基本不等式(第一课时) PPT
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课件：2.2基本不等式(第1课时)
问题3. 我们从赵爽弦图得到了重要不等式，又通过代换得到了基本不等式。数学讲究严谨性，请
同学们想一想，可以用什么方法证明基本不等式？
追问2：除了以上的方法，你还能用其它的方法证明吗？
要证 只要证 要证①，只要证 要证②，只要证
2 ab a b
①
2 ab a b 0 ②
( a b)2 0 ③
2
积为定值，和取最小值 和为定值，积取最大值
【反思小结，观点提炼】
1.本节课我们收获了哪些知识、技能？ 2.我们是怎样获得的这些知识、技能的？ 3.在收获这些知识、技能的过程中用到了哪些思想、方法？
赵爽弦图
重要不等式： a2 b2 2ab(a, b R)
代换思想
作差法
数
基本不等式： ab a b (a, b 0) 证明 2
同学们想一想，可以用什么方法证明基本不等式？
追问1. 基本不等式实质上就是比较大小，以前学习的比较大小的方法都有哪些?你会用这些
方法证明基本不等式吗？ 作差法
a b ab 1 (a b 2 ab)
2
2
ab 2
1 ( a b)2 0 2
ab
，即
ab a b 2
【师生共探，证明新知】
分析法
形 结 合
应用 求最值
一正二定 三相等
思
想 几何法
2.2 基本不等式
【合作交流，生成新知】
问题1. 上一节我们通过赵爽的弦图得出了一个重要不等式：
a2 b2 2ab(a,b R) ，当且仅当 a b 时，等号成立。那么， 当 a 0,b 0 时，我们用 a , b 分别代替上式中的 a, b ，上述
不等关系变为什么？
a2 b2 2ab(a, b R) a b 2
2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)
利用基本不等式比较大小
【例 2】 (1)已知 a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 ab
B.ba＋ab≥2
C.a2＋abb2≥2 ab
D.a2＋abb≥ ab
(2)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋bc
＋ca 的大小关系是________．
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立 即a＝1时，“＝”成立．] 的条件是( ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，
下列各式中最大的是( )
b2＜b，
A．a2＋b2
一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<ab<1
C.
a＋b ab< 2
D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知 ab<a＋2 b一定成立．]
3．不等式x－9 2＋(x－2)≥6(其 中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C [由基本不等式知等号成立 的条件为x－9 2＝x－2，即x＝5(x＝－ 1舍去)．]
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞
B．2 ab
2ab(∵a≠b)，
C．2ab
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
D．a＋b
又∵a＋b＞2 ab(∵a≠b)，∴a
＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a
B [∵a>0，b>0，∴a＋
＋b的最小值为( )
b≥2 ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取
2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
2.2基本不等式(第一课时)课件(人教版)
必须要满足条件：(1)
；
(2)
；
(3)
.
练一练
4.试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系.
解答：
+(2−) 2
x(2-x)≤(
) =1
2
, 只有x=1时才取等号
2.2.1 基本不等式
思维篇
知识篇
素养篇
问
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
分
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２
二次式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
a×a+b×b
≥
a×b+b×a
自乘的和
不小于
互乘的和
①
如果把两个数相乘看成一
次合作“圈地”(如图)，那
b
a
b
a
么公式 ①折射诞生活的哲理：
自立自强比互相合作更
重要！
1 重要不等式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
①
特别地：
；
1 2
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S ．
4
提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2 ．
无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最
+
数
学
建
模
1.已知x，y都是正数，求证：
析
方
法
总
结
值，且都在x＝y时取得等号.
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式课件PPT
例求y x 2 ，x 1, 的最小值.
x 1
解： x 1, x 0, 2 0. x 1
故y x 2 2 x 2 .
x 1
x 1
当且仅当x 2 ,即x 2时， x 1
等号成立.代入得ymin 4.
解：y x 2 x 1 2 1
x 1
x 1
2 x 1 2 1 2 2 1.
【例3】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间， 一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围36 m长的钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设 计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为 多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最短？
【例1】已知x<2,求函数f(x)=x+ 4 的最大值.
x2
【审题指导】通过题目的条件x<2与分母x-2可得x-2<0，不
符合基本不等式的条件要求，那么怎样变换可使题目符合基本
不等式的条件要求呢？这就是解这个题的关键点.
【规范解答】∵x<2,∴2-x>0
∴f(x)=x+ 4=-［(2-x)+ ］4 +2
x 1
当且仅当x 1 2 即x 2 1时， x 1
等号成立.于是ymax 2 2 1.
五、归纳总结，概括新知
1.本节知识结构
几何解释
证明
基本不等 式
代数认识
应用
单
一的正函数二最值定 问题三. 相应注 （意条：件） （前提） 等
（保证） 积定相等和最小；和定相等积最大.
《必修5》 P.100 练习 1—4
∵x＞0,y＞0,∴x>1，∴y= 12 4x ,
x 1
解： x 1, x 0, 2 0. x 1
故y x 2 2 x 2 .
x 1
x 1
当且仅当x 2 ,即x 2时， x 1
等号成立.代入得ymin 4.
解：y x 2 x 1 2 1
x 1
x 1
2 x 1 2 1 2 2 1.
【例3】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间， 一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围36 m长的钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设 计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为 多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最短？
【例1】已知x<2,求函数f(x)=x+ 4 的最大值.
x2
【审题指导】通过题目的条件x<2与分母x-2可得x-2<0，不
符合基本不等式的条件要求，那么怎样变换可使题目符合基本
不等式的条件要求呢？这就是解这个题的关键点.
【规范解答】∵x<2,∴2-x>0
∴f(x)=x+ 4=-［(2-x)+ ］4 +2
x 1
当且仅当x 1 2 即x 2 1时， x 1
等号成立.于是ymax 2 2 1.
五、归纳总结，概括新知
1.本节知识结构
几何解释
证明
基本不等 式
代数认识
应用
单
一的正函数二最值定 问题三. 相应注 （意条：件） （前提） 等
（保证） 积定相等和最小；和定相等积最大.
《必修5》 P.100 练习 1—4
∵x＞0,y＞0,∴x>1，∴y= 12 4x ,
基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
人教版高中数学新教材必修第一册2.2基本不等式1课件(优秀课件)
x
x
当且仅当 x 1 ，即 x2 1, x 1 时等号成立
x
因此所求的最小值为 2
变式1：把 x 0 改为 x 0 成立吗？ 不成立
讲 课 人 ：
变式2：把 x
0
改为 x
2 成立吗？不成立
邢
启 强
9
典型例题
均值不等式的运用
例2， 已知x, y都是正数 ， 求证： (1)如果xy等于定值 P， 那么当x y时， 和x y有最小值 2 P; (2)如果和x y等于定值 S， 那么当x y时， 积xy有最大值 1 S 2.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
讲
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
课
人
：
邢
启 强
12
作业 课本48页 习题2.2
复习巩固1、 2
讲
课
人
：
邢
启 强
13
讲
课
人
：
邢
启 强
14
4
解：因为 x>0,y>0，所以 x y xy 2
(1)当积 xy=P 为定值时， x y p 所以 x+y≥2 p
2
当且仅当 x=y 时上式等号成立,于是当 x=y 时，x+y 有最小值 2 p
(2) 当和 x+y=S 为定值时， xy S 所以 xy≤ s2
2
4
s2
当且仅当 x=y 时上式等号成立,于是当 x=y 时，xy 有最大值
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
基本不等式ppt课件
基本不等式
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
人教版高中数学必修1《基本不等式》第1课时PPT课件
当然，我们可以用作差比较法证明基本不等式 .
∀ a > 0,b > 0， ab ≤
高中数学
一、温故知新-新知形成
分析法
分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证
明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，
把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条
件、定理、定义、公理）为止.
高中数学
四、画龙点睛－关键之处
例2 已知x,y都是正数，求证：
（１）如果积等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 2 P ；
x+ y
证明：因为x,y都是正数，所以 2 ≥
x+ y
≥
所以
2
P ， 当且仅当x=y时，上式等号成立． 于是，当x=y时，和
x+y有最小值 2 P ；
高中数学
xy ．
四、画龙点睛－关键之处
高中数学
一、温故知新-新知特征
问题2
由
，
即由
⟹
，
根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不
等式反向,这里，根据前面的知识，我们可以知道⑤是④成立的充
分条件；
显然，⑤成立，当且仅当 = 时，⑤中的等号成立.
高中数学
一、温故知新-新知特征
分析法的证明格式
由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的
要证②，只要证
要证③，只要证
要证④，只要证
高中数学
≤
+
，
2 ≤ + .
2 − − ≤0.
2
− − ≤0 .
2
− ≥0 .
2
①
②
∀ a > 0,b > 0， ab ≤
高中数学
一、温故知新-新知形成
分析法
分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证
明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，
把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条
件、定理、定义、公理）为止.
高中数学
四、画龙点睛－关键之处
例2 已知x,y都是正数，求证：
（１）如果积等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 2 P ；
x+ y
证明：因为x,y都是正数，所以 2 ≥
x+ y
≥
所以
2
P ， 当且仅当x=y时，上式等号成立． 于是，当x=y时，和
x+y有最小值 2 P ；
高中数学
xy ．
四、画龙点睛－关键之处
高中数学
一、温故知新-新知特征
问题2
由
，
即由
⟹
，
根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不
等式反向,这里，根据前面的知识，我们可以知道⑤是④成立的充
分条件；
显然，⑤成立，当且仅当 = 时，⑤中的等号成立.
高中数学
一、温故知新-新知特征
分析法的证明格式
由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的
要证②，只要证
要证③，只要证
要证④，只要证
高中数学
≤
+
，
2 ≤ + .
2 − − ≤0.
2
− − ≤0 .
2
− ≥0 .
2
①
②
1 第1课时 基本不等式(共42张PPT)
解析：因为 a＞0，且 2x＋ax≥2 当且仅当 2x＝ax，
2x·ax＝2 2a，
即 x＝ 22a时，2x＋ax取得最小值， 所以 22a＝3， 解得 a＝18. 答案：18
5．已知 x，y 为正实数，且 x＋y＝4，求1x＋3y的最小值． 解：因为 x，y 为正实数， 所以(x＋y)1x＋3y ＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，
(1)若 a＋b＝S(和为定值)，当 a＝b 时，积 ab 有最大值S42，可以用基本不等 式 ab≤a＋2 b求得． (2)若 ab＝P(积为定值)，则当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P，可以用基本 不等式 a＋b≥2 ab求得． 不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
1．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为
【解析】 对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对于选项 B，符 合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项 C， 忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x，则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选 项 D，x－1x在 0<x≤2 的范围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
A．7
B．8
C．9
D．10
()
解析：选 C.因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
ab·4ba
探究点 3 利用基本不等式求最值 (1)已知 x>2，则 y＝x＋x－4 2的最小值为________．
(2)若 0<x<12，则函数 y＝12x(1－2x)的最大值是________． (3)若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．
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(当且仅当 x=y= S 时, “=”成立).
4
2
口诀：“和定积最大”
注意：使用条件： “一正，二定，三相等”
练习：
1、当x>0时，x 1 的最 小 值为 2 ，此时x= 1 . x
变式：当x<0时，x 1 的最 大 值为 -2 ，此时x= -1 . x
若为负数，则添负号变正. 2、已知 x+y=4(x>0,y>0)，求 xy 的最值. 4
a b 称为a、b的算术平均数，
2
ab 称为a、b的几何平均数.
注意：1．公式适用范围：a>0,b>0
2．文字表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数.
变形公式：
(1)ab a2 b2 (a R, b R) (当且仅当a=b时取“=”) 2
(2)a b 2 ab(a 0,b 0) (当且仅当a=b时取取“=”)
3、已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明
此时x,y的值．
(当x=6,y=4时,最小值为48)
提升应用
1.下列函数中，y的最小值为4的是( C )
A、y
x
4 x
C、y 3x 4 3x
2.判断正误：
B、y
sin
x
4 sin
x
(0
x
)
D、y
sin
x
4 cos
x
(0
x
2
(3)ab ( a b )2 (a R,b R) (当且仅当a=b时取取“=”) 2
(4)( a +b )2 a2 +b2 (a R,b R) (当且仅当a=b时取取“=”)
2
2
（5）不等式链：1
2
1
ab
ab a b 2
a2 b2 2
例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，
)
√ （1）函数y=3x+3-x的最小值是2； × （2）若xy 2，则2x y的最小值是4； × （3）若0 a 1，则 a2 4的最小值是4. 在（一4用）“基若正x本>0”,不y>，0等且二式2x“+求y=定2最，a”值则，x时y的三，最“三大相值个为等限12”制；条缺√件一：不可！
a b 2 ab或ab ( a b)2 (a 0, b 0) 2
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数：
(1)若积 xy=P（定值）， 则和 x+y有最小值为 2 p ，
(当且仅当 x=y = p 时, “=”成立).
口诀：“积定和最小”
(2) 若和x+y=S （定值），则积 xy有最大值为 1 S 2，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短,
最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
y
100m2
则 xy=100，篱笆的总长为2（x+y）m.
x
x y xy x y 2 100, 2
即2(x y) 40当且仅当x=y=10时,“=”成立.
∴这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的 篱笆是40m.
结论1：两个正数积为定值时，和有最小值，当且仅当两正数相
等时取最值.简记“积定和最小”.
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个 矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最 大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
y
36m
则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
一.内容：
●利用基本不等式求最值
二.公式：
（1）a b 2 ab (2)ab ( a b ) 2
2
三.均值定理：
一“正”，二“定”，三“相等”
1.课本P100 练习1、2、3； 课本P100 习题3.4 A组 1.
2.同步练习册完成.
x
矩形菜园的面积为 xym2
xy x y = 18 =9 22
∴ xy≤81
当且仅当x=y=9时，“=”成立
∴这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是 81m2.
结论2：两个正数和为定值时，积有最大值，当且仅当两数相
等时取最值.简记“和定积最大”.
三、极值定理
利用均值不等式求最值：
3.4
基本不等式：ab
a
2
b
（第一课时）
三国时期吴国数学家赵爽
2002.8 国际数学家大会会标
情境引入
D
D
a2 b2
b
A
G
F
a
E H
C A
a
E(FGH) b
C
B
B
图中的不等关系： a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
一、重要不等式
a2 b2 2ab (a,b R)
（当且仅当 a b 时取“=”）
证明： a 2 b2 2ab (a b)2
当a b时，(a b)2 当a b时，(a b)2
0 0
a2
b2
2ab
探究：如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a、b，
则不等式的形式是？
a b 2 ab
二、均值不等式
ab a b (a>0,b&g