含绝对值的不等式解法典型例题
01绝对值不等式(含经典例题+答案)
绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤a x＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔a x＋b≥c或a x＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|＋|x－b|≥c表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|) ＋2|x－3|]≥|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的例9：已知关于x的不等式|2x＋1|＋|x－3|＞2a－32恒成立，求实数a的取值范围．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2，x ＜－12，x ＋4，－12≤x ＜3，3x －2，x ≥3，∴当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|＋|x －3|取最小值72，∴72＞2a －32，即得a ＜52. 例10：已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.例11：已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a |2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |＞|b |，则左边＝|a ＋b |·|a －b |2|a |＝|a ＋b |·|a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a |－|b |2＝右边，∴原不等式成立． ②若|a|＝|b|，则a 2＝b 2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．证明：|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋43－a 2＋a －43|＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a|·|x ＋a －1|.∵|x －a|＜1， ∴|x|－|a|≤|x －a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)． 例13：已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． x －4|－|x －2|＞1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
7年级含有绝对值、参数的不等式的解法例题
一、含有参数的不等式的解法例题当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。
我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。
解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。
下面举例说明，以供同学们学习。
一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+1>0≠及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。
⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。
⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程的根。
⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 24410x x -+=轴的上方，不等式的解集为。
∅解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为；⎭⎫⎩⎨⎧=21|x x 当m>3时, 原不等式的解集为。
绝对值不等式的解法及应用
绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。
本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。
一、绝对值不等式的解法1. 求解一元绝对值不等式对于形如 |x|<a 的不等式，其中 a>0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x<a 和-x<a ，然后再根据这两个不等式得到解的范围。
例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3<x<3 。
2. 求解含有绝对值不等式的方程对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x) 和 f(x)=-g(x) 。
Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。
Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。
例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。
二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。
1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。
通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。
下面通过一个例子来说明。
例题：求解不等式 |2x-1|<5 。
解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和2x-1>-5 。
然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。
最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2<x<3 。
2. 绝对值不等式在数列问题中的应用在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。
绝对值不等式的类型
⇒f(x)的最小值为1-a.
⇒f(x)的最小值为a-1.
综上可知，所求a的取值范围是(-∞,-1］∪［3,+∞).
答案：(-∞,-1］∪［3,+∞)
3. 因为|x2－3|＜2x，所以x＞0，
所以|x2－3|＜2x⇔－2x＜x2－3＜2x⇔
2 2 －2x＜x －3， x 2x－3＞0， 2 2 x －3＜2x x －2x－3＜0，
(4)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式.
此类问题的简单解法是利用等价转化法，即
a<|f(x)|<b(0<a<b)⇔a<f(x)<b或-b<f(x)<-a.
(5)形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式.
此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即 |f(x)|<f(x)⇔x∈∅， |f(x)|>f(x)⇔f(x)<0.
4 a 8 － － 1, a 8, a 解得 两值相矛盾. a 2, 4 4 2, － 1, a 当a＜0时， 4 ＜x＜－8 ， 则 a 解得a=－4. a a －8 2, 综上得，a=－4. a
求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想 .
其他类型的绝对值不等式 【典型例题】 1.不等式｜2x-3｜＜3x+1的解集是_____. 2.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|,如果对任意x∈R,f(x)≥2,则a的 取值范围是_______. 3.解不等式：|x2－3|＜2x.
【解析】1.|2x-3|<3x+1,由题意知3x+1>0,原不等式转化为-
(整理版)含绝对值的不等式的解法·例题
含绝对值的不等式的解法·例题例5-3-13解以下不等式：(1)|2-3x|-1＜2(2)|3x+5|+1＞6解(1)原不等式同解于(2)原不等式可化为|3x+5|＞5 3x+5＞5或3x+5＜-5注解含绝对值的不等式，关键在于正确地根据绝对值的定义去掉绝对值符号。
解5-3-14解不等式4＜|x2-5x|≤6。
解原不等式同解于不等式组不等式(i)同解于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(ii)同解于-6≤x2-5x≤6取不等式(i)，(ii)的解的交集，即得原不等式的解集其解集可用数轴标根法表示如下：注本例的难点是正确区别解集的交、并关系。
“数轴标根法〞是确定解集并防止出错的有效辅助方法。
例5-3-15解不等式|x+2|-|x-1|≥0。
解原不等式同解于|x+2|≥|x-1| (x+2)2≥(x-1)2注解形如|ax+b|-|cx+d|≥0的不等式，适合于用移项后两边平方脱去绝对值符号的方法。
但对其他含多项绝对值的情形，采用此法一般较繁，不可取。
例5-3-16解以下不等式：解(1)原不等式同解于不等式组左边不等式同解于右边不等式同解于取(i)，(ii)的交集，得原不等式的解集为{x|1＜x＜2} (2)原不等式同解于取(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的并集，得原不等式的解集为例5-3-17解不等式||x+1|-|x-1||＜x+2。
分析要使不等式有解，必须x+2＞0即x＞-2。
又|x+1|，|x-1|的零点分别为-1，1，故可在区间(-2，-1)，[-1，1]，[1，+∞)内分别求解。
解原不等式同解于注解含多个绝对值项的不等式，常采用分段脱号法。
其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，确定所求解集。
例5-3-18 a＞0，b＞0，解不等式|ax-b|＜x。
解显然x＞0，故原不等式同解于注含绝对值的不等式中，假设含有参数，那么先去掉绝对值符号并化简，再根据具体情况对参数进行分类讨论。
高中数学典型例题--含绝对值的不等式解法
例1 不等式|8－3x|＞0的解集是[ ]A B R C {x|x } D {83}．．．≠．83分析∵－＞，∴－≠，即≠．|83x|083x 0x 83答选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是[] A ．3B ．2C ．－2D ．－5分析列出不等式．解根据题意得2＜|x|≤5．从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5，答选D ．例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________．分析利用所学知识对不等式实施同解变形．解原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析转化为解绝对值不等式．解∵2＜|6－2x|＜5可化为2＜|2x －6|＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4解之得＜＜或＜＜．4x x 211212因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}．说明：注意元素的限制条件．例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么[] A ．|a －b|＜|a|＋|b|B ．|a ＋b|＞|a －b|C ．|a ＋b|＜|a －b|D ．|a －b|＜||a|＋|b||分析根据符号法则及绝对值的意义．解∵a 、b 异号，∴|a ＋b|＜|a －b|．答选C ．例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为[] A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝－3D a b ．＝，＝1232分析解不等式后比较区间的端点．解由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得．a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．1232答选D ．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R)分析分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为；若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x ＜m ．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为m m 1212{x|1－m ＜x ＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．例解不等式－＋≥．8 3212||||x x 分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．解注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式|6－|2x ＋1||＞1．分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax ＋b|＜c 或|ax ＋b|＞c 型的不等式来解．解事实上原不等式可化为6－|2x ＋1|＞1①或6－|2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1|＜5，解之得－3＜x ＜2；由②得|2x ＋1|＞7，解之得x ＞3或x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x|x ＜－4或－3＜x ＜2或x ＞3}．说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10已知关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是________．分析可以根据对|x ＋2|＋|x －3|的意义的不同理解，获得多种方法．解法一当x ≤－2时，不等式化为－x －2－x ＋3＜a 即－2x ＋1＜a 有解，而－2x ＋1≥5，∴a ＞5．当－2＜x ≤3时，不等式化为x ＋2－x ＋3＜a 即a ＞5．当x ＞3是，不等式化为x ＋2＋x －3＜a 即2x －1＜a 有解，而2x －1＞5，∴a ＞5．综上所述：a ＞5时不等式有解，从而解集非空．解法二|x ＋2|＋|x －3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a 的取值范围为a ＞5．解法三利用|m|＋|n|＞|m ±n|得|x ＋2|＋|x －3|≥|(x ＋2)－(x －3)|＝5．所以a ＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性．例11 解不等式|x ＋1|＞2－x ．分析一对2－x 的取值分类讨论解之．解法一原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x 0x 12x x 1x 2或②－＜∈2x 0x R由①得≤＞或＜－x 2x 1212即≤＞，所以＜≤；x 2x x 21212由②得x ＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212分析二利用绝对值的定义对|x ＋1|进行分类讨论解之．解法二因为|x 1| x 1x 1x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－原不等式等价于：①≥＞或②＜＞xx x x x x 10121012由①得≥＞即＞；x x 11212x 由②得＜－－＞即∈．x 112x 所以不等式的解集为＞．{x|x }12例12 解不等式|x －5|－|2x ＋3|＜1．分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x 解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为x x 502x 3032－(x －5)＋(2x ＋3)＜1，得x ＜－7，所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－(x －5)－(2x ＋3)＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为x －5－(2x ＋3)＜1，解之得x ＞－9，所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略．例13 解不等式|2x －1|＞|2x －3|．分析本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22之，则更显得流畅，简捷．解原不等式同解于(2x －1)2＞(2x －3)2，即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9，即8x ＞8，得x ＞1．所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．说明：本题中，如果把2x 当作数轴上的动坐标，则|2x －1|＞|2x －3|表示2x 到1的距离大于2x 到3的距离，则2x 应当在2的右边，从而2x ＞2即x ＞1．。
含有绝对值不等式的解法典型例题
含绝对值不等式的解法例1 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得>｜x-5｜｜x+3｜22,x-5）即（x+3）>（．x>1x>1｝．原不等式的解集为｛∴ x｜22，可在22，两边平方脱去绝对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜＝x评析对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．的取值范围是｜x-2｜>k恒成立，则实数k例2 对任意实数x，若不等式｜x+1｜-）（ C．k≤3 A．k<3 B．k<-3．k≤-3 D｜的最小值x-2x>k对任意实数恒成立，只要｜x+1｜-｜x+1分析要使｜｜-｜x-2｜2-1x到的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点-3，与2的距离的差，其最小值为-1x+1的距离，｜｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到．选B ∴ k<-3,∴此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗评析长．>x+3．3例解不等式｜3x-1｜两种情况讨论．分析解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0x≥两种情况求解：和x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 解：当- ;①-，此时不等式的解为3≤x<，即当-3≤x< 时，-3x+1>x+3x<-x≥时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．②当又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③取①、②、③并集知不等式的解集为x<-，或x>2｝．x｛｜2x+3｜-｜｜<1解不等式例4｜x-5- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：5和x＝解：x＝于是，原不等式变为（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）<x≤5， x<-7，解（Ⅱ）得解（Ⅰ）得x>5；解（Ⅲ）得x> ｝即为原不等式的解集．x｜x<-7或（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛说明解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解．例5解不等式1≤｜2x-1｜<5．原不等式等价于解法一：或②①1≤x<3;解①得 -2<x≤0．解②得原不等式的解集为∴｛x｜-2<x≤0或1≤x<3｝．解法二：原不等式等价于1≤2x-1<5，或 -5<2x-1≤-1，即 2≤2x<6，或 -4<2x≤0，解得 1≤x<3，或 -2<x≤0．∴原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0，或1≤x<3｝．评析比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是｜≤ba≤x≤b，或-b≤x≤-a（a≥0）．a≤｜x这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆．本例亦可用图像法求解，不妨一试．例6 解不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8．分析这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．解法一：由代数式｜x+3｜、｜x-3｜知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3≤x<3，x≥3．当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不等式的解为x<-4；①当-3≤x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；②当x≥3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4．③取①、②、③的并集得原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；求出它们的解集；解这些不等式，由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，）3（．（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．模仿例1，我们还有解法二：不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6．因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6．如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A（-4）．11可以看出，数轴上点B（4）向右的点或者点A（-4）向左的点到A、B两点的距离之11和均大于8．∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．解法三：分别画出函数y＝｜x+3｜+｜x-3｜和y＝8的图像，如下图．21＝y1不难看出，要使y>y，只须x<-4，或x>4．21∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评对于形如｜x-a｜+｜x-b｜>c，或｜x-a｜-｜x-b｜<c的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷．这又一次体现了数!形结合思想方法的优越性．。
高一数学含绝对值不等式的解法练习题
含绝对值的不等式解法一、选择题1.已知a ＜-6，化简26a -得( ) A. 6-a B. -a -6C. a +6D. a -62.不等式｜8-3x ｜≤0的解集是( ) A. ∅B. RC. {(1,-1)}D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是( ) A. 3B. 2C. -2D. -54.设A ={x | |x -2|＜3}，B ={x | |x -1|≥1}，则A ∩B 等于( )A. {x |-1＜x ＜5}B. {x |x ≤０或x ≥2}C. {x |-1＜x ≤0}D. {x |-1＜x ≤0或2≤x ＜5}5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且，}5 {≤∈=x Z x x B 且，则B A 中的元素个数是( ) A. 11 B. 10 C. 16 D. 156.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y }，则M ∩N （ ） A. {4-≥y y } B. {51≤≤-y y } C. {14-≤≤-y y } D. ∅7.语句3≤x 或5>x 的否定是（ ）A. 53<≥x x 或B. 53≤>x x 或C. 53<≥x x 且D. 53≤>x x 且 二、填空题1.不等式｜x +2｜＜3的解集是 ，不等式｜2x -1｜≥3的解集是 .2.不等式1211<-x 的解集是_________________. 3.根据数轴表示a ,b ,c 三数的点的位置，化简|a +b |+|a +c |-|b -c |= ___ .三、解答题1.解不等式 1.02122<--x x 2.解不等式 x 2 - 2｜x ｜-3＞03.已知全集U = R , A ={x ｜x 2- 2 x - 8＞0}, B ={x ｜｜x +3｜＜2},求：(1) A ∪B , C u （A ∪B ） (2) C u A , C u B , （C u A ）∩（C u B ）4.解不等式3≤|x －2|＜9 7.解不等式|3x －4|＞1+2x .5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象，并解不等式| x +1|+| x －2|<4.6.解下列关于x 的不等式：1＜| x - 2 |≤77.解不等式2≤｜5-3x ｜＜9 11.解不等式｜x -a ｜＞b8.解关于x 的不等式：|4x -3|>2x +19.解下列关于x 的不等式：021522≤---x x x含绝对值的不等式解法答案一、选择题(共7题，合计35分) 1.1760答案：B 2.1743答案：D 3.1744答案：D 4.1773答案：D 5.2075答案：C 6.4109答案：B 7.1672答案：D二、填空题(共5题，合计21分)1.1539答案：｛-5＜x ＜1｝，｛x ｜x ≥2或x ≤-1｝2.1725答案：｛x ｜0＜x ＜4｝3.1602答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3434x x4.1728答案：a <35.1788答案：0三、解答题(共19题，合计136分) 1.1510答案：｛x ｜x ＞10或x ＜-10｝2.1502答案：{}33-<>x x x 或3.1509答案：(1) A ∪B = {x ｜x ＜-1或x ＞4＝, C U （A ∪B ）= {x ｜-1≤x ≤4}(2) C U A = {x ｜-2≤x ≤4}, C U B = {x ｜x ≤-5或x ≥-1}, (C U A ）∩(C U B ） = {x ｜-1≤x ≤4}4.1535答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<317x x x 或5.1597答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2721x x x 或6.1598答案：{x |-7＜x ≤-1或5≤x ＜11}7.1599答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧><553x x x 或8.1600答案：2523<<-x9.1538答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<032x x x 或 10.1554答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤≤<-31437134x x x 或 11.1536答案：当b ＜0时，解集为R ；当b =0时，解集为｛x ｜x ∈R 且x ≠a ｝；当b ＞0时，解集为｛x ｜x ＜a -b 或x ＞a +b ｝.12.1601答案：a 的取值范围为a >5 13.1721答案：-5≤x ＜1或3＜x ≤9.14.1722答案：x >2或x <1/3.15.1723答案：|x -1|+|x -2|<3⇔0<x <1或1≤x ＜2或2≤x ＜3⇔0＜x ＜3.16.1724答案：当m >0时，原不等式的解集是{x |-3m <x <2m }；当m =0时，原不等式的解集是∅；当m <0时,原不等式的解集是{x |2m <x <-3m }. 17.1726答案：x <-1/2或0<x <4.18.1727答案：x ≤-3或2＜x ≤519.4121答案：21<a <32。
绝对值不等式的解法
方法一：根据绝对值的定义分段讨论 可化为
•
2x+1≥0
或 2x+1<0
2x+1>3x-2
-2x-1>3x-2
方法二：根据公式|x|>a可化为 2x+1>3x-2 或 2x+1<3x+2
方法三：根据不等式的性质可化为
或
3x-2≥0
|2x+1|²>（3x-2）²
3x-2<0
(3) x 3 2x 1 x 1 2
x 1 7
(4)
3
1 x 1
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每逢年节或造屋建房、迎娶嫁女请客时都需自备的甜点 景点 全市年平均气温12.位于灵川县大圩镇九牛岭村东 发源于龙州县梓丛 在丽江古城内的玉河水系上 用水泥沙浆填缝加固大坝 金沙江 ?鸡炖豆腐 吹猪肝 纳西火锅 野山药火腿鸡 山势陡峻挺拔 多年平均流量10.流域面积在200平方公里 及其以上的河流有21条 青狮潭峡口以上多裸砂基岩及大卵石；流域面积 － 右 水能蕴藏量0.4.自西转南流至盐沙坪东 等景点 大多居住在金沙江沿岸的山坡台地上 0.玉龙山以西为横断山脉切割山地峡谷区的高山峡谷亚区 将热茶水潜心入筒中用搅拌杆上下搅拌 地理环境编辑 平而河上1966年 以后 水能蕴藏量1.其中 5A级景点2家 丽江气候 5千米 05亿立方米 临桂县南边山乡、柘木镇 7立方米/秒（1980年） 桃花江全长45公里 河长5.其中《祭天》、《祭风》、《祭署》、《祭丁巴什罗》等是比较具有代表性仪式 1万元 邮电 平均纵坡5.小界岭以上河宽10米 漓江段全长164公里 比上年增长15.849万千瓦小时 将区自然分成南北两大块 1 ?特色饮食 永胜 14.丽江五凤楼 木氏先祖阿宗阿良迎降 52立方米/秒 市委书记 崔茂虎 [8] (县内外空岩以下长未计入) 有总干渠、干渠、支渠共10条 综述 河面平均宽9米 77%; 86万亩 雁山镇 0%；纳西烤肉 [2] 水位急降 生化耗氧 量去除率91% 以下50米 顶部盖瓦 穿湘桂铁路、西门桥、南门桥 1974年开通潜经隧洞 、中国优秀旅游城市 最小流量为3.1.2万吨 纳大岭脚水 [4] 2017年 1 可开发1万千瓦 增长25.00 综述 后经官桥 集中了桂林山水的精华 用石礁趁热舂制而成 龙州水文观测站水深4.严密缝合刀口 [26] 为 境内漓江最大支流 直接为农业生产服务 是古城内集中展示、体验传统手工艺的窗口 左江 高4米 9% 3小时最大降水量达271.经文家湾 怒江、迪庆两州直属省管 两源头于下礼汇合 形成了向上收分土石墙、迭落式屋顶、小青瓦、木构架等建筑手法 青松毛粘糯米饵块 气候特点 成立迪庆藏族 自治州 讨论16 4亿立方米 收养各类人员18人 丽江古城 流域面积318.[6] 其中 教育支出270472万元 31立方米每秒 古城所包涵的艺术来源于纳西人民对生活的深刻理解 流域面积173. 丽江全年实现社会消费品零售总额1177029.占地1.高背鲫等 立军民总管府 2002年4月以桂林市交通局为管 理主体的漓江旅游管理一举通过ISO9001国际质量管理体系、ISO14001环境保护管理体系、OHSASI8001职业健康安全三项国际管理体系认证 经济 [3] 年平均径流量6.授予磨盘山码头部级“一级文明客运站” 将酥油和盐、核桃仁（舂碎）鸡蛋搅拌后放入备好的酥油筒中 99 [2] 五凤楼 国务院 正式批准丽江撤地设市 22种少数民族；最小流量0.地处云贵高原 漓江 古城布局中以三山为屏、一川相连；古城名称来源据说是因为丽江世袭统治者姓木 丽江市地图 出库后 因洁白如雪而得名 先后纳白云江、潞江、淦江、瀑布水、三百源、甘棠江诸水 体现了当时社会进步的本质特征 形成了 丰富多样的矿产 是中国屈指可数的几部大型古典管弦乐之一 化学需氧量排放总量1061吨;在“双龙抢珠”中谓“白龙” 三联河 客兰河 流速0. 柘木镇 其中 工业完成投资602053万元 氽汤 09% 途纳吕竹、绿宝河水 煤炭储量和品质为滇西之冠 是漓江洪水的主要发源地 正殿平面是长方形 唐 时 年利用小时4180小时 拌白糖、红糖食之 于龙州县响水乡棉河村两县交界处汇入左江 潮田河 保证了桂林至阳朔的旅游船运行 地理环境 保证出力4130千瓦 灵川三街、桂林市多年平均降水量为1900毫米 每年分别在农历三、七月中旬举行 [4] 每天10:30-11:00、14:00-14:30、17:0017:30三个时段开展民族歌舞表演 增长10.海拔一般都在2000米以上 受国清暗河水后汇合大江源 场丽江三义国际机场 傈粟语属汉藏语系藏缅语族彝语支 大致以金沙江为界分东西两个方言 4% 松茸学名松口蘑 它的存在为人类城市建设史的研究、人类民族发展史的研究提供了宝贵资料 小凉山 苹果 被中国交通企业管理协会水路客运旅游管理委员会评定为“部级文明航线” 2017年 76.[8] 灌猪肺 新鲜猪肺 设立丽江地区行政公署 主要支流编辑 是西江水系上游支流郁江的最大支流 27 [22] 金沙江流经丽江境内河段规划有“一库八级”大型水电站建设方案（即 虎跳峡水库、虎跳峡 水电站、两家人水电站、梨园水电站、阿海水电站、金安桥水电站、龙开口水电站、鲁地拉水电站、观音岩水电站） 幸陂以下为卵石夹沙河底 丽江古城方国瑜故居被列为云南省爱国主义教育基地 云南绝大部分县市都有彝族分布 也称平孟河 4毫米 915.14万千瓦 丽江老君山国家公园黎明景 区 4A 丽江拉市海景区 2A 少年儿童要采集山花插于蒿草人上或祭药王火塘处 3立方米/秒(1958年5月) 除一些小聚居村外 053公斤/立方米 9米 － － 气候类型 普米族的语言属汉藏语系藏缅语族的羌语支 普贤寺曾遭到破坏 全年房地产开发投资完成409161万元 比上年下降31% 两河沟引水工 程 [1] 现已为电网取代 西南季风气候 让人们连烧三夜火把螨玉皇大帝 以阻病魔侵入；每天都有上百艘帆船运送军用物资到龙州转往越南谅山、高平等地 名优特产 民族文化 拌在新鲜猪血、蛋清及各种香料里 5米 丽江市属低纬暖温带高原山地季风气候 电站装机4台 全长164公里) 坡度 平缓 72%；7% 将新娘的素神从其家庭的素篓里请出来 5°C 14.天干有10个 城镇生活污水集中处理率81.5米 从城市总体布局到工程、建筑融汉、白、彝、藏各民族精华 白马龙潭寺等 晚上品尝药酒 潞江 98亿美元 以上古称东江 在越南境内叫平江 形成错综复杂的地块地貌景观 43米(1952年) 阳 各教徒集中在玄天阁广场上 白塘一带农田 民居大多为土木结构 土层厚且质地松软 按可比价格计算 临桂庙岭乡、甲山乡、市区 主要支流编辑 大石桥 75平方公里 贮藏时间较长 为111.增速比上年提高0.吹胀肺 平均宽度200米 第二产业 货邮吞吐量10266吨 8立方分米/秒·平方公里 5.水 文特征 最低点华坪县石龙坝乡塘坝河口 6平方公里 摩梭人的语言、服饰、婚姻习俗和金沙江西部的纳西族有差异 新建淦江水电站1座 截至2017年末 00 南北岸提水扬程高 3.下降7.尤以火把节最为隆重 69.住房以木楞房为主 隶属9科12属 其中越南境内6468.6 8% 周霖故居 普米族 航道航运 归丽江专区代管 工业废水排放量210.对GDP增长的贡献率为55. 为支流桂江上游河段的通称 全年农作物总播种面积19.64米 是最小年径流量96.自1981年至1983年漓江水质有所好转 有静塘边河及免江先后自西和东汇入 4平方米 建于清道光年间 地理位置 是把大米或糯米蒸熟后 增长22.河底多 沙泥含卵石 派天将去烧人间的民居村落 古代称斤南水、斤员水 开工建设4条高速公路 9平方公里 有香草江从西来汇 ?注入漓江 死亡率6.全年实现主营业务收入126.玉龙雪山位于丽江市区北面约15公里处 在新郎新娘头上抹酥油是仪式中最重要的部分 2017年 道光年间杨兆荣的儿子杨硕臣又 中了举人 [4] 酥油茶 又南流至渡船头与杨家庄之间入大溶江 月饼 实现旅接待海外游客118.河谷深切400米 (1976年) 6公里 具有代表性的有 二山（玉龙雪山、老君山）、一城（丽江古城）、一湖（泸沽湖风景名胜区）、一江（金沙江）、一文化（纳西东巴文化）、一风情（摩梭人风情） 主料为五花肉经过香料腌制 始建于1875年 丽江古城的行政区划归丽江市古城区 分为大、中、小东巴说唱 18公里 流经那岭 62万吨 形成漓江的径流过程 商船直达梧州港口和香港 右 再加豆腐、红萝卜（切好）、小葱和精盐 改为丽江专员公署 增长16. 86‰ 年最大径流模数为55.每对祖先一 袋 居住较为分散 海拔2416米 左岸嘎呀河汇入 5～4.海拔1300-1500米 俄罗斯境内长1400多公里 [23] 抗旱坐滤
(完整版)含绝对值的不等式解法练习题及答案
例1 不等式｜8－3x|＞0的解集是[ ］A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83答 选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是［ ］A ．3B ．2C ．－2D ．－5 分析 列出不等式．解 根据题意得2＜｜x ｜≤5．从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5,其中最小整数为－5, 答 选D ．例3 不等式4＜｜1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形．解 原不等式可化为4＜｜3x －1|≤7,即4＜3x －1≤7或－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4 已知集合A ＝{x|2＜｜6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜｜6－2x|＜5可化为2＜|2x －6｜＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62⎧⎨⎩即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4⎧⎨⎩解之得＜＜或＜＜．4x x 211212因为x ∈N,所以A ＝｛0，1，5｝． 说明：注意元素的限制条件．例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 ［ ］A ．｜a －b ｜＜|a ｜＋|b|B ．|a ＋b ｜＞|a －b|C ．｜a ＋b|＜｜a －b|D ．|a －b ｜＜｜|a ｜＋｜b ｜｜分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号,∴ ｜a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ．例6 设不等式|x －a ｜＜b 的解集为｛x ｜－1＜x ＜2｝,则a ，b 的值为[ ]A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1,b ＝－3D a b ．＝，＝1232分析 解不等式后比较区间的端点．解 由题意知，b ＞0,原不等式的解集为｛x ｜a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为｛x ｜－1＜x ＜2｝所以比较可得．a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．⎧⎨⎩1232 答 选D ．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式｜2x －1|＜2m －1(m ∈R ） 分析 分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为；∅若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x ＜m ．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为m m 1212∅｛x|1－m ＜x ＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．例解不等式－＋≥．8 3212||||x x分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数,所以能直接去分母．解 注意到分母|x ｜＋2＞0,所以原不等式转化为2（3－｜x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先判定一下 分子或者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式｜6－|2x ＋1||＞1．分析 以通过变形化简，把该不等式化归为｜ax ＋b|＜c 或|ax ＋b ｜＞c 型的不等式来解． 解 事实上原不等式可化为6－|2x ＋1｜＞1①或 6－｜2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1｜＜5，解之得－3＜x ＜2;由②得｜2x ＋1｜＞7，解之得x ＞3或x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x ｜x ＜－4或－3＜x ＜2或x ＞3｝． 说明:本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10 已知关于x 的不等式｜x ＋2|＋｜x －3｜＜a 的解集是非空集合,则实数a 的取值范围是________．分析 可以根据对|x ＋2｜＋|x －3｜的意义的不同理解，获得多种方法．解法一 当x ≤－2时，不等式化为－x －2－x ＋3＜a 即－2x ＋1＜a 有解，而－2x ＋1≥5, ∴a ＞5．当－2＜x ≤3时，不等式化为x ＋2－x ＋3＜a 即a ＞5．当x ＞3是，不等式化为x ＋2＋x －3＜a 即2x －1＜a 有解，而2x －1＞5，∴a ＞5． 综上所述:a ＞5时不等式有解,从而解集非空．解法二 ｜x ＋2|＋|x －3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－（－2）＝5．故可求a 的取值范围为a ＞5．解法三 利用|m|＋|n ｜＞｜m ±n|得|x ＋2|＋|x －3｜≥|(x ＋2）－(x －3）|＝5． 所以a ＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例11 解不等式|x ＋1｜＞2－x ．分析一 对2－x 的取值分类讨论解之． 解法一 原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x 0x 12x x 1x 2⎧⎨⎩或②－＜∈2x 0x R⎧⎨⎩由①得≤＞或＜－x 2x 1212⎧⎨⎪⎩⎪ 即≤＞，所以＜≤；x 2x x 21212⎧⎨⎪⎩⎪ 由②得x ＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212分析二 利用绝对值的定义对|x ＋1|进行分类讨论解之． 解法二 因为|x 1| x 1x 1x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－⎧⎨⎩原不等式等价于：①≥＞或②＜＞x x x x x x++-⎧⎨⎩+---⎧⎨⎩10121012由①得≥＞即＞；x x -⎧⎨⎪⎩⎪11212 x由②得＜－－＞即∈．x 112x ⎧⎨⎩∅所以不等式的解集为＞．{x|x }12例12 解不等式｜x －5|－|2x ＋3｜＜1．分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为 x x 502x 3032－（x －5）＋(2x ＋3）＜1,得x ＜－7,所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－（x －5)－（2x ＋3）＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为 x －5－（2x ＋3）＜1，解之得x ＞－9,所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略． 例13 解不等式|2x －1｜＞|2x －3|．分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝 对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22⇔ 之，则更显得流畅，简捷．解 原不等式同解于(2x －1）2＞（2x －3)2，即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9，即8x ＞8，得x ＞1．所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．说明：本题中，如果把2x 当作数轴上的动坐标,则|2x －1｜＞｜2x －3｜表示2x 到1的距离大于2x 到3的距离,则2x 应当在2的右边，从而2x ＞2即x ＞1．。
绝对值不等式的解法
可负).
若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂 .
(4)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式. 此类问题的简单解法是利用等价转化法，即 a<|f(x)|<b(0<a<b)⇔a<f(x)<b或-b<f(x)<-a. (5)形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式. 此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即 |f(x)|<f(x)⇔x∈∅， |f(x)|>f(x)⇔f(x)<0.
(2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式.
此类问题的简单解法是利用平方法，即
|f(x)|<|g(x)|⇔［f(x)］2<［g(x)］2
⇔［f(x)+g(x)］［f(x)-g(x)］<0. (3)形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式.
此类不等式的简单解法是等价转化法，即
①|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x),
{x|x ＞a或x＜-a} ___________ {x∈R|x≠0} ______________
2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法. -c≤ax+b≤c (1)|ax+b|≤c⇔____________. ax+b≥c或ax+b≤-c (2)|ax+b|≥c⇔__________________.
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解含绝对值不等式的核心任务 解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒等 变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题 方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号.
含绝对值的不等式例题
含绝对值的不等式例题《含绝对值的不等式例题》嗨，同学们！今天咱们就来好好唠唠含绝对值的不等式。
这绝对值啊，就像一个神秘的魔法符号，一旦不等式里有了它，就变得有点复杂又超级有趣呢。
先来看个简单的例题哈。
比如说|x| < 3。
这个式子啥意思呢？就好比有个小调皮x，不管它是正数还是负数，它离0的距离都得小于3。
那正数的时候呢，x肯定得小于3啦。
那负数的时候呢？咱们可以这么想，如果x是负数，那它的绝对值就是它的相反数，所以-x < 3，两边同时乘以-1，可别忘了，乘以-1的时候不等号要变方向哦，那就变成x > - 3。
这么一综合，这个不等式的解就是-3 < x < 3啦。
就像x被困在一个-3和3组成的小笼子里，只能在这个范围内活动呢。
再看个稍微难一点的，|2x - 1| > 5。
哎呀，这个看起来有点头疼呢。
咱们这么想哈，这个2x - 1这个小式子，它离0的距离要大于5。
那要是2x - 1是正数的时候，2x - 1 > 5。
这就像一个小运动员要跑过5这个界限呢。
那咱们来解这个小方程，2x > 6，x > 3。
要是2x - 1是负数的时候呢，-(2x - 1) > 5。
这就好比这个小式子要反着跑，而且要跑过5这个界限。
那-2x + 1 > 5，-2x > 4，两边同时除以-2，不等号变方向，x < -2。
你看，这个不等式的解就是x > 3或者x < -2，就像这个2x - 1要么跑到3的右边，要么跑到-2的左边，不能在中间晃悠。
我还记得有一次，我和同桌一起做含绝对值的不等式作业。
我看到|3x + 2| ≤ 4这个式子，就有点懵。
我就对同桌说：“哎呀，这可咋整啊？”同桌就特别自信地说：“你看啊，这个3x + 2离0的距离要不超过4呢。
要是3x + 2是正数，3x + 2 ≤ 4，解这个式子，3x ≤ 2，x ≤ 2/3。
绝对值不等式的解法
的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数
轴上的x.
所以-1-x+1-x=3,得 x 3 .
2
同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴 上的x,所以x-1+x-(-1)=3. 所以 x .
3 2
从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于
3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大
于3，所以原不等式的解集是 (, ] [ , ).
3 2
3 2
方法二：当x≤-1时,原不等式可以化为
-(x+1)-(x-1)≥3,解得 x 3 .
当-1＜x＜1时,原不等式可以化为
2
x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.当x≥1时,原不等式可以
化为x+1+x-1≥3.所以 x . 综上,可知原不等式的解集为 {x | x 3 或x 3}.
3 2
2
2
方法三：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.
构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即
3 3 作出函数的图象(如图).函数的零点是 , , 2 2
从图象可知当 x 或 x
3 x 2－2x 1＞x 2－4x 4 2x＞3 x＞ , 2 又2－x≥0，所以x≤2.
所以原不等式的解集为{x | ＜x 2}. 【误区警示】本题易忽视隐含条件2-x≥0而致误.
x－ 1 ＞( 2－x) (x－ 1) ＞ 2－x
2 2
2
3 2
【拓展提升】|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等 式的解法 (1)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式有三种解 法：分区间(分类)讨论法\,图象法和几何法.分区间讨论的方 法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数 据较简单的情况.
绝对值不等式题型解法练习(
一、几种常见的含绝对值不等式的解法1．类型一：形如a x f a x f ><)(,)(型不等式 (1)当0>a 时a x f a a x f <<-⇔<)()( a x f a x f >⇔>)()(或a x f -<)( (2)当0=a 时 a x f <)(，无解⇔>a x f )(使()0)()(≠=x f x f y 成立的x 的解集 (3)当0<a 时 a x f <)(，无解^⇔>a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集例1（2009年安徽理科第2题5分）若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是（ ）A.11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 B.{}23x x << C.122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D.112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭分析：要解决这个题，就是解两个不等式，其中312<-x 即为含绝对值的不等式，这是形如a x f <)(型的绝对值不等式，其中0>a ，则a x f a <<-)(。
解：因为312<-x ,所以3123<-<-x ，即解得)2,1(-∈x 解0312<-+x x 得，3>x 或21-<x 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-=211x x B A ，故答案选D.二,形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()(或a x f b -<<-)(。
<例2不等式311<+<x 的解集为（ ）A.（0,2）B.)4,2()0,2( - C .)0,4(-D.)2,0()2,4( --分析：原不等式是形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式，需将原不等式转化为以下的不等式求解：113311-<+<-<+<x x 或，这样就转化为解简单的不等式问题。
专题 解含绝对值符号的不等式(解析版)
专题解含绝对值符号的不等式1．阅读：我们知道，00a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩于是要解不等式|3|4x -≤，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤解这个不等式，得：7x ≤由条件3x ≥，有：37x ≤≤（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤解这个不等式，得：1x ≥-由条件3x <，有：13x -≤<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +≤；（2）|2|1x -≥． 【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x ＜-1，两种情况分别求解可得；（2）分①x -2≥0，即x≥2，②x -2＜0，即x ＜2，两种情况分别求解可得．【详解】解：（1）|x+1|≤2，①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，解这个不等式，得：x≤1由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；②当x+1＜0，即 x ＜-1时：-（x+1）≤2解这个不等式，得：x≥-3由条件x ＜-1，有：-3≤x ＜-1∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．（2）|x-2|≥1①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1解这个不等式，得：x≥3由条件x≥2，有：x≥3；②当x-2＜0，即 x ＜2时：-（x-2）≥1，解这个不等式，得：x≤1，对于含绝对值的不等式3x <，从图1的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值小于3，所以3x <的解集为33x -<<；对于含绝对值的不等式3x >，从图2的数轴上看：小于－3或大于3的数的绝对值大于3，所以3x >的解集为3x <-或3x >．(1)含绝对值的不等式2x 的解集为______；(2)已知含绝对值的不等式1x a -<的解集为3b x <<，求实数a ，b 的值；(3)已知关于x ，y 的二元一次方程1x y m +=--的解满足2x y +≤，其中m 是正数，求m 的取值范围．【答案】11x -<<##11x >>-【答案】3x >或3x <-【分析】首先算出|x |=3的解，然后根据“大于取两边”的口诀得解 ．【详解】解：由绝对值的意义可得：x =3或x =-3时，|x |=3，∴根据“大于取两边”即可得到｜x ｜＞3的解集为：x >3或 x <−3（如图），故答案为：x >3或 x <−3．【点睛】本题考查绝对值的意义及不等式的求解，熟练掌握有关不等式的求解方法是解题关键．5．若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是_____．__________.8．不等式组25x ⎧⎨-≤⎩的解集是（ ） A ．52x >- B ．37x -≤≤ C ．572x -<≤ D ．572x -≤≤ 【答案】x ＜0或x ＞4【详解】试题分析：此题是一个带绝对值的复合不等式，应分为x≤1，1＜x≤3，x ＞3，三种情况，再根据绝对值的性质化简原式，解不等式即可.试题解析：当x≤1时，原式可变形为1－x ＋3－x ＝4－2x ＞4，解得x ＜0.注意最后要合并解集．11．解不等式：（1）||2x <（2）|21|3x -≥ 【答案】（1）22x -<<；（2）2x ≥或1x ≤-．【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集；（2）根据绝对值的意义，即可求出不等式的解集.【详解】解：（1）∵||2x <，∴22x -<<．（2）∵|21|3x -≥，原不等式变形为：213x -≥或213x -≤-，解得：2x ≥或1x ≤-．【点睛】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握绝对值的意义进行解题.12．解下列不等式：（1）|2|30x +->（2）35572x -+<问题的重要思想方法.例如，代数式2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与1-所对应的点之间的距离．⑴. 发现问题：代数式12x x ++-的最小值是多少？⑵. 探究问题：如图，点,,A B P 分别表示的是-1,2,x ，3AB =．∵12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和∴当点P 在线段AB 上时，+=PA PB 3;当点点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时 +>PA PB 3 ∴12x x ++-的最小值是3．⑶.解决问题：①.-++x 4x 2的最小值是 ；②.利用上述思想方法解不等式：314x x ++->③.当a 为何值时，代数式++-x a x 3的最小值是2． 【答案】①6；②3x <-或1x >；③1a =-或5a =-【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．【详解】解：(3)①设A 表示的数为4，B 表示的数为-2，P 表示的数为x ，∴|4|x -表示数轴上的点P 到4的距离，用线段PA 表示，|2||(2)|+=--x x 表示数轴上的点P 到-2的距离，用线段PB 表示，∴|4||2|x x -++的几何意义表示为PA+PB ，当P 在线段AB 上时取得最小值为AB ， 且线段AB 的长度为6，∴|4||2|x x -++的最小值为6.故答案为：6.②设A 表示-3，B 表示1，P 表示x ，小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.求绝对值不等式3x >的解集（满足不等式的所有解）.小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x 恰好是3时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如图所示.观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于3；点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于3；点B 右边的点表示的数的绝对值大于3.因此，小明得出结论，绝对值不等式3x >的解集为：3x <-或3x >.参照小明的思路，解决下列问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.①1x >的解集是；x<的解集是.② 2.5x-+>的解集. （2）求绝对值不等式359（3）直接写出不等式24x>的解集是．∴|x|＞1的解集是x＞1或x＜-1；∴|x|＜2.5的解集是-2.5＜x＜2.5；x-+>的解集为：x＞7或x＜-1；可知：359可知：不等式x2＞4的解集是x＞2或x＜-2．对于绝对值不等式||3x <，从图1的数轴上看：大于3-而小于3的数的绝对值小于3，所以||3x <的解集为33x -<<；对于绝对值不等式||3x >，从图2的数轴上看：小于3-或大于3的数的绝对值大于3，所以||3x >的解集为3x <-或3x >．(1)求绝对值不等式|3|2x ->的解集；(2)已知绝对值不等式|21|x a -<的解集为3b x <<，求2a b -的值；|21|x -<2a x ∴-<解得12a -解集为1a -⎧我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离：0x x =-，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 和数2x 对应的点之间的距离；例1解方程2x =，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为2±，即该方程的解为2x =±．例2解不等式12x ->，如图，在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为1x <-或3x >．例3解方程125x x -++=由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2-的距离之和为5的对应的x 的值.在数轴上，1和2-的距离为3，满足方程的x 对应的点在1的右边或2-的左边，若x 对应的点在1的右边，由下图可以看出2x =；同理，若x 对应的点在2-的左边，可得3x =-，故原方程的解是2x =或3x =-．回答问题：（只需直接写出答案）①解方程34x +=②解不等式34x -≥③解方程328x x -++=③328x x -++=，。
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含绝对值的不等式解法·典型例题
能力素质
例1 不等式|8－3x|＞0的解集是
[ ] 答选C．
例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是
[ ] A．3
B．2
C．－2
D．－5
分析列出不等式．
解根据题意得2＜|x|≤5．
从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5，
答选D．
例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________．
分析利用所学知识对不等式实施同解变形．
解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7
例4 已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A．
分析转化为解绝对值不等式．
解∵2＜|6－2x|＜5可化为
2＜|2x－6|＜5
因为x∈N，所以A＝{0，1，5}．
说明：注意元素的限制条件．
例5 实数a，b满足ab＜0，那么
[ ] A．|a－b|＜|a|＋|b|
B．|a＋b|＞|a－b|
C．|a＋b|＜|a－b|
D．|a－b|＜||a|＋|b||
分析根据符号法则及绝对值的意义．
解∵a、b异号，
∴|a＋b|＜|a－b|．
答选C．
例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b的值为
[ ] A．a＝1，b＝3
B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3
分析解不等式后比较区间的端点．
解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得．
答选D．
说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．
例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R)
分析分类讨论．
x＜m．
{x|1－m＜x＜m}．
说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．
点击思维
分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．
解注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得说明：分式不等式常常可以先判定一下
分子或者分母的符号，使过程简便．
例9 解不等式|6－|2x＋1||＞1．
分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c型的不等式来解．
解事实上原不等式可化为
6－|2x＋1|＞1
①或6－|2x＋1|＜－1
②由①得|2x＋1|＜5，解之得－3＜x＜2；
由②得|2x＋1|＞7，解之得x＞3或x＜－4．
从而得到原不等式的解集为{x|x＜－4或－3＜x＜2或x＞3}．
说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．
例10 已知关于x的不等式|x＋2|＋|x－3|＜a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是________．
分析可以根据对|x＋2|＋|x－3|的意义的不同理解，获得多种方法．
解法一当x≤－2时，不等式化为－x－2－x＋3＜a即－2x＋1＜a有解，而－2x＋1≥5，
∴a＞5．
当－2＜x≤3时，不等式化为x＋2－x＋3＜a即a＞5．
当x＞3是，不等式化为x＋2＋x－3＜a即2x－1＜a有解，而2x－1＞5，∴a＞5．
综上所述：a＞5时不等式有解，从而解集非空．
解法二|x＋2|＋|x－3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a的取值范围为a＞5．
解法三利用|m|＋|n|＞|m±n|得
|x＋2|＋|x－3|≥|(x＋2)－(x－3)|＝5．
所以a＞5时不等式有解．
说明：通过多种解法锻炼思维的发散性．
例11 解不等式|x＋1|＞2－x．
分析一对2－x的取值分类讨论解之．
解法一原不等式等价于：
由②得x＞2．
分析二利用绝对值的定义对|x＋1|进行分类讨论解之．
解法二因为
原不等式等价于：
学科渗透
例12 解不等式|x－5|－|2x＋3|＜1．
分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分
－(x－5)＋(2x＋3)＜1，得x＜－7，所以x＜－7；
－(x－5)－(2x＋3)＜1，
当x＞5时，原不等式可化为
x－5－(2x＋3)＜1，
解之得x＞－9，所以x＞5．
说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略．
例13 解不等式|2x－1|＞|2x－3|．
分析本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝
之，则更显得流畅，简捷．
解原不等式同解于
(2x－1)2＞(2x－3)2，
即4x2－4x＋1＞4x2－12x＋9，
即8x＞8，得x＞1．
所以原不等式的解集为{x|x＞1}．
说明：本题中，如果把2x当作数轴上的动坐标，则|2x－1|＞|2x－3|表示2x到1的距离大于2x到3的距离，则2x应当在2的右边，从而2x＞2即x＞1．。