人猫鸡米过河问题
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摘要:
本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题:人带着猫、鸡、米过河,船除需要人划之外,至多能载猫、鸡、米三者之一,而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个过河方案,建立数学模型,并使渡河次数尽量地少?模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。
问题的重述:
人带着猫、鸡、米过河,船触需要人划之外,至多能载猫、鸡、米三者之一,而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个安全过河方案,并使渡河次数尽量地少。
模型假设
不考虑外界其他影响,只考虑问题所述的条件。
符号说明
i=1人
i=2猫
i=3鸡
i=4米
Xi=1在此岸
在对岸
xi=0
S=(x1,x2,x3,x4)此岸状态
S’=(1-x1,1-x2,1-x3,1-x4)对岸状态
d=(u1,u2,u3,u4)乘船方案
ui=1i在船上时
ui=0i不在船上
Sk第k次渡河前此岸的状态
dk第k次渡河的决策
问题分析
安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。每作出一步决策,都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。否则,不仅难以实现过河的最优化,而且还容易出现事物的不安全性。因此,在保证安全的前提下,即猫、鸡在一起时,人要在场,鸡、米在一起时,人也要在场,用状态变量s表示某一岸的状况,决策变量d表示是乘车方案,我们容易得到s和d的关系,其中问题的转化要在允许变化范围内,确定每一步的决策关系,从而达到渡河的最优目标。
模型建立与求解
Ⅰ. 模型的建立:
人、猫、鸡、米分别记为i=(1,2,3,4),当i在此岸时记xi=1,否则记xi=0,则此岸的状态可用S=(x1,x2,x3,x4)表示。记s的反状态为S’=(1-x1,1-x2,1-x3,1-x4,允许状态集合为
S={(1,1,1,1,)(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(1,0,1,0)}
(1)
以及他们的5个反状态。
决策为乘船方案,记作d=(u1,u2,u3,u4),当i在船上时记ui=1,否则记ui=0,允
许决策集合为
D={(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)} (2)
记第k 次渡河前此岸的状态为k s ,第k 次渡河的决策为k d ,则状态转移律为
(3)
设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ,使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态s1=(1,1,1,1,)经n 步达到sn+1=(0,0,0,0)。
Ⅱ. 模型的求解:
从而我们得到一个可行的方案如下:
因此,该问题的最优方案是:1、人先带鸡过河,然后人再回来,把米带过河,然后把鸡运回河岸,人再把猫带过河,最后人回来把鸡带过去。
模型评价与推广
(Ⅰ)优点:
1、模型简单,切合实际,易于理解;
2、建立了合理、科学的状态转移的模型。
3、结合实际情况对问题进行求解,使得模型具有很好的通用性和推广性; (Ⅱ)缺点:
由于问题的求解没有使用LINGO 或MATLAB 软件,当状态和决策过多时,采用上述方法求解显得繁琐,容易出错。
(Ⅲ)推广:
正如课本上的商人们安全过河问题,当商人和随从人数增加或小船的容量加大时,靠逻辑思考就有些困难了,而适当地设置状态和决策,确定状态转移率,建立多步决策模型,仍可方便有效地求解此类型问题。
参考文献:
【1】 杨启帆,边馥萍. 数学建模. 浙江大学出版社,1990
【2】 姜启源,谢金星,叶俊. 数学建模. 第三版.北京:高等教育出版社,2003