Z变换ppt课件

输出: Y (z) G(z) R(z) 1 F (z)G(z)
闭环： W (z) G(z) 1 F (z)G(z)
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误
差
信
反馈通道
号
无采样：
被
需要加虚
采
拟开关
样
相
E(z) R(z) B(z)
当
B(z) Z[G(s)H (s)]E(z) GH (z)E(z)
于
输
E(z) R(z) GH (z)E(z)
否则写不出来，只能写出输出信号z变换表达式。
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E(z)
R(z)
1 G1(z)G2G3H (z)
C(z) G1(z)G2G3 (z) R(z) 1 G1(z)G2G3H (z)
(z) C(z) G1(z)G2G3(z)
R(z) 1 G1(z)G2G3H (z)
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G(z)的特点
• 从采样开关到采样开关 • h(t),G(s),G(j)与h*(t),G(z),G(ejT)的关系
脉冲响应函数h(t) L变换 T
G(s) F变换
S=j
G(j)
h*(t)
Z变换
G(z) F变换
z=ejT
G(ejT)
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G(z)的物理可实现条件
G(z) b0 zm b1zm1 L bm zn a1zn1 L an
f *(t) 11 (t T ) 29 (t 2T ) 67 (t 3T ) 145 (t 4T ) L
得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析
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2. 查表法(部分分式展开法)
F (z) A1z A2z L An z
z z1 z z2
z zn
例：求
F
(
z
)
11z3 15z (z 2)(z
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4 闭环系统脉冲传递函数
1. 独立环节：在计算机控制系统里，两个相邻采样开关之间 的环节（不管其中有几个连续环节串联或并联）只称为1 个独立环节。
2. 若闭环系统输入信号未被采样，则整个闭环系统的脉冲传 递函数将写不出来，只能写出输出信号z变换表达式。
3. 若误差信号被采样，则认为输入、输出信号都有采样信号，
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四、有零阶保持器时的开环脉冲传递函数
G(s)
Ch (s)G0 (s)
1 esT s
G0 (s)
G(z)
Z[G(s)]
Z
1 esT
s
G0 (s)
Z
G0 (s) s
Z
e
sT
G0 s
(s)
G(z)
Z
G0 (s) s
z 1 Z
G0 (s) s
(1
z 1 )Z
G0 (s) s
h(t) L1[G(s)]
（2）对h(t)采样，求得离散系统脉冲的响应
h * (t) h(kT ) (t kT ) k 0
（2）对h*(t)作z变换，得离散系统脉冲的响应G(z)
G(z) Z[h * (t)] h(kT )zk k 0
几种记法：G(z) Z[h * (t)] Z[h(t)] Z[G(s)]
nm，可实现条件
例： G(z) Y (z) z z , Y (z) zR(z)
R(z)
1
y(t) r(t)=(t)
t -T 0
若r(t)=(t), R(z)=1, 则Y(z)＝z, y(t)= (t+T)
输出信号出现在输入信号之前，非因果的，物理上 不存在
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2 差分方程与脉冲传递函数
c(k) a1c(k 1) a2c(k 2) L anc(k n)
eT
)
G(
z)
Z[G1(s)G2
(s)]
Z
1 s(s 1)
(z
(1 eT )z 1)(z eT
)
G1(z)G2 (z) G1G2 (z)
两者结果不同，但它们的极点相同，仅零点不同
仅当其中一个环节是常值或纯延迟环节（延迟时
间为T的整数倍）时，等式成立
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注意：
并不是所有结构都能写出环节的离散脉冲传递函数， 如图（b），只能写出输出的表达式 只有当输入及输出均有采样开关，或者说，均为离散 信号时，才能写出它们之间的脉冲传递函数。
z-1时间上延迟一个周期， z-k延迟k步，便于差分方程描述
F（z）的表现形式：
F(z)
K (zm dm1zm1 L d1z d0 ) zn Cn1zn1 L C1z C0
F (z) KN (z) K (z z1)L (z zm ) D(z) (z p1)L (z pn )
mn
k
z1
终值定理成立的条件:
(1 z在1)F单(z位) 圆上和圆外没有极点，f（k）收敛
例： F(z) z , f (k) 发2散k , ，k不能使用终值定理
z2
若用：
f (k)
k
lim(1
z 1
z 1 )
z
z
2
lim
z 1
z
1 z
z
z
2
0
稳定，结论错误 原因：单位圆外有极点
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1 定义
9
Z变换基本定理
一，线性特性
Z[af1*(t) bf2*(t)] aF1(z) bF2 (z)
二、时域位移定理 三、初值定理 四、终值定理
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二、实位移定理
1.右位移(延迟)定理 Z[ f (t nT )] znF (z)
2. 左位移(超前)定理
Z[
f
(t
nT )]
zn
F(z)
n1 k 0
F(z)
k(znm
d znm1 m1
L
d0 zn )
1 cn1z1 L c0 zn
第三种形式在L变换中没有，用z-1描述
3
求Z变换方法
1）级数求和法
• 求指数函数 f (t) et 的z变换
f *(t) ekT (t kT ) (t) eT (t T ) e2T (t 2T ) L k 0
b0r(k) b1r(k 1) L bmr(k m)
n
m
c(k) aic(k i) bjr(k j)
i 1
j0
零初始条件下：
n
m
C(z) ai ziC(z) bj z j R(z)
i 1
j0
Z Z
差分方程
变反 换变
换
m
G(z)
C(z) R(z)
bj z j
j0
n
1 ai zi
即
e*(t) r *(t) c*(t)
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反馈通道有采样开关
G(z)
Baidu NhomakorabeaR(s)
_
E(s) T E(z)
G(s)
Y(s) T
Y(z)
F(s)
T
Y(z)
Y(z) G(z)E(z)
E(z) R(z) F(z)Y (z) R(z) F(z)G(z)E(z)
E(z) R(z) 1 F (z)G(z)
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二、串连环节的脉冲传递函数
(a)
G(z)
C(z) R(z)
G1(z)G2 (z)
(b) G(s) G1(s)G2 (s)
G(z) Z[G(s)] G1G2 (z)
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三、并联环节脉冲传递函数
G(z)
C(z) R(z)
G1 ( z )
G2 (z)
Z[G1(s)]
Z[G2 (s)]
依据Z变换的线性叠加原理
F (z) f (kT )zk 1 eT z1 e2T z2 L k 0
F(z)
1 1 eT
z 1
z
z eT
eT z1 1
4
2）部分分式展开法——查表法
F(s)
B(s) A(s)
b0sm b1sm1 L sn a1sn1 L
bm1s bm an1s an
n i1
Ai s pi
F (s)
C0
C1 s s1
C2 (s D2 ) s2 A2s B2
L
线性常系数微分方程，可以写成传递函数f（s）：
特征值为实数（一阶系统）或者一对共轭复根（二阶系统） f（s）可以分解为一阶和二阶环节之和（部分分式展开），
分别查表，得到z变换式，再求和。
注意：一般不能用 F *(s) s 1 ln z F (z) T 5
8
如果不能分解为分母上带z的形式，利用
F1(z)
A1z A2 z z z1 z z2
L
An z z zn
F(z)z
或F（z）=F1（z）z-1，求F1（z）的Z反变换f1（k） 得到的f（k）=f1（k-1） 例： F(z) 1 表中没有
z2
令：
F1 ( z )
z
z 2
F(z)z
查表得： f1(k) 2k f (k ) f1(k 1) 2k1
f
(kT )zk
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三、初值定理
lim f (kT ) lim F(z) f (0)
k 0
z
证明： F (z) f (kT )zk f (0) f (T )z1 f (2T )z2 L k 0
当z趋于无穷时，两边取极限，z ，z-10 上式成立
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四、终值定理
lim f (kT ) lim(1 z1)F(z)
入 信
E(z) R(z) 1 GH (z)
号 有
C(z) G(z)E(z) G(z) R(z) 1 GH (z)
采
样
(z) C(z) G(z)
R(z) 1 GH (z)
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一般规律：
C(z)
1
前向通道所有独立环节z变换的乘积 闭环回路中所有独立环节z变换的乘积
（1）输入 R(作s) 为一个连续环节看待。 （2）若 R(z存) 在，则可写出闭环系统的脉冲传递函数，
2 6 1)2
z
的Z反变换
解：
F (z) 2 z 9 z 20 z (z 1)2 z 1 z 2
(F(z)无重根) F(z)分母上往往有z, 对应查表方便
2t /T
9 *1(t )
20* 2t /T
f (k) 2k 9*1(k) 20* 2k , k 0,1, 2L
对应的连续函数：
f (t) 2t 9*1(t) 20* 2t
脉冲传递函数
n
i0
(z) 1 ai zi 为该系统的特征多项式
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i 1
3 开环脉冲传递函数（从采样开关到采样开关） 一、采样系统中连续部分的结构形式
图（a）—连续输入,连续输出 C(s) G(s)R(s) 图（b）—连续输入,采样输出 C *(s) [G(s)R(s)]*
即 C(z) Z[G(s)R(s)] GR(z), 一般GR(z) G(z)R(z)
Z反变换
Z 1[F (z)] f *(t) f (kT )
Z 1[F (z)] f (t)
只能得到采样点 上的值f（kT）！
不能得到f（t）
6
Z反变换求法
1）长除法(幂级数展开法，按照z-1升幂排列)
F (z) f (0) f (T )z1 f (zT )z2 L f (kT )zk L f *(t) f (0) (t) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) L f (kT ) (t kT ) L
f (kT )eksT k 0
引入复变量 z esT ， 并令 F *(s) s1 ln z F(z) T
F (z) F (0) f (T )z1 f (2T )z2 L f (kT )zk k 0 2
Z变换的特点：
1.得到的F（z）是z的幂多项式（有理分式），便于研究 2.z-1对应于（t-T）， z-k对应于（t-kT），
计算机控制系统的 数学描述
1
Z变换
1 定义
连续信号
离散信号
f(t)
T
f*(t)
f *(t) f (kT ) (t kT ) f (0) (t) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) f (3T ) (t 3T ) L
k 0
对上式拉氏变换
F *(s) L [ f *(t)] f (0) f (T )esT f (2T )e2sT f (3T )e3sT L
图（c）—采样输入,采样输出 C(z) G(z)R(z) 图（d）—采样输入,连续输出 C(z) G(z)R(z)
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注意： G1(z)G2 (z) G1G2 (z)
例：
G1(s)
1 s
,
G2 (s)
1 s 1
G(z)
G1 ( z )G2
(z)
Z
1 s
Z
s
1 1
(z
z2 1)( z
脉冲传递函数
G(z) C(z) 或 C(z) G(z)R(z) (零初始条件)
R(z)
若r(t) (t), c* (t) h* (t) Q R(z) Z[ (t)] 1
C(z) G(z)R(z) G(z) Z[h * (t)]
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如何由G(s)求G(z):
（1）对G(s)做拉普拉斯反变换，求得脉冲响应