安徽省皖南八校 2012 届高三第一次联考(数学理)WORD版

皖南八校2012届高三第一次联考数学试题（理科）参考公式： 锥体体积公式：Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}1)1(log |{},2|1||{2≤-=≤-∈=x x B x Z x A ，则集合A ∩B 的元素个数为（ ）A ．0B ．2C ．5D ．8 2．设i 为虚数单位，复数ii a ++1是纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．2-3．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右焦点为F ，若过点且斜率为33的直线与双曲线渐近线平行，则此双曲线离心率是 （ ）A ．332 B ．3C ．2D ．324．设2121,,,b b a a ，均不为0，则“2121b b a a =”是“关于x 的不等式002211>+>+b x a b x a 与的解集相同”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．若变量y x ,满足约束条件|2|,10103x y z y y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+则的最大值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 6．计算机是将信息转化为二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，若1011（2）表示二进制数，将它转换成十进制数式是11212120210123=⨯+⨯+⨯+⨯了么二进制数2011111（2）转换成十进制数形式是（ ）A ．22010-1B ．22011-1C ．22012-1D ．22013-17．已知0x 是函数x xx f ln 11)(+-=的一个零点，若),(),,1(0201+∞∈∈x x x x ，则（ ）A ．0)(,0)(21<<x f x fB ．0)(,0)(21>>x f x fC ．0)(,0)(21<>x f x fD ．0)(,0)(21><x f x f8．已知函数)(x f 的图象如图，则|)(|x f 的图象为（ ）A ．①B ．②C ．③D ．①②③图都不对9．如图，已知三点A ，B ，E 在平面α内，点C ，D 在α外，并且α⊥AC ，AB BD DE ⊥⊥,α。

若AB=3，AC=BD=4，CD=5，则BD 与平面α所成的角等于A ．︒60B ．︒45C ．︒30D ．︒1610．在ABC ∆中，D 是BC 边上任意一点（D 与B ，C 不重合），且||||||||22DC BD AD AB ⋅+=，则ABC∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在答题卡上。

11．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出b 的值为 。

12．①三角形纸片内有1个点，连同三角形的顶点共4个点，其中任意三点都不共线，以这4个点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，可得小三角形个数为3个；②三角形纸片内有2个点，连同三角形的顶点共5个点，其中任意三点都不共线，以这5个点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，可得小三角形个数为5个，…………以此类推，三角形纸片内有2012个点，连同三角形的顶点共2015个点，其其中任意三点都不共线，以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的小三角形个数为 个（用数字作答） 13．已知角βα，的顶点在坐标原点，始边写x 轴的正半轴重合，),0(,πβα∈，角β的终边与单位圆交点的横坐标是135-，角βα+的终边与单位圆交点的纵坐标是=αcos ,53则 。

14.设6655443322106)1()1()1()1()1()1(-+-+-+-+-+-+=x a x a x a x a x a x a a x ，则=3a 。

15．平面上三条直线0,01,012=+=+=-+ky x x y x ，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为 。

（将你认为所有正确的序号都填上）①0 ②21 ③1 ④2 ⑤3三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

16．（本小题满分12分）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片。

（1）从盒中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数的概率；（2）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；（3）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当放回记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望。

17．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，DB//AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F为CD中点。

（1）求证：EF⊥平面BCD；（2）求多面体ABCDE的体积；（3）求平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值。

18．（本小题满分13分）已知sin2 ()23sin.sinx f x xx=+（1）求()f x的最大值，及当取最大值时x的取值集合。

（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有()(),3,f x f A a AB AC ≤=⋅若求的最大值.19．（本小题满分13分）已知函数21()(2,)2x f x x x R x +=≠∈+，数列{}n a 满足11(2,),(),().n n a t t t R a f a n N +=≠-∈=∈（1）若数列{}n a 是常数列，求t 的值； （2）当12a =时，记1(*)1n n n a b n N a +=∈-，证明：数列{}n b 是等比数列，并求出通项公式a n .20．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0),x y a b ab+=>>过点A （a,0）,B(0,b)的直线倾斜角为56π，原点到该直线的距离为32.（1）求椭圆的方程；（2）斜率小于零的直线过点D （1，0）与椭圆交于M ，N 两点，若2,M D D N =求直线MN 的方程；（3）是否存在实数k ，使直线2y kx =+交椭圆于P 、Q 两点，以PQ 为直径的圆过点D （1，0）？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分13分）已知()22(0)b f x ax a a x=++->的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线21y x =+平行.（1）求a ，b 满足的关系式；（2）若()2ln )f x x ≥∞在[1,+上恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：11111(21)()3521221n n n n n +++++>++∈-+参考答案1、B2、A3、A4、C5、D6、B7、D8、B9、C 10、C 11、8 12、4025 13、566514、20 15、①③④提示：1、B {1,0,1,2,3}A =-，{|13}B x x =<≤,{2,3}A B ⋂=所以元素个数为2个2、A111122a i a i i a a ii+(+)(-)(+)-(-)==+是纯虚数，则故1a =-．3 、A 依题意，应有b a =33，又ba ＝e 2－1，∴e 2－1=33，解得e=233．4、C5、D6 、B(2)2011111 转换成十进制数形式：2011201020092011121212122112-⨯+⨯++⨯==-- ．7、D 8、B 9、C 10、C11、8 12、4025zFDE13、566514、2015、①③④ 16、解：（Ⅰ）因为1,3,5是奇数，2、4是偶数，设事件A 为“两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数” ……2分1132253()5C C P A C ⋅==或 2232253()15C C P A C +=-=4分（Ⅱ）设B 表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”， 由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为25， ……6分则2232236()()(1)55125P B C =⋅⋅-=． ……8分（Ⅲ）依题意，X 的可能取值为1,2,3．3(1)5P X ==，233(2)5410P X ⨯===⨯，2131(3)54310P X ⨯⨯===⨯⨯， …………………11分所以X 的分布列为X 123P353101103313()123510102E X =⨯+⨯+⨯=． …………………12分17、解：（Ⅰ）找BC 中点G 点，连接AG ，FG ∵F ，G 分别为DC,BC 中点∴12FG DB EA ∥∥＝＝∴EFGA 四边形为平行四边形 ∴EF //AG ∵⊥AE 面ABC ，BD ∥AE ∴DB ⊥平面ABC 又∵DB ⊂平面BCD 平面ABC ⊥平面BCD又∵G 为 BC 中点且AC=AB=BC∴AG ⊥BC ∴AG ⊥平面BCD ∴⊥EF 平面BCD (4)（Ⅱ）过C 作CH ⊥AB,则CH ⊥平面ABDE 且CH=32ABCE DF H G∴()121133133224C ABDE ABD E V S C H -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=四边形…………8分（Ⅲ）以H 为原点建立如图所示的空间直角坐标系则3131(,0,0),(0,,1),(,,1)2244C E F -3131(,,1),(,,1)2244C E C F =--=-310223-31044u (0,0,1)u 15cos ,u 55C EF n C E n x y z n C F n x y z ABC n n n u⎧∙=--+=⎪⎪⎨⎪∙=-++=⎪⎩=∙===设平面的法向量为=(x,y,z)，由得=(,1,1)平面的法向量为则 ∴平面角ECD 和平面ACB 所成的锐二面角的余弦值5125分法二（略解）：延长DE 交BA 延长线与R 点，连接CE,易知AR=BA=1, ∠RCB=0905 C B cos C B=5D D ∠∠为二面角E-DC-B 的平面角∴平面角ECD 和平面ACB 所成的锐二面角的余弦值5125分18．解：（Ⅰ）()23sin 2cos 4sin()6f x x x x π=+=+………………2分()2()462x k k Z f x πππ+=+∈当时，取得最大值为()4 |2,3fx x x x k k Z ππ⎧⎫∴=+∈⎨⎬⎩⎭的最大值为，的取值集合为……4分 （Ⅱ）因为()f x 对定义域内任一x 有()()f x f A ≤=2()3A k k z ππ∴+∈ =63A A π∵为三角形内角 ∴分sin sin sin sin sin sin a ca C a B ACAA=由得，c=，同理可得b=∴AB A C →→∙=22sin sin 2cos cos 2sin sin()sin 3a B Ccb A A B B Aπ==-23113sin cos sin sin 2(1cos 2)sin(2)2226B B B B B B π=+=+-=+-3B π∴=当时，AB A C →→∙最大为3122分19、解 （Ⅰ）∵数列{}n a 是常数列，∴1n n a a t +==，即212t t t +=+，解得1t =-，或1t =．∴所求实数t 的值是1或-1． …………………………5分（Ⅱ）112,1n n n a a b a +==- ,111+12111+213,321111+2n n n n n n n n n a a a a b b a a a a ++++++∴====+---，即*13()n n b b n N +=∈． ……9分∴数列{}n b 是以13b =为首项，公比为3q =的等比数列，于是1*333()n n n b n N -=⨯=∈．……11分由*1()1n n n a b n N a +=∈-,即131nn n a a +=-，解得3131nn na +=-．∴所求的通项公式*31()31nn na n N +=∈-．………… 13分20、解：（Ⅰ）由33=ab ，22232121ba b a +⋅⋅=⋅ ，得3=a ，1=b ，所以椭圆方程是：1322=+yx……………………3分（Ⅱ）设MN ：1(0)x ty t =+<代入1322=+yx，得22(3)220t y ty ++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由2M D DN =，得212y y -=．由122223t y y y t +=-=-+，21222223y y y t -=-=+……………………6分得222222()33t t t --=++，1t ∴=-,1t =（舍去）直线M N 的方程为：1x y =-+即10x y +-=……………………8分（Ⅲ）将2y kx =+代入1322=+yx，得0912)13(22=+++kx x k（*）记33(,)P x y ，44(,)Q x y ，PQ 为直径的圆过(1,0)D ，则QD PD ⊥，即33443434(1,)(1,)(1)(1)0x y x y x x y y -⋅-=--+=，又332y kx =+，442y kx =+，得23434(1)(21)()50k x x k x x ++-++=………① 又343422912,3131k x x x x k k =+=-++，代入①解得76k =-……………11分此时（*）方程0>∆，∴存在76k =-，满足题设条件．…………12分21、解：（Ⅰ）2)(xb a x f -='，根据题意2)1(=-='b a f ，即2-=a b ……3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a xa ax x f 222)(-+-+=，令x x f x g ln 2)()(-=x a xa ax ln 2222--+-+=，[)1,x ∈+∞则0)1(=g ，xxa a x g 22)(2---='=2)2)(1(xaa x x a ---①当10<<a 时，12>-aa ，若21a x a-<<，则'()0g x <，()g x 在[1,)+∞减函数，所以()(1)0g x g <=，即()2ln f x x≥在[1,)+∞上恒不成立．②1a ≥时，21a a-≤，当1x >时，'()0g x >，()g x 在[1,)+∞增函数，又(1)0g =，所以()2ln f x x ≥．综上所述，所求a 的取值范围是[1,)+∞ ……8分（Ⅲ）有（Ⅱ）知当1≥a 时，x x f ln 2)(≥在[)1,+∞上恒成立．取1=a 得x xx ln 21≥-令11212>-+=n n x ，*N n ∈得1212ln212121212-+>+---+n n n n n n ，即1212ln 2)1221(1221-+>+---+n n n n 所以)121121(211212ln 21121+--+-+>-n n n n n 上式中n=1，2，3，…，n ，然后n 个不等式相加得到11111ln(21)3521221n n n n ++++>++-+………13分。