最新高考第一轮复习数学53两点间距离公式线段的定比分点与图形的平移汇总

2006年高考第一轮复习数学53两点间距离公式线段的定比分点与图形的平移
5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移
●知识梳理
1.设A（x1，y1），B（x2，y2），
则«Skip Record If...»=（x2－x1，y2－y1）.
∴|«Skip Record If...»|=«Skip Record If...».
2.线段的定比分点是研究共线的三点P1，P，P2坐标间的关系.应注意：（1）点P是不同于P1，P2的直线P1P2上的点；（2）实数λ是P分有向线段«Skip Record If...»所成的比，即P1→P，P→P2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式«Skip Record If...»（λ≠－1）.
3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，«Skip Record If...»
特别提示
1.定比分点的定义：点P为«Skip Record If...»所成的比为λ，用数学符号表达即为«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...».当λ＞0时，P为内分点；λ＜0时，P为外分点.
2.定比分点的向量表达式：
P点分«Skip Record If...»成的比为λ，则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»（O为平面内任一点）.
3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题.
●点击双基
1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f（x）的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为
A.y=f（x+1）－2
B.y=f（x－1）－2
C.y=f（x－1）+2
D.y=f（x+1）+2
解析：由平移公式得a=（1，2），则平移后的图象的解析式为y=f（x－1）+2.
答案：C
2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2－4y=4x，则向量a为
A.（－1，2）
B.（1，－2）
C.（－4，2）
D.（4，－2）
解析：设a=（h，k），由平移公式得
«Skip Record If...»
代入y2=4x得
（«Skip Record If...»－k）2=4（«Skip Record If...»－h），«Skip Record If...»2－2k«Skip Record If...»=4«Skip Record If...»－4h－k2，
即y2－2ky=4x－4h－k2，
∴k=2，h=－1.
∴a=（－1，2）.
答案：A
思考讨论
本题不用平移公式代入配方可以吗?
提示：由y2－4y=4x，配方得
（y－2）2=4（x+1），
∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?）
3.设A、B、C三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A点分«Skip Record If...»所得的比为
A.«Skip Record If...»
B.«Skip Record If...»
C.－«Skip Record If...»
D.－«Skip Record If...»
解析：设A点分«Skip Record If...»所得的比为λ，则由2=«Skip Record If...»，得λ=－«Skip Record If...».
答案：C
4.若点P分«Skip Record If...»所成的比是λ（λ≠0），则点A分«Skip Record If...»所成的比是____________.
解析：∵«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»=λ（－«Skip Record If...»+«Skip Record If...»）.∴（1+λ）«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...».
∴«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...».∴«Skip Record If...»=－«Skip Record If...»«Skip Record If...».
答案：－«Skip Record If...»
5.（理）若△ABC的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC的重心坐标为____________.
解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
则«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»
∴重心坐标为（－«Skip Record If...»，«Skip Record If...»）.
答案：（－«Skip Record If...»，«Skip Record If...»）
（文）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段«Skip Record If...»的比为3∶2，则m的值为____________.
解析：设M（x，y），则x=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=3，y=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=5，即M（3，5），代入y=mx－7得5=3m－7，∴m=4.
答案：4
●典例剖析
【例1】已知点A（－1，6）和B（3，0），在直线AB上求一点P，使|«Skip Record If...»|=«Skip Record If...»|«Skip Record If...»|.
剖析：|«Skip Record If...»|=«Skip Record If...»|«Skip Record If...»|，则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»或«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...».设出P（x，y），向量转化为坐标运算即可.
解：设P的坐标为（x，y），若«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，则由（x+1，y－6）=«Skip Record If...»（4，－6），得
«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»
此时P点坐标为（«Skip Record If...»，4）.
若«Skip Record If...»=－«Skip Record If...»«Skip Record If...»，则由（x+1，y－6）=－«Skip Record If...»（4，－6）得
«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»
∴P（－«Skip Record If...»，8）.综上所述，P（«Skip Record If...»，4）或（－«Skip Record If...»，8）.
深化拓展
本题亦可转化为定比分点处理.由«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，则P为«Skip Record If...»的定比分点，λ=«Skip Record If...»，代入公式即可；若«Skip Record If...»=－«Skip Record If...»«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=－«Skip Record If...»«Skip Record If...»，则P为«Skip Record If...»的定比分点，λ=－«Skip Record If...».
«Skip Record If...»
由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.
【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（3，4），C（－1，2），BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长.
剖析：∵A、C两点坐标为已知，∴要求点D的坐标，只要能求出D分«Skip Record If...»所成的比即可.
解：∵|BC|=2«Skip Record If...»，|AB|=«Skip Record If...»，∴D分«Skip Record If...»所成的比λ=«Skip Record If...».
由定比分点坐标公式，得
«Skip Record If...»
∴D点坐标为（9－5«Skip Record If...»，«Skip Record If...»）.
∴|BD|=«Skip Record If...»=«Skip Record If...».
评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.
深化拓展
本题也可用如下解法：设D（x，y），∵BD是∠ABC的平分线，
∴〈«Skip Record If...»，«Skip Record If...»〉=〈«Skip Record If...»，«Skip Record If...»〉.
∴«Skip Record If...»，
即«Skip Record If...»=«Skip Record If...».
又«Skip Record If...»=（1，－3），«Skip Record If...»=（x－3，y－4），«Skip Record If...»=（－4，－2），
∴«Skip Record If...»=«Skip Record If...».
∴（4+«Skip Record If...»）x+（2－3«Skip Record If...»）y+9«Skip Record If...»－20=0.
①
又A、D、C三点共线，∴«Skip Record If...»，«Skip Record If...»共线.
又«Skip Record If...»=（x－4，y－1），«Skip Record If...»=（x+1，y－2），
∴（x－4）（y－2）=（x+1）（y－1）.
②
由①②可解得«Skip Record If...»
∴D点坐标为（9－5«Skip Record If...»，«Skip Record If...»），|BD|=«Skip Record If...».
思考讨论
若BD是AC边上的高，或BD把△ABC分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.
【例3】已知在□ABCD中，点A（1，1），B（2，3），CD的中点为E（4，1），将
□ABCD按向量a平移，使C点移到原点O.
（1）求向量a；
（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.
解：（1）由□ABCD可得«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，
设C（x3，y3），D（x4，y4），
则«Skip Record If...»
又CD的中点为E（4，1），
则«Skip Record If...»
由①－④得«Skip Record If...»«Skip Record If...»
即C（«Skip Record If...»，2），D（«Skip Record If...»，0）.
∴a=（－«Skip Record If...»，－2）.
（2）由平移公式得A′（－«Skip Record If...»，－1），B′（－«Skip Record If...»，1），C′（0，0），D′（－1，－2）.
●闯关训练
夯实基础
1.（2004年福州质量检查题）将函数y=sin x按向量a=（－«Skip Record If...»，3）平移后的函数解析式为
A.y=sin（x－«Skip Record If...»）+3
B.y=sin（x－«Skip Record If...»）－3
C.y=sin（x+«Skip Record If...»）+3
D.y=sin
（x+«Skip Record If...»）－3
解析：由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»
∴«Skip Record If...»－3=sin（«Skip Record If...»+«Skip Record If...»）.
∴«Skip Record If...»=sin（«Skip Record If...»+«Skip Record If...»）+3，
即y=sin（x+«Skip Record If...»）+3.
答案：C
2.（2003年河南调研题）将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin （2x+«Skip Record If...»）+1的图象，则a等于
A.（－«Skip Record If...»，1）
B.（－«Skip Record If...»，1）
C.（«Skip Record If...»，－1）
D.（«Skip Record If...»，1）
解析：由y=2sin（2x+«Skip Record If...»）+1得y=2sin2（x+«Skip Record If...»）+1，∴a=（－«Skip Record If...»，1）.
答案：B
3.（2004年东城区模拟题）已知点P是抛物线y=2x2+1上的动点，定点A（0，－1），若点M分«Skip Record If...»所成的比为2，则点M的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.
解析：设P（x0，y0），M（x，y）.
«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1，即18x2=3y+1，x2=«Skip Record If...»y+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»（y+«Skip Record If...»），∴p=«Skip Record If...»，焦点坐标为（0，－«Skip Record If...»）.
答案：x2=«Skip Record If...»（y+«Skip Record If...»）（0，－«Skip Record If...»）
4.把函数y=2x2－4x+5的图象按向量a平移后，得到y=2x2的图象，且a⊥b，c=（1，－
1），b·c=4，则b=____________.
解析：a=（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b=（x，y），由题意得«Skip Record If...»«Skip Record If...»
则b=（3，－1）.
答案：（3，－1）
5.已知向量«Skip Record If...»=（3，1），«Skip Record If...»=（－1，2），«Skip Record If...»⊥«Skip Record If...»，«Skip Record If...»∥«Skip Record If...».试求满足«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»的«Skip Record If...»的坐标.
解：设«Skip Record If...»=（x，y），则«Skip Record If...»=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），
«Skip Record If...»=«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=（x+3，y+1）－（－1，2）=（x+4，y－1），
则«Skip Record If...»
所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»=（11，6）.
6.已知A（2，3），B（－1，5），且满足«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=3«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=－«Skip Record If...»«Skip Record If...»，求C、D、E的坐标.
解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C（1，«Skip Record If...»），D（－7，9），E（«Skip Record If...»，«Skip Record If...»）.
培养能力
7.（2004年福建，17）设函数f（x）=a·b，其中a=（2cos x，1），b=（cos x，«Skip Record If...»sin2x），x∈R.
（1）若f（x）=1－«Skip Record If...»，且x∈［－«Skip Record If...»，«Skip Record If...»］，求x；
（2）若y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）（|m|＜«Skip Record If...»）平移后得到函数y=f（x）的图象，求实数m、n的值.
解：（1）依题设f（x）=2cos2x+«Skip Record If...»sin2x=1+2sin（2x+«Skip Record If...»），
由1+2sin（2x+«Skip Record If...»）=1－«Skip Record If...»，得
sin（2x+«Skip Record If...»）=－«Skip Record If...».
∵|x|≤«Skip Record If...»，∴－«Skip Record If...»≤2x+«Skip Record If...»≤«Skip Record If...».
∴2x+«Skip Record If...»=－«Skip Record If...»，即x=－«Skip Record If...».
（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（x－m）+n的图象，即y=f（x）的图象.由（1）得f（x）=2sin2（x+«Skip Record If...»）+1.又|m|＜«Skip Record If...»，∴m=－«Skip Record If...»，n=1.
8.有点难度哟！
（2004年广州综合测试）已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点D（0，2）的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»，求实数λ的取值范围.
解：（1）原曲线即为（x+2）2+2（y+1）2=2，则平移后的曲线C为x2+2y2=2，
即«Skip Record If...»+y2=1.
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则
«Skip Record If...»由于点M、N在椭圆x2+2y2=2上，则«Skip Record If...»
即«Skip Record If...»
消去x22得，2λ2+8λy2+8=2λ2+4λ+2，
即y2=«Skip Record If...».
∵－1≤y2≤1，∴－1≤«Skip Record If...»≤1.
又∵λ＞0，故解得λ≥«Skip Record If...».
故λ的取值范围为［«Skip Record If...»，+∞）.
思考讨论
本题若设出直线l的方程y=kx+2，然后与x2+2y2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.
探究创新
9.甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为15«Skip Record If...»n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan«Skip Record If...»）的方向作匀速直线航行，速度为10«Skip Record If...»n mile/h.（如下图所示）
«Skip Record If...»
（1）求出发后3 h两船相距多少海里?
（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?
解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系.
«Skip Record If...»
设在t时刻甲、乙两船分别在P（x1，y1），Q（x2，y2），
则«Skip Record If...»
由θ=arctan«Skip Record If...»，可得cosθ=«Skip Record If...»，sinθ=«Skip Record If...»，
x2=10«Skip Record If...»t sinθ=10t，
y2=10«Skip Record If...»t cosθ－40=20t－40.
（1）令t=3，P、Q两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.
|PQ|=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=5«Skip Record If...»，
即两船出发后3 h时，两船相距5«Skip Record If...» n mile.
（2）由（1）的解法过程易知
|PQ|=«Skip Record If...»
=«Skip Record If...»
=«Skip Record If...»
=«Skip Record If...»≥20«Skip Record If...».
∴当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为20«Skip Record If...»，
即两船出发4 h时，相距20«Skip Record If...» n mile为两船最近距离.
●思悟小结
1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：
（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；
（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»获解.
2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.
3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.
4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.
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教学点睛
1.线段的定比分点公式«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»，该式中已知P1、P2及λ可求分点P的坐标，并且还要注意公式的变式在P1、P2、P、λ中知三可求第四个量.
2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.
3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背.
拓展题例
【例1】（2004年豫南三市联考）已知f（A，B）=sin22A+cos22B－«Skip Record If...»sin2A－cos2B+2.
（1）设△ABC的三内角为A、B、C，求f（A，B）取得最小值时，C的值；
（2）当A+B=«Skip Record If...»且A、B∈R时，y=f（A，B）的图象按向量p平移后得到函数y=2cos2A的图象，求满足上述条件的一个向量p.
解：（1）f（A，B）=（sin2A－«Skip Record If...»）2+（cos2B－«Skip Record If...»）2+1，
由题意«Skip Record If...»得«Skip Record If...»
∴C=«Skip Record If...»或C=«Skip Record If...».
（2）∵A+B=«Skip Record If...»，∴2B=π－2A，cos2B=－cos2A.
∴f（A，B）=cos2A－«Skip Record If...»sin2A+3=2cos（2A+«Skip Record If...»）+3=2cos2（A+«Skip Record If...»）+3.
从而p=（«Skip Record If...»，－3）（只要写出一个符合条件的向量p即可）.
【例2】设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后，得到曲线C1.
（1）写出曲线C1的方程；
（2）证明：曲线C与C1关于点A（«Skip Record If...»，«Skip Record If...»）对称.
（1）解：C1：y－s=（s－t）3－（x－t）.
①
（2）分析：要证明曲线C1与C关于点A（«Skip Record If...»，«Skip Record If...»）对称，只需证明曲线C1上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C上，反过来，曲线C上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C1上即可.
证明：设P1（x1，y1）为曲线C1上任意一点，它关于点A（«Skip Record If...»，«Skip Record If...»）的对称点为
P（t－x1，s－y1），把P点坐标代入曲线C的方程，左=s－y1，右=（t－x1）3－（t－x1）.
由于P1在曲线C1上，∴y1－s=（x1－t）3－（x1－t）.
∴s－y1=（t－x1）3－（t－x1），即点P（t－x1，s－y1）在曲线C上.
同理可证曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C1上.
从而证得曲线C与C1关于点A（«Skip Record If...»，«Skip Record If...»）对称.。