曲面上测地线和短程线的性质
曲面上的线束理论与度量几何
曲面上的线束理论与度量几何在几何学中，曲面是一类经常研究的对象。
而曲面上的线束理论和度量几何是曲面研究中重要的分支。
本文将探讨曲面上的线束理论与度量几何的相关概念、性质和应用。
一、曲面上的线束理论曲面上的线束理论是研究曲面上的一族曲线的集合及其性质的数学分支。
曲面上的线束可以由多条曲线组成，这些曲线满足某种联系和条件。
线束理论的研究对象可以是各种各样的曲线，比如直线、圆、椭圆等。
曲面上的线束理论在图像处理、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
曲面上的线束理论主要涉及到线束的定义和分类。
线束的定义是指通过一族曲线在曲面上的分布情况，即这些曲线如何被布置在曲面上。
而线束的分类则是指如何根据线束的特点和性质对其进行分类。
常见的线束分类包括正则线束、奇异线束等。
此外，曲面上的线束理论还研究曲线与曲面之间的关系。
曲线在曲面上的切向量是研究曲线与曲面之间关系的重要工具。
切向量描述了曲线在曲面上的方向和变化率，可以用于研究曲线的弯曲性质和形状。
二、曲面上的度量几何曲面上的度量几何是研究曲面上的长度、角度、曲率等度量性质的数学分支。
度量几何主要关注曲面上的测量问题，以及与度量有关的性质和定理。
曲面上的度量几何在物理学、工程学和计算机图形学等领域具有广泛的应用。
曲面上的度量几何涉及到曲面上的度量张量和测地线等概念。
度量张量描述了曲面上的长度和角度的度量方式，是度量几何中的重要工具。
测地线是曲面上的一种特殊曲线，具有最短路径的性质，其研究在引力理论等领域有着重要应用。
曲面上的度量几何还研究曲面的曲率和高斯映射等性质。
曲率刻画了曲面上的弯曲程度，是曲面上的一个重要概念。
高斯映射描述了曲面在某点处的切平面如何映射到一个标准平面上，可以用于研究曲面的形状和变化。
三、曲面上的线束理论与度量几何的应用曲面上的线束理论和度量几何在实际应用中有着广泛的应用价值。
其中，图像处理和计算机图形学是两个重要的应用领域。
在图像处理中，曲面上的线束理论可以用于图像的分割和特征提取。
高等数学中的空间曲线与曲面
参数定义：参数是描述曲面上点位 置的变量，通常用两个参数表示。
参数选择：参数的选择对于曲面的 形状和性质有很大影响，不同的参 数选择会导致不同的曲面形状。
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参数方程：参数方程是描述曲面上 的点与参数值之间关系的方程组， 通常由两个参数方程组成。
参数方程的应用：参数方程在几何、 物理、工程等领域都有广泛应用， 是描述复杂曲面形状的重要工具。
的任意曲线。
参数曲线：通 过参数方程定 义的曲线，参 数可以是时间、 角度或其他量。
极坐标曲线： 通过极坐标方 程定义的曲线， 通常用于描述 圆、椭圆等形
状。
曲率：描述曲线在某一点的弯曲程 度
曲线的方向：通过切线方向和法线 方向确定曲线的方向
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挠率：描述曲线在垂直于给定点的 切线方向上的弯曲程度
曲线的弯曲程度和方向在高等数学 中对于研究空间曲线的性质和几何 特性非常重要
定义：曲线的长度 是曲线上的点与原 点之间的距离之和
性质：曲线的长 度与曲线的形状、 大小和方向有关
计算方法：通过微 积分学中的定积分 来计算曲线的长度
应用：在几何学、 物理学和工程学等 领域有广泛的应用
பைடு நூலகம்
切线的定义：切线是与曲线在某一点的法线垂直的直线
性质：测地线是唯一的，而短程线可能有多个。
应用：在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
与空间曲线的区别：空间曲线上的测地线和短程线是不同的概念。
空间曲线与曲面在几何学中有着广泛的应用，如描述三维空间中的曲线和曲面。 通过空间曲线与曲面的性质，可以推导出许多重要的几何定理和性质。 空间曲线与曲面在几何学中可以用于解决一些实际问题，如计算物体的表面积和体积等。 空间曲线与曲面在几何学中还可以用于研究一些复杂的几何形状，如分形和混沌等。
曲面上的测地线
Kd k ds ( ) 2
g i G G i 1
(Gauss-Bonnet公式)
其中 i是G的第i个内角的弧度数 .
华东理工大学《微分几何》电子课件(§2.6 面面上的测地线) pliu@
18 /35
引理： 若ds du Gdv , 则 dv k g ds d arctan G ( G )u dv (p171习题13) du 证明： 由于坐标网正交 , F 0, 由Liouville公式 d 1 ln E 1 ln G kg cos sin , ds 2 G v 2 E u 1 1 1 知 k g ds d Gu sin ds d Gu sin ds 2G 2 EG dv 1 du 1 sin , (P149) 又 cos cos , ds ds G E
2 k i j i j d u d u d u d u d u k r 2 ij n rk Lij ds ds d s ds k ds i, j i, j i j d 2 uk k du du 从而 gkl 2 ij 0 ( l 1, 2) d s ds k i, j ds
1 /35
一、曲面曲线的测地曲率
k 为(C )在P点的曲率向量. 称 r 称曲率向量在 上的投影k g为(C )在P点的测地曲率.
华东理工大学《微分几何》电子课件(§2.6 面面上的测地线) pliu@
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测地曲率的性质
k g r k k (n ) k ( ) n k n k cos( ) k sin . 2
曲面的曲率线、渐近曲线和测地线
而且所在平面沿 和 相切.
在一片只含有椭圆点的曲面上，由于 ，故没有渐近曲线.
在一片只含有双曲点的曲面上，由于 ，故经过每一点有两条渐进线.
在一片只含有抛物点的曲面上，由于 ，故渐进线的微分方程可写成 的形状，因此曲面上只有一簇渐近曲线.
定理2曲面上一条曲线为渐近曲线的充要条件：或者它是一条直线或者它在每一点的密切面与切面叠合（即它的副法线与曲面的法线重合： ）.
推理若两个曲面沿一条线 相切，则在这两个平面上， 或者都是渐进线，或者都不是.
定理3曲面 上一条异于直线的曲线 即是渐进线又是曲率线的充要条件： 为平面曲线.
注意这个定理与定理1的异同，定理3中的曲线不是直线，但条件也略去了 和平面沿 相切这一部分.事实上，由于 既是渐近曲线又是曲率线， 的方向是 的一个主方向，其对应的主曲率为0，因此由定理1， 沿 和平面相切，但定理3中的“异于直线”不能省略.例如直纹二次曲面上的母线是平面的渐近曲线，却不是曲率线.
4 测地线
4.1测地曲率定义
给定一个曲面 ，考虑曲面 是 的自然参数，设 是曲线 上一点， 是 在 上单位切向量， 是 的夹角，那么曲线 在 点的曲率向量 在 的投影为 在 的测地曲率，若用 表示，则
.
测地曲率的几何意义：曲面 上的曲线 ，它在点 的测地线的绝对值等于 在 点切平面上的正投影曲线 的绝对曲率.
2.2曲率线的微分方程
对曲面上一点 的两个方向，如果他们既共轭又正交，则称在 点主方向.
设两个方向是 由于正交性， ，即
,由于共轭性： ，即
,
以上两个条件改写为
＝0.
还可以写成以下形式
，
微分几何§6曲面上的测地线
在生物学中，细胞的运动轨迹和神经元的传导路径可以被描述为测地线，研究测地线有助于理解生物体的行为和 生理机制。
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定义
01
在高维空间中，测地线是连接两点之间长度最短的曲线，其长
度由曲面的几何性质决定。
性质
02
高维空间的测地线具有类似于平面曲线的一些性质，如曲率、
挠率和弧长等。
应用
03
在物理学和工程学中，高维空间的测地线被广泛应用于最小化
能量、时间等物理量的计算。
弯曲空间中的测地线
定义
在弯曲空间中，测地线是连接两点之间长度最短的曲线，但曲率 不再是常数。
微分几何§6曲面上 的测地线
目录
• 测地线的定义与性质 • 曲面上的测地线方程 • 曲面上的测地线的应用 • 曲面上的测地线的扩展 • 曲面上的测地线的几何意义 • 曲面上的测地线的展望
01
测地线的定义与性质
测地线的定义
测地线是曲面上的最短路径，即连接两点间的曲线段长度最短。
测地线是曲面描述
在地球表面，由于地球的曲率，两点之间的直线距离并不是最短的路径。相反， 测地线，即地球表面的大圆弧，是两点之间最短的路径。这对于航海、航空和通 信等领域具有重要意义。
航天器轨道设计
总结词
航天器轨道设计经常利用曲面上的测 地线概念。
详细描述
在航天领域，为了节省燃料和时间， 航天器通常沿着测地线轨道飞行。这 是因为测地线是两点之间“几乎最短 ”的路径，同时考虑到地球的引力作 用和其他天体的影响。
04
测地线是曲面上的一种 特殊曲线，其长度等于 曲面上两点之间的直线 距离。
测地线的分类
01
根据曲面的不同类型，测地线可 以分为欧氏空间中的测地线和非 欧氏空间中的测地线。
微分几何26曲面上的测地线
i
d 2u ds2
i
ri
i, j
dui ds
du j ds
rij
k
d 2uk ds2
rk
k
d 2uk ( ds2
i, j
dui ds
du j ds
ikj
)rk
i, j
Lij
dui ds
du j ds
n
kg (
i
dui ds
ri ,
k
(
d 2uk ds2
i, j
dui ds
角为下面 给，出则一dd个rs简单一 点ruE的c形os式 。 设rGv曲s线in的 切r方u dd向us 与 ruv-线ddvs所成的
du 1 cos , dv 1 sin ,
ds E
ds G
d 2u ds2
d (cos
E
d
)
d
ds
d (cos
E du
)
du ds
d (cos
E dv
)
dv ds
(
d 2u1 ds2
n)
(r1
r2
)
i1j
i, j r1 r2
g
dui ds
du j ds
)](r1,
r2
,
n)
1 g
(r12
r22
(r1
r2
)
2
)
1 (EG F 2) g g
kg
du1 d 2u2 g[( ds ( ds2
i, j
i2j
dui ds
du j ) ( du2 ds ds
kg
g [ du
d 2v
dv
微分几何中的测地线理论
微分几何中的测地线理论微分几何是数学中研究曲线、曲面以及它们在高维空间中的性质的分支学科，而测地线理论则是微分几何中的重要内容之一。
测地线是指沿着曲线或曲面上的路径上，弯曲度最小的直线，它具有许多重要的几何和物理学应用。
本文将介绍微分几何中的测地线理论，包括测地线的定义、参数化、测地线方程以及其在引力理论和地理学中的应用。
1. 测地线的定义在微分几何中，测地线可以定义为两点之间的最短路径，其长度通过测地线的弧长来度量。
对于欧几里德空间中的直线而言，测地线就是直线本身。
而在曲面上，测地线则是沿着曲面总弯曲度最小的路径。
2. 测地线的参数化为了描述和研究测地线，常常使用参数化的方法。
假设有一曲线或曲面上的点P，可以通过参数方程来表示该点的位置：P(u) = (x(u), y(u), z(u))其中，u为参数，x(u)、y(u)和z(u)分别为曲线或曲面在三个坐标轴上的函数。
通过选取适当的参数化方式，可以描述出曲线或曲面上的所有点。
3. 测地线的方程在微分几何中，测地线的方程是用来描述测地线上各点的位置关系的数学表达式。
对于曲线上参数u的取值范围为[a, b]的测地线，其方程可以用参数方程表示为：P(u) = (x(u), y(u), z(u))其中x(u)，y(u)和z(u)为测地线在三个坐标轴上的函数。
4. 测地线的性质测地线具有许多重要的几何性质，包括：- 测地线在局部上是伪直线，即它沿着曲线或曲面的切线方向匀速前进；- 测地线上的切矢量保持不变，即沿着测地线前进的方向不会发生改变；- 测地线上的曲率为零，即不具备弯曲的性质。
5. 测地线在引力理论中的应用在爱因斯坦的广义相对论中，测地线理论起到了重要的作用。
根据广义相对论，质点在引力场中的运动轨迹可以通过测地线来描述。
质点沿着测地线前进，在引力场中感受到的作用力为零，从而满足了牛顿定律的等效条件。
6. 测地线在地理学中的应用测地线理论在地理学中也有广泛的应用。
GeodesicDistance：两点间的最短距离之法截弧等角航线测地线
GeodesicDistance：两点间的最短距离之法截弧等⾓航线测地线Geodesic Distance：两点间的最短距离之法截弧/等⾓航线/测地线Author：zhoulujun Date：2020-03-13屏幕集合李，两点间最短的线叫直线，曲⾯上两点之间最短的连线叫 "测地线 "也叫 "短程线 "。
WebGIS⾥⾯，我们会接触到法截弧、等⾓航线，这些线有和来由，有何区别？测地线的定义曲⾯上两点之间最短的连线叫"测地线"也叫"短程线".要求曲⾯上两点间最段距离需要⽤到微积分,⽽且跟曲⾯的形状有关。
例如素测地线：上半平⾯Η=﹛(x,y)|y>0,x,y∈R﹜,装备黎曼度量 (dxdx+dydy)÷y²给出双曲⼏何的模型之⼀此时测地线为垂直实轴的射线以及以实轴上点为圆⼼的测地半圆:测地线如果从测绘学科来讲的话可能会更加容易理解⼀些。
测地线⼜被称为⼤地线，也就是⼤地上两点间距离最近的线。
测地线的历史渊源"geodesic"（测地线）⼀词来源于 geodesy（测地学），是⼀门测量地球⼤⼩和形状的学科。
就从 geodesic 的本意来说，就是地球表⾯两点之间的最短路径，因此 Geodesic Distance 最初是指地球表⾯两点之间的最短距离，但随后这⼀概念便被推⼴到了数学空间的测量之中。
例如在图论中，Geodesic Distance 就是图中两节点的最短路径的距离。
这与我们平时在⼏何空间通常⽤到的 Euclidean Distance（欧⽒距离），在平⾯上A、B两点间距离最近的线是连结这两点的直线段，⽽平⾯三⾓形、多边形的边就是有这些线段组成的；在⾮欧⼏何上，球⾯上A、B两点间距离最短的线是连结这两点的⼤圆弧，在球⾯上的三⾓形（球⾯三⾓形）、多边形的边也是由这些⼤圆弧组成的。
微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线
两 曲 面 沿 这 条 曲 线 有 公共 的 切 平 面 ，
因 而 沿 这 条 曲 线它，们 的 法 线 重 合 ，
而 曲 线 在 一 点 的 主 法 线只 有 一 条 ，
所 以 当 这 条 曲 线 的 主 法线 与 两 曲 面 之 一 的 法 线重 合 时 ，
同 时 必 与 另 一 曲 面 的 法线 重 合 ，由 命 题3知 ， 这 条 曲 线 也 是 另 一 个 曲面 的 测 地 线.
ikj
rk
Lij n]
i
d 2ui ds2 ri
ikj
i, j,k
dui ds
du j ds
rk
i, j
Lij
dui ds
du j ds
n
k
d 2uk ds2 rk
d 2uk
k [ ds2
i, j
kg (r, r, n)
ikj
dui ds
du j ds ]rk
i, j
证：(1) 对u 曲线而言， (s) 0,
由已知， ln E(u) 0, v
代入柳维尔公式得：
k gu
d
ds
1 2G
ln E v
cos
2
1 E
lnG sin
u
0.
u 曲线是测地线.
(2) 对v 曲线而言， (s) ,
2 由已知， ln E(u) 0,
v 代入柳维尔公式得：
k gv
1,2)
r
k
d 2uk [ ds2
i, j
ikj
dui ds
du j ds ]rk
i, j
Lij
dui ds
微分几何26曲面上的测地线
三、测地曲率的计算公式
k g k ( , , n) ( , k , n) (r , r , n)
k (rij ij rk Lij n)
k
1 2 i i du dv du du du du r ru rv r1 r2 ri ri ds ds ds ds ds ds i i i j 2 i i j 2 k du du d u du du d u r rij 2 ri rij 2 rk ds j ds ds ds i i i , j ds ds k
i j du1 d 2u 2 du du 2 kg ( r1 , ( 2 ij )r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j 2 d 2u1 du du du 1 (( 2 ij )r1 , r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j du1 d 2u 2 du du 2 k g [( ( 2 ij ) ds ds ds ds i, j
2 2 kn kg k 2 cos2 k 2 sin 2 k 2
于是
注意： n, , , 都在 P 点的法面上。
测地曲率的几何意义：曲面 S上的曲线（C），它在 P 点的测地 曲率绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线 (c* ) 的曲率。 证明：过（C）的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线，于是得 * * ( c ) ( c 到一柱面，这个柱面和S在P点的交线是 ，（C）和 ) 都是 柱面上的曲线。在这个柱面上用梅尼埃定理。 取 为柱面上P点的法向量，由于柱面垂 (c ) 直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平 行于切平面，又 P 在切平面上，所以柱面在 P * 的法向量 应在切平面上，而（ C ）点的切 ( c ) 向量 也在切平面上，所以柱面在 P的法截 面就是切向量 与法向量 所确定的平面， * 法截面与柱面的交线就是法截线 (c ) ，因此柱面在 方向的法 曲率 kn k * , kn k * (k *为(c* )在P点的曲率),
微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线
在曲面上，连接两点 P , Q的线段中哪条最短？
6.1 曲面上曲线的测地曲率
一.测地曲率的概念
1 2 ( S ) : r r (u , u ) n (C ) : u u ( s),( 1,2) 令 n P 定义 曲线(C )在P点的曲率向量r k在上的投影 （也就是在S上P点的切平面上的投影） 称为曲线(C )在P点的测地曲率. 记作 : k g 即 k r k
i j 2 2 1 i j du1 d 2 u 2 du du du d u du du 2 1 kg g[ ( 2 ij ) ( 2 ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
测地曲率的一般计算公 式.
F 0, 此时， 特别地， 在正交坐标网下，
2 i dui du j d u k [ ij rk Lij n] 2 ri ds i , j ds ds k i i j i j 2 k du du du du d u k ij rk Lij n 2 rk ds ds ds ds ds i , j ,k i, j k i j i j d 2 uk du du du du k [ 2 ij ] rk Lij n ds ds ds ds ds k i, j i, j i du , r ri k g (r r, n) ds i i j 2 2 1 i j du1 d 2 u2 du du du d u du du 2 1 [ ( 2 ij ) ( 2 ij )] (r1 , r2 , n) ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
微分几何26曲面上的测地线
contents
目录
• 测地线的定义与性质 • 曲面上的测地线 • 微分几何中的测地线 • 26曲面上的测地线 • 总结与展望
01
测地线的定义与性质
测地线的定义
01
测地线是曲面上的最短路径，即 连接两点间的曲线段长度最短。
02
在微分几何中，测地线被定义为 在曲面上具有常曲率的曲线，其 长度由曲面的第一，即其上任意两点的连 线都是连续且可微分的。
在某些特定条件下，26曲 面上的测地线可能具有闭 合性或周期性等特殊性质。
26曲面上的测地线与一般曲面上测地线的区别
01
一般曲面上测地线通常是定义在二维或三维空间中的曲线 ，而26曲面则是一个更高维度的几何对象。因此，26曲面 上的测地线需要考虑更多的维度和复杂性。
05
总结与展望
总结
测地线在微分几何26曲面上的研究具有重要的理论和应用价值，对于理解曲面的几何性质和拓扑结构 具有重要意义。
在过去的几十年里，研究者们在测地线的研究方面取得了丰硕的成果，包括测地线的存在性、唯一性和 稳定性等问题的解决，以及在黎曼几何和相对论等领域的应用。
然而，仍然存在许多未解决的问题和挑战，需要进一步的研究和探索。
02
26曲面可能具有特殊的几何和拓扑结构，这使得其测地线 的性质和计算方法与一般曲面有所不同。例如，在一般曲 面中，测地线通常是直线或平面曲线，而在26曲面上，测 地线可能是复杂的空间曲线。
03
由于26曲面可能具有特殊的几何和拓扑结构，因此其测地 线的存在性和唯一性也可能与一般曲面有所不同。例如， 在某些特定条件下，26曲面上的测地线可能不存在或不止 一条。
微分几何中的测地线性质
01
微分几何 §6 曲面上的测地线
r=r(u1 ,u 2 )，u1 =u1(s),u 2 =u 2(s)的 r k
n
..
若记 n ， n，
kg r k
k g r k （，n，） k n k sin k
..
..
命题1
k k k ,
下面给出测地曲率的一般计算公式 设曲面曲线 C : u s , u u s 其中s是自然参数 有
, 2 2
k g k ( , , n) ( , k , n)=( r , r , n) . du i r ri ds i
r ij k
i, j ..
2 2 2
d ds 1 2 G ln E v du ds dv ds cos 1 E 1 G 1 2 E cos sin ln G u sin
由此在给出初始条件下可求测地线惟一的解.
例:利用刘维尔公式证明：平面上的测地线为直线 证明：对于平面
ds 2 du 2 dv 2
d 2u k ds
2
ij k
i, j
du i du j ds ds
0, k 1, 2
du k ds ( du k ds
在初始要件 s s0 , u k u0 k ,
)0
由微分方程知识知有唯一解
曲面上任一点，给定一个的切方向，则存在唯一 一条测地线切于此方向
6.3. 曲面上的半测地坐标网 曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线，另一的族
E G 1, F 0, Eu Ev Gu Gv 0
代入测地线的方程得
d ds
du ds
0, const .
平行曲面上测地线的性质
平行曲面上测地线的性质在平行曲面上，测地线是沿着沟槽运动的最短路线，其中沟槽的定义是一系列水平曲线，它们的切线与侧壁都垂直。
平行曲面可以被形式化地定义为一组由相同曲率的曲线构成的曲面。
在这里，我们将讨论测地线在平行曲面上的性质。
1. 平行曲面上的测地线是最短路线在平行曲面上，测地线是最短的路径。
这是由于平行曲面上的每个点都具有相同的曲率。
因此，沿着曲面上的任何其他曲线运动都需要更多的路径长度，而测地线是连接两个点的最短路径。
因此，在平行曲面上，测地线是最优的路径选择。
2. 平行曲面上的测地线是沿着切线方向运动的在任何曲面上，测地线是沿着曲面上的切线方向运动的。
在平行曲面上，曲线的切线方向与水平相同，因此在平行曲面上，测地线是沿着水平方向运动的。
这是因为沟槽的定义是一组水平曲线，因此测地线必须沿着这些曲线移动。
3. 平行曲面上的测地线保持水平方向在平行曲面上，测地线保持水平方向。
这是因为平行曲面的每个点都有相同的曲率，因此测地线必须以水平方向移动，以保持其最短长度。
因此，测地线必须始终在水平面上移动，这意味着它必须沿着沟槽上的水平曲线移动。
4. 平行曲面上的测地线具有相同的弧长在平行曲面上，测地线具有相同的弧长。
这是因为平行曲面的每个点都具有相同的曲率，因此测地线必须以相同的弧长移动，以保持其最短长度。
因此，在沟槽上移动的测地线总是具有相同的长度。
5. 平行曲面上的测地线的运动遵循类似于悬链线的形状在平行曲面上，测地线的形状遵循类似于悬链线的形状。
这是因为在沟槽上移动的测地线必须沿着水平曲线移动，并保持其长度最短。
这种形状类似于悬链线或链线，这种线形是由于重力的作用而形成的。
在平行曲面上，测地线具有许多独特的性质。
由于曲面上的每个点都具有相同的曲率，因此测地线是最优的路径，具有相同的弧长，并且在水平方向上移动。
它们的形状类似于悬链线或链线，这种线形是由于其运动必须沿着水平曲线并保持最短长度而导致的。
曲面上的半测地坐标网及其应用
曲面上的半测地坐标网及其应用摘要：本文给出了曲面上半测地坐网的定义，在此基础上论述了曲面上测地线的短程性.然后给出了曲面上半车比雪夫坐标网的定义，并讨论了半测地坐标网和半车比雪夫坐标网的关系，以及它们同极小曲面的联系等,得到若干结果.另外，本文给出了半测地坐标网的等价刻划等一些性质,其应用是简便易行的.关键词：曲面上半测地坐网，短程性，半车比雪夫坐标网1 曲面上的半测地坐网定义1：曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线，另一族是这族测地线的正交轨线，则这个坐标网称为半测地坐标网.极坐标网是它的特例.定理1：给出曲面上的一条曲线，则总存在一个半测地坐标网，它的非测地坐标曲线族中包含给定的一条曲线.证明：由定理，过曲面上给定的曲线()C 上的每一点，沿着()C ，在切平面上对应于垂直于()C 的方向，存在唯一条测地线()*c ，然后再作这一族曲面的正交轨线，则这族测地线和它的正交轨线组成了曲面上的一个半测地坐标网，并且()*c 的正交轨线族中包含了()C .对于曲面上的半测地坐标网，2ds I =有22Gdv du +，我们现在证明这个结论. 首先，由于半测地坐标网是正交的，所以0=F ， 222Gdv Edu ds +==I半测地坐标网中有一簇坐标曲线是测地线，不妨设为u 线,0=dv ,即常数=2u ，,02=ds du 它满足测地线微分方程：⇒=Γ+∑0,2222ds du ds du ds u d j i j i ij 0,2=Γ∑ds du ds du j i j i ij011211=Γ∴ds du ds du 但,01≠dsdu 0211=Γ∴ 当坐标曲线正交时，,02211=⇒-=Γv v E GE 即E 与v 无关，只与u 有关，可设,0)(>=u E ϕ在曲面上引进新参数,)(,du u u d u ϕ=使得从而第一基本形式变为：.),(2222dv v u G u d Gdv Edu ds +=+==I2 曲面上测地线的短程性定理2：若给出曲面上充分小的邻域内的两点Q P ,则过这两点在小邻域内的测地线是连结这两点的曲面上的曲线中弧长最短的曲线.证明：设()C 是曲面上连结Q P ,的一条测地线，在曲面上选取半测地坐标网，使曲面上包含()C 在内的一测地线族为u -线，它的正交轨线为v -线，于是曲面的第一基本形式为：222Gdv du ds +==I不妨设曲线()C 的方程为0=v ，P 和Q 的坐标分别为()0,1u ,()0,2u ()21u u <，于是沿测地线()C 由P 到Q 的弧长为,)(12)(u u PQ s c -=又在这个小邻域内连结P 和Q 的任意曲线()C 的方程为()u v v =，于是沿()C ，从P 到Q 的弧长为()du G Gdv du ds Gdv du ds du dv 2222221+=+=⇒+= ⎰⎰-=≥'+=∴2121.1122)~(u u u u c u u du du v G s 只有当0='v 时，上式等号才成立，但此时v 为常数，即为u -线，而且是过Q P ,的u -线，即()C ，表示此时)~(c()C 重合，所以()C 是连结Q P ,的最短线. 由这个定理，我们又称测地线为短程线.注意：定理若不是限制在一个小邻域内则不一定成立.如球面上的大园是测地线，所以球面上不是直径两端的两点，连结它们的大园弧有两段，显然长的不是连结它们两点的最短线，而短的是.3半测地坐标网和半车比雪夫坐标网的几个性质定义2：如果曲面上的曲线网所构成的四边形中，有一双对边相等，则称这种曲线网为半比雪夫坐标网.命题：曲面上的坐标网为半车比雪夫坐标网的充要条件是0=v E ，0≠u G （或者0≠v E ，0=u G ）定理3：若曲面上的坐标网是半测地坐标网, 且0≠u G （或0≠v E ）, 则它是半车比雪夫坐标网.证明：因已知曲面的坐标网是半测地坐标网, 故0,1==v E E （或交换v u ,：0,1==u G G ）.而0≠v G （或0≠u E ）由命题便知：曲面上的坐标网必是半车比雪夫坐标网.定理4：在高斯曲率1-=K 的极小曲面上，若坐标网是半车比雪夫坐标网, 则由高斯映射所得到的球面像的坐标网, 也必是半车比雪夫坐标网.证明曲面的三个基本形式为：222Gdv Fdudv Edu I ++=222Ndv Mdudv Ldu II ++=2225gdv dudv edu III ++=并且它们之间满足02=+-III HII KI 其中K 为曲面的高斯曲率，H 为曲面的平均曲率.由以上各式易得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=KG HN g KF HM f KE HL e 222当1-=k 时，且曲面是极小曲面，平均曲率0=H ，故得,G g F f E e ===,,又因曲面上是半车比雪夫坐标网, 必有0,0≠=u v G E （或0,0=≠u v G E ），于是, 0,0≠=u v g e （或0,0=≠u v g e ，故曲面的球面像的坐标网是半车比雪夫坐标网.推论1：在高斯曲率1-=K 的极小曲面上, 若坐标网是半测地网, 且0≠u G （或0≠v E ），则由高斯映射所得到的球面像的坐标网是半车比雪夫坐标网.证明由定理3和定理4可直接得出.推论2：若曲面的坐标网是半测地网, 且const G u =，则曲面是可展曲面.证明：因为0,1==F E 所以()u u uu G G E G G K 11-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 又由const G u =，故0=K ，即曲面是可展曲面. 定理5：如果曲面的坐标网是半测地网, 又是共轭网, 且0,0≠=u u G N （或0,0≠=v v E L ）, 则曲面是极小曲面.证明已知曲面的坐标网是半测地网和共轭网,则必有0==M F ，此时的科达齐一一迈因纳尔迪公式为：()()21⎩⎨⎧==v v uu L H E N H G 又因0,0≠=u u G N （或0,0≠=v v E L ），由1或2可得0=H ,是极小曲面.由上述定理5的证明不难知道：推论3：若曲面的坐标网是正交网又是共轭网, 且0,0≠=u u G N （或0,0≠=v v E L ），则曲面是极小曲面.推论4：如果曲面的坐标网是曲率线网, 且0,0≠=u u G N （或0,0≠=v v E L ），则曲面是极小曲面.推论5：若曲面（0≠H , 非极小曲面）的坐标网是渐近线网又是曲率线网, 则必是车比雪夫坐标网.证明：由曲面的坐标网是曲率线网可知0,0==M F ，此时科达齐一一迈因纳尔迪公式为：()()43⎩⎨⎧==v v uu L H E N H G 又由坐标网是渐近网知0==N L ，0==u v N L而0≠H 则由（3）和（4）得0,0==v u E G .由（2）知：坐标网是车比雪夫坐标网（0=H 也可能是车比雪夫网）定理6：如果曲面的坐标网是半测地网, 且v u v u M N G G ==≠,0,0（或u v u v M L E E ==≠,0,0）则曲面是极小曲面.证明：因半测地坐标网是正交网, 故0=F ，此时的科达齐一一迈因纳尔迪公式为：()()()()()()6252EGM GE EG M L H E EG M E G GE M N H G u u u v v v v v u u ---=--= 由0,1==v E E （或0,1==u G G ），以及v u v u M N G G ==≠,0,0，（或u v u v M L E E ==≠,0,0），则由(5)或(6)可得：0=H ，故曲面是极小曲面.同理可得推论6：如果曲面的坐标网是正交网，且0,,0,0≠===u v u v v G M N G E （或0,,0≠===v u v u u E M L E G ），则曲面是极小曲面.参考文献[1]王国民.半测地坐标网和车比雪夫坐标网的几个性质,哈科技大学学报,1990, 14( 1) : 89~ 90.[2]王国民.半测地坐标网和半车比雪夫坐标网的几个性质,哈科技大学学报, 1991, 15( 3) : 105~ 107.[3]梅向明等.微分几何,北京: 高等教育出版社, 1981, 179~ 181.[4]陈欣高.车比雪夫坐标网的性质与极小曲面,河南师范大学学报( 自然科学版) , 1987, ( 2) : 118~ 124.。
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定义 １ ＿ 】 刮 曲面 上 曲线 ， 在 Ｐ点 的单 位 切 向量 的导 向量 ａ （ ｓ ） 在切平面 ７ １ Ｐ 上 的投 影 向量
一
＝ （ ｓ ）
的必要条件 ， 现有文献 ［ １— ４ ］ 给 出了两 种证明过程 ， 本
文 给 出 了一种 新 的证 明过 程 ， 这 三 种 证 明过 程 的结 果 正 好对 应 于 测地 线 的三 种 条 件 。 给 出 了球 面 上 的 测 地 线
厂在 Ｐ点 的测 地 曲率 向量 。 定义 ３
＝（ ｓ ）・ ） 言 。
ｇ 。 ｇ ＝ｇ ； ＝ 。 设 厂是曲面 三上 的一条曲线 ， 其参
数 方程 为 ： 『 上 １ ＝ 『 上 １ （ Ｓ ） ， 『 上 ２ ＝ ２ （ Ｓ ） 或
＝
将 （ ）・ 孑称 为 曲 线 厂 在 Ｐ点 的测 地 ・ 吝 。
６ ４
：
四川理 堂堕堂墼（ 鱼 鉴 堂 １
” （ ）一 （ ” （ ｓ ’ ） ｎ ｔ 年２月
Ｊ ｝ ｉ ＝ ｓ ）‘ 誊 ＝（ ” （ ｓ ） ， ， ａ） ＝ （ ｓ ）， ， ｝ （ ） ）：
摘
要： 从 曲 面上 曲线 的测地 曲 率 向 量 和 测 地 曲 率 的 定 义 出发 ， 在测地线定义的基础上 ， 给 出测 地
线 的 三种 充 分 必要 条 件 ， 并给 出应 用 中新 的 处理 方 法 ； 发 现 了 曲面 上 短程 线 的 必要 条 件 的 三 个 结论 正好
对 应 于测 地 线 的 三个 等价 条 件 。 关键词 ： 测地 曲率 向量 ； 测地曲率； 测地线； 短 程 线
产＝ （ ｌ ， ２ ） ， （ ｌ ， ／ ／ ， ２ ） ∈Ａ
ａ （ ｓ ）在 上 的投 影 向量 ＝ （ ａ （ Ｓ ）・ 奢） ， 称 为 曲线
记 ＝ ； ｇ ＝ 。 ， ｉ ， ＝ １ ， ２ ， ｇ ＝ｇ ｊ ｌ ； ｇ ｌ ｌ ｇ ２ ２一
曲面 上 测 地 线 和 短 程 线 的 性 质
邢 家省 ，高建全。 ，罗秀华
（ １ ． 北京航空航天大学数学 与系统科 学学院 ， 北京 １ ０ ０ １ ９ １ ； ２ ． 数学 、 信息与行为教育部重点实验室 ，北京 １ ０ ０ １ ９ １ ； ３ ． 平顶 山教 育学院 ， 河南 平顶 山 ４ ６ ７ ０ ０ ０ ）
第２ ８卷 第 ｌ 期
９） １ １ 理 工 学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｖ ｏ １ ． ２ ８ Ｎ ｏ ． １ Ｄ ＯＩ ： １ ０ ． １ １ ８ ６ ３ ／ ｊ ． ｓ ｕ ｓ ｅ ． ２ ０ １ ５ ． ０ １ ． １ ５
文章 编 号 ： １ ６ ７ ３ － １ ５ ４ ９ （ ２ ０ １ ５ ） ０ １ － ０ ０ ６ ３ － ０ ５
中 图分 类 号 ： Ｏ１ ８ ６ ． １ １ 文 献标 志 码 ： Ａ
引
言
关于曲面上的测地线 ， 文献 ［ １ — ５ ］ 中给出了一种定
在 任 固定 曲面 上一 点 Ｐ （ “ 。 ， “ ： ） ， 并设 ７ １ Ｐ 为 曲面
在 Ｐ点的切平面。设 为曲面 在 Ｐ点 的单位法 向 量， 以 ａ表示曲线 ｆ上 Ｐ点处 的单位切 向量 ； 以 表示
（ （ ｓ ） ， （ ｓ ） ， 矗 ）
（ ， ¨， ） ：
Ｖ ｇ － ［ Ｉ ｄ ｕ ， ／ ｄ ２ ｕ ２ ＋ 蠢 ２ ｄ ｕ ； ｄ ｕ ￣ ］ 一
必在 球 面 大 圆上 的证 明 。
（ ａ （ ｓ ）－ ） 壳 ， 称为曲线 ，在 Ｐ点的测地曲率向量 。
关 于测 地 曲率 向量 的 几何 意义 ， 可 见文 献 ［ ２ ， ５ － ６ ］ 。 称Ｄ ａ ＝ｄ 一（ ｄ ａ・ 蔬 ） 为 ａ （ ｓ ） 沿 曲线 ， 的绝 对
微 分 。显 然 ＆ （ ｓ ） 一（ ＆ （ ｓ ）・ 赢 ） 与 壳 ， ａ都 垂 直 。命 茅＝ ×＆， 则 ａ， ， 壳是 彼此 正 交 的单 位 向量 ， 并且 构 成
一
１ 测 地 曲 率 向 量 和 测 地 曲率 的 定 义
设 Ｃ 类 正则 曲面 ：
：
右 手 系 。显 然 ａ （ ｓ ）一（ ａ （ ）・ ） 平行于 言 。 定义 ２ 曲 面 上 曲 线 ， 的 切 向 量 的 导 向 量
曲线 厂 上 Ｐ 点处 的主法 向量 ， 是副 法 向量 。
义， 没有给出测 地线 的等 价性质 ， 这在 使用 中非 常不方
便 。关 于 测地 线 有 三种 充 分 必 要 条 件 ， 利 用 测 地 线 的等 价性 质 ， 可 以简 化 一 些结 论 的证 明 。关 于 曲面 上 短 程 线
基金项 目： 国 家 自然 科 学基 金 资 助 项 目（ １ １ ２ ０ １ ０ ２ ０） ； 北 京航 空航 天 大 学校 级 重 大教 改 项 目（ ２ ０ １ ４ ０ １ ）
作者简介 ： 邢 家省 （ １ ９ ６ ４ 一 ） ， 男， 河南泌阳人 ， 副教授 ， 博士 ， 主要 从事偏微 分方程 、 微 分几何 方面的研 究， （ Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ） ｘ ｊ ｓ ｈ ＠ｂ ｕ ａ ａ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
曲率 ， 记作 ｋ ， ｋ ＝ ｓ ）・ ：
显 然 有
Ｐ ＝
（ ｕ （ ） ， ： （ ） ） ＝ （ ）
置 ＝ｋ ， ｉ＋ ｆ ，＝
＋后 荟
这里 Ｓ 是该 曲线的 自然参数。
ｋ ：ｋ ： ＋ｋ ：
收 稿 日期 ： 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４ － ０ ９ － ０ ８