基本不等式(第一课时) PPT

证明： a 2 b2 2ab (a b)2
当a b时，(a b)2 当a b时，(a b)2
0 0
a2
b2
2ab
探究：如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a、b，
则不等式的形式是？
a b 2 ab
二、均值不等式
ab a b (a>0,b>0)
2
（当且仅当 a b 时取“=”）
问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短,
最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
y
100m2
则 xy=100，篱笆的总长为2（x+y）m.
x
x y xy x y 2 100, 2
即2(x y) 40当且仅当x=y=10时,“=”成立.
∴这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的 篱笆是40m.
a b 称为a、b的算术平均数，
2
ab 称为a、b的几何平均数.
注意：1．公式适用范围：a>0,b>0
2．文字表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数.
变形公式：
(1)ab a2 b2 (a R, b R) (当且仅当a=b时取“=”) 2
(2)a b 2 ab(a 0,b 0) (当且仅当a=b时取取“=”)
)
√ （1）函数y=3x+3-x的最小值是2； × （2）若xy 2，则2x y的最小值是4； × （3）若0 a 1，则 a2 4的最小值是4. 在（一4用）“基若正x本>0”,不y>，0等且二式2x“+求y=定2最，a”值则，x时y的三，最“三大相值个为等限12”制；条缺√件一：不可！
3.4
基本不等式：ab
a
2
b
（第一课时）
三国时期吴国数学家赵爽
2002.8 国际数学家大会会标
情境引入
D
D
a2 b2
b
A
G
F
a
E H
C A
a
E(FGH) b
C
B
B
图中的不等关系： a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
一、重要不等式
a2 b2 2ab (a,b R)
（当且仅当 a b 时取“=”）
(3)ab ( a b )2 (a R,b R) (当且仅当a=b时取取“=”) 2
(4)( a +b )2 a2 +b2 (a R,b R) (当且仅当a=b时取取“=”)
2
2
（5）不等式链：1
2
1
ab
ab a b 2
a2 b2 2
例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，
一.内容：
●利用基本不等式求最值
二.公式：
（1）a b 2 ab (2)ab ( a b ) 2
2
三.均值定理：
一“正”，二“定”，三“相等”
1.课本P100 练习1、2、3； 课本P100 习题3.4 A组 1.
2.同步练习册完成.
结论1：两个正数积为定值时，和有最小值，当且仅当两正数相
等时取最值.简记“积定和最小”.
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个 矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最 大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
y
36m
则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
x
矩形菜园的面积为 xym2
xy x y = 18 =9 22
∴ xy≤81
当且仅当x=y=9时，“=”成立
∴这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是 81m2.
结论2：两个正数和为定值时，积有最大值，当且仅当两数相
等时取最值.简记“和定积最大”.
三、极值定理
利用均值不等式求最值：
(当且仅当 x=y= S 时, “=”成立).
4
2
口诀：“和定积最大”
注意：使用条件： “一正，二定，三相等”
练习：
1、当x>0时，x 1 的最 小 值为 2 ，此时x= 1 . x
变式：当x<0时，x 1 的最 大 值为 -2 ，此时x= -1 . x
若为负数，则添负号变正. 2、已知 x+y=4(x>0,y>0)，求 xy 的最值. 4
3、已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明
此时x,y的值．
(当x=6,y=4时,最小值为48)
提升应用
1.下列函数中，y的最小值为4的是( C )
A、y
x
4 x
C、y 3x 4 3x
2.判断正误：
B、y
sin
x
4 sin
xБайду номын сангаас
(0
x
)
D、y
sin
x
4 cos
x
(0
x
2
a b 2 ab或ab ( a b)2 (a 0, b 0) 2
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数：
(1)若积 xy=P（定值）， 则和 x+y有最小值为 2 p ，
(当且仅当 x=y = p 时, “=”成立).
口诀：“积定和最小”
(2) 若和x+y=S （定值），则积 xy有最大值为 1 S 2，