二次函数的图像与一元二次方程和二次函数的关系

第十五讲 二次函数的图像与性质

二次函数2y ax bx c =++图象的画法 1、二次函数的表示方法：

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，

c bx ax y ++=2

=a b ac a b x a a c a b a b x a b

x a a c x a b x a 44)2()2()2()(222222

-+

+=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+-++=++ 由此可见函数c bx ax y ++=2的图像与函数2

ax y =的图像的形状、开口方向均相同， 只是位置不同，可以通过平移得到。 2、二次函数c bx ax y ++=2

的图像特征

（1）二次函数 c bx ax y ++=2( a ≠0)的图象是一条抛物线； 3、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，．

当2b

x a

<-时，y 随x 的增大而减小； 当2b

x a

>-

时，y 随x 的增大而增大； 当2b

x a

=-时，y 有最小值244ac b a -．

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，．

当2b

x a

<-时，y 随x 的增大而增大； 当2b

x a

>-

时，y 随x 的增大而减小； 当2b

x a

=-时，y 有最大值244ac b a -．

3. 常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．

例1 已知函数y= x 2

-2x -3 , （1）把它写成k m x a y ++=2

)(的形式；

并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？ （2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值； （3）求出图象与坐标轴的交点坐标； （4）画出函数图象的草图；

( 5 ) 设图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于P 点，求△APB 的面积；

（6）根据图象草图，说出 x 取哪些值时， ① y=0; ② y<0; ③ y>0.

例2、求抛物线2

5

3212-+-=x x y 的对称轴和顶点坐标。

变式：

2、

例3、已知关于x 的二次函数的图像的顶点坐标为（-1，2），且图像过点（1，-3）。 （1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。

变式：

二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12

x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离

2214b ac

AB x x a

-=-. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；

③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'

当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，

b ，

c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的

在联系：

二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标， 一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值， 一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标， 一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点， 常选用顶点式．

例1、抛物线y=x 2

-8x+c 的顶点在x 轴上，则c 等于( )

A.－16

B.－4

C.8

D.16 例2、已知抛物线2

234

y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）

．证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；

练习1、已知关于x 的二次函数y=2x 2

－（3m+1）x ＋m （m>1）. 证明使y=0的x 的值有两个；