北师大数学选修课时分层作业4 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非” 含解析

课时分层作业(四)逻辑联结词
“且”“或”“非”
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．命题：“方程x2－1＝0的解是x＝±1”，其使用逻辑联结词的情况是() A．使用了逻辑联结词“且”
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“非”
D．没有使用逻辑联结词
B[“方程x2－1＝0的解是x＝±1”的含义是方程x2－1＝0的解是1或－1，使用了逻辑联结词“或”．]
2．如果命题“p或q”与命题“﹁p”都是真命题，那么()
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q的真假相同
B[“﹁p”是真命题，则p是假命题；又“p或q”是真命题，所以q一定是真命题．]
3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是()
A．(﹁p)或q B．p且q
C．(﹁p)且(﹁q) D．(﹁p)或(﹁q)
D[由于p为真命题，q为假命题，所以﹁p是假命题，﹁q为真命题，故(﹁p)或(﹁q)为真命题．]
4．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数．
p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．
则在命题q1：p1或p2，q2：p1且p2，q3：(﹁p1)或p2和q4：p1且(﹁p2)中，真命题是()
A．q1，q3B．q2，q3
C．q1，q4D．q2，q4
C[p1是真命题，则﹁p1为假命题；p2是假命题，则﹁p2为真命题；
∴q1：p1或p2是真命题，q2：p1且p2是假命题．
∴q3：(﹁p1)或p2为假命题，q4：p1且(﹁p2)为真命题．
∴真命题是q1，q4.]
5．已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x2
＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是() A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≥1}
C．{a|a≤－2或1≤a≤2} D．{a|－2≤a≤1}
A[由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1.
∵“p且q”为真命题，∴p，q均为真命题，
∴a≤－2或a＝1.]
二、填空题
6．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p或q”为________．
[答案]方向相同或相反的两个向量共线
7．若“x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪[4，＋∞)”是假命题，则x的取值范围是________．
[解析]∵x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪[4，＋∞)，故x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题为假命题，所以1≤x＜2，即x∈[1,2)．
[答案][1,2)
8．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p或q”、“p且q”，“﹁p”中是真命题的有________．
[解析]ab＝0a＝0，∴p为假，由x－3≥0得x≥3.
∴q真，∴“p或q”真，“p且q”为假，“﹁p”为真．
[答案]p或q，﹁p
三、解答题
9．分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题的真假．
(1)命题p：正方形的两条对角线互相垂直，命题q：正方形的两条对角线相等；
(2)命题p：“x2－3x－4＝0”是“x＝4”的必要不充分条件；
命题q：若函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图像关于y轴对称，则φ＝π
2. [解](1)因为p、q均为真命题，
∴p且q，p或q为真，﹁p为假命题．
(2)由x2－3x－4＝0，得x＝4或x＝－1.
∴命题p是真命题，
又函数f(x)的图像关于y轴对称，
∴φ＝kπ＋π
2(k∈Z)，则命题q是假命题．
由于p真，q假，
∴﹁p、p且q为假命题，p或q为真命题．
10．已知p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝－(5－2a)x在R上是减函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．
[解]设g(x)＝x2＋2ax＋4.
因为p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图像开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0，
所以－2<a<2.
因为q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 在R 上是减函数，
所以5－2a >1，即a <2.
又由于p 或q 为真，p 且q 为假，
所以p 和q 为一真一假．
①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥2，
此不等式组无解． ②若p 假q 真，则⎩
⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a <2，所以a ≤－2. 综上所述，所求实数a 的取值范围为⎩⎨⎧ a
|}a ≤－2.
[能力提升练]
1．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x ，使2x <0.下列选项中为真命题的是( )
A ．﹁p
B ．﹁p 或q
C ．﹁q 且p
D ．q C [很明显命题p 为真命题，所以﹁p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以﹁q 是真命题．所以﹁p 或q 为假命题，﹁q 且p 为真命题，故选C .]
2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A ．(﹁p )或(﹁q )
B ．p 或(﹁q )
C ．(﹁p )且(﹁q )
D ．p 或q
A [依题意，﹁p ：“甲没有降落在指定范围”，﹁q ：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(﹁p )或(﹁q )．]
3．已知p ：x >1或x <－15，q ：1x 2＋4x －5
>0，则﹁p 是﹁q 的________条件．
[解析] 由1x 2＋4x －5>0得，x 2＋4x －5>0，
所以x <－5或x >1，
由于⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >1或x <－15{x |x >1或x <－5}，所以p 是q 的必要不充分条件，即
q ⇒p 且p q ，所以﹁p ⇒﹁q 且﹁q
﹁p ，即﹁p 是﹁q 的充分不必要条件． [答案] 充分不必要
4．已知命题p ：“任意x ∈R ，存在m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题﹁p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．
[解析] 若﹁p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1.∴m ≤1.
[答案] (－∞，1]
5．已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．
[解] 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0.
显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a .若命题p 为真，
∵x ∈[－1,1]，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1a ≤1，∴|a |≥1. 若命题q 为真，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0，
即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点．
∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.
∵命题“p 或q ”为假命题，∴p ，q 都为假命题，
∴a 的取值范围是{a |－1<a <0或0<a <1}．。