§1.1整除的概念 带余除法

如果不存在整数q使得a bq成立，则称a不被b整除， 记为b † a。
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相关概念：因数、约数、倍数、奇数、偶数。 注：显然每个非零整数a都有约数 1，a，称这四个 数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。 例1 有一个自然数乘以9后，得到一个仅由数字1组成 的多位数，求这个自然数最小为多少？ 12345679
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例3已知： 782 + 8161能被57整除， 求证：783 +8163也能被57整除。 证明：783 + 8163 = 7 ( 782 + 8161 )－7 × 8161 + 8163 = 7 ( 782 + 8161 ) + 8161 × 57 ∵782 + 8161和57都能被57整除 ∴原式得证。
4.已知: 782 + 8161能被57整除，求证：783 +8163也能
被57整除。
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第一节 整除的概念 带余数除法
定义 设a, b是任意两个整数，其中b 0，如果 存在一个整数q使得等式 a qb 成立，就说b整除a或a被b整除，记作b a， 此时把b 叫作a的因数，把a叫作b的倍数.
带余数除法的第三种表示（课后习题） 定理4 若a, b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 2 成立，而且当b是奇数时，q及r是唯一的；当b是偶数时，q及r 有可能是不唯一的。
例 当a 5, b 2时，可有
q及r，使得
a bq r，
r
b
5 （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ），即q 3, r 1 ; 或5 （ 2 ） （ 2 ） 1 ，即q 2, r 1
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二、整除的性质
定理1〔传递性〕 b a , c b c a
定理2
m a1 , m a , m b m (a b )
定理3 （线性组合）
, m an , q1 , , qn Z m (q1a1 qn a n )
例2 若 a ,b 是整数，且7∣( a + b ), 7∣( 2a－b )， 证明:7|( 5a + 2b )。
(i )若在r1 ,
, r5中数0， 1 ， 2都出现，不妨设 此时
r1 0, r2 1, r3 2， a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3 可以被3整除。
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(ii )若在r1 ,
, r5中数0， 1 ， 2至少有一个不出现， 此时
这样至少有3个ri要取相同的值，不妨设 r1 r2 r3 r(r 0,1或2）， a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3r 可以被3整除。
初等数论
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•
初等数论是研究数的规律，特别是整数性质 的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它 以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的 整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不 定方程。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的 方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的 方法研究数论）、代数数论（用代数结构的方法 研究数论）。
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欧几里得除法
(唯一性) 如果分别有整数q，r和q1，r1满足（2）， 则 a= bq+r， 0≤r<b， a= bq1+r1，0≤r1<b 两式相减，我们有 b(q-q1) =-(r-r1) 当q≠q1 左边的绝对值大于等于b，而右边的绝对值 小于b，这是不可能的.故q=q1，r=r1.
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三、带余数除法(欧几里德除法） 定理4 设a与b是两个整数，b > 0，则存在唯一
的两个整数q和r，使得
a bq r , 0 r b (1)
定义2：（1）式通常写成
a b q (余r ) (2)
并称q为a被b除所得的不完全商；r叫做a被b除所得 的余数； (1)式称为带余数除法算式，(2)式称为带余数除法。
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• 第十五条：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。 如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述过 程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与7倍的前 面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。 • 第十六条：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被 23整除，则这个数能被23整除。
则有 a 2k i 1，取d k i a 1 ，则d 就满足要求。
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阅读思考：整除的规律
第一条：任何整数都能被1整除。 注：以下是就整数的十进制表示法而言。 第二条：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。[2] 第三条：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能 被3整除。 • 第四条：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。 • 第五条：个位上是0或5的数都能被5整除。 • 第六条：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能 被6整除。 • • • •
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例3、设a 1 为奇数，证明： 存在正整数d a 1, 使得a 2 d 1
证：考虑下面的a个数： 20 , 21 , , 2a 1，显然a不整除2 j (0 j a)，
2 j q j a rj , (0 rj a )
因而a个余数r0 , r 1, , ra 1仅可能取a 1个值， 因此其中必有两个相等。 设为ri，rk，不妨设0 i k a，因而有
14 ( 3) 14 3
注：一般地，要求a , q是整数，b, r是非负整数；
如果允许b取负值，则要求 0 r b . 思考 28 6 14 3 4 (余 2) 正确吗？
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带余数除法的第二种表示 定理4 若a, b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 q及r，使得 a bq r， 0r b 成立，而且q及r是唯一的。
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中小学数学中的一些数论问题：
1.狐狸在跑道上跳远，每次跳远150CM从起点开始每
隔130CM设一个陷阱，问狐狸跳了几次后掉进井中？
2.已知66︱X1998Y，求所有满足条件的六位数X1998Y. 3.有一个自然数乘以9后，得到一个仅由数字1组成 的多位数，求这个自然数最小为多少？
a(qk qi ) 2k 2i 2i (2k i 1)
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由带余除法，对每个2 j (0 j a )，
因而a个余数r0 , r 1,
, ra 1仅可能取a 1个值，
因此其中必有两个相等。
设为ri，rk，不妨设0 i k a，因而有 a(qk qi ) 2k 2i 2i (2k i 1)
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欧几里得除法
证明：
存在性：考虑整数序列
, 3b, 2b, b,0, b,2b,3b,
则a必在序列的某两项之间，
即存在一个整数q，使得 qb a (q 1)b
令 r a qb ， 则有 a bq r , 0 r b 成立.
唯一性：反证〔板书〕
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第一章
整数的可除性
整除性理论是初等数论的基础ຫໍສະໝຸດ Baidu本章要介绍
带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公
函数 x、 x 的性质，算术基本定理。 倍数，
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第一章
整数的可除性
一、整除的概念 带余数除法 二、最大公因数与辗转相除法
三、整除的进一步性质 四、质数 算术基本定理 五、取整函数及其在数论中的一个应用
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带余数除法的应用举例
例1
而
证明形如3n-1的数不是平方数。
a 3q r , 0 r 3， (3q r )2 3n 1, 0 r 3.
证明：a Z ,
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例2、任意给出的5个整数中，必有3个数之 和被3整除。
证：设这5个数为ai , i 1, ai 3qi ri， 0 ri 3, 分别考虑以下两种情形： , 5，记 i 1, , 5。
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整除的一些常用结论：
(1)当b是整数a的因数时，-b也是整数a的因数.（因数 是成对出现的） (2)当b是整数a的因数时，a/b也是整数a的因数.
(3)设b，c都是非零整数， (i)若b|a，则|b|||a|. (ii)若b|a，则bc|ac;1|b;b|b. (iii)若b|a，则1<|b|≤|a|.
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例4 利用带余数除法，由a, b的值求q, r 并写出带余除法算式
(1) a 14, b 3
(2) a 14, b 3
(3)a 14, b 3
14 3 4 ( 余 2 ), q 4, r 2
14 3 5 ( 余 1 ), q 5, r 1
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• 第十三条：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。 如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上 述过程，直到能清楚判断为止。 • 第十四条：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。 如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上 述过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与3 倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
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(4)设p是素数，a，b是任意整数，则 • p|a或(p，a)=1 . • 若p|ab 则p|a或p|b；p|a且p|b。 以上两个结论，用于来描述; 一个素数p和其它任何一个整数a或者 b的关系 只有两种情况，要么整除，要么互质； 一个素数p如果能整除任意两个整数a、b的乘 积，则p至少能够整除其中的一个数。
证明分析：作整数序列 ，-3 b ,-2 b ,- b ,0,b ,2 b ,3 b , 则a必满足q b a<(q+1) b , 其中q Z , 令a q b r可得到a b q r , 分b 0和 b 0来讨论q, 进一步证明q, r的唯一性。
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• 第七条：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数 的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。 • 第八条：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。 • 第九条：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能 被9整除。 • 第十条： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。 • 第十一条：将一个数从右往左数，将奇数位上的数与偶数 位上的数分别相加，然后将两个数的和相减，如果差值能 被11整除（包括差值为0）则原数可以被11整除。 • 第十二条：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整 除。