第五章弯曲内力机械类
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材料力学-第5章 弯曲内力
材料力学
第五章 弯曲内力
1
材料力学－第5章 弯曲内力
内容提纲：
• • • • • 概念及工程实例 梁的对称弯曲及计算简图 梁的剪力、弯矩 • 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 平面刚架和曲杆的内力
2
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
3
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
梁的对称弯曲和计算简图
可动铰支端
– 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移 动，但端面可沿轴线自由移动和转动 – 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力—— 垂直支反力 FRy
FRy FRy FRy FRy
21
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 工程中常用静定梁的三种基本形式
悬臂梁
q
A
Me qa2
B
C
MC
a
a
FCy
解：首先计算支反力FCy和MC
Y 0, M
C
FCy qa 0 3 M C M e qa a 0 2
得
0,
FCy qa, M C
1 2 qa 2
34
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当 x a 时： 内力按正方向假设！
13
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中载荷——作用在梁某一横截面处的载荷， 单位为 N（牛顿） 集中载荷一般用F 表示 F q( x)dx
x dx
F
x
14
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中力偶——梁某一横截面处作用在纵向对 称面内的力偶，单位为N· m（牛顿· 米） 集中力偶一般用M表示
第五章 弯曲内力
1
材料力学－第5章 弯曲内力
内容提纲：
• • • • • 概念及工程实例 梁的对称弯曲及计算简图 梁的剪力、弯矩 • 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 平面刚架和曲杆的内力
2
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
3
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
梁的对称弯曲和计算简图
可动铰支端
– 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移 动，但端面可沿轴线自由移动和转动 – 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力—— 垂直支反力 FRy
FRy FRy FRy FRy
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 工程中常用静定梁的三种基本形式
悬臂梁
q
A
Me qa2
B
C
MC
a
a
FCy
解：首先计算支反力FCy和MC
Y 0, M
C
FCy qa 0 3 M C M e qa a 0 2
得
0,
FCy qa, M C
1 2 qa 2
34
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当 x a 时： 内力按正方向假设！
13
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中载荷——作用在梁某一横截面处的载荷， 单位为 N（牛顿） 集中载荷一般用F 表示 F q( x)dx
x dx
F
x
14
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中力偶——梁某一横截面处作用在纵向对 称面内的力偶，单位为N· m（牛顿· 米） 集中力偶一般用M表示
弯曲内力例题(0509)
max
和
M max 及其所
P
y
m=Pa
1、列出梁的剪力方程和弯矩方程
AB段:
A
x
x a
B a
C
x
FQ ( x) 0
(0 x a )
M ( x) m Pa (0 x a)
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 BC段: m=Pa P
FQ ( x) P
( a x 2a )
弯矩 立柱弯矩图为抛物线，左侧受压，1、2截面的弯矩值为
M1 0,
qa2/2
3
qa/2
4
2M4 0
qa/2
1
FAy
材料力学
M
FAx
1 2 1 2 M 2 qa a qa qa , 2 2 1 2 M 3 qa , M 4 0 2
作弯矩图。
弯曲内力/平面刚架内力图
x 3.1m
1 M E F 3.1 FAy 2.1 q 2.12 2
(-)
材料力学
1.41kN.m (+)
-3kN.m
(-)
-2.2kN.m
1.41kN.m M D左 2.2kN.m
q
P qa q
qa qa
a
FQ
a
a 2qa qa
M
qa 2 qa / 2
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
M1 2qa
A
2
q
M 2 2qa2
B
C
a a 4a
FAy
FBy
取左段梁为研究对象:
取右段梁为研究对象:
FQc FAy q 2a qa
和
M max 及其所
P
y
m=Pa
1、列出梁的剪力方程和弯矩方程
AB段:
A
x
x a
B a
C
x
FQ ( x) 0
(0 x a )
M ( x) m Pa (0 x a)
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 BC段: m=Pa P
FQ ( x) P
( a x 2a )
弯矩 立柱弯矩图为抛物线，左侧受压，1、2截面的弯矩值为
M1 0,
qa2/2
3
qa/2
4
2M4 0
qa/2
1
FAy
材料力学
M
FAx
1 2 1 2 M 2 qa a qa qa , 2 2 1 2 M 3 qa , M 4 0 2
作弯矩图。
弯曲内力/平面刚架内力图
x 3.1m
1 M E F 3.1 FAy 2.1 q 2.12 2
(-)
材料力学
1.41kN.m (+)
-3kN.m
(-)
-2.2kN.m
1.41kN.m M D左 2.2kN.m
q
P qa q
qa qa
a
FQ
a
a 2qa qa
M
qa 2 qa / 2
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
M1 2qa
A
2
q
M 2 2qa2
B
C
a a 4a
FAy
FBy
取左段梁为研究对象:
取右段梁为研究对象:
FQc FAy q 2a qa
第5章-弯曲内力 45页PPT文档
M C 0 ,M F 1 ( b a ) F A b 0 y 故 M F A b yF 1 (b a )
n
FS (Fi )一侧
n
M (mCi)一侧
i1
i1
在保留梁段上，方向与切开截面正 FS 相反 单辉祖,材料力学教的程外力为正，与正 M 相反的外力偶矩为正 12
F Sm , aF xS(0)F
dM d()F12l0
l 2
MmaxM2l F4l
单辉祖,材料力学教程
22
§5 载荷集度、剪力与弯矩间 的微分关系
FS , M 与 q 间的微分关系 利用微分关系画 FS 与 M 图 例题 微分关系法要点
单辉祖,材料力学教程
23
FS, M 与 q 间的微分关系
F y 0 ,F S q d x ( F S d F S ) 0(a)
M C 0 ,M d M q d x d 2 x F S d x M 0(b)
dFS q dx
dM dx
FS
41
曲梁内力
曲梁
轴线为平面曲线、且横截面的纵向对称轴均位于轴线 平面的杆件，称为平面曲杆。 以弯曲为主要变形的平面曲杆，称为平面曲梁。 曲杆内力
一般存在三内力分量－轴力FN; 剪力FS ; 弯矩M
FSFcos MFR sin FNFsin
单辉祖,材料力学教程
42
例题
例 5-9 试画刚架的弯矩图 解：在AB与BC段分别选取坐标， AB杆的弯矩方程为：
将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩图 在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由直 线所构成
均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，弯矩图为二 次抛物线，其凹凸性由载荷集度的正负而定
第五章 弯曲内力(张新占主编 材料力学)
（3）作剪力图和弯矩图 剪力方程是x的一次函数，故剪力图是一条倾斜的直线，需确定 其上两个截面的剪力值，于是，应选择 A 右 和 B左 为特定截面，计 算其剪力值，绘出此梁的剪力图。
弯矩方程是的二次函数，弯矩图为一条抛物线。为了画出此抛 物线，至少须确定其上三、四个点，如 l ql2 l 3 2 ; x l, M 0 x 0, M 0; x , M ql ; x , M 2 8 4 32 弯矩极值所在处为跨度中点横截面
5.2 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程
沿梁轴线取 x 轴，坐标 x 表示横截面 在梁轴线上的位置，则各横截面上 的剪力和弯矩可以表示为 x的函数， 即
FQ FQ ( x ) 剪力方程 M M ( x ) 弯矩方程
在集中力、集中力偶和分布荷载的起止点处，剪力方程和弯 矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程 的分段点。若梁内部（不包括两个端部）有n个分段点，则梁 需分为n+1段列剪力、弯矩方程。
y
0 F FQ 0 0M Fx 0
得
M
得
FQ F
C
M Fx
FQ 是横截面上切向分布内力的 合力，称为m-m面上的剪力， 其单位为N。 M是横截面上法向分布内力的合 力偶矩，称为m-m面上的弯矩， 其单位为N ▪ m。
二、剪力和弯矩的正负号规定
剪力：横截面的左段相对右段向上错动时截面上的剪 力为正，或横截面上的剪力绕截开部分顺时针转动时 为正，反之为负。
弯矩：截面的左段相对右段向上错动时截面上的剪力 为正，或横截面上的剪力绕截开部分顺时针转动时为 正，反之为负。横截面处弯曲变形向下凸(或梁的下 表面纤维受拉)时，此横截面上的弯矩M为正，反之为 负。
材料力学---弯曲内力课件(1)
FS/kN20
FsA右-5kN；FsB左5kN ; o + -
FS(+)
FS(–)
FS(+)
FS(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形 的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正， 反之相反。
M(+)
M(+) M(–)
M(–)
9
[例5-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。
ql 1
2q
解：1-1截面:
F y 0 : F S 1 ql
1a ql
M(x) RA x FS(x)
AC段：F S(x)R AF l b 0xa
RA x
Fb /l
FS
+
F M(x)
M (x)R A xF l xb 0xa
FS(x)
CB段：F S (x )R A F F l a a xl
-
M (x ) R A x F x a F ll a x a x l
Fa /l (3)绘制剪力图、弯矩图：
M
+
在集中力F作用点处，FS图发生突
Fab /l
变，M图出现尖角。
15
A
mC
B
xx
RA
a
b RB
l
解：(1)计算支反力：
M A 0 : R B m / l M B 0 : R A m / l
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
M(x)
CB两段考虑，以A为原点。
RA RA FS
4
F x 0 :F N ( x 1 ) 0 0 x 1 2 a
3a
F y 0 :F s ( x 1 ) 9 4 q0 a x 1 2 a
五弯曲内力-精品文档54页
M
l
B
结论：
① 剪力图为0次曲线时，弯矩图
M
为1次曲线；剪力图为1次时，弯 矩图为2次曲线；
l
x
② 凡是集中力（包括支反力）作
用处，剪力图有突变，突变值即为
该处集中力的大小；
③ 在集中力偶作用处，弯矩图有
x
突变，突变值即为该处集中力偶矩
的大小；
例6 图示外伸梁。q=2kN/m，P=3kN。 y
x
P
解：（1）先求出约束反力：
FA
M l
FB
M l
a
A
Mb
B
xC
x
（2）剪力方程和弯矩方程：
FA
l
FB
AC段：
M
FS
M
FS1(x) FA l
(0xa)
Mx
+
l
M1(x)FAx l (0xa)
x
CB段：
FS2(x)
FA
M l
(axl) M
M
Ma l
（M 32）(x)画出F剪Ax力M 、弯矩l图x(M axl)
一、梁的内力的引入
F
例：悬臂梁截面内的内力
剪力Fs(x): 抵抗剪切作用的内 力, 是与横截面相切的分布内力系 的合力.
弯矩M(x): 抵抗弯曲作用的矩, 是与横截面垂直的分布内力系的合
力偶矩.
M(x) Fs (x) F
注: 弯矩和扭矩的比较 共同点:力偶矩 不同点:作用面和所绕的轴不同;作用不同,抵抗扭转还是弯曲.
FS
ql
max
M
max
ql2 2
例4 画出图示梁的FS 图和M图。 解：（1）先求出约束反力：
工程力学 第五章 弯曲内力(FS)
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
(Internal Forces in Beams) 二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P M
q
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。 RA 三、平面弯曲的概念：
NB
(Internal Forces in Beams) F1 q
A
a m l m x
F
B
F
x
0,
XA 0
Fa M A 0 , RB l F (l a ) Fy 0 , YA l
XA A
YA
F
B
RB
(Internal Forces in Beams) 求内力——截面法 F (l a ) Fy 0 , FS YA l m XA=0A F (l a ) M C 0 , M YA x l x m YA 1、 剪力(Shear force) FS x 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力. FS 2、弯矩(Bending moment )M M C 构件受弯时，横截面上其作用面垂直 YA 于截面的内力偶矩. M 剪力 C 弯曲构件内力 Fs 弯矩
m （受拉）
m
按变形：当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下 半部受压）时，横截面m-m 上的弯矩为负 注：横截面上的弯矩：
-
m
“左顺右逆”为正；反之为负 按受力：“上压下拉”为正，反之为负
（受压）
(Internal Forces in Beams) 例题2 图示梁的计算简图。已知 F1、F2，且 F2 > F1 ， 尺寸a、b、c和 l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处 的剪力和弯矩. RA F2 RB F1 a 解: (1)求支反力 R 和 R
工程力学--弯曲内力
基础篇之五第5章梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bemding）。
主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。
在外力作用下，梁的横截面上将产生剪力和弯矩两种剪力和弯矩。
在很多情形下，剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是均匀的。
对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这些横截面称为危险面。
弯矩和剪力最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。
研究梁的变形和刚度虽然没有危险面的问题，但是也必须知道弯矩沿梁长度方向是怎样变化的。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；怎样根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图与弯矩图，讨论载荷、剪力、弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用。
5－1 工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的。
例如，图5－1a所示桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。
在起吊重量（集中力F P）及大梁自身重量（均布载荷q）的作用下，大梁图5－1 可以简化为简支梁的吊车大梁将发生弯曲，如图5－1b中虚线所示。
石油、化工设备中各种直立式反应塔（图5－2a），底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。
在风力载荷作用下，反应塔的变形如图5－2b所示。
火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可以简化为两端外伸梁。
由于轴自身重量与车厢以及车厢内装载的人、货物的重量相比要小得多，可以忽略不计，因此，火车轮轴的受力和变形如图5－3所示。
5－2 梁的内力及其与外力的相互关系5－2－1 梁的内力与梁上外力的变化有关应用截面法和平衡的概念，不难证明，当梁上的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。
所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用，以及分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变化的函数或变化的图线。
材料力学：第五章 弯曲内力
回顾: 剪力、弯矩的计算步骤（截断法,静力平衡方程 ）
(1) 分析整个梁静力平衡, 求约束处支反力 (2) 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象
(3) 画受力图(三种力: 约束力、外载荷、内力)，FS 与 M 宜均设为正 (4) 列静力平衡方程，
剪力与弯矩图
剪力图与弯矩图:表示 FS 与 M 沿杆轴（x轴）变化情况的图线
回顾:
弯梁内力：剪力、弯矩
外力主 矢FS’
外力 主矩M’
弯矩M 剪力FS
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
弯曲内力
回顾:
剪力、弯矩的正方向记忆 2
回顾:
剪力、弯矩的正负符号规定
剪力
使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正
弯矩
使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正
使横截面顶 部受压的弯 矩为正
剪力、弯矩计算方法 1：平衡方程法
由截断梁的静力平衡方程求内力 对截断梁列出外力、内力平衡方程
例 题: 剪力、弯矩计算
例 5-1 集中力F及外力偶矩Me作用在外伸梁AD上,计算横截
面E、横截面A+与 D-的剪力与弯矩。
例 题: 剪力、弯矩计算
例 5-1 集中力F及外力偶矩Me作用在外伸梁AD上,计算横截
固定端
支反力 FRx , FRy与矩 为 M 的支反力偶
强度校核的前提：
剪力与弯矩计算 应力计算
弯梁内力：剪力、弯矩
外力主 矢FS’
外力 主矩M’
弯矩M 剪力FS
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
弯曲内力
剪力、弯矩的正方向记忆 2
剪力、弯矩的正负符号规定
3. 剪力FS 图: 水平直线 4. 弯矩M 图: 斜线
材料力学(单辉祖)第五章弯曲内力-上海大学2014版
杆件轴线变弯的变形称为弯曲变形 以弯曲变形为主的杆件称为梁
5.2 梁的平面弯曲 约束不类型
梁的平面弯曲
梁横截面具有对称轴，且 全梁有纵向对称面平面
外力作用在梁的对称面内
则梁的轴线变形后为一纵 向对称内的平面曲线 ——梁的平面弯曲
梁的平面弯曲
平面弯曲
载荷 载荷平面
轴线
纵向对称面 弯曲后的轴线 平面弯曲：载荷平面不挠曲轴平面为同一平面 挠曲轴平面
m
+M
m
+M
梁的剪力和弯矩
横截面m-m处使微梁有凹面向下的弯曲变形 时，截面m-m上左、右两端的弯矩皆为负 (上部受拉)
−M
m
m
−M
弯矩符号规则：凹正凸负
Example-1
计算如图所示简支梁的剪力和弯矩。
解 首先计算支反力FAy和FBy
Y 0, FAy FBy P
M A 0,
FByl
M0
– 固定端 – 固定铰支端(丌可移简支端) – 可动铰支端(可移简支端)
约束不类型
固定端
支座使梁的端面既丌能移动，也丌能转动 限制移动的约束反力——水平支反力 FRx
和垂直支反力 FRy 限制转动的约束反力——支反力偶 M
M
L
FRx
FRy
M FRx
FRy
约束不类型
固定铰支端
这种支座使梁的端面丌能移动，但可 以转动
概念
内力、内力图
应力、变形
强度分析和刚度分析 采用同样的思路研究弯曲问题
5.3 梁的内力
梁的剪力和弯矩
当作用在静定梁上的外力
(主动力和约束反力)给定 M
F
后，可以利用截面法确定 FRx
5.2 梁的平面弯曲 约束不类型
梁的平面弯曲
梁横截面具有对称轴，且 全梁有纵向对称面平面
外力作用在梁的对称面内
则梁的轴线变形后为一纵 向对称内的平面曲线 ——梁的平面弯曲
梁的平面弯曲
平面弯曲
载荷 载荷平面
轴线
纵向对称面 弯曲后的轴线 平面弯曲：载荷平面不挠曲轴平面为同一平面 挠曲轴平面
m
+M
m
+M
梁的剪力和弯矩
横截面m-m处使微梁有凹面向下的弯曲变形 时，截面m-m上左、右两端的弯矩皆为负 (上部受拉)
−M
m
m
−M
弯矩符号规则：凹正凸负
Example-1
计算如图所示简支梁的剪力和弯矩。
解 首先计算支反力FAy和FBy
Y 0, FAy FBy P
M A 0,
FByl
M0
– 固定端 – 固定铰支端(丌可移简支端) – 可动铰支端(可移简支端)
约束不类型
固定端
支座使梁的端面既丌能移动，也丌能转动 限制移动的约束反力——水平支反力 FRx
和垂直支反力 FRy 限制转动的约束反力——支反力偶 M
M
L
FRx
FRy
M FRx
FRy
约束不类型
固定铰支端
这种支座使梁的端面丌能移动，但可 以转动
概念
内力、内力图
应力、变形
强度分析和刚度分析 采用同样的思路研究弯曲问题
5.3 梁的内力
梁的剪力和弯矩
当作用在静定梁上的外力
(主动力和约束反力)给定 M
F
后，可以利用截面法确定 FRx
材料力学 弯曲内力
Hale Waihona Puke FAyFByl
2. E截面的剪力与弯矩
QE＝－2F ME＝0
FAy
Me
C
ME F
QE
3. A＋截面的剪力与弯矩
QA＋＝－2F MA＋＝Fl
A
Me
C1
MA
C2
D
4. D-截面的剪力与弯矩
QD-＝F MD-＝0
FAy
QA
△ →0
△ →0
第五章 弯曲内力
小结：截面法计算任一指定截面剪力与弯矩 假想地将梁截开，并任选一段为研究对象。
Q x P
（0 x L） （0 x L）
B
P
x
m m L
A
M x Px
Q x P M
x
PL
第五章 弯曲内力
2、悬臂梁受分布力的剪力图和弯矩图
m
q A
任意横截面m-m
B
Qx qx
x
（0 x L）
Q
m
L
1 M x qx x 2 1 qx 2 （0 x L） 2
qL 2 qL 2
x
qL2 8
（0 x L）
M
L 4
1 1 1 M x RA x qx 2 qLx qx 2 2 2 2 （0 x L）
3qL2 32
3qL2 32
x
3L 4
第五章 弯曲内力
5、简支梁受集中力偶的剪力图和弯矩图
M0 （1）由静力平衡关系求支座反力
剪力方程:
弯矩方程:
Q = Q(x)
M = M(x)
剪力图： 剪力沿梁轴的变化曲线 弯矩图： 弯矩沿梁轴的变化曲线
2. E截面的剪力与弯矩
QE＝－2F ME＝0
FAy
Me
C
ME F
QE
3. A＋截面的剪力与弯矩
QA＋＝－2F MA＋＝Fl
A
Me
C1
MA
C2
D
4. D-截面的剪力与弯矩
QD-＝F MD-＝0
FAy
QA
△ →0
△ →0
第五章 弯曲内力
小结：截面法计算任一指定截面剪力与弯矩 假想地将梁截开，并任选一段为研究对象。
Q x P
（0 x L） （0 x L）
B
P
x
m m L
A
M x Px
Q x P M
x
PL
第五章 弯曲内力
2、悬臂梁受分布力的剪力图和弯矩图
m
q A
任意横截面m-m
B
Qx qx
x
（0 x L）
Q
m
L
1 M x qx x 2 1 qx 2 （0 x L） 2
qL 2 qL 2
x
qL2 8
（0 x L）
M
L 4
1 1 1 M x RA x qx 2 qLx qx 2 2 2 2 （0 x L）
3qL2 32
3qL2 32
x
3L 4
第五章 弯曲内力
5、简支梁受集中力偶的剪力图和弯矩图
M0 （1）由静力平衡关系求支座反力
剪力方程:
弯矩方程:
Q = Q(x)
M = M(x)
剪力图： 剪力沿梁轴的变化曲线 弯矩图： 弯矩沿梁轴的变化曲线
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材料力学的四种基本变形 轴向拉压 剪切与挤压 扭转 平面弯曲
第五章 弯曲内力
§5.1 概述
一、 弯曲变形 bending deformation
第四种基本变形， 最复杂的基本变形
弯曲变形例
弯曲变形例
模型
F
F
F
2
2
一般情况
弯曲变形的特点
1. 受力特点
外力垂直于杆的轴线；
横向力
外力偶矩矢垂直于杆的轴线。
建立坐标系；
列 FQ，M 方程；
作 FQ , M 图。
2. FQ , M 图的要求 ⑴ 与梁对齐画； ⑵ 注明内力性质； ⑶正确画出内力沿梁的轴线变化规律； ⑷ 标明特殊截面内力数值； ⑸ 标明内力的正负号； ⑹ 注明内力单位。
F
A
x l
弯曲变形的特点
2. 变形特点 杆的轴线由直线变为曲线； 任意两横截面绕各自面内某一直线相对 转动一角度。
二、梁 beam 以弯曲变形为主的杆。 直梁—— 轴线为直线 曲梁—— 轴线为曲线 本课程以直梁为主。
三、静定梁模型
模型1：简支梁 simply supported beam
F
F
F
2
2
第五章弯曲内力机械类
逆时针转向的外力取负号。
“左上右下”为正
例：求指定截面剪力
F
A
B
x l
直接法
ห้องสมุดไป่ตู้
FQ = －F
例：求指定截面剪力
A
x
q
B
l-x l
FQ = q（ l－ x ）
二、弯矩M bending moment
1.大小
y
a F1
O· M
∑MO=0,
M－FAx＋F1（x－a）=0 M = FAx－F1（x－a）
∑Fy=0, FA－F1－FQ = 0
FQ = FA－F1
FB 1.大小：一个截面的剪力，
数值等于该截面一侧
F2
所有外力的代数和。
FB
内力总是成对的，大小相等，方向相反， 正负号如何规定？
剪力的正负号
正的剪力
负的剪力
FQ FQ
FQ FQ
FQ
FQ
FQ
FQ
左上右下为正 顺时针为正
左下右上为负 逆时针为负
M1+10×1 － 5 = 0 M1= － 5 kN.m
直接法
FQ2 = 0 M = 第五章弯曲内力机械2类 5 kN.m
例题 : 求指定截面内力
qa
qa2
q
12
C
12
B
a
A
2a
FA
FB
解：1. 求支反力 FA=2qa （↑） FB = qa（↑）
2. 求指定截面剪力和弯矩
FQ1 = －qa FQ2 = FA－qa= qa
注意:剪力的正负号是依据它引起的变形来决定的，
而不是看其指向第。五章弯曲内力机械类
梁的内力——剪力 FQ 和 弯矩 M
y
F1
一、剪力FQ shear force
M
∑Fy=0, FA－F1－FQ = 0
FQ x FA
FQ = FA－F1 1.大小：一个截面的剪力，
数值等于该截面任意一侧
所有外力的代数和。
用方程表达内力沿轴线变化规律， 其缺点是：
⑴ 方程依赖于坐标系，即同一段梁 用不同坐标系写出的方程不同——不唯一。
⑵ 内力变化规律不直观——不方便。
二、剪力图和弯矩图
shear force and bending moment diagrams
将剪力方程和弯矩方程画成图像， 观察内力变化规律既唯一又直观。 1. 作 FQ , M 图步骤
O A
B
x l
直接法
M = －F x
例：求指定截面弯矩
q
A
x
B
l-x l
M = q(lx)lxq(lx)2
2
2
例 求指定截面的剪力和弯矩
5kN.m
A
1m
10kN
2
2
1m
1
B
1
5kN.m
A
10kN
1
M1
ΣFy = 0 , ΣM1 = 0 ,
1m
1m
1 FQ
1
FQ1+10 = 0
FQ1 = －10 kN
模型2：悬臂梁 cantilever beam
FF F
模型3：外伸梁 overhang beam
F1
F2
静定梁
1. 简支梁 2. 悬臂梁 3. 外伸梁
四、平面弯曲变形
1. 平面弯曲
弯曲变形后梁的轴线变为平面曲线。
2. 对称弯曲
平面弯曲的一种特殊情形。 条件：⑴ 横截面有对称轴；
⑵ 载荷作用在纵对称面内； ⑶ 轴线为纵对称面内平面曲线。
对称弯曲例
F1
纵对称面
F2
FR1 轴线
FR2
本课程中第四种基本变形 指的是对称弯曲变形。
§5.2 剪力和弯矩
F1
F2
FA
x
F1
FB
剪力FQ M
弯矩M
FA
x FQ
梁的内力
剪力FQ 弯矩M
第五章弯曲内力机械类
截面法计算梁的内力
F1
F2
FA
x
y F1
MM
x FQ
FQ
FA
一、剪力FQ shear force
FQ x FA
一个截面的弯矩，数值上等于 该截面任意一侧所有外力对此
M
F2
截面形心力矩的代数和。
FQ
FB
正负号？
第五章弯曲内力机械类
弯矩的正负号
正的弯矩
M MM
上凹下凸
M
表示方法
引起的变形
凹侧纵向纤维缩短，受压； 凸侧纵向纤维伸长，受拉。 ---------使梁上压下拉的弯矩为正。
“左顺右逆”为正
弯矩的正负号
负的弯矩
MM
上凸下凹
M
表示方法
引起的变形
使梁上拉下压的弯矩为负。
弯矩M
y
a F1
x FA
1.大小
O· M
FQ
∑MO=0, M－FAx＋F1（x－a）=0 M = FAx－F1（x－a）
一个截面的弯矩，数值上等于 该截面任意一侧所有外力对此
截面形心力矩的代数和。
2.正负号
使得梁的上部发生凹，下部发生凸的变形者为正。
2. 正负号：对研究对象内任一点顺时针转向的
剪力为正，逆时针转向的剪力为负。
第五章弯曲内力机械类
例：求指定截面剪力
F
A
x
设正的剪力 FQ
B
l
截面法
ΣFy = 0 , － FQ － F = 0 FQ = － F
直接法计算剪力
一个截面的剪力，等于该截面任意 一侧所有横向外力的代数和； 对截面形心呈顺时针转向的外力取正号，
M1 = －qa2 M2 =－qa2＋qa2= 0
§5.3 剪力图和弯矩图
一、剪力方程和弯矩方程
F
A
B
x l
剪力方程 弯矩方程
FQ = －F M = －F x
（0≤x＜l）
剪力方程和弯矩方程的写法： 1. 选坐标(注意坐标轴的表示方法） 轴线—— x 轴，代表不同的横截面 函数—— 内力 2. 列方程 梁的不同段上的内力方程，可以选用 不同的坐标系。
第五章弯曲内力机械类
例：求指定截面弯矩
F
O A
x
设正的弯矩
M
B
l
截面法
ΣMO = 0 , M + F x = 0
M = －F x
直接法计算弯矩
一个截面的弯矩，等于该截面任意一侧 所有外力对此截面形心力矩的代数和。
向上的外力取正号，向下的外力取负号。 外力偶“左顺右逆”为正。
例：求指定截面弯矩
F
第五章 弯曲内力
§5.1 概述
一、 弯曲变形 bending deformation
第四种基本变形， 最复杂的基本变形
弯曲变形例
弯曲变形例
模型
F
F
F
2
2
一般情况
弯曲变形的特点
1. 受力特点
外力垂直于杆的轴线；
横向力
外力偶矩矢垂直于杆的轴线。
建立坐标系；
列 FQ，M 方程；
作 FQ , M 图。
2. FQ , M 图的要求 ⑴ 与梁对齐画； ⑵ 注明内力性质； ⑶正确画出内力沿梁的轴线变化规律； ⑷ 标明特殊截面内力数值； ⑸ 标明内力的正负号； ⑹ 注明内力单位。
F
A
x l
弯曲变形的特点
2. 变形特点 杆的轴线由直线变为曲线； 任意两横截面绕各自面内某一直线相对 转动一角度。
二、梁 beam 以弯曲变形为主的杆。 直梁—— 轴线为直线 曲梁—— 轴线为曲线 本课程以直梁为主。
三、静定梁模型
模型1：简支梁 simply supported beam
F
F
F
2
2
第五章弯曲内力机械类
逆时针转向的外力取负号。
“左上右下”为正
例：求指定截面剪力
F
A
B
x l
直接法
ห้องสมุดไป่ตู้
FQ = －F
例：求指定截面剪力
A
x
q
B
l-x l
FQ = q（ l－ x ）
二、弯矩M bending moment
1.大小
y
a F1
O· M
∑MO=0,
M－FAx＋F1（x－a）=0 M = FAx－F1（x－a）
∑Fy=0, FA－F1－FQ = 0
FQ = FA－F1
FB 1.大小：一个截面的剪力，
数值等于该截面一侧
F2
所有外力的代数和。
FB
内力总是成对的，大小相等，方向相反， 正负号如何规定？
剪力的正负号
正的剪力
负的剪力
FQ FQ
FQ FQ
FQ
FQ
FQ
FQ
左上右下为正 顺时针为正
左下右上为负 逆时针为负
M1+10×1 － 5 = 0 M1= － 5 kN.m
直接法
FQ2 = 0 M = 第五章弯曲内力机械2类 5 kN.m
例题 : 求指定截面内力
qa
qa2
q
12
C
12
B
a
A
2a
FA
FB
解：1. 求支反力 FA=2qa （↑） FB = qa（↑）
2. 求指定截面剪力和弯矩
FQ1 = －qa FQ2 = FA－qa= qa
注意:剪力的正负号是依据它引起的变形来决定的，
而不是看其指向第。五章弯曲内力机械类
梁的内力——剪力 FQ 和 弯矩 M
y
F1
一、剪力FQ shear force
M
∑Fy=0, FA－F1－FQ = 0
FQ x FA
FQ = FA－F1 1.大小：一个截面的剪力，
数值等于该截面任意一侧
所有外力的代数和。
用方程表达内力沿轴线变化规律， 其缺点是：
⑴ 方程依赖于坐标系，即同一段梁 用不同坐标系写出的方程不同——不唯一。
⑵ 内力变化规律不直观——不方便。
二、剪力图和弯矩图
shear force and bending moment diagrams
将剪力方程和弯矩方程画成图像， 观察内力变化规律既唯一又直观。 1. 作 FQ , M 图步骤
O A
B
x l
直接法
M = －F x
例：求指定截面弯矩
q
A
x
B
l-x l
M = q(lx)lxq(lx)2
2
2
例 求指定截面的剪力和弯矩
5kN.m
A
1m
10kN
2
2
1m
1
B
1
5kN.m
A
10kN
1
M1
ΣFy = 0 , ΣM1 = 0 ,
1m
1m
1 FQ
1
FQ1+10 = 0
FQ1 = －10 kN
模型2：悬臂梁 cantilever beam
FF F
模型3：外伸梁 overhang beam
F1
F2
静定梁
1. 简支梁 2. 悬臂梁 3. 外伸梁
四、平面弯曲变形
1. 平面弯曲
弯曲变形后梁的轴线变为平面曲线。
2. 对称弯曲
平面弯曲的一种特殊情形。 条件：⑴ 横截面有对称轴；
⑵ 载荷作用在纵对称面内； ⑶ 轴线为纵对称面内平面曲线。
对称弯曲例
F1
纵对称面
F2
FR1 轴线
FR2
本课程中第四种基本变形 指的是对称弯曲变形。
§5.2 剪力和弯矩
F1
F2
FA
x
F1
FB
剪力FQ M
弯矩M
FA
x FQ
梁的内力
剪力FQ 弯矩M
第五章弯曲内力机械类
截面法计算梁的内力
F1
F2
FA
x
y F1
MM
x FQ
FQ
FA
一、剪力FQ shear force
FQ x FA
一个截面的弯矩，数值上等于 该截面任意一侧所有外力对此
M
F2
截面形心力矩的代数和。
FQ
FB
正负号？
第五章弯曲内力机械类
弯矩的正负号
正的弯矩
M MM
上凹下凸
M
表示方法
引起的变形
凹侧纵向纤维缩短，受压； 凸侧纵向纤维伸长，受拉。 ---------使梁上压下拉的弯矩为正。
“左顺右逆”为正
弯矩的正负号
负的弯矩
MM
上凸下凹
M
表示方法
引起的变形
使梁上拉下压的弯矩为负。
弯矩M
y
a F1
x FA
1.大小
O· M
FQ
∑MO=0, M－FAx＋F1（x－a）=0 M = FAx－F1（x－a）
一个截面的弯矩，数值上等于 该截面任意一侧所有外力对此
截面形心力矩的代数和。
2.正负号
使得梁的上部发生凹，下部发生凸的变形者为正。
2. 正负号：对研究对象内任一点顺时针转向的
剪力为正，逆时针转向的剪力为负。
第五章弯曲内力机械类
例：求指定截面剪力
F
A
x
设正的剪力 FQ
B
l
截面法
ΣFy = 0 , － FQ － F = 0 FQ = － F
直接法计算剪力
一个截面的剪力，等于该截面任意 一侧所有横向外力的代数和； 对截面形心呈顺时针转向的外力取正号，
M1 = －qa2 M2 =－qa2＋qa2= 0
§5.3 剪力图和弯矩图
一、剪力方程和弯矩方程
F
A
B
x l
剪力方程 弯矩方程
FQ = －F M = －F x
（0≤x＜l）
剪力方程和弯矩方程的写法： 1. 选坐标(注意坐标轴的表示方法） 轴线—— x 轴，代表不同的横截面 函数—— 内力 2. 列方程 梁的不同段上的内力方程，可以选用 不同的坐标系。
第五章弯曲内力机械类
例：求指定截面弯矩
F
O A
x
设正的弯矩
M
B
l
截面法
ΣMO = 0 , M + F x = 0
M = －F x
直接法计算弯矩
一个截面的弯矩，等于该截面任意一侧 所有外力对此截面形心力矩的代数和。
向上的外力取正号，向下的外力取负号。 外力偶“左顺右逆”为正。
例：求指定截面弯矩
F