Z正逆变换方法总结 - 360文档中心

Z反变换

1 z 1 z 2 z 3 ) 4 16 64
进而得：x(n)
1
15
1
15
(4) n2 (1)n 4
, ,
n 1 n0
Z变换的基本性质和定理
1.线性
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx 则有： Z[ y(n)] Y (z), Ry z Ry
Z[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z), max( Rx , Ry ) z min( Rx , Ry )
6. 翻褶序列
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x(n)] X (1) ; 1 z 1
z
Rx
Rx
证明： Z[x(n)] x(n)zn x(n)zn
n
n
x(n)(z1)n
n
X
(
1 z
)
，Rx
z 1
Rx ，
即 1 z 1
Rx
Rx
7. 初值定理
对于因果序列x(n)，则x(0) lim X (z)。 z
.. .
1+ —14 Z-1 +11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14 - —116 Z-1
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
—215—6 Z-3
...
得X (z) 1 ( z 5 z 4 z 3 z 2 4z 15 64 16 4
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x*(n)] X *(z*) ，Rx z Rx ; 其中，x* (n)为x(n)的共轭序列。

第15讲 Z变换及逆Z变换

m
z)
令m n
X ( z) a m z m
m 1

a
m0
z m a 0 z 0 1 a m z m
m 0

z 当 1，即 z a 时收敛 a 1 a z X z 1 1 z az za 1 a
24
6.3
逆Z变换
•部分分式展开法 •幂级数展开法 •围线积分法——留数法
25
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r N (z) X (z) D( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
n 0
n
1 1 两边，对 z 求导 1 1 z
1 n 1
1 n( z ) 1 2 ( 1 z ) n 0 两边同时乘以z-1 ，可得

L nu n nz
n 0
n
z ( z 1)2
z 1
9
同理可得
n u( n) n z
x ( n) a n u n

0 n
n1
X ( z) a n z n
n 0
a 1 n z a lim n a n 0 z 1 z
a 当 1，即 z a 时收敛 z
j Im( z )
z X z a za 1 z
6.1 概述
1
一．引言
本章主要讨论： Z变换的定义、收敛域、性质，
2
z变换的定义

逆z变换.

(z zi )s
X (z)
z
zzi
在这种情况下，X(z)也可展开为下列形式
X (z)
A0
M
m1
Am z z zm
S j 1
Cjz j (z zi ) j
其中，对于j=s项系数
Cs
z
zi z
s
X (z)
zzi
其他各Cj系数由待定系数法求出
思考题
• 1. 逆变换的定义式？ • 2. 求逆变换的方法？ • 3. 利用部分分式展开法求逆变换的步骤？
z
X(z)
z
z (z 1)(z 2)
X z A B
z z1 z2
A (z 1)
z
(z 1)(z 2)
1 同理：B＝2
z1
X(z) 1 2 z z1 z2
部分分式乘以 z
X(z) z 2z z1 z2
查表 x(n) u(n) 2(2)nu(n)
收敛域与原函数的对应
围坐标原点的逆时针方向的围线
j Im(z)
C， X的z全z部n1极点都在积分路
线的内部。已知
0
X z xnz n
1
n0
1式两边同乘以z m1，并进行围线积分
Re(z) C
1 X zzm1 d z 1x nFra bibliotekznzm1 d z
2j c
2j
c n0
将积分与求和互换得
X zzm1 d z x n znm1 d z
部分方式求逆Z变换步骤：
1）F(z)F(z)/z(真分式）； 2）F(z)/z进行部分分式展开； 3）求部分分式中的系数； 4）部分分式型 F(z)/z F(z)； 5）利用基本形式进行逆变换，求得f(k)。

第二章z变换

x[n]的单边z 变换:
X ( z ) Z
x[n] x[n]z
n 0

n
x[0] x[1]z x[2]z
1
2
2.2
Z变换的收敛域
上面定义的z变换是z的幂级数，所以只有当级数收敛时，z变换才有意义。因此我们必须讨论z变换的收敛问题。
一．收敛域的定义
对于任意给定的序列x(n) ，能使X ( z ) x( n) z n n 收敛的所有z 值之集合为收敛域。根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即要求
X(z)= x(n)z -n
n n1
1）n1<0,n2>0时，除z=及z=0外，X(z)在z平面上处处收敛。即收敛域为：
0 z
X
2）n1<0,n20时，除z=外，X(z)在z平面上处处收敛。即收敛域为：
z
x(n)
n1 n2
3）n10,n2>0时，除z=0外，X(z)在z平面上处处收敛。即收敛域为：
x(n) X ( z )
二．对z变换式的理解
X (z)
n
x ( n) z n

x( 2) z 2 x( 1) z 1
z的正幂
x(0) z 0 x(1) z 1 x( 2) z 2 x( n) z n
X(z)= x(n)z
n

-n

n
x(n)z
1
-n
x(n)z
n0

-n
双边序列看成右边序列和左边序列的z变换叠加。
其收敛域为:两级数收敛域的重叠部分. Rx1 z Rx 2 Rx 2 Rx1 则该级数收敛.其中Rx1 0, Rx 2 <.

6.3.4 z反变换

6.3.4 z反变换
Z变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题，然后通过求x(z)的原函数，可求出离散系统的时域响应。这就是z反变换。
1、幂级数法：（长除法）
Z变换函数，通常可表示为两个Z的多项式之比，一般可写成：
X ( z)
bm z m bm1 z m1 b0
n n 1
z a1 z nm
an
(m n)
z 1
设
b0 z m b1 z m1 bm1 z bm X(z) a0 z n a1 z n1 an1 z an
b0 z m b1 z m1 bm 1 z bm a0 ( z zi )
z e T K 2 lim z e T z 1 F ( z ) 1 e T
F ( z)
1 z z T T z 1 1 e z e
f (nT )

1 f (t ) 1 e T
1 nT 1 e 1 e T
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
的所有极点

F ( z) z
m 1
m k 1 dz f (kT ) z dz k 0

F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z

逆z变换

极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
X (z)
A0
N k 1
Ak 1 zk z1
z max[ zk ]
N
则其逆Z变换为：x(n) A0 (n) Ak zknu(n)
k 1
说明： a.X(z) 较简单时可按算术展开求各系数
Ak(k=0,1…,N) 。
b.X(z) 较复杂时可按留数定理求各系数
k 1,, s
3.围线积分法（留数法）
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
若被积函数 X (z)zn1是有理分式，一般采用留数定理来计算围线积分。根据留数定理， x(n) 等于围线C内全部极点留数之和，即:
x(n) Re s[X (z)zn1, ak ]
直接用长除法进行逆变换
X z xnz n n
（是一个z 的幂级数）
x(2)z2 x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2
级数的系数就是序列 xn
注意：
在用长除法将X（Z）展开成幂级数形式之前，应先根据给定的收敛域是圆外域还是圆内域，确定x（n）是右边序列还是左边序列。
5z 3 4z 4
例1：
因为 X (z) x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2
所以 xn 0, 1, 2, 3, 4, 因为长除结果无常数项，则x0 0。
例2：
X z z z
z2 2z 1 1 2z z2
z 1
z 2z2 3z3 4z4
1 2z z2 z z 2z2 z3
X(z)
N(z) D(z)

Z变换及逆变换与-稳定性

数字信号处理课程设计课程名称数字信号处理题目名称Z变换与逆变换与稳定性专业班级电子信息（12）学生XX学号指导教师二○××年××月××日Z变换-反变换求系统响应与稳定性判断引言 (1)数字信号处理 (2)MATLAB (2)GUI (2)课题相关 (2)设计要求 (1)理论知识 (1)离散时间系统 (2)Z变换 (2)数字信号处理 (2)离散时间系统的频域分析 (2)系统函数 (6)因果性和稳定在Z域的描述 (6)系统函数的零极点位置 (6)MATLAB仿真 (1)M脚本涉与函数 (2)GUI控件介绍 (2)常用控件 (6)控件的公共属性 (6)程序实现 (1)稳定系统I (5)稳定系统II (5)非稳定系统 (5)致谢 (1)参考文献 (4)附录 (1)1 引言1.1 数字信号处理数字信号处理就是用数值计算的方式对信号进行加工的理论和技术，它的英文原名叫digital signal processing，简称DSP。

另外DSP也是digital signal processor的简称，即数字信号处理器，它是集成专用计算机的一种芯片，只有一枚硬币那么大。

有时人们也将DSP看作是一门应用技术，称为DSP技术与应用。

数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。

数字信号处理与模拟信号处理是信号处理的子集。

数字信号处理的目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。

因此在进行数字信号处理之前需要将信号从模拟域转换到数字域，这通常通过模数转换器实现。

而数字信号处理的输出经常也要变换到模拟域，这是通过数模转换器实现的。

1.2 MATLABMATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以与数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。

MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。

信号分析第六章逆z变换

X a ( z) X b ( z) X ( z) 如果z p1是X ( z )的m重极点, z z z A1( m1) A1m A11 A12 X ( z) 1 Aj m m 1 2 z z p1 j 2 z p j ( z p1 ) ( z p1 ) ( z p1 ) A1( m1) z A1m z A11 z A12 z z X ( z) Aj m m 1 2 z p1 j 2 z p j ( z p1 ) ( z p1 ) ( z p1 )
n=m-1
1 d i 1 X ( z) A1i ( z p1 ) m (i 1)! d z i 1 z z p 1
n=1
n=o单极点
z
z k (k 1)( k 2) (k n 1) k n p1 (k ) n 1 n! ( z p1 )
z z
z a k (k ) 因果 za z a k (k 1) 反因果 za
X
例
z2 已知X ( z ) ， ROC : z 2, 求x k 。 ( z 1)( z 2)
第 9 页
X z 除以z
X z 将展开为部分分式 z
X (z) z z ( z 1)( z 2) X z A B z z 1 z 2
第
11 页
H ( z)
K11 e z ( z e )
j 2
j1

j
K11 e
j1
z )
( z e
j 2

K12 e z z e
j1
j
j 2

K12 e
j 2

数字信号处理2 Z变换

X1 ( z ) Z1[ x(n)] x(n) z n
n 0

z是复数,X(z)是复变函数
X ( z ) X ( re )
jw z re jw n

x ( n ) r n e jnw
r 1

2
F变换属于双边Z变换
X ( z ) X ( e jw )
正、逆Z变换：存在条件

变换存在&绝对可和

Z变换存在,即复变函数幅值有限(定义)
X (z)

存在条件放宽(充要条件)
X (z)
n

x(n) z
n

n

x(n) z
n

n

x(n) z n

收敛域:

z r Rx
已知x(n), 使
Im(z)
a z b
….
n1
0
x n
….
n2
Re(z)
Im(z)
a z b, a b
….
n1
0
….
n2
Re(z)
9
第五次 @ 5.20

回顾：

单、双边Z变换公式 Z变换的收敛域

定义（对比DTFT变换的“绝对可和”条件）不同序列的收敛域

本次：

Z逆变换 Z变换性质
2 z 2 z 2 2 z 3 2 z 4 ... z 1 1 2 2 2z 2z 2z 2z2 2z2 2z 2 2z3 2z3
X1(z)

K2.08-逆z变换：幂级数和部分分式展开

za
10
逆z变换：幂级数和部分分式展开
例1 已知象函数 F (z)
z2
(z 1)(z 2)
，分别求f(k)。
(1) | z | 2; (2) | z | 1; (3)1 | z | 2
解：
F(z) 1 z 2 z
3 z 1 3 z 2
(1) |z|>2，因果序列 f (k) [1 (1)k 2 (2)k ] (k)
k(k 1).....(k r 2) akr1 (k)
(r 1)!
16
逆z变换：幂级数和部分分式展开
以z>a 为例：
当 r=2 时，为 kak1 (k )
z
当 r=3 时，为 1 k(k 1)ak2 (k)
(z a)r
2
推导记忆：
Z [ak (k)] z
za
两边对a求导得:
Z
[kak 1
相应地，其z变换也分为两部分
其中
F (z) F2 (z) F1(z), | z |
F1(z) Z[ f (k) (k)] f (k)zk , | z | k 0 1
F2 (z) Z[ f (k) (k 1)] f (k)zk , | z | k
3
逆z变换：幂级数和部分分式展开
j1
z
j1
z
4 z (2 j2) 4 z (2 j2)
1
e
j
2
4
z
j
(z 2 2e 4 )
1
e
j
2
4
(z 2
z
j
2e 4 )
14
逆z变换：幂级数和部分分式展开
（1）| z | 2 2, f (k)为因果序列

第二章(2)序列的Z变换

z
n
Im [z ]
1 0
za
C
当 n 0时 , 因为 z a，围线 c内 F ( z ) 有一个单阶极点 z a , 围线 c 外有一个 n阶极点 z
a R e [z ]
x(n) Re s[ X ( z ) z
k 1
1
n 1
, zk ] Re s[ F ( z ), a] ( z a)

n 1
n2
x(n) z
n
j Im(z )
若 n2 0, 级数没有负幂项，其收敛域为 0 z R x 若 n2 0, 其收敛域为 0 z R x 总之，其收敛域是半径为的圆内部，是否包括原点由的具体取值而定
0
Rx+
Re(z )
例 2 . 5 . 4 求 x ( n ) a u ( n 1)的 Z 变换并确定其收敛域
X (z)

n

x(n) z
n
收敛的所有Z值之集合，即
为X(z)的收敛域（ROC，Region of convergence)
2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。

n

x(n) z
n

（ 2 .6 .3 ）
j Im[ z ]
3. 序列的收敛半径
阿贝尔定理:
§2.5 序列的Z变换
2.5.1 Z变换定义设某序列为x(n)，其Z变换定义为
双边 Z变换 X (z) X (z)

n
x (n ) z
n
(2 .6 .1 )

第二章_Z变换

n →∞ m = −1 n −m
− ∑ x( m)z −m ]
m =0
n
在单位圆上无极点，因为 ( z − 1) X ( z ) 在单位圆上无极点，上式两端对 z = 1 取极限
lim( z − 1) X ( z ) = lim[ ∑ x(m + 1) − ∑ x(m)]
z →1 n →∞ m = −1 m =0 n n
Z变换总结
X ( z) =
n=−∞
x(n)z−n = ∑ x(n)z−n + ∑ x(n)z−n ∑
n=0 n=−∞
∞
∞
−1
= 右边序列 + 左边序列
1）的模决定，（1）由于收敛条件由 |z| 的模决定，所以收敛于一个圆的边界收敛，大的Z的模一定（2）对右边序列：z > r1 收敛，则比 r1 大的的模一定）对右边序列：收敛， r1 是右边序列的极点收敛，收敛，小的数一定收敛，（3）对左边序列：z < r2 收敛，比 r2 小的数一定收敛，）对左边序列： r2 是左边序列的极点
Z [ x ( n + n 0 )] = x ( m ) z − m + n0 ∑
∞
m = −∞
∞ n0 −m = z ∑ x ( m ) z = z n0 X ( z ) m = −∞
20
时移后收敛域一般不发生变化（单边序列0和有例外有例外）时移后收敛域一般不发生变化（单边序列和∞有例外）
∑
x(n) z − n
要使上式收敛，只要求 n1 ≤ n ≤ n2 时， x(n) < ∞ ，且且如果 n1 < 0 ，则收敛域不包括 z = ∞ 点如果 n 2 > 0 ，则收敛域不包括 z = 0 点也就是说收敛域至少是除了 z = 0 及 z = ∞ 外的开域

逆z变换

= Kx(−2)z2 + x(−1)z1 + x(0)z0 + x(1)z−1 + x(2)z−2 +L
级数的系数就是序列 x(n)
2．右边序列的逆z变换
将X(z) 以z 的降幂排列
X(z) = ∑ x(n)z−n = x(0)z0 + x(1)z−1 + x(2)z−2 + L
n=0 ∞
3．左边序列的逆z变换将X(z)以z的升幂排列
高阶极点（重根）
设 X(z) = ∑
j =1 s
Bj z ( z − zi )
j
z = zi为s阶极点。阶极点。
则
1 ds− j s X ( z) Bj = s− j (z − zi ) (s − j)! d z z z=z
i
二．幂级数展开法
1．幂级数展开法
z变换式一般是的有理函数，可表示为：变换式一般是z的有理函数，可表示为：
推导
1 X (z)zm−1 d z = 2 πj ∫c 1 x(n) z−n+m−1 d z ∑ 2 πj ∫c n=0
∞ ∞
1 m−n π j( m−n)θ R ∫ e dθ = ∑ x(n) −π 2π n=0
只有当 = m积分不为零， = m时积分为 π n 积分不为零， n 2
x(n) 右= 0 n= m n≠ m
m
左边序列围线积分等于围线外所有极点的留数之和围线积分等于围线C外所有极点的留数之和 x(n) = −∑Re s X ( z)zn−1
[
]
m
z=zm
X ( z) =
n=− ∞
x(n)z −n = x(−1)z1 + x(−2)z 2 + x(−3)z 3 + L ∑

双边z变换及反变换

收敛域 (ROC): R |z| R+
双边z变换
（1）有限长序列
N2
X ( z ) x[k] z k
ROC 0 z
k N1
例：试求矩形脉冲序列RN[k]的双边z变换及其收敛域
解： X (z) RN [k] z k
k
N 1
= 1 zk
k0
1 z N 1 z1
,
|z| > 0
有限长序列的z变换的收敛域都是 |z| > 0或者 |z| ≥ 0
za z< b
[例] 已知解：
X (z)
z2
, 求不同收敛域对应的x[k]。
(z 2)(z 3)
X1(z)
X2(z)
X (z) 2z 3z
z2 z3
(1) |z|3 ，X1(z)和 X2(z)均对应右边序列
x[k] 2 2k u[k] 3 3k u[k]
(2) 2<|z|<3，X1(z)对应右边序列， X2(z) 对应左边序列
x[k] 2 2k u[k] 3 3k u[k 1]
(3) |z|<2 ，X1(z)和 X2(z)均对应左边序列
x[k] 2 2k u[k 1] 3 3k u[k 1]
双边z变换及反变换
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处，特此说明并表示感谢！
2 z 4
Im (z) ROC
Re(z)
双边z变换
（4）双边序列
X ( z ) x [k ] z k
k
双边序列z变换的收敛域为：Rx < |z| < Rx+

第14讲逆z变换

§3.4.3逆z变换的求解方法
部分分式展开法幂级数展开法围线积分法——留数法
1．幂级数展开法
z变换式一般是z的有理函数，可表示为：
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X (z) D( z ) a 0 a1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
解：
a z
n
az 1 1
由：
a0 (az 1 ) n0 a a 1, 有 a0 z z 1 az 1 n n0
显然a0=1，n0=0
1 的逆z变换为 1 1 az
1 a n z n 1 az1 n0
2.部分分式展开法
右边序列收敛域 z R, 包括z
为了保证 z 处收敛，其分子多项式的阶次不能大于分母多项式的阶次,即必须满足k r 。
（2）求逆z变换的步骤
X (z)为真分式
再部分分式展开
求展开分式的系数
查反变换表
（3）求展开分式的系数
B( z ) 用部分分式展开法求反Z变换，X ( z ) 通常为有理分式。 A( z )
|z|=|1/a|
j Im[ z ] 围线C
|z|=|a|
0
a
收敛域
1/a
Re[ z ]
在收敛域内作包围原定的围线C
逆Z变换
1 an x(n) Re s[ z n , a] a( z a)( z a 1 ) 1 a2
当 n 0 时，只有一个单阶极点z=a, 其围线积分为：
N
a0 x n0 n 如果 x 1, a0 x 1 x n n0

序列Z变换与反变换

X(z)Z[x(n)] zRx
Z [nx(m )]z X (z)
m 0
z 1
zm ax [R x ,1 ]
第28页，本讲稿共36页
双边Z变换的主要性质
10. 序列卷积和
x 1 [n ] x 2 [n ] X 1 (z)X 2 (z)ROC 包含Rx1∩Rx2
时域的卷积和对应于Z域是乘积关系
11. 序列相乘(Z域复卷积定理)
X
(z)
B(z) A(z)
X1(z)
X2(z)
Xk (z)
x(n) Z 1[ X1(z)] Z 1[ X 2(z)] Z 1[ X k (z)]
第15页，本讲稿共36页
部分分式展开法计算过程
M
X
(z)
B(z) A( z )
bi zi
i0 N
1 ai zi
i1
M N n0
Bn zn
n
Xa (s) L[xa (t)] xa (nT )ensT
n
第31页，本讲稿共36页
Z变换与Laplace 变换的关系
抽样序列 x(n)x(nT) 的 z 变换
X (z)
x(n) z n
n
X (z) zesT X (esT ) X a (s)
z esT ，抽样序列的z变换等于理想抽样信号的Laplace变换。
4. 线性加权(Z域微分特性)
nx(n) z dX(z) dz
ROCRx
第25页，本讲稿共36页
双边Z变换的主要性质
5.共轭序列
x(n)X(z)
ROCRx
6.时间翻转(time reversal)
x(n) ZX(1/z)
1 <z< 1