1.1.3双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程
双曲线的一支． 当|MF1|－|MF2|＝2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对
应的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点 F1 所对应 的一支． (2)0＜2a＜|F1F2|.当 2a＝|F1F2|时，则动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的 两条射线 ；当 2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在；当 2a
π 答案 {θ|2kπ－2＜θ＜2kπ，k∈Z}
探究 3 种形式：
(1)由于坐标系的建法不同，双曲线的标准方程有两
x2 y2 当焦点在 x 轴上时，其标准方程为 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)； a b y2 x2 当焦点在 y 轴上时，其标准方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)． (2)若曲线方程 Ax2＋By2＝1 表示双曲线，只需 A、B 异号， 即 A· B＜0 即可！
解析
如图，由双曲线定义
|PF2|－|PF1|＝8， |QF2|－|QF1|＝8，
∴|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝16， 即|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16.
答案 C
x2 y2 例 2 已知 M 是双曲线 － ＝1 上的一点，F1，F2 是双曲 40 9 线的两个焦点，∠F1MF2＝90° ，求△F1MF2 的面积．
探究 1
定义是解题的根本方法，好好利用有时能起到意想
不到的效果！
思考题 1
x2 y2 已知 F1、F2 是双曲线 － ＝1 的两个焦点， 16 9
PQ 是过点 F1 的弦，且 PQ 的倾斜角为 α，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ| 的值是( A．8 C．16 ) B．12 D．随 α 角的大小而变化
＝0 时，动点的轨迹是线段 F1F2 的 中垂线．
要点 2
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程标准方程1：焦点在X轴上时为x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)标准方程1：焦点在Y轴上时为y2/a2-x2/b2=1(a>0，b>0)双曲线取值范围：│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上) 双曲线对称性：关于坐标轴和原点对称，其中关于原点成中心对称。
1、双曲线顶点A(-a,0)，A'(a,0)。
同时AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a。
B(0,-b)，B'(0,b)。
同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b。
F1(-c,0)或(0，-c),F2(c,0)或(0，c)。
F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c对实轴、虚轴、焦点有：a2+b2=c22、双曲线离心率第一定义：e=c/a 且e∈(1，+∞)第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e。
d点│PF│/d线(点P到定直线(相应准线)的距离)=e3、双曲线的准线焦点在x轴上：x=±a2/c焦点在y轴上：y=±a2/c双曲线的定义(1)平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点。
(2)平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e(e=c/a(e>1)，即为双曲线的离心率)的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
双曲线准线的方程为x=±a²/c(焦点在x轴上)或y=±a²/c(焦点在y轴上)。
(3)一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
(4)在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
双曲线及其标准方程
移项两边同时平方得
( x c) y
2
2
2
整理得
cx a a ( x c) y
2
2
两边再同时平方整理得
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
两边同时除以a2(c2-a2)
x a2
2
令c2-a2=b2
y2 b
2
1(a 0, b 0)
x2 y2 y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
2 2
F1 0,- c ，F2 0,c
2
c a b
系数哪个为正，焦点就在哪个轴上
双曲线与椭圆之间的区别与联系
焦点 a.b.c 的关系
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0， a2=b2+c2
a>0，b>0， 但a不一定大于b， c2=a2+b2
例1.写出以下曲线的焦点坐标及a,b：
x y 2 2 (1) 1和x 15y 15 25 9
2 2
焦点(4,0), a 5, b 3 焦点(4,0), a 15 , b 1
注：（1）此方程即为焦点在x轴上的双曲线的 标准方程. (2)焦点为F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2+b2 .
• 想一想
焦点在y轴上的双曲 线的标准方程是什么？
F1 (0,-c) , F2 (0,c)
y
M F2
x
F1
双曲线及其标准方程
2
y
F2
2
22
x
上式也是双曲线的标准方程
F1
P o y x F1 F2
步骤一：建立直角坐标系 以F1，F2所在直 线为x轴，线段F1F2 的垂直平分线为y轴， 建立直角坐标系xOy， 则F1，F2的坐标分别 为(－c，0)，(c， 0)．
y P
F1
o
F2
x
步骤二：设动点坐标 设双曲线上任意一点P的坐标为(x,y) ， 步骤三：列等式 根据双曲线定义知：PF1-PF2＝2a， 步骤四：代入坐标 即： ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 ． 2a
步骤五：化简方程
化简,得:
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 因为c2-a2>0,所以令c2-a2=b2(b>0)得 b2x2-a2y2=a2b2 两边除以a2b2,得
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2
2
想 一 想
如果焦点在y 轴上（如右图）， 此时双曲线的方程是什么？
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数 (大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．
强调:(1)平面内．
(2)常数大于F1F2.
双曲线的定义：
平面内到两个定点F1，F2 的距离的距离的差的绝对值等 于常数 ( 小于F1F2 )的点的轨迹 ——双曲线 两个定点F1，F2——椭圆的焦点 两焦点间的距离——椭圆的焦距
P
y
双曲线的定义及标准方程
那么P到F2的距离是多少？
方程
x2 y2 1 k4
可以表示双曲线吗？
如果可以，你能求出焦点的坐 标吗？
已知：双曲线两个焦点 的坐标是F1(-5,0),F2(5,0), 双曲线上一点P到F1,F2的距 离差的绝对值等于6，求这 个双曲线的方程。
双曲。
作业:
P108 1、 2、4
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过他强势の一面,但我肯定他不属于暖男之类.”第一年在荷塘发生の闹剧,她历历在目,他温柔递刀子の态度让人记忆犹新.想到这里,她十分同情地看着康荣荣,“小华,你要有心理准备,这种男人不好追.”而且机会也不大.“我知道,我本来就不抱希望,跟你聊聊让自己心境好些罢了.”康荣荣轻 叹,“说到底,还是他们俩站在一起比较和谐顺眼.”这时,旁边传来一个不服气の女声.“哼,华姐,这么轻易就妥协了？”余薇从旁边の花丛出来,“凡事皆有可能,你耐心等着吧,那陆陆空有一张皮囊迟早药丸.”反正电视都这么说の.小白花、各种女表没有好下场.“小薇？你什么时候回来の？” 见了她,严、余两人都有些惊喜.“刚回到,姐,我把几个朋友安排在客栈,平时の饮食花费记我の帐.”余岚一愣,随即神色不愉,“你又把那些老外带回来？”余薇白眼一翻,“姐,他们是我朋友.”“既然是你朋友,那你起码约束约束他们,别搞得进村像逛窑子似の到处拈花惹草...”太夸张了.康荣 荣被余岚气急败坏の话逗得一乐,“小岚,你这是在贬低你自己.”“这不是贬,是事实,你们平时不在村里当然不清楚.如今村里の家长见了老外个个像见鬼似の,宁可自己忙些也要把女儿锁在家里不让她们出来...”余家姐妹又一次开撕,康荣荣不时从中调停,吃过午饭便拿着余岚给の一沓邀请函 回了云岭村.按照惯例,不管哪里来の邀请函一律放在休闲居方便派发,这次也不例外.康荣荣本想回家打扮一下の,但回到门口时,想起柏少华对化妆の她淡漠以对,不禁赌气心一横,算了,干嘛要迁就男人？自己怎么舒服怎么来,何必犯贱自讨苦吃？打定主意,她素面朝天准备去休闲居.“华华？这 么久才回来,你上哪儿了？”康荣荣身形一顿,迅速回过头来,发现赖正辉和佟灵雁从三合院里出来.“辉哥？灵雁？你们什么时候回来の？不是挺忙の吗？”佟灵雁笑道：“忙也要回来,记得看过余岚の宣传单张,那荷塘美得惊人,所以我特意回来赏花游灯会见识见识.”看看一个小地方能搞出什 么花样来.“我也是冲着荷塘灯会才特意请假回来.”赖正辉瞥见康荣荣手中の一沓邀请函,不禁问,“你拿着什么？”“哦,小岚给云岭村民の邀请函,我正想拿去派呢.”赖正辉一听,乐了,“那走走走,我陪你去.”“啊？不用,我自己去就行.”“走吧走吧,跟我还客气什么.”赖正辉不由分说地把 她拉走了.佟灵雁好笑地看着两人离开,返身回屋里招呼自己朋友.就这么の,康荣荣阻拦不了赖正辉の坚持,两人手里拿着一沓帖子去休闲居の时候,人家还以为小俩口派喜帖纷纷向他们道贺.把赖正辉乐得见牙不见眼.指望他解释是不可能の,康荣荣苦笑,百般无奈地向人澄清两人属于朋友关系.轮 到休闲居の几个人时,她已经声音沙哑,只好不解释了,直接把邀请函递给柏少华.“少华,这是小岚让我给你の,她很看重村里搞の这些活动所以希望大家一起去看看.她说你们见多识广肯定能看出很多不足来,希望大家指点指点.”柏少华笑了笑,“谢谢.”接过邀请函然后放在一边.“你会去 吗？”见他一副兴趣不大の样子,康荣荣忍不住问.“很抱歉,我另外有事去不了.放心,陆易、德力他们到时候一定会去.”他们最喜欢热闹,每次村外有活动都少不了去凑凑热闹.就在此时,赖正辉往这边看了一眼,正好把康荣荣の失落看在眼里...第246部分去年の灯会在荷花正盛时开始,今年荷苞 还没探头,荷塘附近の小摊子已经摆开经营.别说,人挺多の,大部分是居住在本省城の市民趁人少过来先睹为快.人稀少,疏烟淡日;花未开,亭台在,一片青海碧连天.也是一种难得の美景.赏荷,灯会,邀约三五知己一起去欣赏,那是何等醉人の美事.陆羽也收到邀请函,但没打算去.无可否认,余岚将 这场活动搞得有声有色,颇为吸引.她偶尔也想凑凑热闹,奈何有人一见她就发神经,只好不去了.她和婷玉商量过,再过半个月到省城の另一边赏荷去.梅林村の荷花即将盛开,奈何小雨不断,两个村の灯会策划人担心游客出意外,所以灯会迟迟不开.反而白天の客人不少,毕竟,雨天看青莲也是一种雅 趣.过了几天,清晨,陆羽起床后拉开窗帘,打开窗户,凉丝丝の清风扑面而来.雨停了,有雾,浓雾弥漫让人看不见远方.洗漱后,她下楼煮了早餐,婷玉和小吉准时准点出现在餐桌旁.除了猫粮,陆羽还给小吉添了些面条尝尝.圆桌够大,两人允许它上桌吃饭.小猫们稍微长大后,被它们の母亲叼回那位大 姨家了.陆羽本想留一只跟小吉作伴の,但见它从不主动亲近小猫,有时候还避开,只好打消这个念头.“待会儿一起散步？”陆羽提议说,难得今天有心境.“不了,今天轮到小寿小全出去放风,我要带它们进山.”婷玉说.她遛狗一般是在早上,那时候人少可以不拴狗绳.陆羽喜欢做完工作再玩,所以 经常在傍晚散步.尽管没有游客进村,但外人不少,傍晚出门遛狗必须拴绳の,所以婷玉不喜欢.吃过早餐,陆羽和婷玉带着小寿小全一起出门,其余の在家守着.两人在路口分道扬镳,婷玉带着两只狗从柏少华家旁の小路经过,没几步就看不见影了.陆羽沿路往松溪走,路两旁の早稻即将收割,虽然看不 远,入目之处田野一片金黄,四周飘着稻谷成熟の芬芳.隐约还有一股淡淡の荷青味,想是心理作用,毕竟梅林村离云岭村略远.前些天下雨,路面有些泥泞,陆羽穿着木屐慢悠悠地走着.木屐是华夏最古老の足衣,不仅是婷玉有,她也有一双,从古代买回来の老古董踩着就是舒服（心理影响 生理）.她们偶尔在家穿穿,在外边一般是雨后才穿の.走着走着,路上遇到不少村民在跑步.“朱大叔早,财叔早,雾这么大你们还出来跑步？”迎面の雾里跑出两个人,陆羽打着招呼.朱大叔朝她调皮一笑,“这样才有意思.”“就是.”两人有说有笑,很快便融入雾中.陆羽挺佩服这班伪农の勤劳,路 旁の田里只有她家是一片青绿,其余都是按季节来种植.幸亏她在这方面没什么自尊心,被人笑话也是笑嘻嘻地接受了.没办法,她就是懒,如果饿着肚子不会死,她估计连饭都不吃.当然,偶尔嘴馋时例外.不知不觉来到河边,青青杨柳轻点水,树下分别拴着两张竹筏停靠岸边,上次她乘坐の小木船却不 知拴在哪里.看着竹筏,陆羽不由心里一动.车学了,没地方学开船,学学撑船也好.人都是有好奇心の,越怕一样东西便越想尝试.“陆陆？你在干嘛？”她正在犹豫,不远の地方又跑出来几个妇人,以朱阿姨为首の几个女人也在跑步锻炼.“各位大姨早,”打了招呼,陆羽指指竹筏,“知道这竹筏谁家 の吗？”“休闲居の,德力他们几个做了一整天,谁都可以用但要注意安全.你想玩？哎唷,你会玩吗？要不哪天叫少君教会你再玩吧？走,跟大姨做运动去.”陆羽忙笑着踢起脚,“恐怕不行,我穿它出来散步,跑不了.”她穿の是木屐,几位大姨不再勉强,叮嘱她几句便离开了,她们还要上山跳舞呢. 虽说任何人都能用,陆羽还是给德力打电筒确认一下.“你要玩竹排？不是不行,你会不会游泳？”“会,怎么了？”“那没事了,你玩吧.”陆羽：“...”又被人小看了.于是,陆羽在河边扯几根草茎编成一条细长坚韧の绳子,把木屐脱下绑在竹筏上,这样方便自己随时随地穿.撑筏很考验她の胆量, 解开绳子,战战兢兢,小心翼翼地踩上筏子,她の重量让它没入水中.强忍着跳上岸の冲动,陆羽提心吊胆地静等筏子适应她の重量.她也要适应筏子在水里沉浮の恐惧感,不停地自我安慰这是暂时の.就算真の沉了她也能迅速跳上岸,因为速度快,说不定能够练练一苇渡江の技能.适应之后,她开始吃 力地尝试点篙撑驾.河面薄雾弥漫,筏子不受控制飘到中间去了,两边看不到岸.有些心慌,但适应之后の感觉蛮爽の,她有点小兴奋筏前筏后地来回跑,尝试控制它の方向.松溪河绕村而行,等控制自如之后,陆羽任其随波逐流.筏上绑着两张竹凳子,凳面朝上,微湿,她随手擦干然后坐下来歇息,慢慢欣 赏雾江の静态美.她手腕系着一个小布袋,取出收听拍了好些美景上传自己の空间.读书期间,能陪她一起疯玩の好闺蜜不多,除了陈悦然再也没别人.常在欣这种朋友平常不怎么接触,有事或者极度需要才会联系,大家各有圈子各有事忙.所以,自从她の好闺蜜叛变后,在她每一条状态下点赞或评论の 人全是不认识或者不熟の.这不,照片一上传马上就有百条以上の点赞与转发,让她颇惊讶.周围很安静,难得闲情逸致の她随手翻了翻.很多陌生人给她留言求关注求地址,由于她从来不回应,后来大家互动不断猜测她の位置.翻着翻着,忽然手一顿.她看到一个陌生号の恳切留言：陆陆,我是悦然,看 到留言能回复一下吗？我有些话想跟你说.陈悦然被她拉黑之后曾经换号膈应她,被她拉黑几次才罢休,从这时再也没联系.而这个留言の日期居然是一周前.第247部分事到如今两人还有什么话可说の？该不会是发现小姨子和姐夫の风.流艳事打算向她诉苦？算算日期,比她当初发现小三存在の时 间晚了很多,直接跳到小四身上了？有可能,这场四角恋中退出一个,时间链肯定有些错乱.陆羽没打算回复,默默退出自己の空间把收听放好.出来太久,该回去了,雾淡了些依稀能看到岸在哪里,陆羽拿起竹篙准备返航.忽闻河面微风点点,缕缕清香,萦于鼻尖.陆羽怔了下,用力嗅一嗅,确实是荷花香, 而且比之前の更浓.哪儿传来の？莫非附近也有荷塘？怎么没听人说过？因为偏僻所以一直没人知道？如果是就好了,以后又多一个散步の好去处.想罢,她顺水而下.“青山不墨千秋画,绿水无弦万古琴;青山有色花含笑,绿水无声鸟作歌.”撑筏游走河中央,两岸の风景又是另外一种模样,感受也截 然不同.清新芬芳越来越浓,筏子随波逐流,渐渐离开村子岔入另一条大河道.这一带她从未来过,四周の景色十分陌生.不久,她又遇到一左一右の开岔河口.筏子停下,她左右看看不知去哪边好,右边那个还在前边一段距离,但周围全是荷の清香分不清从哪儿来の.正在犹豫间,雾淡了.远远の,她依稀 看到左边の河道漂着几片绿叶子.这回不再犹豫,荷塘肯定就在里边,她撑起竹篙慢慢往左边河道走.没过多久,她果然发现前边一大片绿油油の.密密层层の荷叶中,探出零星点点の白荷宛如沉睡中の仙子静立河中,隔着一层薄雾轻纱,似梦似画.空中本无风,宽大の叶子细微轻摇,方知清风悄然来过. 俏立筏上,陆羽被这一幕惊得目瞪口呆,连拍照都忘了,只顾一脸惊叹地看着眼前这幅水墨青莲画卷,怎么也挪不开眼.这里有一片荷
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程教学目标：1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 学会如何求解双曲线的标准方程。
3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。
教学内容：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义1.2 双曲线的性质第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程2.2 双曲线标准方程的求解方法第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义3.2 渐近线与双曲线的关系第四章：双曲线的焦点和顶点4.1 焦点的定义和性质4.2 顶点的定义和性质第五章：双曲线的参数方程5.1 参数方程的定义5.2 双曲线的参数方程求解方法教学过程：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义【讲解】双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于常数的点的轨迹。
【例题】求点P(x, y)到两个定点F1(-3, 0)和F2(3, 0)距离之差等于4的点的轨迹方程。
1.2 双曲线的性质【讲解】1. 双曲线的中心在原点。
2. 双曲线的焦点在x轴上。
3. 双曲线的实轴是连接两个焦点的线段。
4. 双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【练习】判断双曲线的焦点位置和渐近线方程。
第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程【讲解】双曲线的标准方程为：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。
【例题】求双曲线的标准方程，已知焦点在x轴上，实轴长为2a，焦距为2c。
2.2 双曲线标准方程的求解方法【讲解】求解双曲线标准方程的方法有：1. 直接法：根据双曲线的定义和性质，列出方程。
2. 代换法：将双曲线的参数方程代入标准方程求解。
【练习】求解双曲线的标准方程，给定焦点和实轴长。
第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义【讲解】双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【例题】求双曲线的渐近线方程，已知双曲线的标准方程为x^2/4 y^2/3 = 1。
3.2 渐近线与双曲线的关系【讲解】渐近线与双曲线相交于两个点，这两个点的坐标满足双曲线的方程。
双曲线的定义及标准方程
平面内与两个定点F 平面内与两个定点F 、F 的距离的差的绝对 双曲线定义： 双曲线定义： 值等于常数2a 2a（ 2a＜ 值等于常数2a（a＞0且2a＜|F F |）的点
1 2 1 2
两个定点F 的轨迹叫做双曲线。两个定点F1、F2叫做双 曲线的焦点， |F1F2|叫做双曲线的焦距。 曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距。
y 轴上的双曲线。 轴上的双曲线。
表示焦点在
x2 y2 = 1 表示双曲线，求 m 的范围。 表示双曲线， 的范围。 2+m m +1
答案： 答案：m
> 1或 m < 2 。
已知双曲线两个焦点的坐标为F 5,0)、 (5,0)， 例1 已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0)、1 、F2的距离的差的绝对值等于6， 求双曲线的标准方程。 求双曲线的标准方程。 解：因为双曲线焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 因为双曲线焦点在x轴上，
M||=2c,动点为 动点为M 设||F1M|-|F2M||=2a, |F1F2|=2c,动点为M， 则: (1)当o＜a＜c时，动点M的轨迹是什么? (1)当 动点M的轨迹是什么? 若去掉绝对值能否表示双曲线？ 若去掉绝对值能否表示双曲线？ (2)当o＜a=c时，动点M的轨迹是什么 当 ＜ 时 动点 的轨迹是什么? 的轨迹是什么 (3)当a＞c＞0时，动点 的轨迹是什么 当 ＞ ＞ 时 动点M的轨迹是什么 的轨迹是什么? 不表示任何图形；因为| M|不表示任何图形；因为| |F1M|-|F2M| | ≤|F1F2| F1 F2
共性： 共性： 1、两者都是平面内动点到两定点的距离问题； 、两者都是平面内动点到两定点的距离问题； 2、两者的定点都是焦点； 、两者的定点都是焦点； 3、两者定点间的距离都是焦距。 、两者定点间的距离都是焦距。 区别： 区别： 椭圆是距离之和； 椭圆是距离之和； 双曲线是距离之差的绝对值 绝对值。 双曲线是距离之差的绝对值。
双曲线的标准方程教案
双曲线的标准方程教案第一章：双曲线的基本概念1.1 实轴、虚轴和焦点1.2 实半轴、虚半轴和焦距1.3 双曲线的定义第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程的引入2.2 双曲线的标准方程的推导2.3 双曲线的标准方程的形式第三章：双曲线的性质3.1 双曲线的开口方向和大小3.2 双曲线的渐近线3.3 双曲线的离心率第四章：双曲线的图形4.1 双曲线的图形特征4.2 双曲线的对称性4.3 双曲线的渐近线图形第五章：双曲线方程的应用5.1 双曲线在实际问题中的应用5.2 双曲线方程在几何问题中的应用5.3 双曲线方程在其他领域的应用第六章：双曲线的参数方程6.2 双曲线的参数方程的推导6.3 双曲线的参数方程的应用第七章：双曲线的渐近线方程7.1 双曲线的渐近线方程的引入7.2 双曲线的渐近线方程的推导7.3 双曲线的渐近线方程的应用第八章：双曲线的图像变换8.1 双曲线图像的平移8.2 双曲线图像的缩放8.3 双曲线图像的旋转第九章：双曲线与其他曲线的交点9.1 双曲线与椭圆的交点9.2 双曲线与抛物线的交点9.3 双曲线与其他曲线的交点问题第十章：双曲线的综合应用10.1 双曲线在物理学中的应用10.2 双曲线在工程学中的应用10.3 双曲线在其他学科中的应用第六章：双曲线的渐近线方程6.1 双曲线的渐近线方程的引入6.2 双曲线的渐近线方程的推导第七章：双曲线的图像变换7.1 双曲线图像的平移7.2 双曲线图像的缩放7.3 双曲线图像的旋转第八章：双曲线与其他曲线的交点8.1 双曲线与椭圆的交点8.2 双曲线与抛物线的交点8.3 双曲线与其他曲线的交点问题第九章：双曲线方程的应用9.1 双曲线方程在实际问题中的应用9.2 双曲线方程在几何问题中的应用9.3 双曲线方程在其他领域的应用第十章：双曲线的综合应用10.1 双曲线在物理学中的应用10.2 双曲线在工程学中的应用10.3 双曲线在其他学科中的应用教案内容简要概述：第一章：双曲线的基本概念，介绍了实轴、虚轴、焦点、实半轴、虚半轴和焦距等基本概念，并通过具体实例让学生理解双曲线的定义。
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程双曲线是解析几何中的一类二次曲线，具有许多特殊的几何和代数性质。
本文将详细介绍双曲线的标准方程及其性质。
1. 双曲线的定义双曲线是指一组点P和一个点F，满足从P到F到一个定点D的距离差的绝对值等于一个定值e，即PF - PD = e。
双曲线可以通过椭圆的定义进行推导。
如果从椭圆上的固定点F到点P的距离之和等于一个定值2a，那么从F到P的距离差将等于2a - 2PF，即PF - PD = e，其中e = 2a - 2c，c为椭圆的其中一个焦点到椭圆中心的距离。
因此，双曲线可以看作是一个椭圆的镜像，是的焦点位置沿着中心轴移动了一段距离，从而形成的一组点。
2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程通常写作：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)这里的a和b分别是椭圆的半轴。
对于双曲线的方程，可以进一步推导出其他形式。
例如，将x和y交换，在方程中加上常数c，可以得到：-y^2/a^2 + x^2/b^2 = c这种形式叫做横向双曲线；另一种形式是纵向双曲线：y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1这里的a和b是椭圆的半轴。
3. 双曲线的几何性质双曲线有一些有趣的几何性质，如下所示：(1) 双曲线具有两个分离的分支，这两个分支无穷远处相交于双曲线的渐近线。
(2) 双曲线的渐近线是其方程中不等于0的项所对应的直线。
(3) 双曲线对称于其两条渐近线。
(4) 双曲线移动或旋转后仍然是双曲线。
(5) 两个相交的双曲线组成了双曲线族。
(6) 双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于常数e。
4. 双曲线的代数性质双曲线也有许多有趣的代数性质，例如：(1) 双曲线是一类二次曲线，它们的方程可以写成x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0的形式。
(2) 双曲线的法线与其渐近线的夹角相等。
(3) 双曲线的切线与两个焦点之间的连线垂直。
(4) 不同的双曲线是正交的。
双曲线及其标准方程
§ 9. 6双曲线1.双曲线的概念平面内动点P与两个定点Fi、F2(|FiF2|二2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c),则点P的轨迹叫_________________ •这两个定点叫双曲线的___________ ,两焦点间的距离叫_________ .集合p 二{Ml |MFi| —|MF2|h 2a}, |FiF21二2c,其中a> c 为常数且a>0, c>0:⑴当 ________ 时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a二c时，P点的轨迹是________________ ;⑶当 ________ 时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程X1 2 y J尹芦I(a>0, b>0)y2 x2 1訂孑|(a>0, b>0)图形性质范囤x> a 或x〈一a, y € R x€ R, y<— a 或y > a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点Ai (— a, 0), A2 (a, 0)Ai (0, — a), A2 (0, a)渐近线7二土bx y 二土ax1 双曲线中a, b, c的关系双曲线屮有一个重要的RtA OAB(如右图)，它的三边长分别是a. b、c.易见凸a2+ b2,c i若记 / AOB 二0,贝U e二i二.a cos 02 双曲线的定义用代数式表示为| —|MF川二2a,其中2a< |FiF21,这里要注意两点：(1)距离Z差的绝对值.(2)2a<| FiF21.这两点与椭圆的定义有本质的不同：①当MFi|— |MF21 = 2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支;② 当|MFi| —|MF2〔二一2a 时，曲线仅表示焦点Fi 所对应的一支； ③ 当2a 二FiF2〔时，轨迹是一直线上以Fi 、F2为端点向外的两条射线; ④ 当2a>|FiF2〔时，动点轨迹不存在. 3. 渐近线与离心率x y三一存二1 (a>0, b>0)的一条渐近线的斜率为看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小. 1.已知点F i (— 4, 0)和F2(4,0),—曲线上的动点P 到Fi, F2距离之差为6,该曲线方程是 _____________________________________________________________________________ • 2. 双曲线m/+ y= 1的虚轴长是实轴长的2倍，贝V m 二 __________________________________ 3•已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中， 有一个内角为60 °则双曲线C 的离心率为 __________2 2 2x广1 Q>0, b>o)和椭圆 「6尸二1有相同的焦点，且双A Znn-i -1. I . -Z- \ ZJ /rn TH7 H+i Zrk°曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 _____________ . 5.若双曲线2-1 (a>0, b 〉0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的a b离心率为 ()1已知定点 A(0,7)、B(0, — 7)、C(12, 2),以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点 F 的轨迹方程.探究提高双曲线的定义理解到位是解题的关键•应注意定义屮的条件“差的绝对值”，弄清所 求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支.若是一支，是哪一支，以确保解答的正确性.在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ ABC 的顶点A(6, 0)和C(6, 0),若顶点B 在双曲线 吕一£二1的左支上，贝1」25 11sin A — sin CA. , 5题型一双曲线的定义 B. 5C. 2D. 2ba认2-「可以sin B -------------------- 题型二双曲线的标准方程(1)若双曲线的渐近线方程为y二±3x,它的一个焦点是(_10, 0),求双曲线的方程;⑵已知双曲线的渐近线方程为方程.4y二土x,并且焦点都在圆x2+ y‘二100 ±,求双曲线的题型三双曲线的几何性质3 屮心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点Fi, F2,且|FiF2二2 ,13,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4,离心率之比为3 : 7.(1)求这两曲线方程；⑵若P为这两曲线的一个交点，求cos/ F1PF2的值.探究提高在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多•由于e二°是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用甘二c2- /消去b,然后变形求e,并且需注意e>l .如图，已知Fi、F2为双曲线& b尸1 (a>0, b>0)的焦点，过F2作垂直于X轴的直线交双曲线于点P,且/ PF1F2二30 0求：(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程.题型四直线与双曲线的位置关系2 2过双曲线X_ y^l的右焦点2,Q a倾斜角为30°的直线交双曲线于A, B两点，0为坐标原点，Fi为左焦点.⑴求ABI；⑵求△ A0B的面积；⑶求证：|AF21+ |BF2|= |AFi|+ |BFi|.探究提高双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系•解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题. 设直线与双曲线交于A(xi, yi), B(X2, y£两点,直线的斜率为k,则|AB|= . 1 + k21xi -X2 .直线I: y二kx+ 1与双曲线C: 2x=— y— 1的右支交于不同的两点A、B .(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.10.忽视直线与双曲线相交的判断致误试题：(14分)已知双曲线疋一2二1，过点P(l,l)能否作一条直线I,与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的屮点学生解答展示审题视角(1)本题属探索性问题•若存在，可用点差法求出AB的斜率，进而求方程；也可以设斜率k,利用待定系数法求方程.(2)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验. 规范解答解设点A(Xi, yi), B(X2, y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x。
双曲线的准线方程及准线定义
双曲线的准线方程及准线定义【摘要】双曲线是一种重要的几何图形，其准线方程及准线定义是研究双曲线性质的关键内容。
双曲线具有两个分支，呈现出独特的形状特点。
其基本方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中准线方程是与双曲线切线垂直且通过双曲线中心的直线方程。
准线定义则是指在双曲线上与准线相交的点到双曲线焦点的距离之比始终为定值。
准线与渐近线的区别在于准线与双曲线的交点可以是无数个，而渐近线与双曲线只有两个交点。
准线在双曲线中具有重要性，通过准线方程可以更好地分析双曲线的性质。
准线方程的应用举例有助于理解其在实际问题中的作用，而准线定义则为解决相关问题提供了途径。
准线方程及准线定义对于研究双曲线的性质和应用具有重要意义。
【关键词】双曲线，准线方程，准线定义，特点，基本方程，准线与渐近线的区别，重要性，应用举例，实际意义1. 引言1.1 双曲线的准线方程及准线定义双曲线是解析几何中的一个重要概念，具有许多独特的性质和特点。
在双曲线的研究中，准线方程及准线定义是其中的重要内容之一。
双曲线的准线是指与双曲线的渐近线相切的直线。
在双曲线上的任意一点，都存在一条唯一的准线。
准线方程可以被表示为双曲线上一点的斜率和坐标来确定。
对于双曲线的标准方程\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，其准线方程可以写为y=x\cdot\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}}。
准线的定义是双曲线上的一条曲线，使得该曲线与双曲线的每一条切线在相交点处的夹角为直角。
准线是双曲线的重要性质之一，它可以在求解双曲线的一些问题中提供很大的便利。
准线与渐近线的区别在于，渐近线是无限远处与曲线相切的直线，而准线是与曲线上的某一点相切的直线。
在下文中，我们将详细探讨双曲线的特点、基本方程以及准线的应用等内容，以深入理解双曲线的性质和准线的重要性。
2. 正文2.1 双曲线的特点双曲线是平面解析几何中的一种重要曲线，具有许多独特的特点。
(完整版)双曲线及其标准方程详解
2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2想一想：如何判断方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程 【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二 双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y 轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c = 3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56解析：如图，||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a RR AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y-上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。
双曲线的定义及标准方程(整理2019年11月)
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
令b2 c2 a2
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
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特性 理解 2 1．课程设计的选题 第三节零件结构的工艺性简介 2 电阻应变式传感器 衡量学习是否达到目标的标准: 2011.2 第二讲 理解 习 第五节 动态特性图等。3.practice 一、课程基本信息 学生应具备一定的电子电路知识和初步的电路分析能力。3）平面与球相交 二、课 程性质与教学目的 时：32（讲授26 and 李雅普诺夫函数，掌握重要自动化专业术语 重点与难点：掌握电力电子器件驱动电路的基本要求；第三节 确定供电电源（电压、供电方式、回路数），了解 掌握 2010年 能按教学大纲独立完成基本设计，（4）制作样机和调试 1 C++语言是在 软件设计中的流行工具，元件属性的编辑。料斗关闭，5 晶体管的共射输入输出特性曲线；3、说明： 第四章 电子
双曲线及其标准方程
若此方程表示椭圆，m 的取值范围？
小结
双曲线定义
m MF MF
1
2
2a(2a F1F2 )
a ( F1、F为定点， 为常数) 2
图形
标准方程
焦点坐标
x2 y 2 2 1(a 0，b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a 0，b 0) 2 a b
0) F1 ( c， 0) F2 (c，
x y (5) 2 2 1(m 0) m m +1
双曲线及标准方程 例1：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)求到这 两点的距离之差的绝对值为8的点的轨 迹方程。
解：8〈10，由定义，所求的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线， 设它的标准方程为：
x y 2 1 (a 0, b 0) 2 a b
y2 x 2 + 1(a b 0) a 2 b2
c2=a2+b2
c>a>0 a>0 b>0
x 2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y2 x 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
焦点在x轴上 方程 焦点在y轴上
大定轴
正定轴
请判断下列方程哪些表示双曲线？并说出焦点 位置和的a,b,c.
x y 1. 1 16 9
y x 2. 1 16 9
2 2
2
2
F (±5,0)
F (0,±5)
椭圆与双曲线比较
椭圆 定义： |MF1|+|MF2|=2a 双曲线 ||MF1|-|MF2||=2a
a,b,c关系
a2=b2+c2 a>c>0 a>b>0
双曲线的定义及其标准方程
双曲线的定义及其标准方程
双曲线是一个平面曲线，其形状类似于两个向外开口的抛物线。
它的定义是：点F（称为焦点）到平面上任意一点P的距离与点P到一条直线L（称为准线）的距离之差为定值e（称为离心率）的点P的轨迹。
双曲线的离心率e大于1。
双曲线的标准方程是：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a是双曲线的横轴长度的一半，b是双曲线的纵轴长度的一半。
焦点到准线的距离为c，有以下关系式：$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$
双曲线有两条渐近线，分别是直线y=±b/a×x。
双曲线的形状和位置可以通过a、b和c的值来确定。
当a>b时，双曲线开口方向沿着横轴；当b>a时，双曲线开口方向沿着纵轴。
双曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
在数学中，双曲线是一种基本的曲线形式，被广泛用于微积分、代数和几何学中；在物理学中，双曲线的形状出现在许多问题中，如天体力学和电磁学中的场线。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)第一章：双曲线的概念引入1.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的起源和发展历程。
(2) 通过实例让学生感受双曲线的几何性质。
1.2 教学内容：(2) 双曲线的历史：介绍双曲线在数学、天文学和物理学等领域的应用，让学生了解双曲线的重要性。
(3) 双曲线的图形展示：利用多媒体展示双曲线的图形，让学生感受双曲线的美丽和神秘。
1.3 教学方法：(1) 实例分析：通过具体的例子，让学生感受双曲线的特点。
(3) 多媒体展示：利用多媒体展示双曲线的图形，增强学生的直观感受。
第二章：双曲线的标准方程2.1 教学目标：(1) 使学生掌握双曲线的标准方程及其实际应用。
(2) 培养学生利用双曲线标准方程解决实际问题的能力。
2.2 教学内容：(1) 双曲线的标准方程：介绍双曲线标准方程的推导过程，让学生理解并掌握双曲线标准方程。
(2) 双曲线标准方程的应用：通过实例，让学生了解双曲线标准方程在实际问题中的应用。
2.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线标准方程的推导过程，利用图形演示双曲线标准方程的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线标准方程的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线标准方程的计算，分组讨论解决问题。
第三章：双曲线的性质3.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的基本性质。
(2) 培养学生利用双曲线性质解决实际问题的能力。
3.2 教学内容：(1) 双曲线的性质：介绍双曲线的几何性质，如渐近线、离心率等。
(2) 性质的应用：通过实例，让学生了解双曲线性质在实际问题中的应用。
3.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线的性质，利用图形演示性质的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线性质的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线性质的计算，分组讨论解决问题。
第四章：双曲线方程的求解4.1 教学目标：(1) 使学生掌握求解双曲线方程的方法。
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程双曲线是解析几何中的一种重要曲线，它具有许多独特的性质和特点。
在本文中，我们将介绍双曲线的标准方程及其相关知识。
首先，我们来看一下双曲线的定义。
双曲线是平面上一种特殊的曲线，其定义方式可以有多种，其中一种较为常见的定义是，设F1、F2为平面上的两个定点，且2a是两个定点之间的距离。
对于平面上的任意一点P(x, y)，其到两个定点的距离之差等于常数2a，即|PF1 PF2| = 2a。
这样的曲线就是双曲线。
双曲线的标准方程有两种形式，分别是横轴与纵轴平行的情况。
我们先来看横轴与纵轴平行的情况。
1. 横轴与纵轴平行的双曲线。
设双曲线的中心为C(h, k)，横轴与纵轴的交点分别为A(h + a, k)和B(h a, k)，则双曲线的标准方程可以表示为：$\frac{(x h)^2}{a^2} \frac{(y k)^2}{b^2} = 1$。
其中a为横轴的半轴长，b为纵轴的半轴长。
另外，双曲线的焦点到中心的距离为c，满足c^2 = a^2 + b^2。
2. 纵轴与横轴平行的双曲线。
当双曲线的纵轴与横轴平行时，其标准方程为：$\frac{(y k)^2}{a^2} \frac{(x h)^2}{b^2} = 1$。
同样地，a为纵轴的半轴长，b为横轴的半轴长，焦点到中心的距离为c，满足c^2 = a^2 + b^2。
双曲线是解析几何中的重要内容，它在许多领域都有着重要的应用。
在物理学中，双曲线常常出现在光学、电磁学等领域的研究中；在工程学中，双曲线也被广泛应用于信号处理、控制系统等领域。
因此，深入理解双曲线的性质和特点对于我们的学习和工作都具有重要意义。
总之，双曲线是解析几何中的重要内容，其标准方程的掌握对于我们的学习和工作都具有重要的意义。
通过本文的介绍，希望读者能够对双曲线有更深入的理解，并能够在实际问题中灵活运用双曲线的相关知识。
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为常数的点的轨迹是什么？
M，假设
|MF
|MF1|
那么由这个实验我们得出一个结论：
“平面内两个定点
但大家思考一下这个结论对不对
我们知道在椭圆定义里，到两定点的距离和为一个常数，这个常数那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和
定义：平面内与两定点|F1
）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c＞0），那么，焦点
与，的距离的差的绝对值等于常数2a
±2a}
（c
2a
，代入上式，得
观察双曲线的标准方程和椭圆标准方程，思考几个问题：
a=3,b=4焦点在
解：因为焦点在
解：由a
又因为焦点在。
=4+9=13
轴上;
）
大
焦点位置与分母大小相对应。