们的具体数值 等于该晶面在结晶轴上所截截距系数的倒数比。 – 如果将米氏指数按顺序连写，并置于园括号内, 表达
为(h k l), 便构成了晶面的米氏符号。
• 按X、Y、Z轴顺序，不得颠倒！ • 晶轴有正负方向，指数的负号写在上面