圆中常见的辅助线的作法分类大全

O

C

B

A 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：1、利用垂径定理；

2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

4、可得等腰三角形；

5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。

例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ， 求证：PM •PN=2PO 2

.

分析：要证明PM •PN=2PO 2

，即证明PM •PC =PO 2

， 过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明 PM •PC=PO 2

，要证明PM •PC=PO 2

只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC=

2

1PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. ∴

PO PC PM PO

即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM •2

1PN ，∴PM •PN=2PO 2

. 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。

【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，

那么OP 的长的取值范围是_________．

【例3】如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，

B

A

则∠C 的度数是________.

2． 遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。

例 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．

（1） 求证：BA ·BM=BC ·BN ；

（2） 如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3时，求AB 的值．

分析：要证BA ·BM=BC ·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而BN 是圆O 的直径，所以连结MN 可得∠BMN=90°。 （1） 证明：连结MN ，则∠BMN=90°=∠ACB ∴△ACB ∽△NMB ∴

BN

AB BM

BC

∴AB ·BM=BC ·BN

（2） 解：连结OM ，则∠OMC=90° ∵N 为OC 中点

∴MN=ON=OM ，∴∠MON=60° ∵OM=OB ，∴∠B=

2

1∠MON=30°

∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6

【例4】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,

∠B=

3． 遇到90°的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

B

O C

B A

【例5】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，

AB=6，AC=8，⊙O的半径是

5．遇到有切线时

（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

2、利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．

6．遇到证明某一直线是圆的切线时

切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径

切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以,在证明直线是切线时, 往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律. 1．无点作垂线

需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.

例7．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于A， BC⊥AB于B，若∠DOC= 90°.

求证：DC是⊙O的切线.

分析：DC与⊙O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OE⊥DC，只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径，若能证OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，需证明△DEO≌△DAO

证明：作OE⊥DC于E点，取DC的中点F，连结OF.

又∵∠DOC= 90°. ∴ FO=FD ∴∠1=∠3.

∵AD⊥AB，BC⊥AB, ∴BC∥AD, ∴OF为梯形的中位线.

∴OF∥AD . ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠2.

∴DO是∠ADE的角平分线. ∵OA⊥DA，OE⊥DC，

∴OA=OE=圆的半径. ∴ DC是⊙O的切线.

2．有点连圆心.

当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.例8．已知：如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线.

分析：D在⊙O上，有点连圆心，连结DO，证明DO⊥DC即可.

证明：连结DO，∵OC∥AD ∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC

而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，DO=BO ∴△DOC≌△BOC

∴∠ODC=∠OBC，∵BC为⊙O的切线，切点为B

∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，又D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线.

【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。

求证：直线L与⊙O相切。

【例8】如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．求证：AB是⊙O切线；

7．遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。