第十章 曲线积分

教学内容
批注
第十章 曲线积分与曲面积分
§10.1 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量 设一曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上 已知曲线形构 件在点(x y)处的线密度为(x y) 求曲线形构件的质量 把曲线分成 n 小段 s1 s2 sn(si 也表示弧长) 任取(i i)si 得第 i 小段质量的近似值(i i)si
g(x, y)ds
L
性质 2 若积分弧段 L 可分成两段光滑曲线弧 L1 和 L2 则
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds
L
L1
L2
性质 3 设在 L 上 f(x y)g(x y) 则
L f (x, y)ds L g(x, y)ds
特别地 有
| L f (x, y)ds| L| f (x, y)| ds
L
R3 sin2d R3(sin cos)
例 3 计算曲线积分 (x2 y2 z2)ds 其中 为螺旋线 xacost、yasint、
1(x2)2 dx
1
x
1 4x2 dx 1 (5
5 1)
L
0
0
12
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批注
例 2 计算半径为 R、中心角为 2 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I(设线 密度为1)
解 取坐标系如图所示 则 I y2ds L
曲线 L 的参数方程为
xRcos yRsin (<)
于是 I y2ds R2 sin2 (Rsin )2 (Rcos )2 d
n
整个物质曲线的质量近似为 M (i,i)si
i1
令 max{s1 s2 sn}0 则整个物质曲线的质量为
n
M
lim
0
i1
(i
,i
)si
这种和的极限在研究其它问题时也会遇到 定义 设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧 函数 f(x y)在 L 上有界 在 L 上任 意插入一点列 M1 M2 Mn1 把 L 分在 n 个小段. 设第 i 个小段的长度为si 又(i i)为第 i 个小段上任意取定的一点 作乘积 f(i i)si (i1 2 n ) 并
二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件 L 的线密度为 f(x y) 则曲 线形构件 L 的质量为
L f (x, y)ds
另一方面 若曲线 L 的参数方程为 x(t) y (t) (t)
则质量元素为
f (x, y)ds f [(t),(t)] 2(t)2(t)dt
曲线的质量为
f [(t), (t)] 2(t) 2(t)dt
即
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt
L
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批注
定理 设 f(x y)在曲线弧 L 上有定义且连续 L 的参数方程为 x(t) y(t) (t)
其中 (t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数 且 2(t)2(t)0 则曲线积分
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批注
设函数 f(x y)定义在可求长度的曲线 L 上 并且有界 将 L 任意分成 n 个弧段 s1 s2 sn 并用si 表示第 i 段的弧长
n
在每一弧段si 上任取一点(i i) 作和 f (i,i)si
i1
令 max{s1 s2 sn} 如果当 0 时 这和的极限总存在 则称此
n
作和 f (i,i)si 如果当各小弧段的长度的最大值 0 这和的极限总存
i1
在 则称此极限为函数 f(x y)在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积
n
分
记作
f (x, y)ds
L
即
L
f
(x,
y)ds
lim
0 i1
f
(i,i)si
其中 f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段
L1 L2
L1
L2
闭曲线积分 如果 L 是闭曲线 那么函数 f(x y)在闭曲线 L 上对弧长的
曲线积分记作
L f (x, y)ds
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批注
对弧长的曲线积分的性质 性质 1 设 c1、c2 为常数 则
L[c1 f (x, y)c2g(x, y)]ds c1
L
f (x, y)dsc2
(x, y)ds 的值 其中(x y)为线密度
L
n
对弧长的曲线积分的推广
f
(x,
y,
z)ds
lim
0 i1
f
(i,i,
i )si
如果 L(或)是分段光滑的 则规定函数在 L(或)上的曲线积分等于函数在 光滑的各段上的曲线积分的和 例如设 L 可分成两段光滑曲线弧 L1 及 L2 则规 定
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds
f (x, y)ds 存在 且
L
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt (<)
L
证明（略）
应注意的问题 定积分的下限 一定要小于上限 讨论
(1)若曲线 L 的方程为 y(x)(axb) 则 f (x, y)ds ? L
提示 L 的参数方程为 xx y(x)(axb)
极限为函数 f(x y)在曲线弧 L 上对弧长的
曲线积分或第一类曲线积分 记作 f (x, y)ds 即 L
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0 i1
f
(i,i)si
其中 f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段 曲线积分的存在性 当 f(x y)在光滑曲线弧 L 上连续时 对弧长的曲线积
分 f (x, y)ds 是存在的 以后我们总假定 f(x y)在 L 上是连续的 L 根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分
f (x, y)ds
b
f [x, (x)]
1 2(x)dx
L
a
(2)若曲线 L 的方程为 x(y)(cyd) 则 f (x, y)ds ? L
提示 L 的参数方程为 x(y) yy(cyd)
f (x, y)ds
d
f [(y), y]
2(y) 1dy
L
c
(3)若曲 的方程为 x(t) y(t) z(t)(t)
则 f (x, y, z)ds ?
提示ຫໍສະໝຸດ Baidu
f (x, y, z)ds
f [(t), (t),(t)]
2(t) 2(t)2(t)dt
例 1 计算 yds 其中 L 是抛物线 yx2 上点 O(0 0)与点 B(1 1)之间的一段弧 L
解 曲线的方程为 yx2 (0x1) 因此
yds
1
x2