小学数学：求平均数问题
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• （1）用单双数来判断，单数是蓝色，双 数是红色，15是单数，所以是蓝色；
• （2）用画图的方法来判断，如用圆圈表 示蓝色的花，三角表示红色的花，一直画 到第15个；
• （3）用计算的方法，15÷2=7……1，根 据余数来判断。
• 当学生帮助老师完成教材里的几 种思路并板书后，老师带领学生 讨论第二幅灯笼图。老师们习惯 着这种线性结构的教学设计，使 用“‘导入—讲授—巩固—作 业—小结’这种以教师为中心的 五环节教学法，把学生封闭在教 师划定的圈子里。那么我们是否 可以“开放”一些，给学生更多 的主动思考的空间？
学生在进入社会以后，如果 没有机会应用数学，那么作为知 识的数学，通常在出校门后一两 年就会忘掉，然而无论他们从事 什么工作，那种铭刻在人脑中的 数学精神和数学思维方式，会长 期地在他们的生活和工作中发挥 重要作用。
——日本数学教育家米山国藏
• 从整体上把握小学数学，着眼点很多。 要想理出头绪、抓住重点，“放眼长 远、注重长效”最重要。
• （8）出示彩旗图，引导：这些彩旗的排列规律， 和前面的“盆花”、“灯笼”有什么不同，如果 同样要问第15面是什么颜色的，在解决问题时， 你觉得有什么要提醒同学们注意的？（这样设问， 同样起到巩固和深化的作用。事实上，不一定要 每道例题，都按同样的步骤一步一步教一遍）
• （9）（结合板书）同样是找第15个，分组不同， 除数也不相同。当没有余数时，……余数是1 时，……（收回来！聚焦在关键的位置）
思想性：在我们平常的教学 中，常常重解题技能技巧而轻 思维能力的培养。加强数学思 想方法的渗透与概括、引导学 生领悟具体内容所反映的数学 思想对于他们理性思维的培养 十分重要。
联系性：逻辑的严谨性是数学的特 点之一，不同内容的联系性，数学思 想方法的一致性，则是严谨性的关键 所在。通过类比、归纳、联想、知识 的迁移和应用等方式，利用数学内容 的内在联系，使不同的数学内容相互 沟通，既能帮助学生建立功能良好的 数学认知结构，又能使学生的知识体 系完整、连贯、深刻，有利于学生进 一步理解数学的本质，提高解决问题 的能力。
• 经过猜测和验证，呈现出 “权数”变化引起平均数 变化的趋势和规律，帮助 学生体验到“权数”对平 均数的影响。通过揭示问 题的本质让学生获得知识， 体会数学思维方法。
实践：
通过接近数学本质的数学 经历和体验，收获一种思考 问题的思维方式（数学学科 独特的）：
问题-猜想-验证-归纳-运用
思考：
• 长远是就目标而言。无论一个人长大 以后在不在数学领域内学习或工作， 通过数学学习习得的解决问题策略、 思维方式、思想方法及运用工具的能 力都将发挥重要作用。
——孙晓天
如何抓长效——
• 在解决实际问题的“过程”中积淀解 决问题的思路和方法
• 通过不断揭示数学与现实之间的联系 逐步触及数学的本质
• 把认识自我、建立自信作为重要的数 学学习目标
• 其中的系数(k1,k2,k3,…kn)称权, 它说明这系数后面的数据,在整个统 计数据中占的比重。也说明这个数 据对统计结果的影响程度。
共识：
——解决实际问题的思想、 程序和方法，对学生的发展来 说，其意义远远大于仅仅获得 知识本身。
——分析与综合、比较与分 类、抽象与概括、猜想与验证 既是思维的重要方法，同样是 构建数学思维的重要方法。
2. 小明看一本故事书,前
5天平均每天看25页，后2天 平均每天看23页。小明这一 星期平均每天看多少页？
3.和平敬老院里有老奶奶
11人，平均年龄80.5岁；有老 爷爷12人，平均年龄73.6岁。 全院老人的平均年龄多少岁？
A.（80.5+73.6）÷（11+12） B.（80.5×11+73.6×12）÷（11+12） C.（80.5+73.6）÷2
巧克力糖 每千克60元
水果糖 每千克40元
每千克44元 每千克50元 每千克54元
今天这节课， 我们收获了什么？ 我们的问题解决了吗？
思考与研究：
在环保小队里，男生人数 越多或女生人数越多，整个小 队的平均身高分别会有什么变 化和规律？
环保小队共有10名同学，男生平均身高 142厘米，女生平均身高140厘米，这个小队 学生的平均身高是多少厘米？
挖掘数学材料、教材背后 的价值，实现数学教学的育 人功能 。
——用数学思维解决问题的 思维方式；
——用数学眼光看待世界。
思考：
着眼点——改变学生学的方式 着手点——改变教师教的方式
• 一般的老师会按照顺序，先教学盆花图， 提出问题：照这样摆下去，左起第15盆是 什么颜色的花？引导学生先说出盆花的排 列有什么规律，再要求学生说出以下三种 思路（这是教材里呈现的）并做板书：
• （6）刚才我们研究的是“盆花”，如果是“灯 笼”呢？（出示灯笼图）第15个灯笼是什么颜色 呢？你先试试。（自然过渡到下一个情境，把问 题引向深入）
• （7）谁来说说你的思路？为什么15除以3等于5， 没有余数时，就一定是绿色呢？如果是第16个和 地17个呢？（教师结合学生的思路，有条理地在 黑板上列出算式并对应写上相关结论，在对比中 重点解决余数是1、2和没有余数时怎样判断灯笼 的颜色，这是学生在建构的过程中，可能遇到困 难的地方，也是教学的重点）
平均数问题
平均身高
平均身高142厘米
环保小队共有10名同学， 男生平均身高142厘米， 女生平均身高140厘米， 这个小队学生的平均身高 是多少厘米？
解决问题：
1.第一小学六(1)班有男
生 15 人 ， 平 均 体 重 34 千 克 ， 女 生 21 人 ， 平 均 体 重 32 千 克 ，全班的平均体重多少千克？
• （3）还有不同的想法吗？（同学们一起来完善 补充同伴的想法，这些新的思路是他们自己的而 不是老师的，学生在课堂上，积极主动地思考， 不是为了配合老师完成教学任务）
• （4）对这几位同学的想法，你比较喜欢哪一种？ （还是学生个体的学习行为，便于学生以学习主 体的身份，表达自己的见解）
• （5）我们在解决这样的问题时，先做什么（发 现规律并分组），再做什么（用除法，列式计 算），最后做什么（根据余数的情况，判断是什 么颜色的花）（开放后的聚焦十分重要，初步建 立数学模型为深入学习打好基础）
• 1．出示“盆花”图；
• 2．提出问题：照这样摆下去，左起第15 盆是什么颜色的花？
• 3．探究与分享：
• （1）请同学们把自己的想法写在练习本 上，等一下我们一起来分享大家的想法。 （学生进行着独立思考和合作交流，也就 有了驻足细品、回望反思、旁逸斜出的时 空）
• （2）谁愿意把自己的想法说给大家听， 到展台前面来。（学生走上讲台汇报时， 是老师和在座的同学们一起与汇报的学生 对话，主角是学生）
• 另一位老师的教学，则更加开放：
• 1．同时出示“盆花”、“灯笼”、“彩 旗”场景图；
• 2．提出问题：
• （1）从左边起，“盆花”、“灯笼”、 “彩旗”的摆放有什么共同特点？又有什 么区别？
• （2）照这样摆下去，左起第15盆花，第 15盏灯笼，第15面旗子，分别是什么颜色 Baidu Nhomakorabea？你敢试一试吗？把你的想法写在练习 本上。
“以学生为中心”——
把教育的重点放在主体上 的，即注重学生的经验和 自发需要、兴趣，把学生 主体活动的组织与创造视 为教育活动的本质。
活动性：数学教学是数学活动的 教学。包括行为的参与，更重要 的是思维的参与，它强调观察、 实验、猜测、验证、推理与交流 等数学活动，强调师生间、学生 间的交往互动与共同发展。有效 的数学活动是落实“双基”、培 养学生创新精神和实践能力的根 本保证。
男生 女生
小队队员 （10人） 平均身高
我们的发 现和结论
我们小 （ ）人， （）人， 组研究 平均身高 平均身高 第（ ）142厘米， 140厘米, 种情况
猜想 验证
• 一般平均数：(a1+a2+a3+…+an)÷n
• 加权平均数：
(k1×a1+k2×a2+k3×a3+…+kn×an)÷ (k1+k2+k3+…+kn)
• 以教师为主导， • 学生为主体， • 探究为主线， • 思维为核心， • 学生感悟为目的， • 学生发现为宗旨， • 注重挖掘教材的能力生长点， • 着眼于学生终生发展的需要， • 为学生的终生发展奠定基础。
• （4）同样是找左起第15个，不同的摆放，列 出的算式一样吗？有什么区别又有什么联系呢？ 解决这样的问题的步骤和关键是什么？
• 我们经常会看到教学中呈现一个问题情境 后，老师经常会很快就请学生起来作答， 这几个学生把问题解决了，似乎就相信全 班学生都会了。老师们之所以喜欢这种教 学方式，也许是它既能活跃课堂又便于控 制教学节奏和进程。可是，这种方式容易 造成“表面的积极性”和“一切顺利”的 假象（苏霍姆林斯基）。在这样的方式下， 那些中等学生和思维迟钝的学生是否也有 独立思考、独立解决问题的体验，我们仍 不得而知，我们有理由为他们感到不安。 为此，苏霍姆林斯基的重要建议是：要把 学生的独立的、个别的作业作为学习数学 的基础。
• （教师巡视，个别指导）
• 3．展示分享。教师组织学生汇报时，重点抓 住以下几点：
• （1）当一一间隔排列时，可以用单双数来判 断；
• （2）“先画一画，再数一数”是一种办法， 不过当数比较大的时候，就不是很方便；
• （3）讨论用计算的方法时，研究为什么要用 除法计算？怎么列式？怎么根据商和余数判断？ （特别是没有余数时）
• （2）用画图的方法来判断，如用圆圈表 示蓝色的花，三角表示红色的花，一直画 到第15个；
• （3）用计算的方法，15÷2=7……1，根 据余数来判断。
• 当学生帮助老师完成教材里的几 种思路并板书后，老师带领学生 讨论第二幅灯笼图。老师们习惯 着这种线性结构的教学设计，使 用“‘导入—讲授—巩固—作 业—小结’这种以教师为中心的 五环节教学法，把学生封闭在教 师划定的圈子里。那么我们是否 可以“开放”一些，给学生更多 的主动思考的空间？
学生在进入社会以后，如果 没有机会应用数学，那么作为知 识的数学，通常在出校门后一两 年就会忘掉，然而无论他们从事 什么工作，那种铭刻在人脑中的 数学精神和数学思维方式，会长 期地在他们的生活和工作中发挥 重要作用。
——日本数学教育家米山国藏
• 从整体上把握小学数学，着眼点很多。 要想理出头绪、抓住重点，“放眼长 远、注重长效”最重要。
• （8）出示彩旗图，引导：这些彩旗的排列规律， 和前面的“盆花”、“灯笼”有什么不同，如果 同样要问第15面是什么颜色的，在解决问题时， 你觉得有什么要提醒同学们注意的？（这样设问， 同样起到巩固和深化的作用。事实上，不一定要 每道例题，都按同样的步骤一步一步教一遍）
• （9）（结合板书）同样是找第15个，分组不同， 除数也不相同。当没有余数时，……余数是1 时，……（收回来！聚焦在关键的位置）
思想性：在我们平常的教学 中，常常重解题技能技巧而轻 思维能力的培养。加强数学思 想方法的渗透与概括、引导学 生领悟具体内容所反映的数学 思想对于他们理性思维的培养 十分重要。
联系性：逻辑的严谨性是数学的特 点之一，不同内容的联系性，数学思 想方法的一致性，则是严谨性的关键 所在。通过类比、归纳、联想、知识 的迁移和应用等方式，利用数学内容 的内在联系，使不同的数学内容相互 沟通，既能帮助学生建立功能良好的 数学认知结构，又能使学生的知识体 系完整、连贯、深刻，有利于学生进 一步理解数学的本质，提高解决问题 的能力。
• 经过猜测和验证，呈现出 “权数”变化引起平均数 变化的趋势和规律，帮助 学生体验到“权数”对平 均数的影响。通过揭示问 题的本质让学生获得知识， 体会数学思维方法。
实践：
通过接近数学本质的数学 经历和体验，收获一种思考 问题的思维方式（数学学科 独特的）：
问题-猜想-验证-归纳-运用
思考：
• 长远是就目标而言。无论一个人长大 以后在不在数学领域内学习或工作， 通过数学学习习得的解决问题策略、 思维方式、思想方法及运用工具的能 力都将发挥重要作用。
——孙晓天
如何抓长效——
• 在解决实际问题的“过程”中积淀解 决问题的思路和方法
• 通过不断揭示数学与现实之间的联系 逐步触及数学的本质
• 把认识自我、建立自信作为重要的数 学学习目标
• 其中的系数(k1,k2,k3,…kn)称权, 它说明这系数后面的数据,在整个统 计数据中占的比重。也说明这个数 据对统计结果的影响程度。
共识：
——解决实际问题的思想、 程序和方法，对学生的发展来 说，其意义远远大于仅仅获得 知识本身。
——分析与综合、比较与分 类、抽象与概括、猜想与验证 既是思维的重要方法，同样是 构建数学思维的重要方法。
2. 小明看一本故事书,前
5天平均每天看25页，后2天 平均每天看23页。小明这一 星期平均每天看多少页？
3.和平敬老院里有老奶奶
11人，平均年龄80.5岁；有老 爷爷12人，平均年龄73.6岁。 全院老人的平均年龄多少岁？
A.（80.5+73.6）÷（11+12） B.（80.5×11+73.6×12）÷（11+12） C.（80.5+73.6）÷2
巧克力糖 每千克60元
水果糖 每千克40元
每千克44元 每千克50元 每千克54元
今天这节课， 我们收获了什么？ 我们的问题解决了吗？
思考与研究：
在环保小队里，男生人数 越多或女生人数越多，整个小 队的平均身高分别会有什么变 化和规律？
环保小队共有10名同学，男生平均身高 142厘米，女生平均身高140厘米，这个小队 学生的平均身高是多少厘米？
挖掘数学材料、教材背后 的价值，实现数学教学的育 人功能 。
——用数学思维解决问题的 思维方式；
——用数学眼光看待世界。
思考：
着眼点——改变学生学的方式 着手点——改变教师教的方式
• 一般的老师会按照顺序，先教学盆花图， 提出问题：照这样摆下去，左起第15盆是 什么颜色的花？引导学生先说出盆花的排 列有什么规律，再要求学生说出以下三种 思路（这是教材里呈现的）并做板书：
• （6）刚才我们研究的是“盆花”，如果是“灯 笼”呢？（出示灯笼图）第15个灯笼是什么颜色 呢？你先试试。（自然过渡到下一个情境，把问 题引向深入）
• （7）谁来说说你的思路？为什么15除以3等于5， 没有余数时，就一定是绿色呢？如果是第16个和 地17个呢？（教师结合学生的思路，有条理地在 黑板上列出算式并对应写上相关结论，在对比中 重点解决余数是1、2和没有余数时怎样判断灯笼 的颜色，这是学生在建构的过程中，可能遇到困 难的地方，也是教学的重点）
平均数问题
平均身高
平均身高142厘米
环保小队共有10名同学， 男生平均身高142厘米， 女生平均身高140厘米， 这个小队学生的平均身高 是多少厘米？
解决问题：
1.第一小学六(1)班有男
生 15 人 ， 平 均 体 重 34 千 克 ， 女 生 21 人 ， 平 均 体 重 32 千 克 ，全班的平均体重多少千克？
• （3）还有不同的想法吗？（同学们一起来完善 补充同伴的想法，这些新的思路是他们自己的而 不是老师的，学生在课堂上，积极主动地思考， 不是为了配合老师完成教学任务）
• （4）对这几位同学的想法，你比较喜欢哪一种？ （还是学生个体的学习行为，便于学生以学习主 体的身份，表达自己的见解）
• （5）我们在解决这样的问题时，先做什么（发 现规律并分组），再做什么（用除法，列式计 算），最后做什么（根据余数的情况，判断是什 么颜色的花）（开放后的聚焦十分重要，初步建 立数学模型为深入学习打好基础）
• 1．出示“盆花”图；
• 2．提出问题：照这样摆下去，左起第15 盆是什么颜色的花？
• 3．探究与分享：
• （1）请同学们把自己的想法写在练习本 上，等一下我们一起来分享大家的想法。 （学生进行着独立思考和合作交流，也就 有了驻足细品、回望反思、旁逸斜出的时 空）
• （2）谁愿意把自己的想法说给大家听， 到展台前面来。（学生走上讲台汇报时， 是老师和在座的同学们一起与汇报的学生 对话，主角是学生）
• 另一位老师的教学，则更加开放：
• 1．同时出示“盆花”、“灯笼”、“彩 旗”场景图；
• 2．提出问题：
• （1）从左边起，“盆花”、“灯笼”、 “彩旗”的摆放有什么共同特点？又有什 么区别？
• （2）照这样摆下去，左起第15盆花，第 15盏灯笼，第15面旗子，分别是什么颜色 Baidu Nhomakorabea？你敢试一试吗？把你的想法写在练习 本上。
“以学生为中心”——
把教育的重点放在主体上 的，即注重学生的经验和 自发需要、兴趣，把学生 主体活动的组织与创造视 为教育活动的本质。
活动性：数学教学是数学活动的 教学。包括行为的参与，更重要 的是思维的参与，它强调观察、 实验、猜测、验证、推理与交流 等数学活动，强调师生间、学生 间的交往互动与共同发展。有效 的数学活动是落实“双基”、培 养学生创新精神和实践能力的根 本保证。
男生 女生
小队队员 （10人） 平均身高
我们的发 现和结论
我们小 （ ）人， （）人， 组研究 平均身高 平均身高 第（ ）142厘米， 140厘米, 种情况
猜想 验证
• 一般平均数：(a1+a2+a3+…+an)÷n
• 加权平均数：
(k1×a1+k2×a2+k3×a3+…+kn×an)÷ (k1+k2+k3+…+kn)
• 以教师为主导， • 学生为主体， • 探究为主线， • 思维为核心， • 学生感悟为目的， • 学生发现为宗旨， • 注重挖掘教材的能力生长点， • 着眼于学生终生发展的需要， • 为学生的终生发展奠定基础。
• （4）同样是找左起第15个，不同的摆放，列 出的算式一样吗？有什么区别又有什么联系呢？ 解决这样的问题的步骤和关键是什么？
• 我们经常会看到教学中呈现一个问题情境 后，老师经常会很快就请学生起来作答， 这几个学生把问题解决了，似乎就相信全 班学生都会了。老师们之所以喜欢这种教 学方式，也许是它既能活跃课堂又便于控 制教学节奏和进程。可是，这种方式容易 造成“表面的积极性”和“一切顺利”的 假象（苏霍姆林斯基）。在这样的方式下， 那些中等学生和思维迟钝的学生是否也有 独立思考、独立解决问题的体验，我们仍 不得而知，我们有理由为他们感到不安。 为此，苏霍姆林斯基的重要建议是：要把 学生的独立的、个别的作业作为学习数学 的基础。
• （教师巡视，个别指导）
• 3．展示分享。教师组织学生汇报时，重点抓 住以下几点：
• （1）当一一间隔排列时，可以用单双数来判 断；
• （2）“先画一画，再数一数”是一种办法， 不过当数比较大的时候，就不是很方便；
• （3）讨论用计算的方法时，研究为什么要用 除法计算？怎么列式？怎么根据商和余数判断？ （特别是没有余数时）