九年级数学 二次函数复习 华师大版

式
一般来说 ：最终的 结果我们
顶点
y=a(x-h)2+k
已知顶点 （h,k)及另
用一般式 或顶点式
式
一点
来表示。
已知与x轴
交点 y=a(x-x1)(x-x2) 的两个交点
式
及另一个点
例、已知抛物线经过三点A(-1，0)、B(1，8)、C(3，0),
求此抛物线的解析式。
解(一)：设所求抛物还线有其它解（法二吗）∵抛物线对称
y=ax2+k
-8
-8
y=a(x+m)2
y=a(x+m)2+k -8
-8
(0,0) x=0(或y轴) (0,k) x=0(或y轴) (-m,0) x=-m (-m,k) x=-m
2.二次函数的图象
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可由抛物 线y=ax2上下或左右平移得到
y=ax2+bx+c
y=a(x+
的顶点坐标是（2，3。）
3.将抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向下平移 3个单位，得到的抛物线是_y_=_5(_x_＋_2_)_2－_ 3
4、若抛物线y=ax2+3x-4与抛物线y=-2x2形状 相同，则a= ±2 . 5、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点 分别为A(1,0),B(-3,0)则它的对称轴是 直线x=-1.
的解析式为 y ax2 bx c？为直线 x 1 3 1
abc 0
2
abc 8
9a 3b c 0 解之得：
a 2 b4 c6
∴抛物线的解析式为：
y 2x2 4x 6
∴顶点即为 B (1,8)
可设y a(x 1)2 8
把（-1，0）代入可得：
0 a(11)2 8
4a 8 0 4a 8
a 2
y 2(x 1)2 8
例、已知抛物线经过三点A(-1，0)、B(1，8)、 C(3，0),求此抛物线的解析式。
解（三）：
∵抛物线与 x轴交于A(- 1,0)、C(3,0) ∴可设解析式为 y a(x 1)( x 3)
把B (1,8)代入得：8 a(11)(1 3) 解之得：a 2
1. 二次函数的定义
形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数 称为二次函数,x为自变量,取值范 围为任何实数.
1、在函数y 1 2x2, y x(x 3), y x2 2x 3,
y 5 2x2中，以x为自变量的二次函数有 x
( B )个
A 、1
B、2
C、3
D、4
▪ 2、对于任意实数m，下列函数一定是二次 函数的是（ D ）
∴抛物线的解析式为： y 2(x 1)2 8
1、已知抛物线经过点(1， 7)且当x 1时y最大值 1， 求抛物线的解析式。
解：设所求抛物线解析式为y a(x 1)2 1
把（1， 7）代入得： 7 a(11)2 1
解之得：a 2
抛物线的解析式为：y 2(x 1)2 1
2.根据图象，求函数解析式：
增减性 大而减小. 在对称轴的右侧, 增大而增大. 在对称轴的右
y随着x的增大而增大.
侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x b 时,最小值为 4ac b2 当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
2a
4a
1、二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是 (0,1) .
2、将抛物线y=x2+3向右平移2个单位后，所得抛物线
▪ A、y=mx2+3x+1
B、y=（m-1)x2
▪ C、y=（m-1）2x2 D、y=（-m2-1）x2
3、若y=(m-2)xm2－2m－2m＋2=2
二次项系数不能为零
m-2≠0
解得:m=0
2.二次函数的图象 :抛物线
图象 顶点坐标 对称轴
y=ax2
(x•2,0)
x
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
y
y
o
x
x o
抛物线 顶点坐标
对称轴 开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
直线x
4ac b2 4a
b
2a
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增 在对称轴的左侧,y随着x的
b 2a
对称轴：
x=
–
b 2a
)2+
4ac-b2 4a
顶点坐标：（– 2ba，4a4ca-b2）
一提二配三变形,一般式化为顶点式 左加右减自变量,上加下减常数项
2.二次函数的图象
会用描点法画抛物线y=ax2+bx+c
顶点
(
b 2a
,
y 4ac b 2
4a
)
•
( ,bc)
a
•
•(0,c)
(x1,•0)
6、二次函数y=x2-2x+2 当x= 1 最小值为 1 .
时，y的
7、抛物线y=-x2+4x-1的开口向___下___、顶点 坐标是__(2_,_3_)__、对称轴是__X_＝__2____、有最 __大__值是___3____。
8、已知二次函数y=x2+2(m-1)x+2m-m2 (1)当函数的图象经过原点时,m=0或2 .
y
1
1 0
x
1
图2
3、根据图象，求函数解析式：
y
1 0 2
图1
3x
y
-4
2x
-3
(2)当函数的图象关于y轴对称时，m= 1 .
9、抛物线y=-2x2+bx+c的顶点为(1,-3),则b= ,c=4 . -5
10、已知二次函数y=2x2-4x-1上两点A(x1,y1)、 B(x2,y2),若x1<x2<1，则y1 > y2
4、二次函数解析式的求法
解析式
使用范围
注意：
已知任意
一般 y=ax2+bx+c 三个点