材料力学习题及答案

材料力学-学习指导及习题答案
第一章绪论
1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。

试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。

解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量M x，即扭矩，其大小等于M。

1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。

解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°，故
σ＝p cosα=120×cos10°=118.2MPa
τ＝p sinα=120×sin10°=20.8MPa
1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零。

试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。

图中之C点为截面形心。

解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力
F N=100×106×0.04×0.1/2=200×103 N =200 kN
其力偶即为弯矩
M z=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m
1-4 板件的变形如图中虚线所示。

试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。

解：
第二章轴向拉压应力
2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。

解：(a) F N AB=F, F N BC=0, F N，max=F
(b) F N AB=F, F N BC=－F, F N，max=F
(c) F N AB=－2 kN, F N2BC=1 kN, F N CD=3 kN, F N，max=3 kN
(d) F N AB=1 kN, F N BC=－1 kN, F N，max=1 kN
2-2 图示阶梯形截面杆AC，承受轴向载荷F1=200 kN与F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm。

如欲使BC与AB段的正应力相同，试求BC段的直径。

解：因BC与AB段的正应力相同，故
2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500 mm2，载荷F=50 kN。

试求图示斜截面m-m上的正应力与切
应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

解：
2－4（2-11）图示桁架，由圆截面杆1与杆2组成，并在节点A承受载荷F=80kN作用。

杆1、杆2的直径分别为d1=30mm和d2=20mm，两杆的材料相同，屈服极限σ
=320MPa，安全因数n s=2.0。

试校核桁架的强度。

s
解：由A点的平衡方程
可求得1、2两杆的轴力分别为
由此可见，桁架满足强度条件。

2－5（2-14）图示桁架，承受载荷F作用。

试计算该载荷的许用值[F]。

设各杆的
横截面面积均为A，许用应力均为[σ]。

解：由C点的平衡条件
由B点的平衡条件
1杆轴力为最大，由其强度条件
2－6（2-17）图示圆截面杆件,承受轴向拉力F作用。

设拉杆的直径为d，端部墩头的直径为D，高度为h，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。

已知许用应力[σ]=120MPa，许用切应力[τ]=90MPa，许用挤压应力[σbs]=240MPa。

解：由正应力强度条件由切应力强度条件
由挤压强度条件
式(1)：式(3)得式(1)：式(2)得故D：h：d=1.225：0.333：1
2－7（2-18）图示摇臂，承受载荷F1与F2作用。

试确定轴销B的直径d。

已知载荷F1=50kN，F2=35.4kN，许用切应力[τ]=100MPa，许用挤压应力[σbs]=240MPa。

解：摇臂ABC受F1、F2及B点支座反力F B三力作用，根据三力平衡汇交定理知F B的方向如图（b）所示。

由平衡条件由切应力强度条件
由挤压强度条件
故轴销B的直径
第三章轴向拉压变形
3-1 图示硬铝试样，厚度δ=2mm，试验段板宽b=20mm，标距l=70mm。

在轴向拉F=6kN的作用下，测得试验段伸长Δl=0.15mm，板宽缩短Δb=0.014mm。

试计算硬铝的弹性模量E与泊松比μ。

解：由胡克定律3-2(3-5) 图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。

从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为ε1=4.0×10-4与ε2=2.0×10-4。

试确定载荷F及其方位角θ之值。

已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2，弹性模量E1=E2=200GPa。

解：杆1与杆2的轴力（拉力）分别为
由A点的平衡条件
(1)2+(2)2并开根，便得
式(1)：式(2)得
3-3(3-6) 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。

试计算板的轴向变形。

已知板的厚度为δ，长为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。

解：
3-4(3-11) 图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。

设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。

解：设钢丝绳的拉力为T，则由横梁AB的平衡条件
钢丝绳伸长量由图（b）可以看出，C点铅垂位移为Δl/3，D点铅垂位移为2Δl/3，则B点铅垂位移为Δl，即3-5(3-12) 试计算图示桁架节点A的水平与铅垂位移。

设各杆各截面的拉压刚度均为EA。

解：(a) 各杆轴力及伸长（缩短量）分别为因为3杆不变形，故A点水平位移为零，铅垂位移等于B点铅垂位移加2杆的伸长量，即
(b) 各杆轴力及伸长分别为A点的水平与铅垂位移分别为(注意AC杆轴力虽然为零，但对A位移有约束)
3-6(3-14) 图a所示桁架，材料的应力-应变关系可用方程σn=Bε表示（图b），其中n和B 为由实验测定的已知常数。

试求节点C的铅垂位移。

设各杆的横截面面积均为A。

(a) (b)
解：2根杆的轴力都为
2根杆的伸长量都为
则节点C的铅垂位移
3-7(3-16) 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。

在梁的中点C承受集中载荷F作用。

试计算该点的水平与铅垂位移。

已知载荷F=20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E=200GPa，梁长l=1000mm。

解：各杆轴力及变形分别为梁BD作刚体平动，其上B、C、D三点位移相等3-8(3-17) 图示桁架，在节点B和C作用一对大小相等、方向相反的载荷F。

设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点B和C间的相对位移ΔB/C。

解：根据能量守恒定律，有
3-9(3-21) 由铝镁合金杆与钢质套管组成一复合杆，杆、管各载面的刚度分别为E1A1与E2A2。

复合杆承受轴向载荷F作用，试计算铝镁合金杆与钢管横载面上的正应力以及杆的轴向变形。

解：设杆、管承受的压力分别为F N1、F N2，则
F N1+F N2=F(1)
变形协调条件为杆、管伸长量相同，即联立求解方程(1)、(2)，
得杆、管横截面上的正应力分别为
杆的轴向变形
3-10(3-23) 图示结构，杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积均为A，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[σt]=160MPa，许用压应力[σc]=110MPa。

试确定各杆的横截面面积。

解：设杆1所受压力为F N1，杆2所受拉力为F N2，则由梁BC的平衡条件得
变形协调条件为杆1缩短量等于杆2伸长量，即联立求解方程(1)、(2)得因为杆1、杆2的轴力相等，而许用压应力小于许用拉应力，故由杆1的压应力强度条件得
3-11(3-25) 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为[σ1]=40MPa，[σ2]=60MPa，[σ3]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。

若载荷F=160kN，A1=A2=2A3，试确定各杆的横截面面积。

解：设杆1、杆2、杆3的轴力分别为F N1(压)、F N2(拉)、F N3(拉)，则由C点的平衡条件
杆1、杆2的变形图如图(b)所示，变形协调条件为C点的垂直位移等于杆3的伸长，即
联立求解式(1)、(2)、(3)得
由三杆的强度条件
注意到条件A1=A2=2A3，取A1=A2=2A3=2448mm2。

3-12(3-30) 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。

铆接后，温度升高40°，试计算铆钉剪切面上的切应力。

钢与铜的弹性模量分别为E s=200GPa与E c=100GPa，线膨胀系数分别为αl s=12.5×10－６℃－１与αl c=16×10－６℃－１。

解：钢杆受拉、铜管受压，其轴力相等，设为F N，变形协调条件为钢杆和铜管的伸长量相等，即
铆钉剪切面上的切应力
3-13(3-32) 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A、E与[σ]，试确定该桁架的许用载荷[F]。

为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为l+Δ。

试问当Δ为何值时许用载荷最大，其值[F max]为何。

解：静力平衡条件为
变形协调条件
为联立求解式(1)、(2)、(3)得杆3的轴力比杆1、杆2大，由杆3的强度条件
若将杆3的设计长度l变为l+Δ，要使许用载荷最大，只有三杆的应力都达到[σ]，此时变形协调条件为
第四章扭转
4-1(4-3) 图示空心圆截面轴，外径D=40mm，内径d=20mm，扭矩T=1kN•m。

试计算横截面上的最大、最小扭转切应力，以及A点处（ρA=15mm）的扭转切应力。

解：因为τ与ρ成正比，所以
4-2(4-10) 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器连接。

已知轴的转速n=100 r/min，传递功率P=10 kW，许用切应力[τ]=80MPa，d1/d2=0.6。

试确定实心轴的直径d，空心轴的内、外径d1和d2。

解：扭矩由实心轴的切应力强度条件
由空心轴的切应力强度条件
4-3(4-12) 某传动轴，转速n=300 r/min，轮1为主动轮，输入功率P1=50kW，轮2、轮3与轮4为从动轮，输出功率分别为P2=10kW，P3=P4=20kW。

(1) 试求轴内的最大扭矩；
(2) 若将轮1与轮3的位置对调，试分析对轴的受力是否有利。

解：(1) 轮1、2、3、4作用在轴上扭力矩分别为轴内的最大扭矩
若将轮1与轮3的位置对调，则最大扭矩变为最大扭矩变小，当然对轴的受力有利。

4-4(4-21) 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力矩作用。

试求支反力偶矩。

设扭转刚度为已知常数。

解：(a) 由对称性可看出，M A=M B，再由平衡可看出M A=M B=M
(b)显然M A=M B，变形协调条件为解得(c)
(d)由静力平衡方程得
变形协调条件为
联立求解式(1)、(2)得
4-5(4-25) 图示组合轴，由套管与芯轴并借两端刚性平板牢固地连接在一起。

设作用在刚性平板上的扭力矩为M=2kN·m，套管与芯轴的切变模量分别为G1=40GPa与G2=80GPa。

试求套管与芯轴的扭矩及最大扭转切应力。

解：设套管与芯轴的扭矩分别为T1、T2，则
T1+T2 =M=2kN·m (1)
变形协调条件为套管与芯轴的扭转角相等，即
联立求解式(1)、(2)，得套管与芯轴的最大扭转切应力分别为
4-6(4-28) 将截面尺寸分别为φ100mm×90mm与φ90mm×80mm的两钢管相套合，并在内管两端施加扭力矩M0=2kN·m后，将其两端与外管相焊接。

试问在去掉扭力矩M0后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。

解：去掉扭力矩M0后，两钢管相互扭，其扭矩相等，设为T，
设施加M0后内管扭转角为φ0。

去掉M0后，内管带动外管回退扭转角φ1（此即外管扭转角），剩下的扭转角(φ0-φ1)即为内管扭转角，变形协调条件为
内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为
4-7(4-29) 图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在直径为D=100mm 的圆周上，突缘的厚度为δ=10mm，轴所承受的扭力矩为M=5.0 kN·m，螺栓的许用切应力[τ]=100MPa，许用挤压应力[σbs]=300MPa。

试确定螺栓的直径d。

解：设每个螺栓承受的剪力为F S，则由切应力强度条件由挤压强度条件
故螺栓的直径
第五章弯曲应力
1(5－1)、平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定?简支梁受力及Ox坐标取向如图所示。

试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。

解：B正确。

平衡微分方程中的正负号由该梁Ox坐标取向及分布载荷q(x)的方向决定。

截面弯矩和剪力的方向是不随坐标变化的，我们在处理这类问题时都按正方向画出。

但是剪力和弯矩的增量面和坐标轴的取向有关，这样在对梁的微段列平衡方程式时就有所不同，参考下图。

当Ox坐标取向相反，向右时，相应(b)，A是正确的。

但无论A、B弯矩的二阶导数在q向上时，均为正，反之，为负。

2(5－2)、对于承受均布载荷q的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关?试判断下列四种答案中哪一种是错误的。

解：A是错误的。

梁截面上的弯矩的正负号，与梁的坐标系无关，该梁上的弯矩为正，因此A是错误的。

弯矩曲线和一般曲线的凸凹相同，和y轴的方向有关，弯矩二阶导数为正时，曲线开口向着y轴的正向。

q(x)向下时，无论x轴的方向如何，弯矩二阶导数均为负，曲线开口向着y轴的负向，因此B、C、D都是正确的。

3(5－3)、应用平衡微分方程画出下列各梁的剪力图和弯矩图，并确定|F Q|max和|M|max。

（本题和下题内力图中，内力大小只标注相应的系数。

）
解：
4(5－4)、试作下列刚架的弯矩图，并确定|M|max。

解：
5(5－5)、静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。

若已知A端弯矩M(0)=0，试确定梁上的载荷(包括支座反力)及梁的弯矩图。

解：
6(5－6)、已知静定梁的剪力图和弯矩图，试确定梁上的载荷(包括支座反力)。

解：
7(5－7)、静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。

若已知E端弯矩为零。

请：（1）在Ox坐标中写出弯矩的表达式；
（2）试确定梁上的载荷及梁的弯矩图。

解：
8(5-10) 在图示梁上，作用有集度为m=m(x)的分布力偶。

试建立力偶矩集度、剪力及弯矩间的微分关系。

解：用坐标分别为x与x+d x的横截面，从梁中切取一微段，如图(b)。

平衡方程为9(5-11) 对于图示杆件，试建立载荷集度（轴向载荷集度q或扭力矩集度m）与相应内力（轴力或扭矩）间
的微分关系。

解：(a) 用坐标分别为x与x+d x的横截面，从杆中切取一微段，如图(c)。

平衡方程为
(b) 用坐标分别为x与x+d x的横截面，从杆中切取一微段，如图
(d)。

平衡方程为
10(5-18) 直径为d的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上。

试求金属丝内的最大正应变与最大正应力。

已知材料的弹性模量为E。

解：
11(5-23) 图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。

试问：
(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值；
(2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b应分别为何值；
解：(1) 欲使梁的弯曲强度最高，只要抗弯截面系数
取极大值，为此令
(2) 欲使梁的弯曲刚度最高，只要惯性矩取极大值，为此令
12(5-24) 图示简支梁，由№18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A底边的纵向正应变ε=3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。

已知钢的弹性模量E=200GPa，a=1m。

解：梁的剪力图及弯矩图如图所示，从弯矩图可见：
13(5-32) 图示槽形截面铸铁梁，F=10kN，M e=70kN·m，许用拉应力
[σt]=35MPa，许用压应力[σc]=120MPa。

试校核梁的强度。

解：先求形心坐标，将图示截面看成一大矩形减去一小矩形
惯性矩
弯矩图如图所示，C截面的左、右截面为危险截面。

在C左截面，其最大拉、压应力分别为
在C右截面，其最大拉、压应力分别为故
14(5-35) 图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成，试校核其强度。

已知载荷F=4kN，梁跨度l=400mm，截面宽度b=50mm，高度h=80mm，木板的许用应力[σ]=7MPa，胶缝的许用切应力[τ]=5MPa。

解：从内力图可见木板的最大正应力
由剪应力互等定理知：胶缝的最大切应力等于横截面上的最大切应力
可见，该梁满足强度条件。

15(5-41) 图示简支梁，承受偏斜的集中载荷F作用，试计算梁内的最大弯曲正应力。

已知F=10kN，l=1m，
b=90mm，h=180mm。

解：
16(5-42) 图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，l=1m，许用应力[σ]=160MPa。

试分别按下列要求确定截面尺寸：
(1) 截面为矩形，h=2b；
(2) 截面为圆形。

解：(1) 危险截面位于固定端(2)
17(5-45) 一铸铁梁，其截面如图所示，已知许用压应力为许用拉应力的4倍，即[σc]=4 [σt]。

试从强度方面考虑，宽度b为何值最佳。

解：
又因y1+y2=400 mm，故y1=80 mm，y2=320 mm。

将截面对形心轴z取静矩，得
18(5-54) 图示直径为d的圆截面铸铁杆，承受偏心距为e的载荷F作用。

试证明：当e≤d/8时，横截面上不存在拉应力，即截面核心为R=d/8的圆形区域。

解：
19(5-55) 图示杆件，同时承受横向力与偏心压力作用，试确定F的许用值。

已知许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=90MPa。

解：故F的许用值为4.85kN。

第七章应力、应变状态分析
7-1(7-1b) 已知应力状态如图所示（应力单位为），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。

解：与截面的应力分别为：
；；；
MPa
7-2(7-2b)已知应力状态如图所示（应力单位为），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。

解：与截面的应力分别为：
；；；
7-3(7-2d)已知应力状态如图所示（应力单位为），试用图解法计算图中指定截面的正应力与切应力。

解：如图，得：
指定截面的正应力
切应力
7-4(7-7) 已知某点A处截面AB与AC的应力如图所示（应力单位为），试用图解法求主应力的大小及所在截面的方位。

解：由图，根据比例尺，可以得到：
，，
7-5(7-10c)已知应力状态如图所示，试画三向应力圆，并求主应力、最大正应
力与最大切应力。

解：对于图示应力状态，是主应力状态，其它两个主应力由、、确定。

在平面内，由坐标(,)与(,)分别确定和点，以为直径画圆与轴相交于和。

再以及为直径作圆，即得三向应力圆。

由上面的作图可知，主应力为
，，
，
7-6(7-12)已知应力状态如图所示（应力单位为），试求主应力的大小。

解：与截面的应力分别为：
；；；
在截面上没有切应力，所以是主应
力之一。

；；；
7-7(7-13)已知构件表面某点处的正应变，，切应变，试求该表面处方位的正应变与最大应变及其所在方位。

解：
得：
7-8(7-20)图示矩形截面杆，承受轴向载荷F作用，试计算线段AB的正应变。

设截面尺寸b和h与材料的弹性常数E和μ均为已知。

解：，，，
AB的正应变为
7-9(7-21)在构件表面某点O处，沿，与方位，粘贴三个应变片，测得该三方位的正应变分别为，与，该表面处于平面应力状态，试求该点处的应力，与。

已知材料的弹性模量，泊松比
解：显然，，
并令，于是得切应变：
7-10(7-6)图示受力板件，试证明A点处各截面的正应力与切应力均为零。

证明：若在尖点A处沿自由边界取三角形单元体如图所示，设单元体、面上的应力分量为、和、，自由边界上的应力分量为，则有
由于、，因此，必有、、。

这时，代表A点应力状态的应力圆缩为坐标的原点，所以A点为零应力状态。

7-11(7-15)构件表面某点处，沿，，与方位粘贴四个应变片，并测得相应正应变依次为，，与，试判断上述测试结果是否可靠。

解：很明显，，
得：
又
得：
根据实验数据计算得到的两个结果不一致，所以，上述测量结果不可靠。

第八章应力状态与强度理论
1、(8-4)试比较图示正方形棱柱体在下列两中情况下的相当应力，弹性常数E和μ均为已知。

（a）棱柱体轴向受压；
（b）棱柱体在刚性方模中轴向受压。

解：对于图（a）中的情况，应力状态如图（c）
对于图（b）中的情况，应力状态如图（d）
所以，，
2、(8-6)图示钢质拐轴，承受集中载荷F作用。

试根据第三强度理论确定轴AB的直径。

已知载荷F=1kN，许用应力[σ]=160Mpa。

解：扭矩
弯矩
由
得：
所以，
3、(8-10)图示齿轮传动轴，用钢制成。

在齿轮Ⅰ上，作用有径向力、切向力；在齿轮Ⅱ上，作用有切向力、径向力。

若许用应力[σ]=100Mpa，试根据第四强度理论确定轴径。

解：计算简图如图所示，作、、图。

从图中可以看出，危险截面为B 截面。

其内力分量为：
由第四强度理论
得：
4、8-4 圆截面轴的危险面上受有弯矩Ｍy、扭矩Ｍx和轴力ＦN x作用，关于危险点的应力状态有下列四种。

试判断哪一种是正确的。

请选择正确答案。

（图中微元上平行于纸平面的面对应着轴的横截面）
答：B
5、（8-13)图示圆截面钢杆，承受载荷，与扭力矩作用。

试根据第三强度理论校核杆的强度。

已知载荷N，，扭力矩，许用应力[σ]=160Mpa。

解：弯矩
满足强度条件。

6、(8-25)图示铸铁构件，中段为一内径D=200mm、壁厚δ=10mm的圆筒，圆筒内的压力p=1Mpa，两端的轴向压力F=300kN，材料的泊松比μ=0.25，许用拉应力[σt]=30Mpa。

试校核圆筒部分的强度。

解：
，，
由第二强度理论：
满足强度条件。

7、(8-27)图薄壁圆筒，同时承受内压p与扭力矩M作用，由实验测得筒壁沿轴向及与轴线成方位的正应变分别为和。

试求内压p与扭力矩M之值。

筒的内径为D、壁厚δ、材料的弹性模量E与泊松比μ均为已知。

解：，，，
很显然，
8、(8-22)图示油管，内径D=11mm，壁厚δ=0.5mm，内压p=7.5MPa，许用应力[σ]=100Mpa。

试校核油管的强度。