概率论与数理统计答案

习题答案

第1章

三、解答题

1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确.

2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：因为)()()()(B A P B P A P AB P ，

又因为)()(B A P B P 即.0)()( B A P B P 所以

(1) 当)()(B A P B P

时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P =0.6.

(2) 1)( B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3. 3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P ，记P (A ) = p ，试求P (B )．

解：因为)()(B A P AB P ，

即)()()(1)(1)()

(AB P B P A P B A P B A P AB P ，

所以 .1)(1)(p A P B P

4．已知P (A ) = 0.7，P (A – B ) = 0.3，试求)(AB P ．

解：因为P (A – B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)( AB P AB P .

5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有410C n

种，以下求至少有两只配成一双的取法k ：

法一：分两种情况考虑：1

5

C k

24C 212)(C +25C

其中：2

122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数

法二：分两种情况考虑：!

2161815

C C C k +2

5C

其中：!

216

1815

C C C

为恰有1双配对的方法数

法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k

+25C

其中：)(1

42

8

1

5C C C 为恰有1双配对的方法数

法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2

815C C k

-25C

法五：考虑对立事件：4

10C k

-45C 412)(C

其中：4

5

C 4

12)(C 为没有一双配对的方法数

法六：考虑对立事件：!

41

4

1618110410

C C C C C k

其中：

!414

1618110C C C C 为没有一双配对的方法数

所求概率为.21

13

410

C k p

6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．

解：(1) 法一：12131025 C C p ，法二：121

3

102513 A A C p (2) 法二：20

13102

4 C C p ，法二：201

3

102413 A A C p 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则

834

)(33

41 A M P , 1694)(324232 A C M P , 161

4)(3143

C M P

8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？

解：设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则

3.0)(25232 C C M P ,6.0)(2512131 C C C M P ,1.0)(25

2

2

1 C C M P

9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．

解：设M 1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑球”，则

2121M M M M M 且.

所以.28

13

C C C C )()()()(282328252121 M P M P M M P M P

10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．

解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示任取两个数，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间 = {(x ，y )：0 x ，y 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ，y ) ： x + y 6/5} 因此

25

17154211)(2

的面积的面积A A P ． 图？

11．随机地向半圆220x ax y

（a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点

和该点的连线与x 轴的夹角小于

4

的概率． 解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标， 表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.

随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ={(x ，y )：220,20x ax y a x

}

事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4

” ={(x ，y )：4

0,20,202

x ax y a x }

因此

2112

14121)(222 a a

a A A P 的面积的面积．

12．已知2

1

)(,31)(,41)

( B A P A B P A P ，求)(B A P ． 解：,12

13141)()()(

A B P A P AB P ,61

21121)|()()( B A P AB P B P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？

解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中