1.2多项式乘法公式

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多项式的乘法

多项式的乘法一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是利用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab熟练地计算．难点是理解并掌握公式．本节内容是进一步学习乘法公式及后续知识的基础．1．多项式乘法法则，是多次运用单项式与多项式相乘的法则得到的．计算时，先把看成一个单项式，是一个多项式，运用单项式与多项式相乘的法则，得到然后再次运用单项式与多项式相乘的法则，得到：2．含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一字母的二次三项式，它的二次项由两个因式中的一次项相乘得到；积的一次项是由两个因式中的常数基分别乘以两个因式中的一次项后，合并同类项得到；积的常数项等于两个因式中常数项的积．如果因式中一次项的系数都是1，那么积的二次项系数也是1，积的一次项系数等于两个因式中的常数项的和，这就是说，如果用、分别表示一个含有系数是1的相同字母的两个一次二项式中的常数项，则有3．在进行两个多项式相乘、直接写出结果时，注意不要“漏项”．检查的办法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个多基同甘共苦的积．如积的项数应是，即六项：当然，如有同类项则应合并，得出最简结果．4．运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏，为此，相乘时，要按一定的顺序进行．例如，，可先用第一个多项式中的第一项“”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式中的第二项“”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加，即．5．多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．6．注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”．三、教法建议教学时，应注意以下几点：（1）要防止两个多项式相乘，直接写出结果时“漏项”．检查的办法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个多项式项数的积．如，积的项数应是，即四项当然，如有同类项，则应合并同类项，得出最简结果．（2）要不失时机地指出：多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号．（3）例2的第（1）小题是乘法的平方差公式，例2的第（2）小题是两数和的完全平方公式．实际上任何乘法公式都是直接用多项式乘法计算出来的．然后，我们把这种特殊形式的乘法连同它的结果作为公式．这里只是为后面学习乘法公式作准备，不必提它们是乘法公式，分散学生的注意力．当然，在讲解这个1题时，要讲清它们在合并同类项前的项数．（4）例3是另一种形式的多项式的乘法，要讲清楚两个因式的特点，积与两个因式的关系．总之，要讲清楚这种特殊形式的两个多项式相乘的规律，使学生在计算这种类型的题目时，能够迅速地求得结果．如对于练习第1题中的等等，能够直接写出结果．一、教学目标1．理解和掌握单项式与多项式乘法法则及其推导过程．2．熟练运用法则进行单项式与多项式的乘法计算．3．通过用文字概括法则，提高学生数学表达能力．4．通过反馈练习，培养学生计算能力和综合运用知识的能力．5．渗透公式恒等变形的和谐美、简洁美．二、学法引导1．教学方法：讨论法、讲练结合法．2．学生学法：本节主要学习了多项式的乘法法则和一个特殊的二项式乘法公式，在学习时应注意分析和比较这一法则和公式的关系，事实上它们是一般与特殊的关系．当遇到多项式乘法时，首先要看它是不是的形式，若是则可以用公式直接写出结果，若不是再应用法则计算．三、重点、难点及解决办法（一）重点多项式乘法法则．（二）难点利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则．（三）解决办法在用面积法推导多项式与多项式乘法法则过程中，应让学生充分理解多项式乘法法则的几何意义，这样既便于学生理解记忆公式，又能让学生在解题过程中准确地使用．四、课时安排一课时．五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片、长方形演示纸板．六、师生互动活动设计1．设计一组练习，以检查学生单项式乘以多项式的掌握情况．2．尝试从多角度理解多项式与多项式乘法：（1）把看成一单项式时，．（2）把看成一单项式时，．（3）利用面积法3．在理解上述过程的基础之上，引导学生归纳并指出多项式乘法的规律．4．通过举例，教师的示范，学生的尝试练习，不断巩固新学的知识．对于遇到的特殊二项式相乘可利用特殊的公式加以解决，并注意一般与特殊的关系．七、教学步骤（一）明确目标本节课将学习多项式与多项式相乘的乘法法则及其特殊形式的公式的应用．（二）整体感知多项式与多项式的相乘关键在于展开式中的四项是如何得到的，这里教师应注重引导学生细心观察、品味法则的规律性，实质就在于让一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项遍乘既不能漏又不能重复．对特殊的多项式相乘可运用特殊的办法去处理（三）教学过程1．创设情境，复习导入（1）回忆单项式与多项式的乘法法则.（2）计算：①②③④学生活动：学生在练习本上完成，然后回答结果．【教法说明】多项式乘法是以单项式乘法和单项式与多项式相乘为基础的，通过复习引起学生回忆，为本节学习提供铺垫和思想基础．2．探索新知，讲授新课今天，我们在以前学习的基础上，学习多项式的乘法．多项式的乘法就是形如的计算．这里都表示单项式，因此表示多项式相乘，那么如何对进行计算呢？若把看成一个单项式，能否利用单项式与多项式相乘的法则计算呢？请同桌同学互相讨论，并试着进行计算．学生活动：同桌讨论，并试着计算（教师适当引导），学生回答结论．【教法说明】多项式乘法法则，是两次运用单项式与多项式相乘的法则得到的．这里的关键在于让学生理解，将看成一个单项式，然后运用单项式与多项式相乘的法则进行计算，让学生讨论并试着计算，目的是培养学生分析问题、解决问题的能力，鼓励学生积极探索知识、善于发现规律、主动参与学习．3．总结规律，揭示法则对于的计算过程可以表示为：教师引导学生用文字表述多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的第一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．如计算：看成公式中的；－1看成公式中的；看成公式中的；3看成公式中的．运用法则中的每一项分别去乘中的每一项，计算可得：．学生活动：在教师引导下细心观察、品味法则．【教法说明】借助算式图，指出的得出过程，实质就是用一个多项式的“每一项”乘另一个多项式的“每一项”，再把所得积相加的过程．可以达到两个目的：一是直观揭示法则，有利于学生理解；二是防止学生出现运用法则进行计算时“漏项”的错误，强调法则，加深理解，同时明确多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号．这个法则还可利用一个图形明显地表示出来．（1）这个长方形的面积用代数式表示为_____________．（2）Ⅰ的面积为________；Ⅱ的面积为________；Ⅲ的面积为____ ____；Ⅳ的面积为_______．结论：即学生活动：随着教师的演示，边思考，边回答问题．【教法说明】利用图形的直观性，使学生进一步理解、掌握这一法则，渗透数形结合的思想，培养学生观察、分析图形的能力．4．运用知识，尝试解题例1 计算：（1）（2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式【教法说明】例1的目的是熟悉、理解法则．完成例1时，要求学生紧扣法则，按法则的文字叙发“一步步”解题，注意最后要合并同类项．让学生参与例题的解答，旨在强化学生的参与意识，使其主动思考．例2 计算：（1）（2）学生活动：在教师引导下，说出解题过程．解：（1）原式（2）原式【教法说明】例2的两个小题是后面要讲到的乘法公式，但目前仍按多项式乘法法则计算，无需说明它们是乘法公式，此题的目的在于为后面的学习做准备．5．强化训练，巩固知识（1）计算：①②③④⑤⑥（2）计算：①②③④⑤⑥。

多项式的乘法公式及应用

多项式的乘法公式及应用多项式的乘法是代数学中的一个重要概念和运算规则，它在各个数学分支以及实际问题中都有广泛的应用。

本文将详细介绍多项式的乘法公式以及其应用。

一、多项式的乘法公式多项式的乘法公式指的是将两个或多个多项式相乘的运算法则。

它基于分配律和结合律的性质，在实际应用中能够简化复杂的运算步骤，提高计算效率。

1. 两个一元二次多项式相乘的公式当我们需要计算两个一元二次多项式（即含有一个变量的平方项、一次项和常数项的多项式）相乘时，可以采用以下公式：(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd其中，a、b、c和d分别代表多项式中的系数。

2. 两个多项式相乘的公式当需要计算两个多项式相乘时，可以使用分配律和结合律，逐项相乘并合并同类项。

例如：(a + b + c)(d + e + f) = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce + cf这里，a、b、c、d、e和f分别代表多项式中的系数。

3. 多个多项式相乘的公式在计算多个多项式相乘时，可以运用乘法公式的分配律和结合律，逐项相乘并合并同类项。

例如：(a + b)(c + d)(e + f) = (ac + ad + bc + bd)(e + f)= ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf二、多项式乘法的应用多项式的乘法在数学中和现实生活中都有丰富的应用。

下面将介绍几个常见的应用示例。

1. 代数表达式的化简多项式乘法可以用于代数表达式的化简。

例如，化简以下代数表达式：(2x + 3)(2x - 3)应用乘法公式展开并合并同类项，可得：4x² - 9通过多项式乘法，可以简化代数表达式，使其更加紧凑和易于理解。

2. 计算面积和体积多项式的乘法在计算面积和体积时也有应用。

例如，已知正方形的边长为a，计算其面积可以表示为：A = a²同样，已知长方体的长、宽和高分别为a、b和c，计算其体积可以表示为：V = abc这些计算都涉及到多项式的乘法运算，通过乘法公式可以简化计算过程。

多项式的乘法公式与因式分解练习题

多项式的乘法公式与因式分解练习题一、多项式的乘法公式多项式的乘法是代数学中常见的基本操作之一。

当我们需要将两个或多个多项式相乘时，可以利用多项式的乘法公式来进行计算。

下面是多项式的乘法公式：(a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd(a + b + c) * (d + e + f) = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce + cf这种乘法公式适用于各种多项式的相乘情况，并且可以推广到更多的项数上。

通过使用乘法公式，可以将复杂的多项式相乘问题简化为逐项相乘再相加的形式，从而更方便计算。

例如，考虑以下乘法运算：(2x + 3) * (4x + 5)根据乘法公式，我们可以展开计算：(2x + 3) * (4x + 5) = (2x * 4x) + (2x * 5) + (3 * 4x) + (3 * 5)= 8x^2 + 10x + 12x + 15= 8x^2 + 22x + 15通过多项式的乘法公式，我们成功地将原问题转化为逐项相乘再相加的形式，并最终得到了结果。

除了使用乘法公式外，我们还可以通过因式分解的方法来简化多项式的乘法。

接下来，我们将介绍因式分解的概念，并通过练习题来加深理解。

二、因式分解练习题1. 将多项式完全因式分解：x^3 - 8解答：首先，我们可以通过观察发现，x^3 - 8 是一个形如 a^3 - b^3 的差的立方形式。

根据差的立方公式：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)将 x^3 - 8 表示为一个差的立方形式，可以得到：x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)因此，x^3 - 8 的完全因式分解为 (x - 2)(x^2 + 2x + 4)。

2. 将多项式因式分解：4x^2 - 25解答：对于多项式 4x^2 - 25，我们可以使用差平方公式进行因式分解。

《乘法公式》PPT课件教学课件初中数学1

分析： (a+b)2
(a−b)2
4ab
(a+b)2 =a2+2ab+b2
a2+b2
(a−b)2
=a2−2ab+b2 ab=？
巩固练习
练习已知(a+b)2=7，(a−b)2=3，求a2+b2的值.
解： ∵ ( a + b ) 2= a 2+ 2 a b + b 2，
(a−b)2=a2−2ab+b2，
(a±b)2 = a2±2ab+b2. (a±b)2=a2±2ab+b2． (a+b)(a−b)=a2−b2. 平方差公式：(a+b)(a−b) =a2−b2. 例运用乘法公式计算： (a+b)(a−b) =a2−b2； = x4−8x2y2+16y4； x2+y2= (x−y)2+2xy 例运用乘法公式计算：两数和的完全平方公式：乘法交换律： a×b=b×a. (1) (x+y+1)(x+y−1)
例题讲解
例求代数式的值：
(2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
分析： x−y , xy
x2＋y2
(x−y)2=x2−2xy+y2
x2+y2= (x−y)2+2xy
例题讲解
例求代数式的值： (2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值. 解： ∵ ( x − y ) 2= x 2− 2 x y + y 2，
= x2+6xy+9y2−x2+9y2
4.灵活运用公式：
= x2+6xy+9y2−(x2−9y2)

一、乘法公式与多项式

單元一：乘法公式與多項式【例題1】設f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e，其中a、b、c、d、e為整數，且|a－1|＋3|b－3|＋4|c＋1|＝1，試求f(x)之領導係數，並問f(x)為幾次式？【例題2】於(x 5＋2x 4－x 3＋2x 2－3x －2)與(3x 6＋2x 5＋x 4＋x 3＋2x 2＋3x ＋1)之乘積中，試求：(1) x 7項之係數 (2) x 9項之係數 (3) 乘積展開式之各項係數和【例題3】A(x)＝(2x 3－3x 2＋2x ＋1)2，B(x)＝4x 2－3x ＋5，試求A(x)B(x)之奇次項係數總和。

【例題4】已知a 、b 、c 為整數，若(x －a)(x －10)＋1＝(x －b)(x －c)，則a 、b 、c 之值為何？【例題5】對任意x 為實數，1)2(23522+-+-++x m x ml lx x 恆為定值，則2l －m 之值為何？【例題6】試利用乘法公式求下列各式之值：(1) 2012 (2) 1992 (3) 295×305 (4) 22)2122()2127(-(1) 3052 (2) 2982 (3) 159×161 (4) 1982– 982【例題8】試利用乘法公式求下列各式之值：(1) (1.02)3 (2) 993 (3) (10＋3) (102－10×3＋32)(4) (60－2) (602＋60×2＋22)【例題9】試利用乘法公式求下列各式之值：(1) 1043 (2) 0.993 (3) (10＋20) (102－10×20＋202)(4) (30－7) (302＋30×7＋72)【例題10】試利用乘法公式求下列各式之值：(1) (2x＋1) (3x－5) (2) (2x＋y) (2x－y) (3) (3x＋1)2 (4) (5x－3y)3【例題11】試利用乘法公式求下列各式之值：(1) (4x＋3y) (5x－y) (2) (3a＋2b) (3a－2b) (3) (5x＋2y)2 (4) (3a＋b)3(1) (2x＋y)3 (2) (3x－2y)3 (3) (x＋2y) (x2－2xy＋4y2)(4) (x－2) (x2＋2x＋4)【例題13】試利用乘法公式求下列各式之值：(1) (a＋3b)3 (2) (x－4y)3 (3) (x＋3) (x2－3x＋9)(4) (3x－2y) (9x2＋6xy＋4y2)【例題14】設a + b + c = 7，a2 + b2 + c2 = 27，試求ab + bc + ca之值。

苏教版七年级下期末复习三因式分解

苏教版数学七年级下期中复习三---整式乘法与因式分解一、知识点：1、单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的的每一项，再把所得的积相加。

m(a+b－c)＝ma+mb－mc3、多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd4、乘法公式：a)完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a -b)2=a2-2ab+b2b)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b25、因式分解：i.把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。

ii.多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积．化和．，因式分解是和．化积．。

（3）因式分解的方法：①提公因式法；②运用公式法。

6、因式分解的应用：（1）提公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来。

把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（2）公因式：多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，a称为多项式各项的公因式。

（3）用提公因式法时的注意点：①公因式要提尽，考虑的顺序是，先系数，再单独字母，最后多项式。

如：4a2(a-2b)-18ab(a-2b)=2a(a-2b)(2a-9b)；②当多项式的第一项的系数为负数时，把“－”号作为公因式的负号写在括号外，使括号内的第一项的系数为正。

如：-2m3+8m2-12m= -2．m(m2-4m+6)；③提公因式后，另一个多项式的求法是用原多项式除以公因式。

（4）运用公式法的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2（5）因式分解的步骤和要求：把一个多项式分解因式时，应先提公因式．．．，注意公因式要提尽．．，然后再应用公式，如果是二项式考虑用平方差公式，如果是三项式考虑用完全平方公式，直到把每一个因式都分解到不能再分解为止。

多项式的乘法公式与展开的应用

多项式的乘法公式与展开的应用多项式是代数学中一个重要的概念，它包含了常数、变量和幂运算，形成了一个多个单项式构成的代数表达式。

在多项式操作中，乘法是一个常用的运算，而多项式的乘法公式和展开则是应用多项式的关键技巧之一。

一、多项式的乘法公式多项式的乘法公式是指在两个或多个多项式之间进行乘法操作时所遵循的一些规则和公式。

根据乘法的分配律和结合律，我们可以得到一些常见的多项式乘法公式，如下：1. 单项式和多项式的乘法：将一个单项式乘以一个多项式时，只需将单项式的每一项与多项式进行乘法运算，最后将结果相加即可。

2. 多项式与多项式的乘法：将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项进行乘法运算，然后将结果相加即可。

3. 多项式与多项式的乘法（特殊情况）：当两个多项式都是二次多项式或更高次多项式时，可以使用分配律结合常见的二次多项式乘法公式，如(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd。

二、多项式的展开应用多项式的展开是指将一个多项式进行乘法操作后，将其化简为一个等价的多项式的过程。

多项式的展开在代数学中有广泛的应用，特别是在解方程、证明恒等式以及求导等问题中。

1. 解方程：通过多项式展开，我们可以将一个复杂的代数方程转化为一系列简单的代数运算，从而更容易求解。

2. 证明恒等式：在代数证明中，我们常常需要证明一些代数恒等式是否成立。

通过展开多项式并进行化简，我们可以将等式两边进行比较，从而验证恒等式的成立性。

3. 求导：在微积分中，多项式的展开可以帮助我们求解多项式的导数。

通过展开并进行化简，我们可以得到多项式每一项的导数，从而求得整个多项式的导数。

总结：多项式的乘法公式和展开是代数学中的重要内容。

通过熟练掌握多项式的乘法公式和展开技巧，我们可以在解方程、证明恒等式以及求导等问题中更加得心应手。

因此，深入理解和掌握多项式的乘法公式与展开的应用对于我们的数学学习和问题解决能力的提升至关重要。

乘法分配律公式范文

乘法分配律公式范文乘法分配律是数学中的重要原理之一，它描述了乘法运算和加法运算之间的关系。

简言之，乘法分配律可以用于展开含有多项式的乘法式子，使得我们可以更方便地计算结果。

下面将详细介绍乘法分配律的定义、证明以及应用。

对于任意实数a、b和c，有以下等式成立：1.a×(b+c)=a×b+a×c（左分配律）2.(b+c)×a=b×a+c×a（右分配律）为了证明左分配律，我们可以使用几何方法来说明。

假设有一个矩形，它的长为a，宽为b+c。

那么这个矩形的面积可以表示为a×(b+c)。

现在，我们将该矩形分成两个部分：一个长为a，宽为b的矩形，和一个长为a，宽为c的矩形。

这两个矩形的面积分别为a×b和a×c。

根据矩形的面积相加的原理，整个矩形的面积可以表示为a×b+a×c。

因此，我们可以得到a×(b+c)=a×b+a×c。

这就证明了左分配律。

要证明右分配律，我们可以利用左分配律的结论。

根据左分配律，我们可以得到(b+c)×a=a×(b+c)=a×b+a×c=b×a+c×a。

因此，右分配律也得到了证明。

1.多项式乘法展开：乘法分配律可以用于展开含有多个项的乘法式子。

例如，要计算(a+b)×(c+d)，我们可以使用乘法分配律展开为a×c+a×d+b×c+b×d。

这样可以使得计算更简便。

2.分数的乘法：乘法分配律可以用于计算分数的乘法。

例如，要计算(1/3)×(2/5)，我们可以将其写为1/3×2/5=(1×2)/(3×5)=2/15、这样可以避免较大的分数的计算。

3.解方程：乘法分配律可以用于解方程。

例如，要解方程2(x+3)=10，我们可以使用左分配律展开为2x+6=10，然后继续求解该方程。

乘法公式

a 11, b 9,
所以这两个正方形的面积分别为121 cm2,81 cm2.
评述：本题依据题设条件，建立二元一次方程组．解题过程运用乘法公式，缩短解答过程．
(1)已知x2+y2‒6x+10y+34=0，则x+y= ； (2)已知ax+by=3,ay‒bx=5，则(a2+b2) (x2+y2)的值为
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2； (a–b)2=a2–2ab+b2
.
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍. 会推导：(a+b)2= (a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2= a2+2ab+b2. (a‒b)2= (a‒b)(a–b)=a2–ab–ba+b2= a2–2ab+b2. 几何解释公式结构特点 ①左边都是一个二项式的完全平方；右边都是二次三项式．
计算或化简 (1)(‒2m+5n)(2m‒5n)； (2) (a+3b‒2c)(a‒3b+2c). (3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m) (4) (a+b‒c)2 (3)(m+n)(n2+m2)(‒n4‒m4)(‒n+m) = ‒ (m+n) (m ‒n) (m2+n2)( m4+n4) = ‒ (m2‒n2) (m2+n2)( m4+n4) = ‒ ( m4‒n4) ( m4+n4) = ‒ ( m8‒n8) = n8‒m8.

多项式的乘法公式

多项式的乘法公式多项式的乘法公式是指当我们要计算两个多项式相乘时，可以利用分配律和乘法原理来简化计算过程的一组公式。

本文将介绍多项式之间的乘法公式及其应用。

一、两个一次多项式的乘法公式针对两个一次多项式的乘法，我们可以利用分配律来简化计算过程。

假设有两个一次多项式：P(x) = ax + b 和 Q(x) = cx + d其中a、b、c、d为常数。

我们按照分配律的规则，将每一项按照系数相乘，得到P(x)和Q(x)的乘积为：P(x) * Q(x) = (ax + b) * (cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd在计算过程中，我们首先将两个一次多项式的每一项按照系数相乘得到临时结果，然后将所有临时结果相加得到最终的乘积。

举例说明：假设有两个一次多项式：P(x) = 3x + 2 和 Q(x) = 2x + 5根据乘法公式，我们有：P(x) * Q(x) = (3x + 2) * (2x + 5) = 6x² + (15 + 4)x + 10 = 6x² + 19x +10二、两个多次多项式的乘法公式当需要计算两个多次多项式相乘时，我们可以利用乘法原理将每一项按照系数相乘，然后将结果进行合并得到最终的乘积。

假设有两个多次多项式：P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀和 Q(x) = bₙxᵐ +bₙ₋₁xᵐ⁻¹ + ... + b₁x + b₀其中n和m分别表示P(x)和Q(x)的最高次幂，aₙ、aₙ₋₁、...、a₁、a₀、bₙ、bₙ₋₁、...、b₁、b₀为常数。

按照乘法原则，我们计算P(x)和Q(x)的乘积时，将每一个P(x)的项与Q(x)的所有项相乘，并按指数降序排列合并同类项，得到最终的乘积。

举例说明：假设有两个多次多项式：P(x) = 2x³ + x² + 3 和 Q(x) = 3x² + 2x + 1根据乘法公式，我们有：P(x) * Q(x) = (2x³ + x² + 3) * (3x² + 2x + 1) = 6x⁵ + 5x⁴ + 11x³ + 5x²+ 3x + 3三、多项式的乘法公式的应用举例多项式的乘法公式在代数运算和数学问题求解中有广泛的应用，下面以一个具体的例子来说明。

多项式的加减乘除四则运算

多項式的加減乘除四則運算班級：座號：姓名：
五、多項式的除法運算
四、十字交乘法(三項式) 班級：座號：姓名：
2
2. x2項的係數「不是1」的十字交乘法
二、完全平方數：背1~20的平方
三、平方根的定義
四、利用方格紙畫圖，作出面積是2 平方單位、5 平方單位、18平方單位的正方形-----介紹無理數
五、非完全平方數的平方根：根號引入的必須
六、利用方格紙畫圖，作出1、2、3、4、5、……. 、n
七、正數、零、負數的平方根
（一）正數：
（二）零：
（三）負數：
八、利用標準分解式計算平方根
九、十分逼近法：求無理數的近似值
十、電算器求平方根
一元二次方程式班級：座號：姓名：
5. a x2+bx+c=0，a和b 和c是常數（、十字交乘法）
6. 綜合題
7. 應用問題。

乘法公式与多项式

一、乘法公式與多項式多項式的乘法公式除了用來簡化多項式的乘法運算外，還可運用於因式分解。

在本章中，我們首先來複習已經學過的平方公式，然後再延伸到立方公式。

1-1 平方公式【二項式相乘公式】我們可利用分配律來展開()()a b c d ++的乘積而得到下列的公式：()()a b c d ac ad bc bd ++=+++ 【公式1】另一方面，也可利用幾何圖形來解釋這個公式。

如上圖，一個邊長分別為()a b +和()c d +的長方形，可由四個面積分別為ac 、ad 、bc 和bd 的長方形所組成。

我們可從大長方形的面積為四個較小的長方形的面積總和而得到這個公式。

在應用上，a 、b 、c 及d 可為數字或任何文字符號。

【範例1】利用公式1展開下列各式：(1) (1)(1)a b ++ (2) (2)(3)x x ++ (3) (2)(3)x y x y +-【解】 (1) (1)(1)a b ++= 1111b a a b ⋅+⋅+⋅+⋅= 1a b ab +++(2) (2)(3)x x ++= 3223x x x x ⋅+⋅+⋅+⋅= 256x x ++(3) (2)(3)x y x y +-= (2)[3()]x y x y ++-= 232()3()x x x y y x y y ⋅+⋅-+⋅+⋅-ab cd= 22623x xy xy y -+-= 226x xy y +-在上例的第(2)題中，256x x ++的x 2項(或稱二次項)係數為1，x 項(或稱一次項)係數為5，常數項為6，其中最高次項為二次，所以稱256x x ++為x 的二次多項式，並簡稱為一元二次式。

在第(3)題中，226x xy y +-有x 、y 兩個變數，其中6x 2、xy 和-y 2都是二次項。

因此，它的最高次項為二次，所以稱它為x 和y 的二次多項式，並簡稱為二元二次式。

【類題練習1】展開下列各式：(1) (52)(23)x x +- (2) (23)(34)x y x y -+-二項式相乘公式也常運用於來簡化數的計算過程，例如：求123×279+127×121+123×121+127×279的值。

高中数学乘法公式笔记

高中数学乘法公式笔记在高中数学中，乘法是一种非常基础且重要的运算方式，涉及到许多常见的乘法公式。

熟练掌握这些乘法公式不仅可以帮助我们更快更准确地计算问题，还能在解题时提高效率。

本文将为大家整理一些高中数学乘法公式的笔记，希望能够帮助大家更好地理解和运用。

一、整式乘法公式1. 二项式乘法公式：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$这个公式是最常见的整式乘法公式，利用它可以高效地计算两个二项式的乘积，简化计算过程。

2. 多项式乘法公式：$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$对于多项式的乘法运算，应用分配律可以得到以上公式，同样是非常实用的乘法公式。

3. 完全平方公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$完全平方公式可以帮助我们快速分解二次差的形式，简化计算步骤，是乘法中常用的工具。

二、小数乘法规则1. 小数乘法：小数之间的乘法运算需要注意位数对齐，先不考虑小数点，按照整数乘法的方法进行计算，最后确定小数点的位置。

2. 科学计数法乘法：对于科学计数法形式的乘法，先计算系数的乘积，然后将指数相加得到最终结果。

三、分数乘法运算1. 分数乘法：分数之间的乘法运算可以将分子与分子相乘，分母与分母相乘，然后进行约分得到最简形式的结果。

2. 乘法倒数：两个互为倒数的数相乘等于1，即$\frac{1}{a} \times a = 1$，这一性质在分数乘法中经常会被应用到。

四、向量乘法公式1. 数量积公式：$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta$向量的数量积是一个重要的概念，在物理学和几何学中有广泛的应用，利用上述公式可以计算向量间的数量积。

2. 叉乘公式：$\vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\sin \theta \vec{n}$叉乘是向量的另一种乘法运算，结果是一个新的向量，方向由右手定则确定，这个公式描述了叉乘的计算方法。

人教版八年级上册1.乘法公式课件

14. ［2x2－(x+y)(x－y)］［(z－x)(x+z)+(y－z)(y+z)］；
15. 已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状.
16. 利用乘法公式进行简便运算： ①20042； ②999.82； ③(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
9. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（） A．(−2b−5)(2b−5) B．(b2+2x2)(2x2−b2) C．(−1− 4a)(1− 4a) D．(−m2n+2)(m2n−2)
10. 若x2-y2=100， x+y= -25，则x-y的值是（） A.5 B. 4 C. -4 D. 以上都不对
观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？
平方差公式
(a+b)(a－ b)=a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b)
证明
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼
5. 用简便方法计算： 503×497=_______；1.02×0.98=______
6. 计算：（1）(3a-2b)(9a+6b) （2）(2y-1)(4y2+1)(2y+1)
7. 已知a2-b2=8，a+b=4，求a、b的值
8. 下列计算正确的是（） A．( 2a+b)( 2a−b) = 2a2−b2 B．(0.3x+0.2)(0.3x−0.2) = 0.9x2−0.4 C．(a2+3b3)(3b3−a2) = a4−9b6 D．( 3a−bc)(−bc− 3a) = − 9a2+b 2c2

多项式与乘法公式

多项式与乘法公式1－1多项式的加减◆重点整理多项式。

例如：3x+5、2x2-3x+1是x的多项式；6y2-3y是y的多项式；2x+3y、x2-2xy+y2是xy的多项式。

3x2-2x+1中，3x2、-2x、1都称为这个多项式的项。

3x2这一项中，3是x2的系数；-2x这一项中，-2是x的系数；1称为常数项。

次数最高的项的次数为多项式的次数。

例如：3x2-5的次数为2，5x+3的次数为1。

不为0的常数多项式，次数为0；零多项式不讨论次数。

这种排列方式称为降序排列，如3x3-2x2-5x+1。

这种排列方式称为升幂排列，如6-3y+2y2。

为同类项；常数项都是同类项。

7. 用横式做多项式加、减运算时，如果有括号，应先去括号，再合并同类项。

8. 用直式做多项式加、减运算时，通常先把多项式按降序排列，并将同类项对齐，再将系数相加或相减。

系数时，遇到缺项，通常都补0。

◆课本基础题一、选择题（ C ） 1. 下列何者为x 的多项式？(A) 5x 2 - 4x + 3 = 0 (B) 4x +x1(C) 3x - 5 (D)∣6x - 4∣。

（ D ） 2. 若ax 2 + bx + c 为一次多项式，则下列叙述何者正确？(A) a = 0，b = 0 (B) a ≠ 0，b ≠ 0 (C) a ≠ 0，b = 0(D) a = 0，b ≠ 0。

（ B ） 3. 设a 、b 、k 为常数，若x 的多项式3x 2 + kx - 3与3ax 2 + 2bx + 3b 相等，则下列叙述哪一个是正确的？ (A) a = 3 (B) a = 1 (C) k = 2 (D) k = 6。

（ B ） 4. 设A 、B 为多项式，若A = - 5x 2 - 7，B = 9x 4 + 5，则A + B 为几次多项式？ (A) 2次 (B) 4次 (C) 6次 (D) 8次。

（ A ） 5. 设多项式A = ax + b ，当x = 0时A = - 2，当x = 2时A = 4，则x = 3时，A =？ (A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13。

乘法公式(含答案)

1.2 乘法公式◆赛点归纳乘法公式是多项式相乘得出的有规律性和实用性的具体结论，是多项式乘法运算和相关恒等变形的重要工具．除教材里介绍的平方差公式和完全平方公式外，另外补充几个常用公式：（1）（a±b ）（a 2ab+b 2）=a 3±b 3；（2）（a±b ）3=a 3±3a 2b+3ab 2±b 3；（3）（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ．◆解题指导例1 （2004，河北省竞赛）已知实数a 、b 、x 、y 满足ax+by=3，ax －bx=5，则（a 2+b 2）（x 2+y 2）的值为________．【思路探究】显然将已知的代数式的值直接代入要求的代数式中，是难以求其值的，但将已知的两个代数式平方后，加以比较，就可发现它们之间的关系．例2 （2000，重庆市竞赛）计算：（1－22221111)(1)(1)(1)2319992002---）．【思路探究】本题若直接计算是很复杂的，因每个括号内都是两个数的平方差，故利用平方差公式可使计算简化．例 3 （2004，河北省竞赛）已知四边形四条边的长分别是m 、n 、p 、q ，•且满足m 2+n 2+p 2+q 2=2mn+2pq ，则这个四边形是（）．A ．平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形C ．平行四边形或对角线互相垂直的四边形D ．对角线相等的四边形【思路探究】由观察可知，条件等式具有完全平方公式的特征．故由条件等式变形，可得这个四边形的四边之间的关系．【思维误区】有位同学这样解答例3，你认为对吗？【解】 ∵m 2+n 2+p 2+q 2=2mn+2pq ，∴（m 2+n 2－2mn ）+（p 2+q 2－2pq ）=0，∴（m －n ）2+（p －q ）2=0，∴m=n ，p=q ．故这个四边形是平行四边形．例4 （2002，全国竞赛）已知a=1999x+2000，b=1999x+2001，c=1999x+2002，•则多项式a2+b2+c2－ab－bc－ca的值为（）．A．0 B．1 C．2 D．3【思维探究】多项式a2+b2+c2－ab－bc－ca具有完全平方式的基本特征，经过变形可转化为（a－b）2、（b－c）2、（c－a）2的代数和的形式，再结合题设，即可求其值．例5（2003，天津市竞赛）使得2n（n+1）（n+2）（n+3）+12可表示为2•个正整数平方和的自然数n（）．A．不存在B．有1个C．有2个D．有无数个【思路探究】首先需判断2n（n+1）（n+2）（n+3）+12的奇偶性，显然这个数是偶数，然后推证某两个数平方和是否是偶数．若是，再推导其个数；若不是，就不存在这样的自然数n．例6已知a、b、c满足a2+b2=20053－c2，求（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2的最大值．【思路探究】条件等式和待求代数式都涉及数的平方关系，由此联想到利用完全平方公式求其最大值．【拓展题】已知正整数a、b、c满足不等式a2+b2+c2+42<ab+9b+8c，求a、b、c的值．◆探索研讨乘法公式在代数式计算、化简和恒等变形中，有着广泛的应用．在相关应用中要活用它，既要注意正向运用，又要注意逆向运用，请结合本节例题总结你的发现．◆能力训练1．（2005，武汉市“CASIO杯”选拔赛）如果x+y=1，x2+y2=3，那么x3+y3的值为（）．A．2 B．3 C．4 D．52．（2004，北京市竞赛）如果a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a+b2+c3=（）．A．12 B．14 C．16 D．183．（2003，太原市竞赛）已知a、b是实数，x=a2+b2+20，y=4（2b－a），则x、y•的大小关系是（）．A．x≤y B．x≥y C．x<y D．x>y 4．有理数a、b满足│a+b│<│a－b│，则（）．A．a+b≥0 B．a+b<0 C．ab<0 D．ab≥05．已知实数a、b满足条件a2+4b2－a+4b+54=0，那么－ab的平方根是（）．A．±2 B．2 C．±12D．126．（2001，“希望杯”，初二）若△ABC的三边长是a、b、c，且满足a4=b4+c4－b2c2，•b4=c4+a4－a2c2，c4=a4+b4－a2b2，则△ABC是（）．A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形7．a、b、c、d都是正数，以下命题中，错误的命题是（）．A．若a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a=b=cB．若a3+b3+c3=3abc，则a=b=cC．若a4+b4+c4+d4=2（a2b2+c2d2），则a=b=c=dD．若a4+b4+c4+d4=4abcd，则a=b=c=d8．*多项式5x2－4xy+4y2+12x+2015的最小值是（）．A．2004 B．2005 C．2006 D．20079．已知：a=－2000，b=1997，c=－1995，那么a2+b2+c2+ab+bc－ac的值是________．10．*已知a是实数，且使a3+3a2+3a+2=0，那么（a+1）2004+（a+1）2005+（a+3）2006+（a+3）2007的值是_______．11．（2000，“希望杯”，初一）已知a=1999，b=1，则a2+2b2+3ab=_______．12．（2002，北京市竞赛）已知x2+y2+z2－2x+4y－6z+14=0，则（x－y－z）2002=________．13．（2003，河北省竞赛）已知实数a满足a2－a－1=0，则a8+7a－4的值为_______．14．（2003，北京市竞赛）若（2x－1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a2+a4=_______．15．计算下列各题：（1）333199********199********--⨯⨯；（2）1.345×0.345×2.69－1.3453－1.345×0.3452．16．计算：（1）6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1；（2）19492－19502+19512－19522+…+19972－19982+19992．17．（2004，北京市竞赛）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且满足a4+b4+c4=a2c2+b2c2．•试判断△ABC的形状．18．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，•已知相对的两个面上二数之和相等．如果13、9、3的对面的数分别是a、b、c，试求a2+b2+c2－ab－bc－ca之值．139 3答案:解题指导例1 34．[提示：（a2+b2）（x2+y2）=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2 =（a2x2+b2y2+2abxy）+（a2y2+b2x2－2abxy）=（ax+by）2+（ay－bx）2=32+52=34．]例2 原式=（1－12）（1+12）（1－13）+（1+13）…（1－1111 )(1)(1)(1 1999199920002000 ++-+）=12×32×23×43×34×…×19982000199920011200120011999199920002000220004000⨯⨯⨯=⨯=.例3 C [提示：（m－n）2+（p－q）2=0，若m、n是四边形的一组对边，则p、q•是它的另一组对边，这个四边形是平行四边形；若m、n是四边形一组邻边，则p、q•是它的另一组邻边，这个四边形是对角线互相垂直的四边形．]例4 D [提示：∵a－b=1999x+2000－（1999x+2001）=－1，b－c=1999x+2001－（1999x+2002）=－1，c－a=1999x+2002－（1999x+2000）=2，∴a2+b2+c2－ab－bc－ca=12[（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2]=12[（－1）2+（－1）2+22]=3．]例5 A [提示：原式=2（n2+3n）（n2+3n+2）+12．设n2+3n+1=t，则t为奇数，令t=2k+1，原式=4（2k2+2k+3）．若原式可表示为两个正整数x、y的平方和x2+y2，可知x、y均为偶数，不妨设x=2u，y=2v，于是有u2+v2=2k2+3k+3=2k（k+1）+3．因2k（k+1）+3为4p+3型，其中p为正整数，而u2+v2不可能为4p+3型，故满足条件的自然数n不存在．]例6 ∵a2+b2+c2=2005 3，∴（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=3（a2+b2+c2）－（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca）=3×20053－（a+b+c）2=2005－（a+b+c）2≤2005．∴（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2的最大值是2005．【拓展题】∵a2+b2+c2+42<ab+9b+8c，∴a2+b2+c2+43≤ab+9b+8c，∴a2+b2+c2－ab－9b－8c+43≤0，∴（a－12b）2+34（b－6）2+（c－4）2≤0，∴（a－12b）2=0，34（b－6）2=0，（c－4）2=0．∴a－12b=0，b－6=0，c－4=0．∴a=3，b=6，c=4．能力训练1．C [提示：由2xy=（x+y）2－（x2+y2）=－2，得xy=－1．∴x3+y3=（x+y）（x2－xy+y2）=x2+y2－xy=4．]2．B [提示：由a2+b2+c2=ab+bc+ca，得（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=0．∴a=b=c．∴6a=12，即a=2．∴a+b2+c2=2+22+22=14．]3．B [提示：∵x－y=a2+b2+20－4（2b－a）=（a+2）2+（b－4）2≥0，∴x≥y.] 4．C [提示：∵│a+b│<│a－b│，∴（a+b）2<（a－b）2，即a2+2ab+b2<a2－2ab+b2．不等式两边都减去a2+b2，则有ab<－ab，故只有ab<0时，才能成立．]5．C [提示：∵a2+4b2－a+4b+54=0，∴（a－12）2+（2b+1）2=0，∵（a－12）2≥0，（2b+1）2≥0，∴a=12，b=－12．∴－ab=14，14的平方根是±12．]6．D [提示：∵a4+b4+c4=（b4+c4－b2c2）+（c4+a4－a2c2）+（a4+b4－a2b2），∴a4+b4+c4－a2b2－b2c2－a2c2=0．∴2a4+2b4+2c4－2a2b2－2b2c2－2a2c2=0．∴（a2－b2）2+（b2－c2）2+（c2－a2）2=0．∵（a2－b2）2≥0，（b2－c2）2≥0，（c2－a2）2≥0，∴a2=b2=c2．∵a、b、c为△ABC的边长，∴a=b=c．]7．C [提示：（1）∵2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0，∴（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=0．∴a=b=c．故命题A正确．（2）a3+b3+c3－3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ac）=0，∵a+b+c≠0，∴a2+b2+c2－ab－bc－ac=0，由（1）得a=b=c．故命题B正确．（3）∵a4+b4+c4+d4－2a2b2－2c2d2=0，∴（a2－b2）2+（c2－d2）2=0．∴a2=b2，c2=d2，∴a=b，c=d．但不一定有b=c，命题C错误．（4）∵a4+b4+c4+d4－4abcd=0，∴（a2－b2）2+（c2－d2）2+2（ab－cd）2=0，∴a2=b2，c2=d2，且ab=cd．∴a=b=c=d，命题D正确．]8．C [提示：5x2－4xy+4y2+12x+2015=（x2－4xy+4y2）+（4x2+12x+9）+2006=（x－2y）2+（2x+3）2+2006．∵（x－2y）2≥0，（2x+3）2≥0，∴原式的最小值为2006．]9．19 [提示：∵（a+b）2+（b+c）2+（a－c）2=a2+2ab+b2+b2+2bc+c2+a2－2ac+c2=2（a2+b2+c2+ab+bc－ac），又a+b=－2000+1997=－3，b+c=1997－1995=2，a－c=－2000+1995=－5，∴（a+b）2+（b+c）2+（a－c）2=（－3）2+22+（－5）2=38．∴a2+b2+c2+ab+bc－ac=19．]10．2 [提示：∵a3+3a2+3a+2=0，∴（a+1）3+1=0，即（a+1）3=－1．∴a+1=－1，∴a+3=1．∴（a+1）2004+（a+1）2005+（a+3）2006+（a+3）2007=（－1）2004+（－1）2005+12006+12007=2．] 11．4002000．[提示：a2+2b2+3ab=a2+2ab+b2+b2+ab=（a+b）2+b（a+1）=（1999+1）2+（1999+1）=20002+2000=4002000．]12．0 [提示：x2+y2+z2－2x+4y－6z+14=x2－2x+1+y2+4y+4+z2－6z+9=0，即（x－1）2+（y+2）2+（z－3）2=0．∴x－1=0，y+2=0，z－3=0，∴x=1，y=－2，z=3．∴（x－y－z）2002=（1+2－3）2002=0．]13．48 [提示：∵a2－a－1=0，a－a－1=1．∴a2+a－2=3，a4+a－4=7．∴a8+7a－4=a4（a4+a－4）+7a－4－1=7（a4+a－4）－1=7×7－1=48．] 14．－120 [提示：令x=0，代入，得a0=－1，令x=1，代入，得a5+a4+a3+a2+a1+a0=1；（1）令x=－1，代入，得－a5+a4－a3+a2－a1+a0=－243．（2）（1）+（2）相加，得a4+a2+a0=－121．故a2+a4=－120．]15．（1）令1000=a，999=b，则原式=3333223332222()333() ()a b a b a a b ab b a b a b aba b a b ab ab a b ab+--+++--+==+++=3．（2）令0.345=a，则1.345=a+1，2.69=2（a+1）．∴原式=（a+1）a×2（a+1）－（a+1）3－（a+1）a2=2a3+4a2+2a－a3－3a2－3a－1－a3－a2=－（a+1）=－1.345．16．（1）原式=（7－1）（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1 =（72－1）（72+1）（74+1）（78+1）+1…=（78－1）（78+1）+1=716－1+1=716．（2）原式=（1949+1950）（1949－1950）+…+（1997+1998）（1997－1998）+19992=－（1949+1950+…+1997+1998）+19992=19992－(19491998)502+⨯=3897326．17．∵a4+b4+12c4=a2c2+b2c2，∴（a4－a2c2+14c4）+（b4－b2c2+14c2）=0．∴（a2－12c2）2+（b2－12c2）2=0．∵（a2－12c2）2≥0，（b2－12c2）2≥0，∴a2=12c2，b2=12c2，∴a2=b2，a2+b2=c2．∴a=b，且a2+b2=c2．故△ABC是等腰直角三角形．18．∵a+13=9+b=3+c，∴a－b=－4，b－c=－6，c－a=10．∴a2+b2+c2－ab－bc－ca=12[（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2]=12[（－4）2+（－6）2+102]=76．。

专题1.2 整式的乘法-重难点题型(举一反三)(北师大版)(原卷版)

专题1.2 整式的乘法-重难点题型【北师大版】【题型1 整式乘法中的求值问题】【例1】（2021•开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（）A．37B．13C．20D．36【变式1-1】（2021春•潍坊期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（）A．﹣11B．﹣7C．﹣6D．﹣55【变式1-2】（2020秋•播州区期末）若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是．【变式1-3】（2021春•江都区期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣a，得到结果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．【题型2 整式乘法中的不含某项问题】【例2】（2021春•蜀山区校级期中）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项．（1）分别求m，n的值．（2）求m2020n2021的值．【变式2-1】（2021春•通川区校级月考）若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值．【变式2-2】（2021春•金牛区校级月考）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式2-3】（2021春•太湖县期末）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【题型3 整式乘法的计算】【例3】（2020秋•河北区期末）计算：（1）―12x2y⋅(13x3y2―34x2y+16)（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）【变式3-1】（2021春•九龙坡区校级期中）计算：（1）2x2y（x―12y+1）；（2）（x﹣2y）（y﹣x）．【变式3-2】（2021春•海陵区校级月考）计算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．【变式3-3】（2021春•未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．（1）求a的值．（2）请计算出这道题的正确结果．【题型4 整式乘法的应用】【例4】（2021春•铁西区期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为，B区显示的结果为．（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．【变式4-1】（2021春•碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；（2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？【变式4-2】（2021春•成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）【变式4-3】（2021春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1 S2．（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．【题型5 整式除法的应用】【例5】（2021春•上城区期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（）A．2y3﹣3xy2+4B．3y3﹣2xy2+4C．3y3+2xy2+4D．2xy2﹣3y3+4【变式5-1】（2020•台湾）计算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分别为何？（）A．商式为2，余式为﹣5B．商式为2x﹣5，余式为5C．商式为2x+2，余式为﹣1D．商式为2x﹣2，余式为﹣1【变式5-2】（2020秋•袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为．【变式5-3】（2021春•潍坊期末）若多项式A除以2x2﹣3，得到的商式为3x﹣4，余式为5x+2，则A ＝．【题型6 整式乘法中的规律探究】【例6】（2020秋•邹城市期末）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…（1）分解因式：x5﹣1＝；（2）根据规律可得（x﹣1）（x n﹣1+…+x+1）＝　（其中n为正整数）；（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．【变式6-1】（2021春•包河区期末）探究规律，解决问题：（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝，（m﹣1）（m2+m+1）＝．（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．（3）化简：（m﹣1）（m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1）＝．（n为正整数，m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1为n+1项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．【变式6-2】（2021春•合肥期中）观察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（）＝a3+b3（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）【变式6-3】（2020秋•石狮市校级月考）探究应用：（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝　；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝　．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：　．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．。

乘法公式

20.乘法公式作者德化一中颜墀策甲内容提要1.乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用.公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式.公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右向左逆用（因式分解）.要记住一些重要的公式变形及其逆运算——除法等.2.基本公式就是最常用、最基础的公式，可以由此而推导出其它公式.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2，立方和（差）公式：(a±b)(a2m ab+b2)=a3±b3.3.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd.即：多项式的平方等于各项的平方和，加上每两项积的2倍.②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3，(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4，(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5，…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律.③由平方差、立方和（差）公式引申的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4，(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5，(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6，…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律.在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数⑴(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n，⑵(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1，类似地：⑶（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n.4.公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab；(a－b)2=(a+b)2－4ab.由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b).由公式的推广可知：当n为正整数时，a n－b n能被a－b整除；a2n+1+b2n+1能被a+b整除；a2n－b2n能被a+b及a－b整除.乙例题例1.己知：x+y=a， xy=b .求：①x2+y2； ②x3+y3； ③x4+y4；④x5+y5.解：①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b；②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab；③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2；④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4)＝(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］＝a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］＝a5－5a3b+5ab2.例2.求证：四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方.证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3.(a为整数)a(a+1)(a+2)(a+3)+1＝a(a+3)(a+1)(a+2)+1＝(a2+3a)(a2+3a+2)+1＝(a2+3a)2+2(a2+3a)+1＝(a2+3a+1)2.∵a是整数，整数的和、差、积、幂也是整数.∴a2+3a+1是整数.例3.求证：2222＋3111能被7整除.证明：2222＋3111＝( 22)111＋3111＝4111＋3111.∵a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4）∴4111＋3111能被 4＋3整除.∴2222＋3111能被7整除.例4.用完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律.解：∵(10a+5)2＝100a2+2×10a×5+25＝100a(a+1)+25.∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数的个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数的十位上数字a乘以(a+1)的积.例如：152＝225，幂的百位上的数字2＝1×2；252＝625，6＝2×3；352＝1225， 12＝3×4；……1052＝11025， 110＝10×11.丙练习201.填空：①a2+b2＝(a+b)2－_____；②(a+b)2＝(a－b)2+___ ；③a3+b3＝(a+b)3－3ab(＿＿＿)；④a4+b4＝(a2+b2)2－_____ ；⑤a5+b5＝(a+b)(a4+b4)－_____ ； ⑥a5+b5＝(a2+b2)(a3+b3)－______.2.填空：①(x+y)(___________)＝x4－y4； ② (x－y)(__________)＝x4－y4；③(x+y)( ___________)＝x 5+y 5 ； ④（x －y ）(__________)＝x 5－y 5. 3. 计算：①552= ②652= ③752＝ ④852= ⑤952= ⑥1152＝4. 计算下列各题，你发现什么规律？①11×19＝ ②22×28＝ ③34×36＝ ④43×47＝ ⑤76×74＝ ⑥68×62＝ 5. 已知：x+x 1＝3, 求：①x 2+21x ； ②x 3+31x ；③x 4+41x的值. 6. 化简： ① (a －b)2(a+b)2 ；②(a+b)3(a 2－ab+b 2)3 ； ③(a －b)(a+b)3－2ab(a 2－b 2) ；④(a+b+c)(a+b －c)(a －b+c)(－a+b+c). 7. 己知：a+b ＝1, 求证：a 3+b 3－3ab ＝1. 8. 己知：a 2＝a+1，求：代数式a 5－5a+2的值. 9. 求证：233＋1能被9整除.10. 求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方. 11. 如图三个小圆的圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是a, b, c.①求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长；②求：大圆面积减去三个小圆面积和的差. 12. x 51+51除以x+1余数是什么？（）（A ）0；（B ）1； ( C) 49； (D) 50； (E)51. (美国中学数学竞赛试题) 13. 证明：993993＋991991能被1984整除. （1984年芜湖市初中数学竞赛试题） 14. 你能解释下列图形与所在代数式之间的关系吗？b ab a 22(a+b)(a+b+c)1+3+5+7=15. 设a＜b＜0，＝4ab，则22b a +ba ba −+的值为（）（A）3；（B）6；（C）2 ；（D）3. (2002年全国初中数学联赛题)。

多项式的乘法公式

•
ac.x2 (ad bc)x bd (ax b)(cx d )
例1.已知 a2x 2 1(a 0) ,
求
a 3x a 3x a x ax
的值.
• 法一:由题设知, ax 2 1 代入,计算…(较难).
法二: 由题设知
a 2 x

1 a2x

• 分析:逆用幂的运算性质.
的值.
1
1
3mn
10 2

103mn
1 2

(10m )3

10n

2

23 3

2
22 3来自2 36
例4(或练习).计算下列各式:
• 1. 2 3 0

22

2
1

1 2
0.010.5
5
4
• 2， 1
0.064 3

7
0

8
4 3
160.75

1
0.01 2
8
• 3.

3
3

2 3

0.002
1 2
10
1
52
0
2 3
8
• 答案1,16/15 2,143/80 3，-167/9
乘法公式
• 教学目标：熟练进行乘法公式的运算及因式分解.
• 教学重点：乘法公式,补充介绍立方差公式. • 教学难点：立方和(差)公式及十字相乘法公
式. 教学方法：讲评启发式学习方法：笔记,思考,练习.
乘法公式

多项式的乘法公式与展开

多项式的乘法公式与展开在代数学中，多项式是由一个或多个变量和常数通过加法和乘法运算组合而成的表达式。

多项式的乘法是一项重要的运算，它可以通过乘法公式和展开来实现。

本文将介绍多项式的乘法公式以及如何展开多项式。

1. 多项式的乘法公式多项式的乘法公式是指将两个多项式相乘所遵循的规则。

设多项式A和B分别表示为A(x)和B(x)，其中x是变量。

两个多项式的乘法公式可以表示为：A(x) * B(x) = (a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n) * (b0 + b1x + b2x^2 + ... + bmx^m)其中ai和bi分别表示多项式A和B的系数。

为了计算两个多项式的乘积，需要使用分配律的原则，即将每个项的系数相乘并将相同指数的幂相加。

具体而言，将A(x)的每一项与B(x)的每一项相乘，将指数相同的项的系数相加，得到最终的乘积多项式。

2. 多项式的展开多项式的展开是指将一个多项式按照乘法公式展开成一系列项的过程。

展开多项式可以帮助我们理解多项式的结构，并进一步进行计算。

例如，我们有一个多项式A(x) = (3x + 2) * (2x^2 - x + 1)，我们可以按照乘法公式将其展开为：A(x) = 3x * (2x^2 - x + 1) + 2 * (2x^2 - x + 1)按照乘法公式进行计算，展开后得到：A(x) = 6x^3 - 3x^2 + 3x + 4x^2 - 2x + 2合并同类项，最终展开结果为：A(x) = 6x^3 + x^2 + x + 2通过展开多项式，我们可以将复杂的表达式简化为一系列项的和，并更方便地进行进一步计算。

3. 多项式乘法的示例让我们通过一个具体的例子来展示多项式乘法的计算过程。

考虑两个多项式A(x) = (2x + 1)和B(x) = (x^2 - 3x + 2)。

我们可以使用乘法公式来计算它们的乘积。

首先，将A(x)和B(x)按照乘法公式展开，并进行系数相乘和指数相加的计算：A(x) * B(x) = (2x + 1) * (x^2 - 3x + 2)= 2x * (x^2 - 3x + 2) + 1 * (x^2 - 3x + 2)= 2x^3 - 6x^2 + 4x + x^2 - 3x + 2= 2x^3 - 5x^2 + x + 2最终得到多项式A(x)和B(x)的乘积为2x^3 - 5x^2 + x + 2。