动点问题中的最值、最短路径问题

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题

动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中.

其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.

一、基础知识点综述

1. 两点之间，线段最短；

2. 垂线段最短；

3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）；

（1）单动点模型

作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求P A+PB的最小值的作图.

P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值.

作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点M 、N 即为所求.

5. 二次函数的最大（小）值

()2

y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k .

二、主要思想方法

利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） 三、精品例题解析

例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为

【答案】4.

【解析】解：∵PQ ⊥EP ，

∴∠EPQ =90°，即∠EPB +∠QPC =90°，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠B =∠C =90°，∠EPB +∠BEP =90°，

∴∠BEP =∠QPC ，

∴△BEP ∽△CPQ ，

O

∴BE BP CP CQ

=，

∵AB=12，AE=3，

∴BE=9，

设CQ=y，BP=x，CP=12－x，（0

∴

9

12

x

x y

=

-

，

即

()

()2

121

64

99

x x

y x

-

==--+，

∴当x=6时，y有最大值为4，即CQ的最大值为4.

【点睛】此题为“一线三直角模型”，解题方法为相似三角形性质求解，综合利用二次函数的性质求解最值问题.

例2.（2019·自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C、F分别是直线x=－5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取最小值时，tan ∠BAD=（）

A.

8

17

B.

7

17

C.

4

9

D.

5

9

【答案】B.

【解析】解：S△ABE=1

4

2

BE OA BE ⨯⨯=,

当BE取最小值时，△ABE面积为最小值.

设x=－5与x轴交于点G，连接DG，

因为D为CF中点，△CFG为直角三角形，

所以DG=1

5 2

CD=,

∴D点的运动轨迹为以G为圆心，以5半径的圆上，如图所示

由图可知：当AD 与圆G 相切时，BE 的长度最小，如下图，

过点E 作EH ⊥AB 于H ，

∵OG =5，OA =8，DG =5，

在Rt △ADG 中，由勾股定理得：AD =12，

△AOE ∽△ADG ， ∴

AO AD OE DG

=, 求得：OE =103， 由OB =OA =8，得：BE =143

，∠B =45°，AB

=∴EH =BH

=23BE =,AH =AB -BH

=3

， ∴tan ∠BAD

=717

EH AH ==, 故答案为B .

【点睛】此题解题的关键是找到△ABE 面积最小时即是AD 与D 的远动轨迹圆相切的时刻. 进而构造以

∠BAD 为内角的直角三角形，利用勾股定理求出边长，代入三角函数定义求解.

例3. （2019·南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB =24,BC =5,给出结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；①①OAB 的面积的最大值为144；①当OD 最大时，点D 的坐标为)26

26125,262625(，其中正确的结论是 （填写序号）.

【答案】①①.

【解析】解：根据题意可知：OE =12

AB =12, 即E 的轨迹为以O 为圆心以12为半径的四分之一圆（第一象限的部分）， 根据弧长公式，得点E 的路径长为：

9012180π⨯⨯=6π，故①错误； 因为AB =24,

当斜边AB 上的高取最大值时，①OAB 的面积取最大值，

点O 在以AB 为直径的圆上（圆心为E ），当OE ⊥AB 时，斜边AB 上的高最大，

所以①OAB 的面积取最大值为：

124122

⨯⨯=144，故②正确； 连接OE 、DE ，

得：OD ≤OE +DE ，当O 、E 、D 三点共线时取等号，

即OD 的最大值为25，

如图，过点D 作DF ⊥y 轴于F ，过点E 作EG ⊥y 轴于G ,