曲面上测地线和短程线的性质
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中 图分 类 号 ： Ｏ１ ８ ６ ． １ １ 文 献标 志 码 ： Ａ
引
言
关于曲面上的测地线 ， 文献 ［ １ — ５ ］ 中给出了一种定
在 任 固定 曲面 上一 点 Ｐ （ “ 。 ， “ ： ） ， 并设 ７ １ Ｐ 为 曲面
在 Ｐ点的切平面。设 为曲面 在 Ｐ点 的单位法 向 量， 以 ａ表示曲线 ｆ上 Ｐ点处 的单位切 向量 ； 以 表示
曲线 厂 上 Ｐ 点处 的主法 向量 ， 是副 法 向量 。
义， 没有给出测 地线 的等 价性质 ， 这在 使用 中非 常不方
便 。关 于 测地 线 有 三种 充 分 必 要 条 件 ， 利 用 测 地 线 的等 价性 质 ， 可 以简 化 一 些结 论 的证 明 。关 于 曲面 上 短 程 线
基金项 目： 国 家 自然 科 学基 金 资 助 项 目（ １ １ ２ ０ １ ０ ２ ０） ； 北 京航 空航 天 大 学校 级 重 大教 改 项 目（ ２ ０ １ ４ ０ １ ）
作者简介 ： 邢 家省 （ １ ９ ６ ４ 一 ） ， 男， 河南泌阳人 ， 副教授 ， 博士 ， 主要 从事偏微 分方程 、 微 分几何 方面的研 究， （ Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ） ｘ ｊ ｓ ｈ ＠ｂ ｕ ａ ａ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
曲面 上 测 地 线 和 短 程 线 的 性 质
邢 家省 ，高建全。 ，罗秀华
（ １ ． 北京航空航天大学数学 与系统科 学学院 ， 北京 １ ０ ０ １ ９ １ ； ２ ． 数学 、 信息与行为教育部重点实验室 ，北京 １ ０ ０ １ ９ １ ； ３ ． 平顶 山教 育学院 ， 河南 平顶 山 ４ ６ ７ ０ ０ ０ ）
定义 １ ＿ 】 刮 曲面 上 曲线 ， 在 Ｐ点 的单 位 切 向量 的导 向量 ａ （ ｓ ） 在切平面 ７ １ Ｐ 上 的投 影 向量
一
＝ （ ｓ ）
的必要条件 ， 现有文献 ［ １— ４ ］ 给 出了两 种证明过程 ， 本
文 给 出 了一种 新 的证 明过 程 ， 这 三 种 证 明过 程 的结 果 正 好对 应 于 测地 线 的三 种 条 件 。 给 出 了球 面 上 的 测 地 线
第２ ８卷 第 ｌ 期
９） １ １ 理 工 学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｖ ｏ １ ． ２ ８ Ｎ ｏ ． １ Ｄ ＯＩ ： １ ０ ． １ １ ８ ６ ３ ／ ｊ ． ｓ ｕ ｓ ｅ ． ２ ０ １ ５ ． ０ １ ． １ ５
文章 编 号 ： １ ６ ７ ３ － １ ５ ４ ９ （ ２ ０ １ ５ ） ０ １ － ０ ０ ６ ３ － ０ ５
产＝ （ ｌ ， ２ ） ， （ ｌ ， ／ ／ ， ２ ） ∈Ａ
ａ （ ｓ ）在 上 的投 影 向量 ＝ （ ａ （ Ｓ ）・ 奢） ， 称 为 曲线
记 ＝ ； ｇ ＝ 。 ， ｉ ， ＝ １ ， ２ ， ｇ ＝ｇ ｊ ｌ ； ｇ ｌ ｌ ｇ ２ ２一
（ （ ｓ ） ， （ ｓ ） ， 矗 ）
（ ， ¨， ） ：
Ｖ ｇ － ［ Ｉ ｄ ｕ ， ／ ｄ ２ ｕ ２ ＋ 蠢 ２ ｄ ｕ ； ｄ ｕ ￣ ］ 一
必在 球 面 大 圆上 的证 明 。
（ ａ （ ｓ ）－ ） 壳 ， 称为曲线 ，在 Ｐ点的测地曲率向量 。
关 于测 地 曲率 向量 的 几何 意义 ， 可 见文 献 ［ ２ ， ５ － ６ ］ 。 称Ｄ ａ ＝ｄ 一（ ｄ ａ・ 蔬 ） 为 ａ （ ｓ ） 沿 曲线 ， 的绝 对
曲率 ， 记作 ｋ ， ｋ ＝ ｓ ）・ ：
显 然 有
Ｐ ＝
（ ｕ （ ） ， ： （ ） ） ＝ （ ）
置 ＝ｋ ， ｉ＋ ｆ ，＝
＋后 荟
这里 Ｓ 是该 曲线的 自然参数。
ｋ ：ｋ ： ＋ｋ ：
收 稿 日期 ： 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４ － ０ ９ － ０ ８
摘
要： 从 曲 面上 曲线 的测地 曲 率 向 量 和 测 地 曲 率 的 定 义 出发 ， 在测地线定义的基础上 ， 给 出测 地
线 的 三种 充 分 必要 条 件 ， 并给 出应 用 中新 的 处理 方 法 ； 发 现 了 曲面 上 短程 线 的 必要 条 件 的 三 个 结论 正好
对 应 于测 地 线 的 三个 等价 条 件 。 关键词 ： 测地 曲率 向量 ； 测地曲率； 测地线； 短 程 线
６ ４
：
四川理 堂堕堂墼（ 鱼 鉴 堂 １
” （ ）一 （ ” （ ｓ ’ ） ｎ ｔ ｒ ’ ｔ ｓ ‘ ｓ ８
故
：
２ ０ １ ５ 年２月
Ｊ ｝ ｉ ＝ ｓ ）‘ 誊 Biblioteka Baidu（ ” （ ｓ ） ， ， ａ） ＝ （ ｓ ）， ， ｝ （ ） ）：
厂在 Ｐ点 的测 地 曲率 向量 。 定义 ３
＝（ ｓ ）・ ） 言 。
ｇ 。 ｇ ＝ｇ ； ＝ 。 设 厂是曲面 三上 的一条曲线 ， 其参
数 方程 为 ： 『 上 １ ＝ 『 上 １ （ Ｓ ） ， 『 上 ２ ＝ ２ （ Ｓ ） 或
＝
将 （ ）・ 孑称 为 曲 线 厂 在 Ｐ点 的测 地 ・ 吝 。
微 分 。显 然 ＆ （ ｓ ） 一（ ＆ （ ｓ ）・ 赢 ） 与 壳 ， ａ都 垂 直 。命 茅＝ ×＆， 则 ａ， ， 壳是 彼此 正 交 的单 位 向量 ， 并且 构 成
一
１ 测 地 曲 率 向 量 和 测 地 曲率 的 定 义
设 Ｃ 类 正则 曲面 ：
：
右 手 系 。显 然 ａ （ ｓ ）一（ ａ （ ）・ ） 平行于 言 。 定义 ２ 曲 面 上 曲 线 ， 的 切 向 量 的 导 向 量
引
言
关于曲面上的测地线 ， 文献 ［ １ — ５ ］ 中给出了一种定
在 任 固定 曲面 上一 点 Ｐ （ “ 。 ， “ ： ） ， 并设 ７ １ Ｐ 为 曲面
在 Ｐ点的切平面。设 为曲面 在 Ｐ点 的单位法 向 量， 以 ａ表示曲线 ｆ上 Ｐ点处 的单位切 向量 ； 以 表示
曲线 厂 上 Ｐ 点处 的主法 向量 ， 是副 法 向量 。
义， 没有给出测 地线 的等 价性质 ， 这在 使用 中非 常不方
便 。关 于 测地 线 有 三种 充 分 必 要 条 件 ， 利 用 测 地 线 的等 价性 质 ， 可 以简 化 一 些结 论 的证 明 。关 于 曲面 上 短 程 线
基金项 目： 国 家 自然 科 学基 金 资 助 项 目（ １ １ ２ ０ １ ０ ２ ０） ； 北 京航 空航 天 大 学校 级 重 大教 改 项 目（ ２ ０ １ ４ ０ １ ）
作者简介 ： 邢 家省 （ １ ９ ６ ４ 一 ） ， 男， 河南泌阳人 ， 副教授 ， 博士 ， 主要 从事偏微 分方程 、 微 分几何 方面的研 究， （ Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ） ｘ ｊ ｓ ｈ ＠ｂ ｕ ａ ａ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
曲面 上 测 地 线 和 短 程 线 的 性 质
邢 家省 ，高建全。 ，罗秀华
（ １ ． 北京航空航天大学数学 与系统科 学学院 ， 北京 １ ０ ０ １ ９ １ ； ２ ． 数学 、 信息与行为教育部重点实验室 ，北京 １ ０ ０ １ ９ １ ； ３ ． 平顶 山教 育学院 ， 河南 平顶 山 ４ ６ ７ ０ ０ ０ ）
定义 １ ＿ 】 刮 曲面 上 曲线 ， 在 Ｐ点 的单 位 切 向量 的导 向量 ａ （ ｓ ） 在切平面 ７ １ Ｐ 上 的投 影 向量
一
＝ （ ｓ ）
的必要条件 ， 现有文献 ［ １— ４ ］ 给 出了两 种证明过程 ， 本
文 给 出 了一种 新 的证 明过 程 ， 这 三 种 证 明过 程 的结 果 正 好对 应 于 测地 线 的三 种 条 件 。 给 出 了球 面 上 的 测 地 线
第２ ８卷 第 ｌ 期
９） １ １ 理 工 学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｖ ｏ １ ． ２ ８ Ｎ ｏ ． １ Ｄ ＯＩ ： １ ０ ． １ １ ８ ６ ３ ／ ｊ ． ｓ ｕ ｓ ｅ ． ２ ０ １ ５ ． ０ １ ． １ ５
文章 编 号 ： １ ６ ７ ３ － １ ５ ４ ９ （ ２ ０ １ ５ ） ０ １ － ０ ０ ６ ３ － ０ ５
产＝ （ ｌ ， ２ ） ， （ ｌ ， ／ ／ ， ２ ） ∈Ａ
ａ （ ｓ ）在 上 的投 影 向量 ＝ （ ａ （ Ｓ ）・ 奢） ， 称 为 曲线
记 ＝ ； ｇ ＝ 。 ， ｉ ， ＝ １ ， ２ ， ｇ ＝ｇ ｊ ｌ ； ｇ ｌ ｌ ｇ ２ ２一
（ （ ｓ ） ， （ ｓ ） ， 矗 ）
（ ， ¨， ） ：
Ｖ ｇ － ［ Ｉ ｄ ｕ ， ／ ｄ ２ ｕ ２ ＋ 蠢 ２ ｄ ｕ ； ｄ ｕ ￣ ］ 一
必在 球 面 大 圆上 的证 明 。
（ ａ （ ｓ ）－ ） 壳 ， 称为曲线 ，在 Ｐ点的测地曲率向量 。
关 于测 地 曲率 向量 的 几何 意义 ， 可 见文 献 ［ ２ ， ５ － ６ ］ 。 称Ｄ ａ ＝ｄ 一（ ｄ ａ・ 蔬 ） 为 ａ （ ｓ ） 沿 曲线 ， 的绝 对
曲率 ， 记作 ｋ ， ｋ ＝ ｓ ）・ ：
显 然 有
Ｐ ＝
（ ｕ （ ） ， ： （ ） ） ＝ （ ）
置 ＝ｋ ， ｉ＋ ｆ ，＝
＋后 荟
这里 Ｓ 是该 曲线的 自然参数。
ｋ ：ｋ ： ＋ｋ ：
收 稿 日期 ： 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４ － ０ ９ － ０ ８
摘
要： 从 曲 面上 曲线 的测地 曲 率 向 量 和 测 地 曲 率 的 定 义 出发 ， 在测地线定义的基础上 ， 给 出测 地
线 的 三种 充 分 必要 条 件 ， 并给 出应 用 中新 的 处理 方 法 ； 发 现 了 曲面 上 短程 线 的 必要 条 件 的 三 个 结论 正好
对 应 于测 地 线 的 三个 等价 条 件 。 关键词 ： 测地 曲率 向量 ； 测地曲率； 测地线； 短 程 线
６ ４
：
四川理 堂堕堂墼（ 鱼 鉴 堂 １
” （ ）一 （ ” （ ｓ ’ ） ｎ ｔ ｒ ’ ｔ ｓ ‘ ｓ ８
故
：
２ ０ １ ５ 年２月
Ｊ ｝ ｉ ＝ ｓ ）‘ 誊 Biblioteka Baidu（ ” （ ｓ ） ， ， ａ） ＝ （ ｓ ）， ， ｝ （ ） ）：
厂在 Ｐ点 的测 地 曲率 向量 。 定义 ３
＝（ ｓ ）・ ） 言 。
ｇ 。 ｇ ＝ｇ ； ＝ 。 设 厂是曲面 三上 的一条曲线 ， 其参
数 方程 为 ： 『 上 １ ＝ 『 上 １ （ Ｓ ） ， 『 上 ２ ＝ ２ （ Ｓ ） 或
＝
将 （ ）・ 孑称 为 曲 线 厂 在 Ｐ点 的测 地 ・ 吝 。
微 分 。显 然 ＆ （ ｓ ） 一（ ＆ （ ｓ ）・ 赢 ） 与 壳 ， ａ都 垂 直 。命 茅＝ ×＆， 则 ａ， ， 壳是 彼此 正 交 的单 位 向量 ， 并且 构 成
一
１ 测 地 曲 率 向 量 和 测 地 曲率 的 定 义
设 Ｃ 类 正则 曲面 ：
：
右 手 系 。显 然 ａ （ ｓ ）一（ ａ （ ）・ ） 平行于 言 。 定义 ２ 曲 面 上 曲 线 ， 的 切 向 量 的 导 向 量