数学实验8-曲线拟合与插值讲解

0
a1 , a2
二、人口预测的线性模型
对于开始提出的实验问题, 代如数据，计算得 a1 15,a2 27754
从而得到人口数与年份的函数关系为
y 15x 27754 线性预测模型
把x=1999代如，估算出1999年的人口数为 y=1252.1（百万）＝12.52亿
1999年实际人口数量为１２.６亿。
使 f (x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合
得最好，如图:
y
确定f(x)使得
i + ( xi , yi )
n
n

2 i

[ f ( xi ) yi ]2
++
+ y f (x)
i 1
i 1
达到最小
+
+
+
+
0
最小二乘准则
x
２. 用什么样的曲线拟合已知数据?
(１)画图观察 (２)理论分析 常用的曲线函数系类型：
a J b

10a
10 i1
ti
ti i1
a
b
10
i 1
ln xi
i 1
t
2 i
b

10
i1
0
ln xi
ti
0
即得参数a,b 的值.
％ prog41.m %
% This program is to predict the number of population %
数学实验
Experiments in MathemaMticastLhaebmoraattiocrsy
阮小娥博士
在实际问题中，我们常常会遇到下列问题
（1）变量间存在函数关系，但只能给出一离散点 列上的值. 例如，从实验中得到一个数据表, 或是一组观测数据.
（2）变量间的函数关系可以表示,但计算复杂,只 能计算特殊点的函数值. 例如，求指数函数、 对数函数、三角函数、反三角函数值等.
为了研究自变量与因变量间的变化关系，我们需要 建立变量间的函数关系，从而可以计算原始数据以 外需要处的值.
解决这类问题的方法：数据拟合、数据插值
实验13 人口数量预测模型实验
1、学会用MATLAB软件
实验目的 进行数据拟合
2、掌握在最小二乘意 义下数据拟合的理论和 方法.
3、通过对实际问题的 分析和研究，初步掌 握建立数据拟合数学 模型的方法
直线： y a1 x a2
多项式： y a1 xm L am x am1
双曲线（一支):
y

a1 x

a2
指数曲线： y a1ea2x
３ 拟合函数组中系数的确定
以f ( x) a1 x a2为例, 即确定a1，a2使得
n
n
J (a1,a2 )

2 i
例2: 海底光缆线长度预测模型
某
一
通
信
公
司
在
一
次
A
x0 0
2
4
6
8
10
12
xi 14
16
x20 18 B 20
施工中,需要在水面宽
2
为20m的河沟底沿直线 4 走向铺设一条沟底光 6
8
缆.在铺设光缆之前需 C 9
hi D
要对沟底的地形做初
步探测,从而估计所需光缆的长度,为工程预算 提供依据.基本情况如图所示.
y = polyval (a, x)
用多项式拟合人口模型
% This program is to predict the model of population by 4-degree polynomial% %prog42.m%
format long
t1=[1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880];
t2=[1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980];
t=[t1;t2];
P1=[3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2];
P2=[62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;22 6.5];
(百万)
年份 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980
人口 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5
(百万)
1. 由前100年的数据求出美国的人口增长Malthus模型。 2. 预测后100年（每隔10年）的人口状况。 3. 根据预测的人口状况和实际的人口数量,讨论人 口模型的改进情况。
23
a =1.0e+006 * -0.00000000000014 0.00000000107892 -0.00000304878595 0.00381927346813 -1.79012132225427
仿真结果表明, 人口增加的模型用多项式拟合能 比较准确地反映人口自然增长的规律，对长期预 测具有指导意义。
L=L+sqrt((x(i)-x(i-1))^2+(yy(i)-yy(i-1))^2); end disp('The length of the label is L=');disp(L);
假设 r(x) r sx (r, s 0) r~固有增长率(x很小时)
k~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r(k) 0
s r k
r( x) r(1 x ) k
dx dt

r(x)x

rx(1
x) xm

x(t)

(k

kx0 x0 )er t

x0
例１的Logistic模型留给同学们练习
五、多项式拟合的Matlab指令
a = polyfit（xdata，ydata，n）
其中n表示多项式的最高阶数
xdata，ydata 为要拟合的数据，它是 用向量的方式输入。
输出参数a为拟合多项式 anx + an+1的系数a = [a1,
y= …,
aa1nx,na+n+…1]。+
多项式在x处的值y可用下面程序计算。
xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i)); end for i=1:10
xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i)); end plot(t1,x1,'r*--',t1,xx1,'b+-', t2,x2,'g*--',t2,xx2,'m+-');
a= -49.79535457790735 b=0.02859807120038
探测到一组等分点位置的深度数据如下表所示.
25
21个等分点处的深度
分点 0
1
2
3
4
5
6
7
8Biblioteka Baidu
9
深度 9.01 8.96 7.96 7.96 8.02 9.05 10.13 11.18 12.26 13.28 (m)
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
13.32 12.61 11.29 10.22 9.15 7.95 7.95 8.86 9.81 10.80 10.93

[a1 xi a2 ) yi ]2达到最小。
i 1
i 1
为此，只需利用极值的必要条件 J 0(k 1,2)得到关 ak
于 a1 , a2的线性方程组，
n

i 1 n
2[a1 xi

a2 )
yi ]xi

0

i1
2[a1 xi

a2 )
yi ]
P=[P1;P2];
n=4; % The degree of the fitting polynomial%
[a,s]=polyfit(t1,P1,n);
y=polyval(a,t);
% a is the coefficients vector from n-degree to 0-degree%
plot(t,P,'r*--',t,y,'b+-');
1969 806.71 1994 1176.74
（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。
（2）建立人口数与年份的函数关系，并估算1999年 的人口数。
y ax b 线性模型
如何确定a,b?
一、曲线拟合
1 曲线拟合问题的提法:
已知一组（二维）数据，即平面上的 n 个点(xi , yi )， i 1,2, L,n, xi 互不相同，寻求一个函数（曲线）y f (x)，
拟合曲线 原始数据曲线
仿真结果表明： 人口增加的指 数模型在短期 内基本上能比 较准确地反映 人口自然增长 的规律，但长 期预测误差很 大，需要修正 预测模型。
四、人口预测的Logistic模型
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大 r是x的减函数
7
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
The length of the label is L= 26.3809 (m)
% prog45.m This program is to fit the data by polynomial %
format long t=linspace(0,20,21); x=linspace(0,20,100); P=[9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.2 8,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.8 0,10.93]; [a,s]=polyfit(t,P,12); yy=polyval(a,x); plot(x,yy,'r*--',t,P,'b+-'); L=0; for i=2:100
解：
设 xt eabt
ln(x) a bt
问题转化为求参数 a,b 使得
10
J (a,b) (a bti ln xi )2
i 1
取得最小值.其中,ti 表示年份,xi xti 表示人口数量。
1 J
10 10
解方程组:
2 1 2
三、人口预测的Malthus模型
英国人口学家Malthus根据百余年的人口统计资 料，于1798年提出了著名的人口自然增长的指数增 长模型。
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t 的人口, t=0时人口数为x0
dx rx, dt x(0) x0
x(t ) x0ert
指数增长模型
实际中，常用 xt eabt ln xt a bt
例１
美国1790年－1980年每隔10年的人口记录
年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880
人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2
x2=[62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179. 3;204.0;226.5];
lnx1=log(x1); lnx2=log(x2);
a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.^2); d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1); A=[a11,a12;a21,a22];D=[d1;d2]; ab=inv(A)*D; disp('a=');disp(ab(1)); disp('b=');disp(ab(2)); for i=1:10
实验问题
据人口统计年鉴，知我国从1949年 至1994年人口数据资料如下： (人 口数单位为：百万)
年份 人口数 年份 人口数
1949 541.67 1974 908.59
1954 1959 602.66 672.09
1979 1984 975.42 1034.75
1964 704.99
1989 1106.76
(1) 预测通过这条河沟所需光缆长度的近似值. (2) 作出铺设沟底光缆的曲线图.
解： 用12次多项式函数拟合光缆走势的曲线图如下
假设所铺设的光缆足够柔软,在铺设过程中光缆触地 走势光滑,紧贴地面,并且忽略水流对光缆的冲击.
14
13
仿真结果表
12
明,拟合曲线
11
能较准确地
10
反映光缆的
9
走势图.
8
format long
t1=[1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;187 0;1880];
t2=[1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;197 0;1980];
x1=[3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50 .2];