1.2多项式乘法公式

中，分别求出 x8 、 x5 、 x4 的系数．
14．使用固定长度 (长度为 a (a > 0) ) 的篱笆围一块矩形区域菜地，如何安排矩形 的两个边长可以使所得菜地面积最大？
同学们在实践过程中去积累．
⋆典例精讲⋆
例 1．化简下列各式．
(
)(
)
(1). (x + 1)(x − 1) x2 + x + 1 x2 − x + 1
(
)
(2). (a + 2)(a − 2) a4 + 4a2 + 16
(
)(
)
(3).
1 m
−
1 n
1 m2 + 1 mn + 1 n2
5 2 25 10 4
A. 一定为负数
B. 一定为正数
( )
C. 可能是零
D. 可能是正数也可能是负数
2．下列各式中，不能用平方差计算的是
(
)(
)
A. (4x − 3y)(−3y − 4x)
B. 2x2 − y2 2x2 + y2
( )
C. (a + b − c)(−c − b + a)
D. (−x + y)(x − y)
(
)
(3).(a + b) a2 − ab + b2 = a3 + b3.
(
)
(4).(a − b) a2 + ab + b2 = a3 − b3.
(6).(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3. (7).(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac. (8).(a − b + c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab − 2bc + 2ac.
1
5
10
10
5
1 (a + b)5=
······
······
由上图中呈现出来的规律，直接写出 (a + b)5 ， (a + b)6 以及 (a + b)7 的展开式．
.8.
第一章 数与式的运算
⋆巩固提升⋆
练习 1.2
1．已知 a ，b 为任意实数，则 a2 + b2 − 2a − 4b + 8 的取值有何特点
9．计算 12 − 22 + 32 − 42 + · · · + 992 − 1002 =
.Βιβλιοθήκη Baidu
10．计算下列各式．
(1). 200002 − 19999 × 20001 (3). 31.52 − 3 × 31.5 − 102 + 1.52
(2). 372 + 26 × 37 + 132 (4). 162 − 152 + 163 − 153
11．化简
x2 + 3x + 9 x3 − 27
+
6x 9x − x3
−
x−2 3+x
．
12．计算并化简 1 + 2 + 3 + · · · + n （ n 为正整数）．
(
)(
)
13．在 7x6 − 2x5 − 3x4 + 5x3 − 2x2 + x − 5 · 3x5 + 2x4 − x3 + 3x2 − 2x − 8 展开式
思考:
5．观察下面有关杨辉三角的数表和代数运算式：
1
1
1
(a + b)1 = a + b
1
2
1
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
1
3
3
1
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
14
6
41
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
3．下列等式，不能恒成立的是
( )
A. (3x − y)2 = 9x2 − 6xy + y2
C.
(m
)2 −n
=
1 m2
−
mn
+
n2
2
4
B. (a + b − c)2 = (c − a − b)2
(
)
D. (x − y)(x + y) x2 − y2 = x4 − y4
4．若 ab < 0 ，则 (a − b)2 与 (a + b)2 的大小关系为
提示： 264 − 1 ．
例 3．已知 a + b + c = 6 ，ab + bc + ca = 3 ，求 a2 + b2 + c2 的值． 提示： a2 + b2 + c2 = 30 ．
例
4．已知
x2 − 5x + 1 =
0
，分别求
x2 +
1 x2
，
x3 +
1 x3
，
x4 +
1 x4
的值．
提示： x2 + 1 = 23 ， x3 + 1 = 110 ， x4 + 1 = 527 ．
乘法公式在实际应用当中要注意双方向性以及很多变形特例：
(1).a2
+
b2
=
1
[ (a
+ b)2
+
(a
] − b)2 .
2
(2).ab
=
1
[ (a
+ b)2
−
(a
−
] b)2 .
4
(3).(a + b)2 = (a − b)2 + 4ab.
( (4). a
±
1 )2 a
=
a2
±
2
+
1 a2
.
(5).a2
(4).
( x2
+
2xy
+
) y2
( x2
−
xy
+
y2)2
提示： (1).x6 − 1 ， (2).a6 − 64 ， (3). m3 − n3 ， (4).x6 + 2x3y3 + y6 ． 125 8
1.2 多项式乘法公式
.7.
( )( )( )(
)(
)
例 2．化简 (2 + 1) 22 + 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1 232 + 1 ．
( )
A. (a − b)2 < (a + b)2
B. (a − b)2 ≥ (a + b)2
C. (a − b)2 > (a + b)2
D. (a − b)2 ≤ (a + b)2
5．若
( x2
+ ax
+
)2 b
的展开式当中恰好不含
x2
的项，则实数
a
，b
之间应当满足
的关系式为
( )
A. a = b
B. ab = 0
C. a2 + 2b = 0
D. a2 − 2b = 0
6．已知 b − a = 5 , b − c = 2 则 a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca =
.
(
)(
)(
)(
)
7．计算
1
−
1 22
1
−
1 32
···
1
−
1 92
1
−
1 102
=
.
8．已知 m2 + n2 − 6m + 10n + 34 = 0 ，则 2m + 3n = .
+
b2
+ c2
− ab
−
bc
− ac
=
1
[ (a − b)2
+
(a
− c)2
+ (b
−
] c)2 .
2
(6).a3
+
b3
=
(a
+
b)
( a2
−
ab
+
) b2
=
(a
+
b)
(a
−
b )2 2
+
3b2 4
.
(7).a3
−
b3
=
(a
−
b)
( a2
+
ab
+
) b2
=
(a
−
b)
(a
+
b )2 2
+
3b2 4
.
由于应用问题的千变万化，以上只是列举了公式变形的部分情形，具体的学习要靠
.6.
第一章 数与式的运算
1.2 多项式乘法公式
⋆要点精析⋆
同学们初中已经学到的以及高中要用的多项式乘法公式有如下小结：
(1).(a + b)(a − b) = a2 − b2.
(5).(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
(2).(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2.
x2
x3
x4
例
5．已知
y x
=
√ 3
，分别求
3x + y y+x
，
提示：
3x + y y+x
=
√ 3，
x2 − 5xy + 3y2 2y2 − x2
=
√
x2 − 5xy + 3y2 ， 3x3 + 3y3
2
2y2 − x2 √ − 3，
√ 3x3
+
3y3
x2y = 10
x2y
的值．
例 6．已知 −3x2 + 5x − 6 可表示成 a(x − 2)2 + b(x − 2) + c 的形式，试求 a ， b ， c 的值． 提示： a = −3 , b = −7 , c = −8 ．