初中数学竞赛题汇编代数部分1
初中数学竞赛专题复习第一篇代数第章实数试题新人教版
第一篇代数第1章实数1．1实数的运算 1．1．1★计算：201320142014201420132013⨯-⨯．解析 将20142014及20132013分别分解为两数的积，得 201420142014100002014201410001-⨯+=⨯， 201320132013100002013201310001=⨯+=⨯，所以，原式201320141000120142013100010⨯⨯-⨯⨯==． 评注一般地有101abab ab =⨯；1001abcdc abc =⨯；10001abcdabcd abcd =⨯；…1.1.2★计算：12324671421135261072135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯．解析 原式()()12312227771351222777⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯25=． 1.1.3★计算：111122399100+++⨯⨯⨯． 解析原式111111991122399100100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 评注 在做分数加减法运算时，根据特点，将其中一些分数适当拆开，使得拆开后有一些分数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法．本例中，我们把()11n n ⨯+拆成111n n -+，即有()11111n n n n =-⨯++． 其他常用的拆项方法如： (1)()11d n n d n n d =-⨯++()1111n n d d n n d ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⨯++⎝⎭⎢⎥⎣⎦或．它经常用于分母各因子成等差数列，且公差为d 的情形． (2)()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=⨯-⎢⎥⨯+⨯+⨯++⨯+⎢⎥⎣⎦．1.1.4★计算：11111111111854108180270378504648810990+++++++++． 解析原式111111136699121215151818212124=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111242727303033+++⨯⨯⨯ 111111336369⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111391233033⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11110333399⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯．解析因为()()()()()1111122112k k k k k k k ⎛⎫=- ⎪ ⎪+++++⎝⎭，所以 原式11111111121223223342989999100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭11149492129910019800⎛⎫=-=⎪⨯⨯⎝⎭． 1.1.6★★计算：111112123123412100+++++++++++++．解析因为()121121211n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭，所以 原式2222233445100101=++++⨯⨯⨯⨯119922101101⎛⎫=-=⎪⎝⎭． 1.1.7★★设2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭，求与A 最接近的正整数．解析 对于正整数3n ≥，有 211114422n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭， 所以2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭111111481429856102⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+++-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111112123499100101102⎛⎫=⨯+++---- ⎪⎝⎭1111251299100101102⎛⎫=-⨯+++ ⎪⎝⎭．因为111141121299100101102992⎛⎫⨯+++<⨯< ⎪⎝⎭，所以，与A 最接近的正整数为25．1.1.8★★2008加上它的12得到一个数，再加上所得的数的13又得到一个数，再加上这次得数的14又得到一个数，…，依此类推，一直加到上一次得数的12008．最后得到数为111342009200820092008111200820170362320082320082⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯+=⨯⨯⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．1111112233420122013++++⨯⨯⨯⨯．解析 因为111112233420122013++++⨯⨯⨯⨯1111112012112232012201320132013⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以120131111201212233420122013=++++⨯⨯⨯⨯． 1.1.10★计算：123420072008S =-+-++-．解析()()()()()()10041234200720081111004S =-+-++-=-+-++-=-共个1.1.11★★计算：1223341920⨯+⨯+⨯++⨯．解析 因为1121233⨯=⨯⨯⨯，()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯， ()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯， ……()119201920211819203⨯=⨯⨯-⨯⨯， 所以 1223341920⨯+⨯+⨯++⨯ ()()111123234123192021181920333=⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯ 119202126603=⨯⨯⨯=． 1.1.12★★计算：123234345282930⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯． 解析 123234345282930⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ ()()1111234234512342829303127282930444=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 1282930314188790=⨯⨯⨯⨯=． 1.1.13★★计算：21001111222++++．解析设21001111222S =++++，则 21001011111122222S =++++， 所以10111122S S -=-，故100122S =-． 评注一般地，对于求和：21n q q q ++++，我们常常采用如下方法，令21n S q q q =++++， 则21n n qS q q q q +=++++，于是11n S qS q +-=-， ()1111n q S q q+-=≠-．1.1.14★★计算：2101111333++++． 解析设2101111333S =++++，则210111111133333S =++++，所以 1111133S S -=-，1031223S =-⨯． 1.1.15★计算：1111111111112319992199821999231998⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 解析设111231999a =+++， 111231998b =+++， 则原式()()1111999a b a b a b =+-+=-=．1.1.16★★计算下列繁分数： 111111111131355-----（2008个减号）．解析 先耐心地算几步，从中发现规律．可将355113用字母a 代替（这样可以得到更一般的结论）．自下而上逐步算出111a a a--=， 1111111a a a a a--=-=---， ()111111a a a -=+-=--． 由此可见，每计算3步，a 又重新出现，即3是一个周期．而200836691=⨯+，所以，原式111a a a -=-=．特别地，在355113a =时，得出本题的答案是1132421355355-=．1.1.17★★比较1234248162n n nS =+++++与2的大小． 解析先将n S 中的每一个数拆成两数的差：13222=-，234424=-，345848=-，45616816=-，，112222n n n n n n -++=-． 所以，133445561222244881622n n n n n S -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2222nn +-<， 好2n S <1.1.18★★★已知1166126713681469157010011651266136714681569a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，问：a 的整数部分是多少？解析 我们只要估算出a 在哪两个相邻整数之间即可．1166126713681469157010011651266136714681569a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭()()()()()116511266113671146811569110011651266136714681569⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭11651112661213671314681415691510011651266136714681569⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭1112131415110011651266136714681569++++⎛⎫=+⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭100b =+．这里111213141510011651266136714681569b ++++⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭，下面进一步估计b 介于哪两个相邻整数之间．111213141511121314151001001165126613671468156911651265136514651565b ++++++++⎛⎫⎛⎫=⨯<⨯ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭⎝⎭()1112131415100100211121314156565++++=⨯=<++++⨯，111213141510011651266136714681569b ++++⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭111213141510011691269136914691569++++⎛⎫>⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭()1112131415100100111121314156969++++=⨯=>++++⨯． 所以，12b <<，101102a <<．即a 的整数部分是101．1.1.19★★在数210，310，410，510，610，710，810，910的前面分别添加“+”或“-”，使它们的和为1，你能想出多少种方法？解析这8个有理数的分母都是10，只要2，3，4，5，6，7，8，9这8个整数的代数和为10即可，而23944+++=，所以添加“+”或“-”后，正数的和应为()12744102⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．方法很多．如2345678911010101010101010+++++--=， 2345678911010101010101010-+++-++-=， 2345678911010101010101010-+-+++-=， 2345678911010101010101010-++-+-+=， 2345678911010101010101010+-+--++=等． 1.1.20★★计算()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++．解析 因为()()()()()244222222226416641681648482424a a a a a a a a a a a a +=++-=+-=++-+⎡⎤⎡⎤=++-+⎣⎦⎣⎦，所以，原式等于()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222222222222222222225494134174214254294334374414145494134174214254294334374+++++⋅++++++++++⋅+++++2241433714+==+． 1.1.21★★★求和：242424241231001111221331100100++++++++++++．解析因为()()()22422221111k k k k k k k k ++=+-=-+++，所以 ()()24111121111kk k k k k k ⎛⎫=- ⎪ ⎪++-+++⎝⎭， 原原式111111120111211212319910011001011⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦115050121010110101⎛⎫=-=⎪⎝⎭． 1.1.22★★已知21122221nn n n na ++=--+，其中n 为正整数，证明： 1220131a a a +++<．解析 注意到()()1121121212121n n n n n na ++==-----， 所以 122013a a a +++22320132014111111212121212121=-+-++-------201411121=-<-．1.1.23★★★求下列分式的值：222222129911005000220050009999005000+++-+-+-+． 解析 由于()()()222210010050001001001005000k k k k k k -+-+---+ ()()()222222210022100100k k k k k k-=+=+--+．由此， 原式2222222222199495150110050009999005000494900500051510050005050005000⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪-+-+-+-+-+⎝⎭⎝⎭99121992-=⋅+=． 评注 对通项的分子分母同乘2，发现可以首尾配对是本题的关键． 1.1.24★★设3333111112399S =++++，求4S 的整数部分． 解析对于2k =，3，，99，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎛⎫<=- ⎪ ⎪-+-⎝⎭， 所以333111112399S <=++++11112299100⎛⎫<+- ⎪⨯⎝⎭54<， 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．1.2实数与数轴 1.2.1★数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，试化简a b b a b a a ++-+--．解析 由图可知0a <，0b >，而且由于a 点离原点的距离比b 点离原点的距离大，因此0a b +<．我们有a b b a b a a ++-+-- ()()()a b b a b a a =-++-+---()2a b b a b a --+-+--b =．评注本题由图，即数轴上a 、b 两点的位置，“读”得0a <，0b >，0a b +<等条件，从而去掉绝对值符号，解决问题．1.2.2★已知3x <-，化简：321x +-+． 解析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．原式()321x =+++（因为10x +<） ()3333x x =++=-+（因为30x +<）x x =-=-．1.2.3★若0x <，化简23x x x x---．解析因为0x <，所以30x -<，从而 x x =-，()333x x x -=--=-， ()333x x x x --=---=， 2233x x x x x x -=--=-=-．因此，原式33xx -==-． 评注根据所给的条件，先确定绝对值符号内的代数式的正负，然后化去绝对值符号．若有多层绝对值符号，即在一个绝对值符号内又含有绝对值符号（如本题中的分子2x x -），通常从最内层开始，逐层向外化去绝对值符号．1.2.4★化简：3121x x ++-． 解析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简31x +，只要考虑31x +的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们是分13x -≥是一个分界点．类似地，对于21x -而言，12x =是一个分界点．为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点13-和12标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图所示），即13x <-，1132x -<≤，12x ≥．32这样我们就可以分类讨论化简了．（1）当13x <-时，原式()()31215x x x =-+--=-；（2）当1132x -<≤时，原式()()31212x x x =+--=+；（3）当12x ≥时，原式()()31215x x x =++-=． 即15,31131212,3215,2x x x x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪++-=+<⎨⎪⎪⎪⎩-当时;当-≤时当≥时评注 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数成分几个部分，根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．1.2.5★设0a <，且ax a≤，试化简 12x x +--．解析 因为0a <，a a =-，所以1a a a a ==--．a x a≤，即1x -≤，所以 10x +≤，20x -<，因此()()1212x x x x +--=-+---⎡⎤⎣⎦123x x =--+-=-．1.2.6★★化简121x x --++． 解析先找零点．由10x -=得1x =．由120x --=即12x -=，得12x -=±， 从而1x =-或3x =．由10x +=得1x =-．所以零点共有1-，1，3三个．因此，我们应将数轴分成4个部分，即 1x <-，11x -<≤，13x <≤，3x ≥． 当1x <-时，原式()()121x x =---+-+⎡⎤⎣⎦ 11x x =----1122x x x =----=--． 当11x -<≤时，原式()12111x x x x =---++=--++1122x x x =+++=+． 当13x <≤，原式121x x =--++ 31x x =-++314x x =-++=． 当3x ≥时，原式121x x =--++ 313122x x x x x =-++=-++=-．即原式22,1,22,114,1322,3x x x x x x x --<-⎧⎪+-<⎪=⎨<⎪⎪-⎩≤≤≥评注 由于本例中含又重绝对值，采用零点分段法时，不要忘了考虑12x --的零点．1.2.7★★若245134x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此常数的值． 解析要使原式对任何数x 恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x 的项相加为零，即x 的系数之和为零，故本题只有2530x x x -+=一种情况．因此必须有4545x x -=-且1331x x -=-．故x 应满足的条件是450,310x x -⎧⎨-⎩≥≥ 解得1435x ≤≤．此时，原式()()2451347x x x =+---+=．1.2.8★★如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大和最小值． 解析（1）当10x -<≤时，有122y x x x =+-+-()12223x x x x =++--=+，所以13y <≤． （2）当02x ≤≤时，有 ()12212232y x x x x x x x=+-+-=+---=-，所以13y -≤≤．综上所述，y 的最值是3，最小值是1-．1.2.9★★求代数式111213x x x ++-++的最小值．-11-13解析设111213y x x x =++-++，根据绝对值的几何意义，我们知道y 表示数轴上对应x 的点到对应12、11-、13-的点的距离之和，下面分类讨论：当12x ≥时，1325y x >+≥； 当13x -≤时，1225y x >-≥；当1312x -<<时，121325y x x -++=≥． 因此，当11x =-时，y 取最小值25．1.2.10★★如果m 为有理数，求代数式1356m m m m -+-++++的最小值．解析 分6m -≤，65m -<-≤，51m -<≤，13m <≤，3m >五个部分进行讨论．去掉绝对值符号，经过化简得到：当6m -≤时，原式47m =--，最小值为17； 当65m -<-≤时，原式25m =-+，最小值为15； 当51m -<≤时，原式15=，是一固定值；当13m <≤时，原式215m =+，最小值大于15； 当3m >时，原式47m =+，最小值大于15． 综上所述，原代数式的最小值为15．评注 此题还可以用绝对值的向何意义求解．本题就是要在数轴上找一点x ，使它到6-、5-、1、3的距离之和最小．这一点显然应在5-与1之间（包括这两点）的任意一点，它到6-、5-、1、3的距离之和为15，就是要求的最小值．1.2.11★★已知1x ≤，1y ≤，且 124k x y y y x =++++--，求k 的最大值和最小值．解析由题设条件知：11x -≤≤，11y -≤≤．于是10y +≥，240y x --<．所以 （1）当0x y +≤时，有 124k x y y y x =++++-- ()()124x y y y x =-+++---25y =-+，所以 37k ≤≤． （2）当0x y +≥时，有()12425k x y y y x x =+++---=+，所以 37k ≤≤．因此，k 的最大值是为7，最小值为3． 1.2.12★★已知26141y x x x =++--+，求y 的最大值．解析 首先使用“零点分段法”将y 化简，然后在各个取值范围内求出y 的最大值，再加以比较，从中选出最大者．有三个分界点：3-，1，1-．（1）当3x -≤时，()()()261411y x x x x =-+--++=-，由于3x -≤，所以14y x =--≤，y 的最大值是4-．（2）当31x --≤≤时，()()()26141511y x x x x =+--++=+，由于31x --≤≤，所以45116x -+≤≤，y 的最大值是6．（3）当11x -≤≤时，()()()2614133y x x x x =+---+=-+，由于11x -≤≤，所以0336x -+≤≤，y 的最大值是6．（4）当1x ≥时，()()()261411y x x x x =++--+=-+，由于1x ≥，所以10x -≤，y 的最大值是0． 综上可知，当1x =-时，y 取得最大值为6． 1.2.13★★★设a b c d <<<，求 x a x b x c x d -+-+-+-的最小值．解析 设a 、b 、c 、d 、x 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C 、D 、X ，则x a -表示线段AX之长，同理，x b -，x c -，x d -分别表示线段BX ，CX ，DX 之长，现要求x a -，x b -，x c -，x d -这和的值最小，就是要在数轴上找一点X ，使该点到A 、B 、C 、D 四点距离之和最小．因为a b c d <<<，所以A 、B 、C 、D 的排列应如图所示：所以当X 在B 、C 之间时，距离和最小，这个最小值为AD BC +，即()()d a c b -+-． 1.2.14★★a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值． 解析当0a b +≥时，由a b a b a b +=+=-得b b =-，故此时0b =．当0a b +<时，由()a b a b a b a b +=-+=--=-，得a a -=，故此时0a =． 所以，不管是0a b +≥还是0a b +<，a 、b 中至少有一个为0，因此，0ab =． 1.2.15★★若a 、b 、c 为整数，且19991a b c a-+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值．解析因为a 、b 、c 均为整数，则a b -，c a -也应为整数，且19a b -，99c a -为两个非负整数，和为1，所以只能是190a b -=且991c a-=，① 或者191a b -=且990c a -=．②由①有a b =且1c a =±，于是1b c c a -=-=；由②有c a =且1a b =±，于是1b c a b -=-=．无论①或②都有1b c -=且1a b c a -+-=，所以 2c a a b b c -+-+-=．1.2.16★★★将1，2，…，100这100个正整数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式()12a b a b -++中进行计算，求出其结果，50组都代入后可求得50个值，求这50个值的和的最大值．解析代数式()12a b a b -++的值就是a 、b 中的较大数，为保证所计算出的50个值之和最大，分组时不要把51，52，…，100这50个数中任两个分成一组即可．对于任意一组中的两个数a 、b ，不妨设a b >，则代数式()()1122a b a b a b a b a -++=-++=． 于是这50个值之和与大数a 有关，所以，这50个值的和的最大值为 51521003775+++=．1.2.17★★★设n 个有理数1x ，2x ，…，n x 满足()11,2,,i x i n <=，且121219nnx x x x x x +++=++++，求n 的最小值． 解析先估计n 的下界，由1i x <，及120n x x x +++≥，知12n n x x x >+++ 121919n x x x =++++≥，所以，20n ≥． 又当20n =时，取 0.95,1,3,5,,19,0.95,2,4,6,,20,i i x i =⎧=⎨-=⎩ 满足已知条件，所以，正整数n 的最小值为20． 1.3实数的判定1.3.1★★证明循环小数2.61545454 2.6154=是有理数．解析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．设2.6154x =，①两边同乘以100得100261.54264.5454x ==．② ②-①得99261.54 2.61258.93x =-=， 所以258939900x =． 既然x 能写成两个整数比的形式，从而也就证明了2.6154是有理数．1.3.2★★已知x 是无理数，且()()13x x ++是有理数，在上述假定下，分析下面四个结论是：（1）2x 是有理数；（2）()()13x x --是无理数； （3）()21x +是有理数； （4）()21x -是无理数． 哪些是正确的？哪些是错误的？ 解析取无理数2x ，这时()())13112x x ++==是有理数，而)2214x ==-1）不正确．仍取2x =，仿上可知结论（3）不正确．由于()()()()221343438138x x x x x x x x x x --=-+=-+-=++-，且()()13x x ++是有理数，8x 是无理数，故()()13x x --是无理数，即结论（2）正确．同样，由()()()211362x x x x -=++--，知结论（4）正确． 1.3.3)11112225n n -个个是有理数．解析 要证明所给的数能表示成mn （m ，n 为整数，0n ≠）的形式，关键是要证明()1111n -个2225n 个是完全平方数．()11112225n n -个个()1111110222105n n n +-=++⨯+个个1110110110210599n n n -+--=⨯+⨯⨯+()2111101021020459n n n ++=-+⨯-+ ()()22111010102510599n n n =+⨯+=+， 所以)131112225105nn n -=+个个．因为105n +与3)11112225n n -个个是有理数．1.3.4解析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．pq（p、q是互质的正整数），两边平方有222p q=，①所以p一定是偶数．设2p m=（m是正整数），代入①得2242m q=，222q m=，所以q也是偶数．p、q均为偶数和p与q是无理数．评注只要p就一定是无理数，这个结论的证明并不困难，请自行完成．1.3.5★★设n是有理数，则n必是完全平方数；反过来，如果n是有理数（而且是正整数）．qp=（p、q为互质的正整数），从而22np q=．①我们知道，任何一个平方数的质因数分解式中，每一个质因数的指数都是正偶数（反过来也成立）；而非平方（自然）数的质因数分解式中，至少有一个质因数的指数是奇数．由此可见，如果n不是完全平方数，那么无论n与2p有无相同的质因数，在2np的质因数分解式中，至少有一个质因数的指数是奇数，即2np不是平方数．这样①式不可能成立．所以，n是完全平方数．评注本题是一个重要的结论，它可作为定理使用，读者应熟悉它．有了这个结论，1.3.6★★设a、b解析由于负数不能开平方，故由题设知a、b都是非负整数．若0a=或0b=，易知结论成立．若a、b=2b a =-+，2a b+-．由所设a 、b从而a 是平方数，是整数．1.3.7★★求满足等式1=+的有理数x 、y ．解析把原式两边立方，得())23251632y y y =++．因x 、y 是有理数，故231625,32y x y y⎧+=⎪⎨=+⎪⎩ 解得22x =，2y =或22x =-，2y =-，易检验它们都满足原式． 1.3.8★★求满足条件的正整数a 、x 、y ． 解析将原式两边平方得 ax y -+-．①显然，a -x y +-为无理数．由①式变形为 2x y a +-=．假设0x ya +-≠()0k k ≠k ，所以有k =，两边平方得 262xy k =+，所以226xyk --．因为0k ≠，所以226xy k --是有理数，矛盾．所以0x y a +-=0． 所以,6.x y a xy +=⎧⎨=⎩0>，所以x y >，所以满足条件的正整数为：6x =，1y =，7a =或3x =，2y =，5a =．1.3.9★★若1122a b a b αα+=+（其中1a 、2a 、1b 、2b 为有理数，α为无理数），则12a a =，12b b =，反之，亦成立．解析 设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．将原式变形为()1221b b a a α-=-．若12b b ≠，则2112a ab b α-=-．因为α是无理数，而2112a ab b --是有理数，矛盾．所以必有12b b =，进而有12a a =． 反之，显然成立．评注 本例的结论是一个常用的重要运算性质． 1.3.10★★设a 与b 是两个不相等的有理数，试判断实数是有理数还是无理数，并说明理由．解析是有理数，设其为A ，即A =．整理得a Ab +由1.3.9题知 a Ab =，1A =，即a b =，这与已知a b ≠是无理数．评注本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结论．解这样的问题时，可以先找到一为有理数作为立足点，以其作为推理的基础．1.3.11★★★已知a 、b 是两个任意有理数，且a b <，求证：a 与b 之间存在着无穷多个有理数（即有理数集具有稠密性）．解析 只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明． 因为a b <，所以22a a b b <+<，所以2a ba b +<<． 设12a ba +=，1a 显然是有理数（因为a 、b 为有理数）．因为1a b <，所以，同理可证112a b a b +<<．设122a ba +=，2a 显然也是有理数，依此类推，设12n n ab a ++=，n 为任意正整数，则有12n a a a a b <<<<<<，且n a 为理数，所以在a 和b 之间存在无穷多个有理数．1.3.12★★★已知在等式ax bS cx d+=+中，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数，问：（1）当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，S 是有理数； （2）当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，S 是无理数． 解析（1）当0a c ==，0d ≠时，bS d=为有理数． 当0c ≠时，有()ax b a bc adS cx d c c cx d +-==+++， 所以，只有当0bc ad -=，即ad bc =时，S 为有理数．故当0a c ==，且0d ≠；或0c ≠，且ad bc =时，S 为有理数． （2）当0c =，0d ≠，0a ≠时，a bS x d d=+为无理数． 当0c ≠时，有()a bc adS c c cx d -=++， 故只有当0bc ad -≠，即ad bc ≠时，S 为无理数．所以，当0c =，0a ≠，0d ≠；或0c ≠，ad bc ≠，S 为无理数．1.3.13★★已知a 、b 是两个任意有理数，且a b <，问是否存在无理数α，使得a b α<<成立？解析 因为a b <10>，所以))11a b <，)1b a <+．①又因为a b b <=+，所以a b +-<，即)1b a +<．②由①，②有)1b a <-+<，所以1b aa b -+<<． 取)122b ab a b α+-==()2a b b -=+因为b 、2a b -是有理数，且02a b -≠，所以2a bb -+即存在无理数α，使得a b α<<成立．1.3.14b ，求4321237620b b b b +++- 的值．解析 因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这类涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分（这是容易确定的），然后再寻求其小数部分的表示方法．因为91416<<，即34<33b +，两边平方得 21496b b =++， 所以265b b +=．()()()()4324322222123762026366206620b b b b b b b b b b b b b +++-=+⋅+++-=+++- 2552010=+-=．1.3.15★★已知：p、q 是有理数，x =，且满足30x px q -+=，试求p q -的值． 解析将x =代入方程30x px q -+=，得30p q -+=⎝⎭，化简，得(2420p p q --+=． 因为p 、q 都是有理数，则 20,420p p q -=⎧⎨-+=⎩解方程组，得2,1.p q =⎧⎨=-⎩所以3p q -=．评注 本题应用到了性质：若a 、b 为有理数，p 为无理数，00a bp a b +=⇔==．1.3.16★★若n 为正整数，求证：必为无理数．解析 只需证4322221n n n n ++++为非完全平方数．而这只要证明它位于两个相邻的正整数的平方之间即可．因为()()()43224322432222212212n n n n n n nnn n n n n n ++++=+++++>++=+，又因为()2432432423222221232112221n n n n n n n n n n n n n n n ++++<++++=+++++=++， 所以()()222432222211n n n n n n n n +<++++<++．而()22n n +与()221n n ++是两个相邻的整数的完全平方数，它们之间一定没有完全平方数．因则对任意的正整数n ，数4322221n n n n ++++不可能是完全平方数，1.3.17★★★若m 、n 是正整数，a 、d 是实数，问是否存在三个不的素数p 、q 、r a =，a md =+a nd +？解析 假设存在三个不同的素数p 、q 、r a a md =+a nd =+．其中，a 、d 为实数，m 、n 是正整数．消去a 、d ，得mn=，即(m n -． ①①式的两边立方，得()3333m r n q m n p --=-．②将①式中的 (()3333mn m n m r n q m n p -=---．p 、q 、r a ，a md =+a nd =+．1.3.18★★★★设n a 是2222123n ++++的个位数字，1n =，2，3，…，求证：0．123na a a a 是有理数．解析 有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证1230.na a a a 是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．计算n a 的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…．发 现：200a =，211a a =，222a a =，233a a =，…，于是猜想：20k k a a +=，若此式成立，说明120.na a a 是由20个数字组成循环节的循环小数，即120.0.15405104556095065900na a a =．下面证明20k k a a +=． 令()22212f n n =+++，当()()20f n f n +-是10的倍数时，表明()020f n +与()f n 有相同的个位数，而()()20f n f n +- ()()()2221220n n n =++++++()()2222102421220n n =+⋅++++．由前面计算的若干值可知：2221220+++是10的倍数，故20k k a a +=成立，所以120.na a a 是一个有理数． 1.3.19★★已知x y +、x y -、xy 、xy均为有理数，如果它们中有三个数相等，求x 、y 的值．解析 依题意，0y ≠，否则xy无意义． 若x y x y +=-，则0y =，矛盾． 所以x y x y +≠-．若0x =，则由x y xy +=或x y xy -=都得到0y =，矛盾．所以0xy ≠．因此，三个相等的代数式只能是：（1）x x y xy y +==或（2）xx y xy y -==．由,0x xy y x ⎧=⎪⎨⎪≠⎩得211y y =⇒=±． 当1y =时，由（1）得x y x +=，矛盾；由（2）得1x x -=，矛盾．所以1y ≠． 当1y =-时，由（1）得1x x -=-，21x =，12x =． 由（2）得1x x +=-，21x =-，12x =-．所以12x =±，1y =-．1.3.20★★★[]x 表示不超过实数x 的最大整数，令{}[]x x x =-．（1）找出一个实数x 满足{}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭；（2）证明：满足上述等式的x ，都不是有理数．解析 设[]x m =，{}x α=，1n x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1x β⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则m 、n 是整数，0α≤，1β<．由题设1αβ+=，所以11x m n m n xαβ+=+++=++， ()2110x m n x -+++=，(112x m n =++．令13m n ++=，则(132x =，再验证它满足 {}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭． （1）取x，则1x ，于是{}2x =-=，1x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以 {}11x x ⎧⎫+==⎨⎬⎩⎭． （2）设x m α=+，1n x β=+，其中m 、n 是整数，0α≤，1β<．则1αβ+=，11x m n x+=++．于是()2110x m n x -+++=，(112x m n =++．当()214m n ++=时，1x =±，均不满足{}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭． 当()214m n ++>时，若()2214m n k ++-=，其中k 为正整数，则()()114m n k m n k ++-+++=．由于11m n k m n k ++-<+++，且1m n k ++-与1m n k +++同奇偶，所以12,12m n k m n k ++-=-⎧⎨+++=-⎩或12,12m n k m n k ++-=⎧⎨+++=⎩均不可能．故()214m n ++-不是完全平方数，从而x 是无理数． 1.3.21★★★★设a 、b 是实数，对所有正整数()2n ≥，n n a b +都是有理数，证明：a b +是有理数．解析 由题意，22a b +，33a b +，44a b +，…都是有理数．而n n a b +有如下“递推关系”：()()()2211n n n n n n a b a b a b ab a b +++++=++-+，所以()()()443322a b a b a b ab a b +=++-+， ()()()554433a b a b a b ab a b +=++-+，从中解出a b +即可．设x a b =+，y ab =，则有()()443322a b a b x a b y +=+-+， ()()554433a b a b x a b y +=+-+，消去y ，得()()()2224433a b a b a b x ⎡⎤++-+⎢⎥⎣⎦()()()()22553344a b a b a b a b =++-++．所以，当()()()22244330a b a b a b ++-+≠，即()0ab a b -≠时，()()()()()()()225533442224433a b a b a b a b x ababab++-++=++-+是有理数．当()0ab a b -=时，若a 、b 全为0，则结论成立；若a 、b 中恰有一个为0，不妨设0a =，则3322a b b a b +=+为有理数，从而a b b +=为有理数；若0a b -=，且a 、b 均不为0，则3322a b a b a b ab ++=+- ()()33222222a b a b a ba b +=--+++()33222a b a b +=+是有理数． 从而命题得证． 评注本题分析中给出的递推关系：()()()2211n n n n n n a b a b a b ab a b +++++=++-+非常重要．遇到涉及n n a b +类型的问题时，利用这一递推关系，可以帮助我们解题．1.3.22★★★★设A 是给定的正有理数．（1）若A 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数x 、y 、z ，使得2222x y y z A -=-=；（2）若存在3个正有理数x 、y 、z ，满足 2222x y y z A -=-=．证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形的三边长，a 、b 、c 都是有理数，且222a b c +=，12ab A =．若a b =，则222a c =，ca．这与a 、b 、c 都是有理数的假定矛盾，故a b ≠． 不妨设a b <，取2a b x +=，2c y =，2b az -=，则x 、y 、z 都是正有理数，且 ()2222142a b c x y ab A +--===， ()2222142c b a y z ab A ---===．（2）设三个正有理数x 、y 、z 满足2222x y y z A -=-=，则x y z >>．取a x z =-，b x z =+，2c y =，则a 、b 、c 都是正有理数，且()22222224a b x z y c +=+==，()221122ab x z =- ()()222212x y y z ⎡⎤=-+-⎣⎦ A =，即存在一个三边长a 、b 、c 都是正有理数的直角三角形，它的面积等于A ．。
全国初中数学竞赛试题
全国初中数学竞赛试题【试题一】：代数基础1. 已知 \( a, b, c \) 是一个三角形的三边长，且满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证 \( a + b \geq c \)。
【试题二】：几何问题2. 给定一个圆，圆心为 \( O \)，半径为 \( r \)。
在圆上任取两点\( A \) 和 \( B \)，连接 \( OA \) 和 \( OB \)。
求证 \( \angle AOB \) 的度数小于 \( 180^\circ \)。
【试题三】：数列与级数3. 一个等差数列的首项是 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)。
求这个数列的第 \( n \) 项 \( a_n \) 的表达式，并计算前 \( n \) 项的和 \( S_n \)。
【试题四】：函数与方程4. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求该函数的最小值。
【试题五】：概率统计5. 一个袋子里有 \( 5 \) 个红球和 \( 3 \) 个蓝球。
随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率。
【试题六】：组合数学6. 有 \( 8 \) 个不同的球，需要将它们放入 \( 3 \) 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球。
求不同的放法有多少种。
【试题七】：逻辑推理7. 在一个逻辑推理题中，有三个人分别说了以下的话：- 甲说：“乙是说谎者。
”- 乙说：“丙是说谎者。
”- 丙说：“甲和乙都是说谎者。
”如果三个人中只有一个人说谎，那么谁说的是真话？【试题八】：创新问题8. 一个正方体的体积是 \( 8 \) 立方厘米，求这个正方体的表面积。
【试题九】：应用题9. 一个水池可以以恒定的速率 \( r \) 进水，同时也以另一个恒定的速率 \( s \) 出水。
如果水池开始时是空的，求水池被填满的时间\( t \)。
【试题十】：综合题10. 一个圆的半径是 \( 5 \) 厘米，圆内接一个等边三角形。
初中数学竞赛题汇编(代数部分1)
初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。
解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。
解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。
证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。
例5：证明是无理数。
证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。
p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。
例6：；；。
解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。
（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。
设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。
初三代数竞赛试题及答案
初三代数竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 6x + 9 = 0的解？A. x = 3B. x = -3C. x = 1D. x = 6答案：A2. 计算表达式(a+b)(a-b)的结果是什么？A. a^2 - b^2B. a^2 + b^2C. 2abD. -a^2 + b^2答案：A3. 如果a和b是实数，且a^2 + b^2 = 0，那么a和b的值是什么？A. a = 0, b = 0B. a = 1, b = 1C. a = 0, b = 1D. a = 1, b = 0答案：A4. 已知x和y是正整数，且x + y = 10，x * y的最大值是多少？A. 30B. 36C. 40D. 45答案：B5. 计算下列哪个表达式的值等于1？B. (-1)^3C. (-1)^4D. (-1)^5答案：C6. 如果一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ = b^2 - 4ac小于0，那么这个方程有多少个实数解？A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个答案：A7. 计算下列哪个分数的值等于2？A. 1/(1/2)C. 1/(2/1)D. 2/(2/1)答案：B8. 已知x = 2是方程x^2 - 5x + 6 = 0的一个根，那么另一个根是什么？A. 2B. 3C. -3D. -2答案：B9. 计算下列哪个表达式的值等于-1？A. 1 - 2B. -1 + 2C. 1 + (-2)答案：D10. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是什么？A. 0B. 1C. -1D. 0或1答案：D二、填空题（每题4分，共40分）11. 计算表达式(2x + 3)(x - 1)的结果，并简化。
答案：2x^2 + x - 312. 已知a = 3，b = -2，计算a^2 - 2ab + b^2的值。
答案：1313. 如果一个数的立方等于8，那么这个数是什么？答案：214. 计算表达式(3/4) * (4/5)的结果。
初中数学竞赛题汇编(代数部分1)
初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。
解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。
解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。
证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。
例5：证明是无理数。
证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。
p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。
例6：；；。
解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。
（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。
设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。
初中数学竞赛题汇编(代数部分1)
初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。
解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。
解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。
证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。
例5：证明是无理数。
证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。
p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。
例6：；；。
解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。
（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。
设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。
解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。
根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
七年级超难数学竞赛题带解析
七年级超难数学竞赛题带解析一、代数部分。
1. 已知a,b为有理数，且a + b√(2)=(1 - √(2))^2，求a^b的值。
- 解析：- 先将(1-√(2))^2展开，根据完全平方公式(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2，这里a = 1，b=√(2)，则(1-√(2))^2=1-2√(2)+2 = 3 - 2√(2)。
- 因为a + b√(2)=3 - 2√(2)，所以a = 3，b=-2。
- 那么a^b = 3^-2=(1)/(9)。
2. 若x^2 - 3x + 1 = 0，求x^4+(1)/(x^4)的值。
- 解析：- 由x^2 - 3x + 1 = 0，因为x = 0不满足方程，所以方程两边同时除以x得x-3+(1)/(x)=0，即x+(1)/(x)=3。
- 对x+(1)/(x)=3两边平方得(x +(1)/(x))^2=x^2+2+(1)/(x^2)=9，所以x^2+(1)/(x^2)=7。
- 再对x^2+(1)/(x^2)=7两边平方得(x^2+(1)/(x^2))^2=x^4 + 2+(1)/(x^4)=49，所以x^4+(1)/(x^4)=47。
3. 化简(1)/(1×2)+(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+·s+(1)/(2019×2020)。
- 解析：- 因为(1)/(n(n + 1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)。
- 所以原式=(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(4))+·s+((1)/(2019)-(1)/(2020))- 去括号后中间项都可以消去，得到1-(1)/(2020)=(2019)/(2020)。
4. 已知a^2 + b^2=6ab，且a>b>0，求(a + b)/(a - b)的值。
- 解析：- 因为a^2 + b^2 = 6ab，所以(a + b)^2=a^2+2ab + b^2=8ab，(a - b)^2=a^2-2ab + b^2 = 4ab。
初中数学竞赛试卷代数
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列代数式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2abB. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 - 2abC. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - 2abD. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 2ab2. 如果x + y = 5，xy = 6，那么x^2 + y^2的值是（）A. 19B. 21C. 25D. 293. 下列方程中，无解的是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 4 = 2x + 1C. 5x - 2 = 5x + 3D. 4x + 1 = 2x + 54. 若a, b, c是等差数列，且a + b + c = 12，那么a^2 + b^2 + c^2的值是（）A. 36B. 48C. 60D. 725. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图象开口向上，且顶点坐标为（-2，3），则a的取值范围是（）B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 0二、填空题（每题5分，共25分）6. 若m^2 - 4m + 3 = 0，则m的值为______。
7. 若a^2 - b^2 = 18，且a + b = 6，则ab的值为______。
8. 若x^2 - 4x + 4 = 0，则x的值为______。
9. 若一个等差数列的前三项分别为2，5，8，则这个数列的通项公式是______。
10. 若二次函数y = -x^2 + 2x + 1的对称轴方程是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 解下列方程组：x + 2y = 73x - 4y = 112. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，求：（1）该数列的通项公式；（2）该数列的前10项和。
13. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图象与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），且顶点坐标为（1，-4），求该二次函数的解析式。
初中数学竞赛---代数式竞赛50道综合题练习(含答案解析)
16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： (c a)2 4(b c)(a b) ． 【答案】 (a c 2b)2 【详解】解法一 原式 (c2 2ca a2 ) 4(ab b2 ac bc) (c2 2ca a2 ) (4ab 4bc) 4b2 (a c)2 4b(a c) (2b)2 (a c 2b)2 ． 解法二 原式 [(c b) (a b)]2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 [(c b) (a b)]2 (a c 2b)2 ．
17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： x2 (x a)2 a2x2 a2 (x a)2 ． 【答案】 (x2 ax a2 )2 【详解】解法一 原式 [x2 (x a)2 a2 (x a)2 ] a2x2 (x2 a2 )(x a)2 a2 x2 (x2 a2 )(x2 2ax a2 ) a2 x2 (x2 a2 )2 2ax(x2 a2 ) (ax)2 (x2 a2 ax)2 (x2 ax a2 )2 ． 解法二 原式 x2[(x a)2 a2 ] a2 (x a)2 x2 (x2 2ax 2a2 ) a2 (x a)2 (x2 )2 2x2 a(x a) [a(x a)]2 [x2 a(x a)]2 (x2 ax a2 )2 ．
4．（2021·全国·九年级竞赛）
1
1
的值为（ ）．
4 59 30 2 3 66 40 2
A．无理数 【答案】D
B．真分数
C．奇数
D．偶数
【详解】原式
1
1
4 (5 2)2 25 2 3 32 3 (5 2)2 25 2 4 42
九年级数学竞赛题
九年级数学竞赛题一、代数部分1. 一元二次方程竞赛题题目：已知关于公式的一元二次方程公式有两个实数根公式和公式。
（1）求实数公式的取值范围；（2）当公式时，求公式的值。
解析：（1）对于一元二次方程公式，判别式公式。
在方程公式中，公式，公式，公式，因为方程有两个实数根，所以公式。
展开公式得公式，即公式，解得公式。
（2）由公式可得公式。
根据韦达定理，在一元二次方程公式中，公式，公式。
对于方程公式，公式，公式。
当公式时，即公式，解得公式，但公式不满足公式（由（1）得），舍去。
当公式时，即公式，那么公式，由（1）中公式，解得公式。
2. 二次函数竞赛题题目：二次函数公式的图象经过点公式，且与公式轴交点的横坐标分别为公式、公式，其中公式，公式，求公式的取值范围。
解析：因为二次函数公式的图象经过点公式，所以公式，则公式。
二次函数与公式轴交点的横坐标是方程公式的根，由韦达定理公式，公式。
设公式，因为公式，公式，当公式时，公式；当公式时，公式；当公式时，公式。
将公式代入公式，公式中：由公式得公式，化简得公式，即公式。
由公式得公式，化简得公式，即公式，公式。
所以公式，则公式，解得公式。
二、几何部分1. 圆的竞赛题题目：在公式中，弦公式与弦公式相交于点公式，公式、公式分别是弦公式、公式的中点，连接公式、公式，若公式，公式的半径为公式。
（1）求证：公式是等边三角形；（2）求公式的长（用公式表示）。
解析：（1）连接公式、公式。
因为公式、公式分别是弦公式、公式的中点，根据垂径定理，公式，公式。
在四边形公式中，公式，公式，根据四边形内角和为公式，可得公式。
又因为公式（半径），公式、公式分别是弦公式、公式的中点，所以公式，公式。
在公式中，公式，公式（同圆中，弦心距相等则弦相等的一半也相等），所以公式是等边三角形。
（2）设公式与公式交于点公式，公式与公式交于点公式。
在公式中，公式，公式，公式，则公式。
同理，在公式中，公式。
因为公式是等边三角形，公式，在公式中，公式，公式，则公式，所以公式。
初中数学竞赛超难代数题
初中数学竞赛超难代数题一、若a、b、c为实数，且满足a加b加c等于0，a的平方加b的平方加c的平方等于1，则a乘b乘c的最大值为多少？A、-1/27B、-1/54C、0D、1/27A（答案）解析：由a+b+c=0，我们可以设a=-(b+c)，代入a²+b²+c²=1中，通过展开和化简，结合均值不等式，可以推导出abc的最大值为-1/27，当且仅当a=b=c=-1/3时取到。
二、若x、y为实数，且满足x的平方减y的平方等于4，x加y等于2，则x的四次方加y 的四次方的值为多少？A、16B、32C、64D、128B（答案）解析：由x+y=2和x²-y²=4，我们可以联立方程求解出x和y的值，进而计算出x⁴+y⁴的值。
通过计算可得，x⁴+y⁴=32。
三、若a、b、c为实数，且满足a加b加c等于1，a的平方加b的平方加c的平方等于1，则a乘b加b乘c加c乘a的最大值为多少？A、-1/2B、0C、1/2D、1A（答案）解析：由a+b+c=1和a²+b²+c²=1，我们可以利用平方和公式和均值不等式进行推导，得出ab+bc+ca的最大值为-1/2，当且仅当a=b=c=1/3时取到。
四、若x、y为实数，且满足x的平方加y的平方等于1，则x乘y的最大值为多少？A、-1/2B、0C、1/2D、1C（答案）解析：由x²+y²=1，我们可以利用均值不等式得出xy的最大值。
因为x²+y²≥2xy，所以xy ≤1/2，当且仅当x=y=±√2/2时取到等号。
五、若a、b、c为实数，且满足a加b加c等于0，a的平方加b的平方加c的平方等于4，则a的四次方加b的四次方加c的四次方的最小值为多少？A、8B、16/3C、32/3D、64/3D（答案）解析：由a+b+c=0和a²+b²+c²=4，我们可以利用平方和公式和均值不等式进行推导，得出a⁴+b⁴+c⁴的最小值为64/3，当且仅当a、b、c中有两个数为-1，一个数为2时取到。
初中奥林匹克数学竞赛训练题7套
初中奥林匹克数学竞赛训练题7套训练题第一套：代数基础1. 已知a, b为正数，且a+b=10，求ab的最大值。
2. 解方程：3(x2) 2(2x+1) = 7。
3. 已知等差数列的前三项分别是2，5，8，求第10项的值。
4. 如果一个数的平方根加上它的倒数等于3，求这个数。
训练题第二套：几何图形1. 在直角坐标系中，点A(2,3)到原点O的距离是多少？2. 一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为13cm，求这个三角形的面积。
3. 在圆中，一条弦长为8cm，且这条弦距离圆心的距离为6cm，求圆的半径。
4. 证明：对任意等腰三角形，其底边上的中线垂直平分底边。
训练题第三套：数论与组合1. 求证：任意两个正整数a和b，如果它们的最大公约数为1，那么a和a+b也是互质的。
2. 在1到100的自然数中，有多少个数既不是3的倍数也不是5的倍数？3. 有8个男生和7个女生站成一排，要求男生必须站在一起，有多少种不同的站法？4. 一个班级有5对双胞胎，如果从中选出4对学生，要求每对学生中至少有一个是双胞胎，有多少种选法？训练题第四套：概率与统计1. 从一副52张的扑克牌中随机抽取4张牌，计算抽到至少一张红桃的概率。
2. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球，从中随机取出3个球，求取出的球颜色相同的概率。
3. 如果一组数据的平均数是50，标准差是5，那么这组数据中有多少个数据至少为60？训练题第五套：逻辑推理与问题解决1. 甲、乙、丙三人中，一人是教师，一人是医生，一人是工人。
甲说：“我不是医生。
”乙说：“我不是工人。
”丙说：“我不是教师。
”请问他们各自是什么职业？2. 有4个数字密码锁，每个锁有4个按钮，分别是1、2、3、4。
如果密码是一个四位数，且每个数字都不相同，那么一共有多少种可能的密码组合？3. 一个数字序列的规律是：每个数字都是前两个数字之和。
如果序列的前两个数字分别是1和2，那么第10个数字是多少？4. 一个房间里有4个开关，对应着另一个房间里的4盏灯。
初中代数竞赛试题及答案
初中代数竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项是方程2x - 3 = 7的解？A. x = 5B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：A2. 如果一个数的平方等于其本身，那么这个数是：A. 0或1B. 0或-1C. 1或-1D. 0或2答案：A3. 计算下列表达式的值：(3x^2 - 2x + 1) - (2x^2 - 4x + 3)A. x^2 - 2x - 2B. x^2 + 2x - 2C. x^2 - 6x + 4D. x^2 + 6x - 4答案：A4. 一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式为：A. b^2 - 4acB. b^2 + 4acC. a^2 - 4bcD. a^2 + 4bc答案：A5. 一个数列的前三项为2, 4, 8，那么第四项是：A. 16B. 32C. 64D. 128答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个数的立方等于其本身，这个数是______。
答案：0, 1, -17. 一个等差数列的前三项为3, 7, 11，那么第五项是______。
答案：198. 一个等比数列的前两项为2, 8，那么第三项是______。
答案：329. 如果一个数的相反数是-5，那么这个数是______。
答案：510. 一个二次方程的系数为a = 1, b = -6, c = 9，那么这个方程的判别式是______。
答案：0三、解答题（每题10分，共60分）11. 解方程：3x^2 - 5x - 2 = 0。
答案：x = (5 ± √(5^2 - 4 * 3 * (-2))) / (2 * 3) = 2, 1/3 12. 计算数列的通项公式：数列的前三项为1, 4, 9，求第n项的公式。
答案：an = n^213. 已知一个等差数列的前三项为2, 5, 8，求这个数列的通项公式。
答案：an = 2 + 3(n - 1) = 3n - 114. 已知一个等比数列的前两项为3, 9，求这个数列的通项公式。
中数学竞赛试题及答案
中数学竞赛试题及答案试题一：代数问题题目：已知\( a \), \( b \), \( c \) 是一个二次方程 \( ax^2 +bx + c = 0 \) 的根，且 \( a \), \( b \), \( c \) 均为正整数。
若 \( a + b + c = 14 \)，求所有可能的 \( a \), \( b \), \( c \) 的值。
答案：根据韦达定理，我们知道对于二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，\( a \), \( b \), \( c \) 之间的关系可以表示为 \( b = -(a + c) \)，\( ac = c \)。
由于 \( a + b + c = 14 \)，我们可以得到 \( a + c - (a + c) + c = 14 \)，即 \( 2c = 14 \)，所以\( c = 7 \)。
接下来，由于 \( a \) 和 \( b \) 都是正整数，且\( a + b = 7 \)，我们可以找到所有可能的 \( a \) 和 \( b \) 的组合：\( (1, 6) \), \( (2, 5) \), \( (3, 4) \)。
因此，可能的\( a \), \( b \), \( c \) 的值分别为：\( (1, 6, 7) \), \( (2, 5, 7) \), \( (3, 4, 7) \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，AB 是斜边。
如果 AC = 5，BC = 12，求斜边 AB 的长度。
答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
即 \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)。
将已知的值代入公式，我们得到\( AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)。
因此，\( AB =\sqrt{169} = 13 \)。
试题三：组合问题题目：有 5 个不同的球和 3 个不同的盒子，每个盒子至少放一个球。
2021年初中数学竞赛专题复习 第一篇 代数 第章 代数式试题 新人教版
2021年初中数学竞赛专题复习 第一篇 代数 第2章 代数式试题1 新人教版2.1整式的运算2.1.1★化简()()12311n x x x x x -⎡⎤+-+-++-⎣⎦，其中为大于1的事数． 解析 原式()()()1123231n n nx x x x x x x x x --=-+-++-+-+---+-． 评注 本例可推广为一个一般的形式：()()1221n n n n n n a b a a b ab b a b -----++++=-．2.1.2★计算 （1）()()a b c d c a d b -+----；（2）()()()422422816x y x y x x y y +--+．解析 （2）这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．原式()()c b d a c b d a =--+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2222222c b d bd bc cd a =+++---．（2）的结果是，这个结果与多项式相乘时，不能直接应用公式，但()24224228164x x y y x y -+=- 与前两个因式相乘的结果相乘时就可以利用差的立方公式了．原式()()()23222222444x y x y x y =--=- ()()()()()222322222234344x x y x y y =-+- 642246124864x x y x y y =-+-．2.1.3★设，，求用去除所得的商及余式．解析1用普通的竖式除法2323222173932131213374133714739926299x x x x x x x x x x x x x x --+----+----+--- 因此，所求的商，余式．解析2 用待定系数法由于为3次多项式，首项系数为1，而为次，首项系数为3，故商必为1次，首项系数必为，而余式次数小于2，于是可设商式，余式．根据，得()()3223113213x x x x x x a bx c ---⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭ ()32213233x a x b a x a c ⎛⎫⎛⎫=+-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 比较两端系数，得 233312131a b a a c ⎧-=-⎪⎪⎪-+=-⎨⎪⎪+=-⎪⎩解得，，，故商式，余式．2.1.4★已知当时，代数式的值为4，求当时，代数式的值．解析 比较两个代数式，发现它们的相同与不同．当时，()551387222a b x x ax bx ++=+-+2.1.5★若，且，试求的值．解析 ，，代入得，故，，所以．2.1.6★★试确定和，使能被整除．解析 由于，因此，若设，假如能被整除，则和必是的因式，因此，当时，，即，①当时，，即，②由①，②联立，则有2.1.7★若()()()32115x x x x bx cx d -++=+++，求的值．解析()()()()()2321151555x x x x x x x x -++=-+=+--，所以，．．2.1.8★将表示成的形式．解析 ()()223573225227x x x x +-=-++-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．2.1.9★已知，求的值．解析1 由，有()32322222a a a a a ++=+++．解析2由，有()()()3222222122a a a a a a ++=++=-++()41413a a a a =---=--+=．评注 解析1是应用拆项法；解析2是应用降次法．这两种方法在整式恒等变形中常用．2.1.10★★已知，，，求的值．解析 因为，所以()()33333m x y x y xy x y =+=+++ ，所以．所以．2.1.11★★若，，求的值．解析 把两个方程相加，得，于是有，故或．2.1.12★★★已知，．求的值．解析 因为，所以()2221222x y x y xy xy =+=++=+，从而．所以()()3333x y x y xy x y +=+-+．．故()()()3773344335717112228x y x y x y x y x y ⎛⎫+=++-+=⨯--⨯= ⎪⎝⎭． 2.1.13★★已知，，，求多项式的值．解析 由()()()22212a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦， 又因为，，，故原式．2.1.14★★已知实数、、、满足，，求的值．解析 由，得()()4a b x y ax by ay bx ++=+++=．因为，所以．因而，．2.1.15★★已知()77657651031x a x a x a x a x a -=+++++，试求的值． 解析 多项式的系数和，就是．()77651073112128a a a a a +++++=⨯-==．2.1.16★★求一个关于的二次三项式，它被除余2；被除余8；并且被整除．解析 设这个二次三项式为．则()()()12,2428,10,f a b c f a b c f a b c =++=⎧⎪=++=⎨⎪-=-+=⎩①②③①③得代入②、③得④⑤得 ，代入⑤得 ．所求二次三项式为．2.1.17★未知数、满足()()2222220x y m y x n m y n +-+++=，其中、表示非零已知数，求、的值．解析 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为222222220m x m y mxy mny y n +--++=，()()222222220m x mxy y m y mny n -++-+=，即．所以因为，所以，．2.1.18★★已知、、满足，求证：()()()()()()222222111111x y z y x z z x y --+--+--．解析 因为，所以左边()()()222222222222111x z y y z y z x x z z y x x y =--++--++--+()222222222222x y z xz xy xy z yz yx yx z zy zx zx y =++--+--+--+ ()()()()xyz xy y x xz x z yz y z xyz xy yz zx =-+-+-++++()()()()xyz xy xyz z xz xyz y yz xyz x xyz xy yz zx =------+++右边．2.1.19★已知，证明．解析 因为，所以()()222220a b c ab bc ca ++-++=，即()()()2220a b b c c a -+-+-=，因此，即．2.1.20★证明： ()()()333222y z x z x y x y z +-++-++-()()()3222y z x z x y x y z =+-+-+-．解析 此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令， ①， ②， ③则要证的等式变为．因为()()3332223a b c abca b c a b c ab bc ca ++-=++++---，所以将①，②，③相加有2220a b c y z x z x y x y z ++=+-++-++-=，所以，所以()()()333222y z x z x y x y z +-++-++-()()()3222y z x z x y x y z =+-+-+-． 2.1.21★★已知，且、、、都是正数，求证：．解析 由已知可得444440a b c d abcd +++-=，()()22222222222240a b c d a b c d abcd -+-++-=， 所以()()()222222220a b c d ab cd -+-+-=． 因为，，，所以22220a b c d ab cd -=-=-=，所以()()()()0a b a b c d c d +-=+-=．又因为、、、都为正数，所以，，所以，．所以()()220ab cd a c a c a c -=-=+-=，所以．故成立．2.1.22★★已知，求证()()24442222a b c a b c ++=++． 解析用作差法，注意利用的条件．左右 ()()24442222a b c a b c =++-++444222222222a b c a b b c c a =++---()()22222222a b c bc a b c bc =--+---()()2222a b c a b c ⎡⎤⎡⎤=---+⎣⎦⎣⎦()()()()a b c a b c a b c a b c =-++---++．所以等式成立．2.2因式分解2.2.1★分解因式：（1）5131214242n n n n n n x y x y x y --+-+-+-；（2）；（3）222222a b c bc ca ab ++-+-；（4）．解析（1）原式()1422422n n n n x y x x y y -=--+()()221222222n n n n x y x x y y -⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦()()2212n n n n x y x y x y -=--+． （2）原式()()()()333232x y z x y z =+-+---- ()()2222422x y z x y z xy xz yz =--++++-．（3）原式()()()()()2222222222a ab b bc ca c a b c a b c a b c =-++-++=-+-+=-+．本小题可以稍加变形，解法如下：原式()()()()2222222a b c b c ca a b a b c =+-++-++-=-+．（4）原式()()()()432234a b a b a b a a b a b ab b =+-+-+-+()()()2432234a b a b a a b a b ab b =+--+-+． 2.2.2★分解因式：．解析1原式()()()()()()33332222x y x y x y x xy y x y x xy y =+-=+-+-++．解析2原式()()()22222222x y x x y y ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦ ()()()22222x y x y x y x y ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦()()()()2222x y x y x y xy x y xy =+-+++-．评注 解析2中，()()42242222x x y y x y xy x y xy ++=+++-是因式分解中经常用到的一个结论，记住这个结论是必要的．2.2.3★★分解因式：()()()333222222x y z x y z ++--+． 解析 原式中与的和等于，所以考虑用立方和公式()()3333a b a b ab a b +=+-+变开后，再进行分解．原式()()()()()33222222222222223x y z x x y z x x y z x y z =++--+-⋅++--+()()()()()3322222222223y z x y z x y z y z =+-+-+-+ ()()()()22223x y z x z x y z =-++-+．2.2.4★★分解因式：．解析原式()()3333a b ab a b c abc =+-++-()()333a b c ab a b c ⎡⎤=++-++⎣⎦()()()()223a b c a b c a b c ab a b c ⎡⎤=+++-++-++⎣⎦ ()()222a b c a b c ab bc ca =++++--- 3评注()()22212222222a b c a b c ab bc ca =++++--- ()()()()22212a b c a b b c c a ⎡⎤=++-+-+-⎣⎦． 显然，当时，则；当时，则，即，而且，当且仅当时，等号成立．如果令，，，则有．等号成立的充要条件是．这也是一个常用的结论．2.2.5★★分解因式：15141321x x x x x ++++++．解析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项开始，的次数顺次递减到0，由此想到应用公式来分解．因为()()161514132111x x x x x x x -=-++++++， 所以原式()()15142111x x x x x x -+++++=-()()()()()842111111x x x x x x ++++-=-()()()()8421111x x x x =++++．评注在本题分解过程中，用到先乘以，再除以的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2.2.6★分解因式：．解析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．方法1 将常数项8拆成．原式()()()21191x x x x =-++--．方法2 将一次项拆成．原式．方法3 将三次项拆成．原式()()()()2911811x x x x x x =+---++方法4 添加两项．原式()()()()()332222989818118x x x x x x x x x x x x x =-+=-+-+=-+--=-+-．评注 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．2.2.7★★分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．解析（1）将拆成．原式()()()963111x x x =-+-+-()()()()()36333311111x x x x x x =-+++-++-()()()2631123x x x x x =-++++．（2）将拆成．原式()()221122m n mn mn =--++2222122m n m n mn mn =--+++ ()()2222212m n mn m mn n =++--+()()11mn m n mn m n =+-+-++．（3）将拆成．原式()()()()22442212111x x x x =++---+- ()()()()()242242121111x x x x x ⎡⎤=+++-+---⎣⎦ ()()()22222111x x x ⎡⎤=++---⎣⎦ ()()()()222222221313x x x x =+--=++． （4）添加两项．原式33221a b ab a b ab ab =-++++-()()()33221a b ab a ab ab b =-+-+++()()()()21ab a b a b a a b ab b +-+-+++()()()211a a b b a b ab b =-+++++⎡⎤⎣⎦评注（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是无将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在．2.2.8★分解因式：．解析原式2.2.9★★分解因式：()()()bc b c ca c a ab a b ++--+．解析原式()()()()bc b c ca b c a b ab a b =+++-+-+⎡⎤⎣⎦()()()()bc b c ca b c ca a b ab a b =+++-+-+()()()()c b c a b a a b c b =++-++．2.2.10★★分解因式：()()()333x y z y z x z x y -+-+-．解析原式()()()333333x y y x y z x z z x z y =-+-+- ()()()22333xy x y z x y z x y =---+-()()()223x y xy x y z x xy y z ⎡⎤=-+-+++⎣⎦()()()()222x y x y z xy y z z y z ⎡⎤=--+---⎣⎦()()()22x y y z x xy zy z =--+--()()()()x y y z z x x y z =----++．2.2.11★★分解因式：．解析原式()()223263121x x x x x x x =++++++- ()()()2232331211x x x x x x x =++++++- ()()()22331121x x x x x x x ⎡⎤=++++++-⎣⎦()()223411x x x x x x =++++++．2.2.12★★分解因式：．解析将原式展开，是关于的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将看作一个整体，并用字母来替代，于是原题转化为关于的二次三项式的因式分解问题了．设，则原式()()2=++-=+-y y y y1212310()()()()22=-+=+-++y y x x x x2525．评注本题也可将看作一个整体，比如令，可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．2.2.13★★分解因式：()()22x x x x++++-．3248390解析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．原式()()()()=++++-12212390x x x x()()()()x x x x=++++-12322190⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22=++++-．25325290x x x x令，则原式()2=+-=+-19090y y y y()()22=+++-x x x x2512257()()()2=+++-．2512271x x x x评注对多项式适当的恒等变形是我们找到新元的基础．()()()2+-+-+-．221a b ab a b ab解析令，，则原式22=--++-+x xy x y y y22421，所以，原式．2.2.15★★分解因式：()()()22--+--．12121a ab a a b解析令，则()22222--=--=-．a a a a x a12122原式()()22222x b ax ab x a b =-+-．所以，原式()()112a b a a ab =---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．2.2.16★★分解因式：．解析令，则原式()()22222121272y y y y =-++++- ()()423242324142441424272y y y y y y y y y y =++-+-++++++-．所以，原式()()()2251419x x x x =+-++．2.2.17★★分解因式： ()()2222483482x x x x x x ++++++． 解析 设，则原式()()22322y xy x y x y x =++=++()()()22458x x x x =++++．评注 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．2.2.18★★分解因式：．解析1原式()()422617136x x x x =++--()()4222262127136x x x x x x ⎡⎤=-+++--⎣⎦()()222226127136x x x x x ⎡⎤=-++--⎢⎥⎣⎦ ()()2222617124x x x x =-+-- ()()22213318x x x x ⎡⎤⎡⎤=---+⎣⎦⎣⎦()()22232383x x x x =--+-()()()()212313x x x x =+--+．评注 本解法实际上是将看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解析2 原式222766736x x x x x ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭ 222116736x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 令，则，于是原式()()()22267242338x t t x t t =+-=-+2112338x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ＝()()()()212313x x x x =+--+．2.2.19★★分解因式：()()222224x xy y xy x y ++-+． 解析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令，，用换元法分解因式．原式()()22242x y xy xy x y xy ⎡⎤⎡⎤=+--+-⎣⎦⎣⎦． 令，，则原式()24222693u u v v u v =-+=- ()()22222223x xy y xy x xy y =++-=-+． 2.2.20★分解因式：22232108x xy y x y --++-．解析 原式()()32108x y x y x y =-+++-．其十字相乘图为评注 凡是可以化成或形式的二次三项式，都可以直接采用十字相乘法把它分解成或的形式． 对于某些二元二次六项式()22ax bxy cy dx ey f +++++，我们也可以用十字相乘法分解因式，通常称为双十字相乘法．其因式分解的步骤是：首先用十字相乘法分解，得到一个十字相乘图（有两列）；然后把常数项分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的．2.2.21★分解因式：226136222320x xy y x y -++-+．解析原式()()2332222320x y x y x y =--+-+．其十字相乘图为-2y -3y 3x 2x 542.2.22★分解因式：22267372x xy y xz yz z ---+-．解析 原式()()223372x y x y xz yz z =-+-+-．其十字相乘图为z-2z2x 3x -3y y2.2.23★分解因式：()()()()123424x x x x ++++-．解析 原式()()22545624x x x x =++++- ()()225454224x x x x ⎡⎤=+++++-⎣⎦＝()()2225425424x x x x +++++- ()()22546544x x x x ⎡⎤⎡⎤=+++++-⎣⎦⎣⎦．对于形如()()()()e x a x b x c x d f +++++（、、、、、为常数），当时，则把与分别相乘后，构成有相同部分：()()22x a b x x c d x ++=++的项，使原式得到简化，再用十字相乘法进行分解．2.2.24★★分解因式：()()()()2238124x x x x x ++++-．解析原式()()222142411244x x x x x =++++-()()2221424142434x x x x x x ⎡⎤=++++--⎣⎦ ()()22221424314244x x x x x x =++-++- ()()22142441424x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦()()2210241524x x x x =++++()()46x x x x ⎛⎛=++⋅ ⎝⎭⎝⎭． 对地形如()()()()2e x a x b x c x d fx +++++（、、、、、为常数），当时，则把与分别先作法，构成具有相同部分的项，再用十字相乘法进行分解．2.2.25★★分解因式：222382214x y z xy xz yz --+++．解析 由于()()22233x xy y x y x y +-=+-．若原式可以分解因式，那么它一定是的形式．应用待定系数法即可求出和，使问题得到解决． 设()()2223822143x y z xy xz yz x y mz x y nz --+++≡++-+()()222233x xy y m n xz n m yz mnz =-++⋅+-+．比较两边对应项的系数，则有2,314,8m n n m mn +=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩解之，得 ，．所以，原式．2.2.26★★分解因式：．解析 这是关于的四次多项式，若它可以因式分解，则必为关于的两个二次式之积．可用待定系数法求之．设()()()432655x a b x ab x a b x =+++++++．比较两边对应项的系数，则有1,64,53a b ab a b +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解之，得，．所以，原式．如果设原式，那么由待定系数法解题后知关于与的方程组无解，所以设原式．2.2.27★★为何值时，可以分解成两个一次因式的乘积？解析 因为，所以如果可以分解成两个一次因式的乘积，那么它的两个一次因式一定是与的形式，其中、都是待定系数．设，22x xy mx xy y my nx ny mn =++---+++()()22x y m n x n m y mn =-+++-+．比较两边对应项的系数，得3,7,m n n m mn k +=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解之，得5,2,10.m n k =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩因此，当时，可以分解成两个一次因式的乘积．2.2.28★★分解因式：．解析 因为()4443223464a b a b a b a b ab +=+---()()()42242a b ab a b ab =+-++，所以，原式()()()()422442a b ab a b ab a b =+-++++()()()42222a b ab a b ab ⎡⎤=+-++⎣⎦．2.2.29★★分解因式：．解析 这个式子是关于、、的五次齐次对称式，令，则原式．故原式有因式．同理，亦有因式，．这样原式还有一个二次齐次对称式()()222k x y z l xy yz zx +++++．所以，可设原式()()()()()222x y y z z x k x y z l xy yz zx ⎡⎤=++++++++⎣⎦．当，时，得． ①当，，时，得． ②由①式与②式可解得，．所以，原式()()()()2225x y y z z x x y z xy yz zx =++++++++．2.2.30★★分解因式：()()()222222ab a b bc b c ca c a -+-+-．解析 当时，易知原式，所以原式有因式．同理，与也都是原式的因式．但四次多项式应有四个一次因式，由对称性余下的一个因式必有为，故可设 ()()()222222ab a b b b c ca c a -+-+-()()()()k a b c a b b c c a =++---．令，，，得()()()233112k ⨯-=⨯-⨯-⨯．解得．所以，原式＝()()()()a b c a b b c c a -++---．2.2.31★★分解因式：()()()()()()222222222a b c b c a c a b abc a b c a b c ab bc ca +++++++++++⋅++． 解析所给的式子是一个四次对称式．若令，则原式()()()()2222222222b b c b c b b c b c b =++--++⋅-()()2222222b b c c b c c b ⎡⎤=++----⎣⎦ ()22222222222b b c bc b bc c c b =+++-+--．所以，原式含有因式．同理，原式含有因式，．于是，原式含有因式．由于原式为四次对称式，故还有因式，其中为待定系数．所以，原式()()()()k a b b c c a a b c =+++++．比较等式两边的系数，得．所以，原式()()()()a b b c c a a b c =+++++．2.3分式2.3.1★计算：（1）；（2）．解析（1）．（2）()()()()161221a a a a a -=-++-+()()()()()2101101224a a a a a a a -+-==+-+-． 2.3.2★计算：（1）；（2）2233x y x y x y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦． 解析（1）()()22111111111x x x x x x x x x+---+-===----． （2）2233x y x y x y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ ()2233x y x x y x x y x x y ⎧⎫+⎡⎤=--+⨯⎨⎬⎢⎥+-⎣⎦⎩⎭．2.3.3★★化简分式：222223253452851223a a a a a a a a a a a a ++-----+--+++--． 解析 直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多． 原式22222211236136241262611223a a a a a a a a a a a a a a a a +++++--+-+----+-=-=+++-- ()()()()111121332221223a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++--+-+-+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()111121332221223a a a a a a a a ⎡⎤=+---++-+-+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥++--⎣⎦ 11111223a a a a =-+-++-- ()()()()111223a a a a -=+++-- ()()()()()()()()23121223a a a a a a a a ---++=++-- ()()()()841223a a a a a -+=++--． 评注 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．2.3.4★★求分式248161124816111111a a a a a a+++++-+++++ 当时的值．解析 先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．原式()()()()248161124816111111a a a a a a a a ++-=++++-+++++ 22481622481611111a a a a a =++++-++++ ()()()()224816222121481611111a a a a a a a ++-=++++++-+ 44816448161111a a a a =+++-+++ 881616168816161611111a a a a a =++=+-++-+ ．2.3.5★计算：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+． 解析 本题如果直接通分化为同分母，去处较繁．而通过分子拆项，分母分解之后，利用，比较简洁．由此可看出，有时需要把分式按分母不变，分子相加减的法则倒过来运用，把一个分式拆成几个分式的和差． 原式()()()()()()()()()()()()a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b -+--+--+-=++------ 111111a c a b b a b c c b c a=+++++------ ．2.3.6★已知．求的值．解析 由已知得且可得，即，所以．评注 这里利用与互为倒数的特点．巧妙地运用乘法公式加以变形，使问题变得较简单．同样地，32321111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，2424211247x x x x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭． 2.3.7★已知．求的值．解析由可得．故()()232322537122527x y xy x xy y xy xy xy x xy y x y xy xy xy xy +--+⨯-====+++++． 评注 本题同样通过将已知的条件作适当变形，代入所求的分式中．由此可看出，在已知条件与所求的式子中寻找桥梁是非常关键的，往往需要作整体的代换，而不一定要一一求出每个字母的数值．2.3.8★计算：()()()()()()()()()222x y y z z x z x z y x y x z y x y z ---++------． 解析 直接通分比较繁，考虑到这里主要涉及，，三个式子，不妨用换元法．使所求式子的形式变得简单一些．设，，，则，所以 原式222333a b c a b c bc ac ab abc ++=++=----()()333a b ab a b c abc ⎡⎤+-++⎣⎦=-．2.3.9★★已知，，．求的值．解析 因为，两边平方得2222224x y z xy yz zx +++++=．已知，所以，．又，所以()()111242222xy z xy x y x y ==++----．同理，，．故原式()()()()()()111222222x y y z z x =++------()()6248x y z zyx xy yz zx x y z ++-=-+++++-．2.3.10★★若，求11a b cab a bc b c ca c ++++++++的值．解析 本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．方法1 因为，所以、、都不为零． 原式111aab ab cab a a bc b ab ca c =+⋅+⋅++++++1a ab abcab a abc ab a abca abc ab =++++++++1111a ab ab a ab a a ab =++++++++．方法2 因为，所以，，． 原式11a bbcab a abc bc b b ca c =++⋅++++++111b bcb bc bc b bca bc b =++++++++11111bbcb bc bc b bc b =++=++++++．方法3 由，得，将之代入原式原式1111111b c bcbc b b c c bc bc bc =++++⋅++⋅++ 11111b bc b bc bc b bc b=++=++++++． 2.3.11★化简分式： 2221113256712x x x x x x ++++++-+． 解析 三个分式一起通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．原式()()()()()()111212334x x x x x x =++++++++ 111111122334x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．评注 本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有的一般形式，与分式运算的通分思想方法相反，我们将上式拆成与两项，这样，前后两个分式中就有可以相互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．2.3.12★★若实数、、满足，，，求的值．解析 因为114111z x x x y z z=+=+=+-- 7173371431x x x x x x x--=+=+---， 所以()()4434373x x x x -=-+-，，，故．从而，．所以．2.3.13★★已知：（，且、、不全相等），求()()()()()()()()()222x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-的值． 解析 本题字母多，分式复杂．若把条件写成()()()0x a y a z a -+-+-=，那么题目只与，，有关，为简化计算，可用换元法求解．令，，，则分式变为，且由已知有．将两边平方得()22220u v w uv uw wu +++++=．由于、、不全相等，所以、、不全为零，所以，从而有，即所求分式的值为．评注 从本题中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．2.3.14★★已知，求的值．解析 本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．设，于是有，，．所以()()()0x y z a b k b c k c a k ++=-+-+-=．2.3.15★★已知，，求的值．解析 令，，，于是条件变为， ①． ②由②有，所以．把①两边平方得()22221u v w uv vw wu +++++=，所以， 即 ．2.3.16★★已知实数、、满足，，22243131319a b c a a b b c c ++=------，求的值． 解析 因为 ()223133a a a a abc a bc a --=-+=+-，所以．同理可得，．结合22243131319a b c a a b b c c ++=------可得 ()()()()()()11141111119b c a c a b ++=------， 所以()()()()()()41111119a b c a b c ---=-+-+-． 结合，，可得．因此， ()()22223322a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 实际上，满足条件的、、可以分别为、、．2.3.17★★已知，求下面代数式的值：11111111x xy xyz y yz yzt z zt ztx t tx txy+++++++++++++++．解析 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．11t x xy xyz t xt xyt xyzt=++++++ ，同理111tx y yz yzt tx txy t=++++++， 111txy z zt ztx txy t tx=++++++． 所以 原式．2.3.18★★若，求分式的值．解析 x ==，所以，所以，即．原式分子()()()4323228132162681310x x x x x x x x =-++-++-++ ()()()2222813281381310x x x x x x x x =-++-++-++，原式分母，所以 原式．评注 本题的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．2.3.19★★若a b c a b c a b c c b a+--+-++==，求的值． 解析1 利用比例的性质解决分式问题．（1）若，由等比定理有 a b c a b c a b c c b a+--+-++== ()()()a b c a b c a b c a b c+-+-++-++=++ ，所以，，，于是有()()()2228a b a c b c c b a abcabc+++⋅⋅==． （2）若，则，，，于是有()()()()()()1a b a c b c c a b abc abc +++---==-．评注 比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解析2 设参数法．令a b c a b c a b c k c b a+--+-++===， 则， ①， ②． ③①②③有()()()21a b c k a b c ++=+++，所以，故有或．当时，()()()2228a b b c c a c a b abc abc+++⋅⋅==． 当时，()()()()()()1a b b c c a c a b abc abc+++---==-． 评注 引进一个参数表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．2.3.20★★一列数，，，…满足对于任意正整数，都有，求的值．解析 当时，有，，两式相减，得， 所以()1111113131n a n n n n ⎛⎫==- ⎪---⎝⎭， ，，…故1111111133132323399100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．21816 5538 唸)28067 6DA3 涣 20030 4E3E 举B39507 9A53 驓6530299 765B 癛24495 5FAF 徯D37359 91EF 釯s%。
全国初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一：代数基础题目：若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且满足\( a + b + c = 3 \)，\( ab + ac + bc = 1 \)，求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。
解答：根据已知条件，我们可以使用配方法来求解。
首先，我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。
将已知条件代入，得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。
简化后，我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，求斜边BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。
代入已知数值，得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此，\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。
解答：等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算，其中\( a_1 \)是首项，d是公差，n是项数。
将已知条件代入公式，得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中取2个球的组合数，用组合公式C(8,2)计算。
然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。
两个红球的情况有C(5,2)种，两个蓝球的情况有C(3,2)种。
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初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。
解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。
解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。
证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。
例5：证明是无理数。
证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。
p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。
例6：；；。
解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。
（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。
设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。
设原式为利用根号的层数是无限的特点，有，两边平方得即继续两边平方得x4－4x2＋4＝2＋x，即x4－4x2－x＋2＝0，左边分解因式得(x＋1)(x－2)(x2＋x－1)＝0 求得x1＝－1，x2＝2，x3＝。
因0＜x＜2，所以x＝－1、x＝2、x＝应舍去，所以x＝即＝。
例9：设的整数部分为x，小数部分为y，试求的值。
解：而所以x＝2，y＝因此＝。
例10：已知x＋y＋z＝3a (a≠0，且x、y、z不全相等)，求的值。
解：设x－a＝u，y－a＝v，z－a＝w，则＝且有已知有u＋v＋w＝0，将u＋v＋w＝0两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝0 由于x、y、z不全相等，所以u、v、w不全为零，所以u2＋v2＋w2≠0，故＝＝例11：已知x＝求的值。
解：所以x－4＝－(x－4)2＝3，x2－8x＋13＝0 ，所以，原式分子x4－6x3－2x2＋18x＋23＝(x4－8x3＋13x2)＋(2x3－16x2＋26x)＋(x2－8x＋13)＋10＝x2(x2－8x＋13)＋2x(x2－8x＋13)＋(x2－8x＋13)＋10＝10，原式分母x2－8x＋15＝(x2－8x＋13)＋2＝2，所以＝＝5 。
例12：已知＝＝求的值解：方法1 当a＋b＋c≠0时，据等比定理有＝＝＝＝1由此得a＋b－c＝c，b＋c－a＝a，c＋a－b＝b所以＝＝8。
当a＋b＋c＝0时，＝＝－1。
方法2 设＝＝＝k，则a＋b＝(k＋1)c…①，b＋c＝(k＋1)a…②，c＋a＝(k＋1)b…③，①＋②＋③得2(a＋b＋c)＝(k＋1) (a＋b＋c)，即(a＋b＋c) (k－1)＝0，故k＝1或a＋b＋c＝0，以下同上。
例13：计算…+解：…+＝+ + …+＝( )+( )+( )+…+ ( )＝+ + +…+＝＝。
例14：分解因式（1）x3－9x＋8；（2）(x2＋x＋1)(x2＋x＋2)－12；。
（3）(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)；（4）x2+3xy+2y2+4x+5y+3。
解：（1）方法1：x3－9x＋8=x3－9x－1＋9=(x3－1)－9x＋9=(x－1)(x2＋x＋1)－9(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)方法2：x3－9x＋8=x3－x－8x＋8=(x3－x)+(－8x＋8)=x(x＋1)(x－1)－8(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)方法3：x3－9x＋8=9x3－8x3－9x＋8=(9x3－9x)+(－8x3＋8) =9x(x＋1)(x－1)－8(x－1)(x2＋x＋1)=(x－1)(x2＋x－8)方法4：x3－9x＋8=x3－x2＋x2－9x＋8=(x3－x2)＋(x2－9x＋8)=x2(x－1)＋(x－8)(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)（2）设x2+x=y，则(x2+x+1)(x2+x+2)-12=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)（3）(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]= (u2-v)2-4v(u2-2v) = u4-6u2v+9v2 = (u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2 = (x2-xy+y2)2（4）方法1：设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．方法2：x2+3xy+2y2+4x+5y+3x y 常数1 1 11 2 3即= (x+y+1) (x+2y+3) ．例15：化简解：因这个代数式的特性时轮换对称式，只要对其中的一项进行变形，然后再对其他项进行轮换即可。
所以＝( －)＋( －)＋( －)＝0 。
例16：已知证明a2＋b2＋c2＝(a＋b－c)2。
证明（分析法）：因(a＋b－c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ca所以要证a2＋b2＋c2＝(a＋b－c)2只要证ab ＝ac ＋bc 只要证c(a ＋b)＝ab只要证 （因为也为a 、b 、c 都不为0） 即最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等 式成立．例17：已知a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd ，且a ，b ，c ，d 都是正数，求证：a=b=c=d ． 证明： 由已知可得 a 4+b 4+c 4+d 4-4abcd=0，(a 2-b 2)2+(c 2-d 2)2+2a 2b 2+2c 2d 2-4abcd=0，所以(a 2-b 2)2+(c 2-d 2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a 2-b 2)2≥0，(c 2-d 2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以a 2-b 2=c 2-d 2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a ，b ，c ，d 都为正数，所以a+b ≠0，c+d ≠0，所以a ＝b ，c=d ．所以ab-cd=a 2-c 2=(a+c)(a-c)=0，所以a ＝c ．故a=b ＝c=d 成立．例18：m 是什么整数时，方程(m 2-1)x 2-6(3m-1)x ＋72＝0有两个不相等的正整数根．解：首先，m 2-1≠0，m ≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m ≠3．用求根公式可得由于x 1，x 2是正整数，所以m-1=1，2，3，6； m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2．这时x 1=6，x 2=4．例19：己知 a+， a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1。
证明：由己知得：a-b= ， 所以 bc = ， 同理得 ca = ， ab = ， ac c b b 111+=+=bc c b b c -=-11ba cb --c b a c --ac b a --所以 ab ·bc ·ca ＝ × × ＝1，即a 2b 2c 2=1。
例20：己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a 、b 、c 是常数），求证：b 2－4ac=0证明：设 ax 2+bx+c ＝(mx+n)2，m 、n 是常数，则 ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2根据恒等式的性质得所以 b 2－4ac ＝(2mn)2－4m 2n 2=0a c ba --b ac b --cb ac --。