人教版七年级数学上册学生重点、难点必学常识

人教版七年级数学上册学生重点、难点必
学常识
1.有理数：
1) 任何能写成 p/q (p,q为整数且p≠0) 形式的数都是有理数，整数和分数都属于有理数。

注意：有理数不一定是正数或负数；-a不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数。

正整数、正分数、零、负分数、负整数都属于有理数。

2) 有理数可以分为两类：①零和正有理数；②负有理数。

正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数。

3) 注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有
自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。

4) 自然数等于正整数；a>0 等价于 a 是正数；a<0 等价于
a 是负数；a≥0 等价于 a 是正数或零；a≤0 等价于 a 是负数或零。

2.数轴：数轴是一条直线，规定了原点、正方向和单位长度。

3.相反数：
1) 只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数；
0 的相反数还是 0.
2) 注意：a-b+c 的相反数是 -a+b-c；a-b 的相反数是 b-a；
a+b 的相反数是 -a-b。

3) 相反数的和为 0 等价于 a+b=0 等价于 a、b 互为相反数。

4) 相反数的商为 -1.
5) 相反数的绝对值相等。

4.绝对值：
1) 正数的绝对值等于它本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值等于它的相反数。

注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离。

a>0 时，|a|=a；a≤0 时，|a|=-a。

2) 绝对值可以表示为：|a|=a (a≥0) 或 |a|=-a (a<0)。

3) a/|a|=1 等价于 a>0；a/|a|=-1 等价于 a<0.
4) |a| 是重要的非负数，即|a|≥0.
5.有理数比大小：
1) 正数永远比负数大，负数永远比正数小。

2) 正数大于一切负数。

3) 两个负数比较，绝对值大的反而小。

4) 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大。

5) -1、-2、+1、+4、-0.5 是与标准质量的差，标准质量是0.
6.倒数：
乘积为 1 的两个数互为倒数。

注意：0 没有倒数；若 ab=1，则 a、b 互为倒数；负数的倒数为负数。

等于本身的数汇总：
相反数等于本身的数：0、1、-1.
倒数等于本身的数：1、-1.
绝对值等于本身的数：正数。

平方等于本身的数：0、1.
立方等于本身的数：-1、0、1.
7.有理数加法法则：
1) 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2) 异号两数相加，取绝对值大的符号，并把绝对值相减。

3) 加数和被加数的顺序可以交换。

4) 0 是任何数的加法单位元，即 a+0=a。

5) 有理数加法满足交换律、结合律和分配律。

1.若 $ab=-1$，则 $a$ 和 $b$ 互为异号。

两数相加，取绝
对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数与 0 相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律：
1) 加法的交换律：$a+b=b+a$；
2) 加法的结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$。

3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即 $a-b=a+(-b)$。

4.有理数乘法法则：
1) 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
2) 任何数同零相乘都得零；
3) 几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。

奇数个负数为负，偶数个负数为正。

5.有理数乘法的运算律：
1) 乘法的交换律：$ab=ba$；
2) 乘法的结合律：$(ab)c=a(bc)$；
3) 乘法的分配律：$a(b+c)=ab+ac$。

（简便运算）
6.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；
注意：零不能做除数，即无意义。

7.有理数乘方的法则：
1) 正数的任何次幂都是正数；
2) 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
8.乘方的定义：
1) 求相同因式积的运算，叫做乘方；
2) 乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做
指数，乘方的结果叫做幂；
3) $a^2$ 是重要的非负数，即 $a^2\geq0$。

若 $a^2+|b|=0$，则 $a=0$，$b=0$；
4) 根据规律 $0.12^2=0.0144$，底数的小数点移动一位，
平方数的小数点移动二位。

9.科学记数法：把一个大于 10 的数记成 $a\times10^n$ 的
形式，其中 $a$ 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法。

10.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，
就说这个近似数的精确到那一位。

11.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字。

12.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：不省过程，不跳步骤。

13.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法，但不能用于证明。

常用于填空，选择。

14.单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式。

15.单项式的系数与次数：单项式中的数字因数，称单项式的系数；单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。

16.多项式：几个单项式的和叫多项式。

4.多项式的项数和次数：一个多项式中包含的单项式数量是它的项数，每个单项式称为多项式的一项。

在多项式中，最高次数的项的次数是多项式的次数。

5.整式：整式可以是单项式或多项式的总和。

6.同类项：具有相同字母和相同指数的单项式是同类项。

7.合并同类项法则：将同类项的系数相加，字母和指数保持不变。

8.添括号法则：如果括号前面是“+”号，则括号中的所有
项保持符号不变；如果括号前面是“-”号，则括号中的所有项
的符号都要改变。

9.整式的加减：首先标记相同的项，然后将它们相加或相减。

10.多项式的升幂和降幂排列：将多项式的各项按照某个
字母的指数从小到大（或从大到小）排列，这称为按该字母的升幂排列（或降幂排列）。

一元一次方程
1.等式：由“=”符号连接的表达式称为等式。

2.等式的性质：
等式性质1：等式两边加上（或减去）同一数或整式，结
果仍为等式。

等式性质2：等式两边乘以（或除以）同一非零数，结果
仍为等式。

3.方程：包含未知数的等式称为方程。

4.方程的解：使等式两边相等的未知数的值称为方程的解；请注意，“方程的解可以代入”！
5.移项：将方程的XXX从一边移到另一边，改变符号，
这称为移项。

移项的基础是等式性质1.
6.一元一次方程：只包含一个未知数，未知数的次数为1，且未知数项的系数不为零的整式方程是一元一次方程。

7.一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b
是已知数，a≠0）。

8.一元一次方程解法的一般步骤：
简化方程———基本分数性质
去分母———同乘（不漏乘）最简公分母
去括号———注意符号变化
移项———改变符号（留下靠前的）
合并同类项———合并后的符号
系数化为1———除以前面的系数
10.列举一元一次方程的解应用问题：
1）读题分析法：常用于“和，差，倍，分问题”。

仔细阅读问题，找出表示相等关系的关键词，例如：“大，小，多，少，是，共同，合，为，完成，增加，减少，配套”，使用这些关键词列出文字等式，并根据问题设定未知数，最后使用问题中的量和量之间的关系填写代数式，得到方程。

2）图解分析法：常用于“行程问题”。

数学中的数形结合思想可以通过图形分析数学问题，解决各种数学难题。

在解题过程中，我们需要仔细阅读题目，画出与问题相关的图形，并确保图形的各个部分具有特定的含义。

通过图形找到相等关系，可以为列方程提供依据。

最后，我们可以利用量与量之间的关系，将未知数转化为已知量，填入相关的代数式中，以获得方程的基础。

在列方程解应用题时，我们可以使用以下常用公式：
1）行程问题：距离=速度·时间，速度=距离÷时间。

2）工程问题：工作量=工效·工时，工效=工作量÷工时，工时=工作量÷工效。

在工程问题中，我们常常使用等量关系：先做的工作量+后做的工作量=总工作量。

3）顺水逆水问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2.
在顺水逆水问题中，我们常常使用等量关系：顺水路程=逆水路程。

4）商品利润问题：售价=定价+利润，利润率=（售价-成本）÷成本×100%。

在商品利润问题中，我们常常使用等量关系：售价-进价=利润。

5）配套问题：在配套问题中，我们需要确保各个部分之间的数量关系相等，从而获得正确的解答。