高中数学-求函数解析式的六种常用方法
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.x ≥0， x ＜0. 四、消去法例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 五、特殊值法例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ， 有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到f （x ）函数解析式，只有令x = y.解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2，求f （x ）函数解析式.解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴y=f （x ）的图象关于原点对称. 当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），因此当x<0时，y=2)1(+x －1= x 2 +2x.故 f （x ）=⎩⎨⎧+-xx x x 2222 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.。
求函数解析式的几种方法
求函数解析式的几种方法作者：华腾飞来源：《中学生理科应试》2014年第04期函数的解析式是研究函数性质的基础，其求法也综合了代数、三角、几何的相关知识，以及相应的数学思想方法.在给定的条件下求函数的解析式f(x)是高中数学中经常涉及的内容，形式多样，没有一定的程序可循，综合性比较强，求解起来有相当大的难度，但是只要我们认真仔细地去探索，开拓思路，还是可以找出规律，探索出一些有效之法.下面向大家介绍求函数解析式的几种方法，希望大家能够从中得到有益的启示.一、定义法适用于给出满足函数定义的特殊情形，求函数的解析式.例1设f (x)为定义在实数集R上的偶函数，当x≤-1时，y=f(x)的图像是经过点(-2, 0）斜率为1的射线.又在y=f(x)的图像中有一部分是顶点在(0, 2)，且过点(-1, 1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式（图像略）.解析当x≤-1时，设f(x)=x+b，则由0=-2+b，得b=2，从而f (x)=x+2；当-1当x≥1时，f(x)=-x+2.∴f (x)=x+2(x≤-1)2-x2(-1-x+2(x≥1)注意：求解析式时，要注意自变量的定义域.二、换元法适用于已知复合函数的解析式，求原函数的解析式.例2已知f(x+1x)=x3+1x3，求f(x)的解析式.解析f(x+1x)=(x+1x)(x2+1x2-1)=(x+1x)［(x+1x)2-3］=(x+1x)3-3(x+1x).设y=x+1x的值域为：{y|y≥2或y≤-2}，故f (x)=x3-3x(x≥2或x≤-2).注意：求解析式时，一定要注意复合函数中内函数的取值范围，从而限定f (x)的定义域.例3已知f (cosx)=x2(-π解析设cosx=u，且u∈(-1, 1)，由-π注意用换元法求解析式时，还要注意换元前后自变量的取值范围要相同.三、消元法适用于已知条件含有关于x与1x，x与-x的简单的函数方程，通过恰当的构造进行消元.例4一种函数f (x)对内任意实数x有af (x)+bf (-x)=cx(| a | ≠ | b |)，求函数f (x)的解析式.解析将原方程中x换成-x，得af (-x)+bf (x)=-cx，与原方程联立消去f (-x)，得f (x)=cxa-b.例5对所有实数x，满足条件2f (x)+f (1-x)=x2，求f (x)的解析式.解析将原方程中的变量x换成1-x，则有：2f (1-x)+f (x)=(1-x)2，与原方程联立消去f (1-x)，得f (x)= 13(x2+2x-1).注意消元法关键是构造与已知方程含有同样未知元的方程，通过解方程组进行消元.四、配凑法适用于通过适当地配凑，便于利用公式求出解析式的情形.例6已知f (x+1x)=x2+x+1x2，求f (x).解析∵f (x+1x)=x2+x+1x2=x+1x2+1=(x+1)2-x(x+1)x2+1=(x+1x)2-x+1x+1，∴f (x)=x2-x+1.注意配凑法运用的关键是要配凑出便于利用公式的式子，从而灵活地运用公式快速求解.五、待定系数法适用于已知函数的图像，确定函数的解析式；或已知函数的类型及其满足的方程时，常用待定系数法.例7已知f (x)为二次函数，且满足f (2x+1)+f (2x-1)=16x2-4x+6，求f (x).解析由题设f (x)=ax2+bx+c(a≠0)，∴f (2x+1)=a(4x2+4x+1)+b(2x+1)+c，f (2x-1)=a(4x2-4x+1)+b(2x-1)+c；∴f (2x+1)+f (2x-1)=8ax2+4bx+2a+2c.由已知得：8ax2+4bx+2a+2c=16x2-4x+6.∴8a=164b=-42a+2c=6解得a=2b=-1c=1从而有：f (x)=x2-x+1.六、赋值法此法适用于已知函数包含的字母较复杂的情形，通过赋值可以使得求解过程简捷、方便.例8设f (x)是定义在实数集R上的函数，满足f (0)=1，且对任意实数a、b，有f (a-b)=f (a)-b(2a-b+1)，求函数f (x).解析∵f (a-b)=f (a)-b(2a-b+1)，a、b∈R，为此可令a=b=x，得f (0)=f(x)-x(2x-x+1)又f (0)=1，∴函数f (x)=x2+x+1.注意采用赋值法时，一定要使赋值后的运算过程简单、方便，便于快速、简捷地求出解析式.七、代点法适用于求某函数关于某元素对称的函数解析式.例9已知f (x)=loga(x-1)，当且仅当点(x0，y0)在f (x)图像上时，点(2x0, 2y0)在y=g (x)图像上时，求g(x)的解析式.解析由点(x0, y0)在y=loga(x-1)的图像上，∴y0=loga(x0-1).令2x0=u，2y0=v，则x0=u2，y0=v2；∴v2=loga(u2-1)，即v=2loga(u2-1)，∵(2x0, 2y0)在y=g(x)的图像上，∴(u, v) 在y=g(x)的图像上，故g(x)=2loga(x2-1).注意抓住所求函数图像上的点与已知函数图像上的点的关系（有时用中点坐标公式，或用定比分点坐标公式），求其解析式.八、代替法适用于所给的函数关系式中自变量含有互为相反或互为倒数关系的情形.例10定义在区间(-1, 1)内的函数f (x)满足2f (x)-f (-x)=lg(x+1)，求f (x).解析用-x代替关系式中的x得：2f (-x)-f (x)=lg(-x+1).解方程组2f (x)-f (-x)=lg(x+1)2f (-x)-f (x)=lg(-x+1)得f (x)=13lg(1+x-x2-x3) (-1九、迭代法此法适用于求复合函数的解析式例11已知f {f ［f (x)］}=27x+13，且f (x)是一次函数，求f (x).解析设f (x)=ax+b，则f ［f (x)］=a2x+ab+b，f {f ［f (x)］}=a3x+a2b+ab+b.由题意知：27x+13=a3x+a2b+ab+b，则a=3，b=1，故f (x)=3x+1.十、参数法适用于已知函数解析式中含有三角函数的情形，通过参数变换使得求解过程简单易行.例12已知f (1-cosx)=sin2x，求f (x).解析令v=1-cosxu=sin2x消去x得u+(v-1)2=1，即u=2v-v2.∵-1≤cosx≤1，∴0≤v≤2，∴f (x)=2x-x2(0≤x≤2).十一、奇偶性法适用于已知函数的奇偶性且在原点一侧某一区间的函数解析式，求其在关于原点对称区间的函数解析式.例13已知f (x)为奇函数，且当x>0时f (x)=x(1-x)，求当x解析设x0，∴f (-x)=-x(1+x).又因为f (x)为奇函数，∴-f (x)=-x(1+x)，从而有f (x)=x(1+x).例14设f (x)是R上的奇函数，且当x∈［0,+∞）时函数为f (x)=x(1+lgx)，当x∈(-∞, 0)时，求f (x)的解析式.解析由于f (x)是奇函数，当x0，f (-x)=-x［1+lg(-x)］，∴f (x)=-f (-x)=x［1+lg(-x)］故f (x)=x(1+lgx) (x ≥ 0)x［1+lg(-x)］ (x < 0)注意利用对称性把未知区间转化为已知区间，进而在利用已知条件是解题的关键.十二、周期法适用于周期函数的解析式求解.例15设函数f (x)为奇函数，且在定义域R上，总有f (x)=-f(x+2)，又当-2≤x≤-1时，f (x)=x2+2x，求：⑴当2≤x≤3时，函数f (x)的解析式；⑵当5≤x≤6时，函数f (x)的解析式.解析由f (x+2)=-f(x)，得f(x+4)=f(x)，故f (x)为周期函数.(1)∵2≤x≤3，∴-2≤x-4≤-1；又-2≤x≤-1时，f (x)=x2+2x，∴f (x-4)=(x-4)2+2(x-4)，故f (x)=(x-4)2+2(x-4).(2)∵5≤x≤6，∴-6≤-x≤-5，-2≤4-x≤-1，又-2≤x≤-1时，f (x)=x2+2x，∴f (4-x)=(4-x)2+2(4-x).而f (4-x)=-f (x-4)=-f (x)，故f (x) =-(x-4)2+2(x-4).注意判断函数的周期性是解题的关键，把所求区间如何利用周期性与奇偶性转化到已知区间，进而利用已知区间的函数解析式求解.十三、解方程组法此法适用于已知解析式以方程的形式出现求解析式的情形.例16已知f (x)+f(x-1x)=1+x(x ≠ 0,1) ①，求f(x).解析用x-1x代替①中的x整理得：f (x-1x)+f (11-x)=2x-1x ②再用11-x代替①中的x整理得：f (11-x)+f (x)=2-x1-x ③联立①②③并解之得：f (x)=x3-x2-12x(x-1).十四、反函数法适用于涉及反函数的解析式的求解问题.例17假设有三个函数，第一个函数是φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数的图像关于x+y=0对称，求第三个函数的解析式.解析设(x，y)为第三个函数上的一点，∴（-y, -x）为第二个函数图像上的点，而（-x, -y）为y=φ(x)图像上的点，∴-y=φ(-x)为第二个函数上的一点，∴-x=φ-1(-y), 故第三个函数的解析式为y=-φ(-x).十五、递推法适用于函数关系比较复杂，需要总结规律的函数解析式的求解.例18设f (x)定义在N上的函数，满足f (1)=1，对任意自然数a、b，有f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，求f (x).解析∵f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，ab∈N，∴令a=x，b=1，得f (x)+f (1)=f (x+1)-x，又f (1)=1，故f (x+1)-f (x)=x+1①在①令x=1, 2, 3,…, n-1得f (2)-f (1)=2f (3)-f (2)=3……f (n)-f (n-1)=n由这n个式子相加得：f (n)-f (1)=12(n+2)(n-1)∴f (n)=12(n+2)(n-1)+1，∴所求的函数解析式为f (x)=12x2+12x( x∈N).十六、图像变换法适用于给出图像的变化过程，确定图像所对应的函数解析式.例19将函数y=2x的图像先向左平行移动1个单位，再向下平行移动1个单位，最后再做关于直线y=x对称的图像，求所得图像的函数解析式.解析函数y=2x图像向左平移一个单位函数y=2x+1图像向下平移1个单位函数y=2x+1-1图像.求y=2x+1-1的反函数可得：y=log2(x+1)-1.故所求函数的解析式为f (x)=log2(x+1)-1(x >-1).例20若函数y=sinx的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的13，然后将图像沿x轴向右平移π6个单位，把所得图像纵坐标伸长为原来的2倍，求所得新图像的函数解析式.解析函数y=sinx图像横坐标缩小为原来的13y=sin3x图像沿x轴右移π6y=sin3(x-π6)图像纵坐标伸长为原来的2倍y=2sin(3x-π2)=-2cos3x图像，故y =-2cos3x为所求的解析式. 注意这里体现了函数图像的平移、对称、翻转规律的合理运用.(收稿日期：2013-12-10)。
求三角函数解析式方法总结超全面
求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。
A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（ ） Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-， Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。
（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）变式练习1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)2、已知函数)sin(ϕω+=x Ay (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。
高考数学_高中数学函数解析式六解法汇总
高考数学_高中数学函数解析式六解法汇总
一、待定系数法：
在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例题1、设 f（x）是一次函数，且 f [ f（x）] = 4x + 3 ，求 f（x）的解析式。
解：设 f（x）= ax + b （a ≠ 0），则
∴ f（x）= 2x + 1 或 f（x）= -2x - 3
二、配凑法：
已知复合函数 f [ g（x）] 的表达式，求 f（x）的解析式， f [ g（x）] 的表达式容易配成 g（x）的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数 f（x）的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g（x）的值域。
例题2、
求 f（x）的解析式。
解：
三、换元法：
已知复合函数 f [ g（x）] 的表达式时，还可以用换元法求 f（x）的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例题3、已知
求 f（x + 1）的解析式。
解：
四、代入法：
求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例题4、已知：函数 y = x^2 + x 与 y = g（x）的图象关于点（-2,3）对称，求 g（x）的解析式。
解：
五、构造方程组法：
若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例题5、
解：
例题6、
解：
六、赋值法：
当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例题7、
解：。
高一数学函数解析式、定义域、值域解题方法含答案
逐步推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进展分析。
【模拟试题】(答题时间：30分钟)一. 选择题1、函数y ＝f 〔x 〕的值域是［－2，2］，那么函数y ＝f 〔x ＋1〕的值域是〔 〕 A. ［－1，3］ B. ［－3，1］ C. ［－2，2］ D. ［－1，1］解∵函数y=f 〔x 〕的值域是[-2，2]，∴y=f 〔x 〕的最大值为2，最小值为-2又∵函数y=f 〔x+1〕的图象是由y=f 〔x 〕向左平移1个单位而得∴函数y=f 〔x+1〕最大值是2，最小值是-2所以函数y=f 〔x+1〕的值域仍是[-2，2]应选C2、函数f 〔x 〕＝x 2－2x ，那么函数f 〔x 〕在区间［－2，2］上的最大值为〔 〕 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解答：二次函数求最值3、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，那么其解析式和定义域是〔 〕 A. y ＝20－2x 〔x ≤10〕 B.y ＝20－2x 〔x<10〕C.y ＝20－2x 〔4≤x<10〕D.y ＝20－2x 〔5<x<10〕解：Y=20-2X Y>0，即20-2X>0，X<10， 两边之和大于第三边， 2X>Y ， 即2X>20-2X 4X>20 X>5。
此题定义域较难，很容易忽略X>5。
∴5 4、二次函数y ＝x 2－4x ＋4的定义域为［a ，b ］〔a<b 〕，值域也是［a ，b ］，那么区间［a ，b ］是〔 〕 A. ［0，4］ B. ［1，4］ C. ［1，3］ D. ［3，4］解： a ，由于对称轴为x=2，当x=0或x=4时有最大值y=4，x=2时有最小值y=05、函数y ＝f 〔x ＋2〕的定义域是［3，4］，那么函数y ＝f 〔x ＋5〕的定义域是〔 〕 A. ［0，1］ B. ［3，4］ C. ［5，6］ D. ［6，7］ 解： y ＝f 〔x ＋2〕的定义域是［3，4］，即 3≤x ≤4 那么3+2 ≤x+2≤4+2，所以5≤x+2≤6 所以 y=f(x)的定义域为[5,6] 那么5≤x+5≤6，那么0≤x ≤1 所以y ＝f 〔x ＋5〕的定义域为［0，1］6、函数22234x y x x +=+的值域是〔 〕 317317317317.[,].,4444317317317317.(,][,).(,)(,)4444A B C D ⎛⎫---+---+ ⎪ ⎪⎝⎭---+---+-∞⋃+∞-∞⋃+∞解：判别式法 7、〔2007〕图中的图像所表示的函数的解析式是〔 〕。
函数的解析式
二、换元法
例2 已知 f(ex)=2x-3, 求 f(x).
解: 设 t=ex, 则 x=lnt 且 t>0, 有: f(t)=2lnt-3 (t>0). 所以 f(x)=2lnx-3 (x>0). 评注: 通过换元, 用“新元”代替原表达式中的“旧元”, 从而求得 f(x). 又如: 已知 f(cosx-1)=cos2x. 求 f(x). 2+4x+1(-2≤x≤0) f ( x )=2 x 三、解方程组法 -1 例3 已知 f(x)+f( xx )=1+x (x≠0, 1), 求 f(x). x- 1 解: 记题中式子为①式, 用 x 代替①中的 x, 整理得: 1 2x- 1 1 x 1 f( x )+f( 1-x )= x ②, 再用 1-x 代替①中的 x, 整理得: 2- x f( 11 )+ f ( x )= 1-x ③, 解由 ①, ②, ③ 组成的方程组, 得: -x x3-x2-1 f(x)= . 2x(x-1)
在给定条件下求函数的解析式 f(x), 是高中数学中经常涉 及的内容, 形式多样, 没有一定的程序可循, 综合性强, 解起 来有相当的难度, 但是只要认真仔细去探索, 还是有一些常用 之法. 下面谈谈求函数解析式 f(x) 的方法.
一、配凑法
x+1 x2+1 1 例1 已知 f( x )= x2 + x , 求 f(x).
Байду номын сангаас
例4 已知 f(n)-f(n-1)=an, n 为不小于 2 的自然数, a≠0 且 f(2)=8, 求 f(n) 的解析式. 解: 由已知, f(3)-f(2)=a3, f(4)-f(3)=a4, …, f(n)-f(n-1)=an, 将这(n-2)个式子相加, 得: n- 2 (a=1 时); 3 4 n f(n)-f(2)=a +a +…+a = a3(1-an-2)(1-a)-1 (a≠1 时). ∵ f(2)=8, n+6 (a=1 时); ∴ f(n)= 8+(a3-an+1)(1-a)-1 (a≠1 时). 评注: 这是运用数列中递推公式的思想.
高中数学求函数解析式解题方法大全与配套练习
高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习一、定义法：根据函数的定义求解析式用定义法。
【例1】【例2】【例3】【例4】二、待定系数法：（主要用于二次函数）已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。
它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。
其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
【例1】【解析】【例2】已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则f（0）= c= 0 ①f（x+1）（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b②由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、②得解得故f（x）= x2+7x.【例3】三、换元（或代换）法：道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。
使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
如：已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式，把g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出f（x）的方法。
实施换元后,应注意新变量的取值围,即为函数的定义域.【例1】【解析】【例2】【例3】【例4】（1）在（1（2）1（3）【例5】（1（2）由【例6】四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．【例1】解则解得，上，(五)配凑法【例1】：2x当然，上例也可直接使用换元法即由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。
【例2】：分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。
实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的函数来表示出来，在通过整体换元。
和换元法一样，最后结果要注明定义域。
求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法函数解析式是用数学语言描述数学函数的一种方法。
它可以方便地表示函数的定义域、值域、性质等，并且能够通过函数图像和方程表达式等形式直观地展现函数的特征。
下面将介绍六种常用的方法来求函数的解析式。
1.常函数法：常函数法是求解常函数的一种简单方法。
常函数表示所有的输入值都对应着相同的输出值。
常函数的解析式通常形如"f(x)=c"，其中c是常数。
常函数的定义域和值域都是全体实数值。
例如，函数f(x)=3就是一个常函数，它的输出始终为32.幂函数法：幂函数是一种具有形如y=x^a的解析式的函数。
幂函数法是通过给定了函数的一些特定点来推导出整个函数的解析式。
常见的幂函数包括正幂函数、负幂函数和倒数函数。
例如，给定函数f(x)通过点（1,2）和（2,4），我们可以通过观察得出f(x)=2^x。
3.分段函数法：分段函数是一种具有不同解析式在不同区间上的函数。
分段函数法是通过将函数的定义域按照不同的区间划分，然后在每个区间上分别确定函数的解析式来得到函数的解析式。
例如，函数f(x)=，x，在x<0时取值为-x，在x≥0时取值为x，这就是一个分段函数。
4.复合函数法：复合函数是通过使用一个函数的输出结果作为另一个函数的输入来得到的函数。
复合函数法是通过将两个或多个函数的定义域和值域相互组合，然后确定新函数的解析式来求解函数的解析式。
例如，给定函数f(x)=x+1和g(x)=2x，我们可以求得f(g(x))=2x+15.反函数法：反函数是指一个函数的自变量和因变量对换后得到的新函数。
反函数法是通过将一个函数的自变量和因变量交换位置，然后求解得到函数的解析式。
例如，给定函数f(x)=2x，我们通过交换x和y的位置，可以求得反函数f^(-1)(x)=x/26.曲线拟合法：曲线拟合法是通过已知函数的一些点来找到一个与这些点最接近的函数的解析式。
它可以应用于实验数据分析和模型建立等领域。
函数解析式的九种求法
) 〕 f 〔g ( x
0 题 第 7 6页 第 1
( 1 ( 2 ) 厂
一
:
. 小 矛
、 . 护
、 产 .
X
一
一 ir 二份丁’
求证
:
,
=
一
f
(x )
.
若 把此题 略改一下
:
,
的 方 法 可循 呢 ? 回 答 是 肯 定 的
。
这 类题在 现
,
行 的 高 中 数 学 教 科书 中几 乎 没 有 本 上 的 函 数这 一 内容 关 系 密 切
’
+
值
P
例
Z
6
(
一
z
,
0)
_
、
B ( l
,
0)
,
b b
夕=
:
一
亿
一
a
,
Z+
侧
)!P
`
,
a
Z
+
:
b
=
协 一 2 f ,
a
为 圆周尸 ,
:
一
6x
,
一
8夕
J , ,
、
2 1
=
,
0
+
,
七的 动点
Bp
,
亿 砰下矛
:
因此 { ( f
。
}
,
。。
了
试求
=
{A P
: Z
Z
+
Bp
}
+
,
{A p
,
}
.
`
。
.
“`
高中数学：函数解析式的十一种方法
高中数学:函数解析式的十一种方法一、定义法 二、待定系数法 三、换元(或代换）法 四、配凑法 五、函数方程组法七、利用给定的特性求解析式.六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法一、定义法:【例1】设23)1(2+-=+x x x f ,求)(x f .2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2++-+x x65)(2+-=∴x x x f【例２】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f ． 【解析】设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([xx f +=∴11)(【例３】设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .【解析】2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.【解析】)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ．二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
【例１】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ,求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ,则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知1392)2(2+-=-x x x f ,求)(x f ．【解析】显然,)(x f 是一个一元二次函数。
高一数学求函数解析式定义域与值域的常用方法(含答案)
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
求函数解析式的几种方法及题型
求函数解析式的几种方法及题型【最新版3篇】篇1 目录一、引言二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法2.交点式3.顶点式4.换元法5.归纳法三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式2.已知顶点求解析式3.已知交点求解析式4.抽象复杂函数问题四、结论篇1正文一、引言求函数解析式是高中数学中的常见问题，也是高考的常规题型之一。
解决这类问题需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍几种常用的求函数解析式的方法及题型，帮助同学们更好地理解和应用这些方法。
二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法待定系数法是一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。
2.交点式交点式适用于已知抛物线与 x 轴的两个交点的情况。
通过已知的交点，我们可以得到两个方程，解这两个方程可以求得抛物线的解析式。
3.顶点式顶点式适用于已知抛物线的顶点的情况。
通过已知的顶点，我们可以得到一个方程，这个方程包含了抛物线的顶点坐标和抛物线的解析式中的待定系数。
解这个方程可以求得抛物线的解析式。
4.换元法换元法是一种通用的求函数解析式的方法，适用于各种复杂的函数问题。
通过换元，我们可以将复杂的函数问题转化为简单的函数问题，从而求得函数的解析式。
5.归纳法归纳法适用于具有一定规律的函数问题。
通过观察函数的规律，我们可以猜测函数的解析式，然后通过数学归纳法证明我们的猜测是正确的。
三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式已知函数上的三个点，我们可以通过待定系数法求解函数的解析式。
设定函数的形式为 y=ax^2+bx+c，然后将三个点的坐标代入方程，得到三个方程组成的线性方程组，解这个方程组可以求得函数的解析式。
2.已知顶点求解析式已知抛物线的顶点，我们可以通过顶点式求解抛物线的解析式。
高中数学：求函数解析式的10种常见方法
高中数学：求函数解析式的10种常见方法一、配凑法：给定$f(x+1)=x-3x+2$，求$f(x)$。
练1：设函数$f(x)=2x+3$，$g(x+2)=f(x)$，求$g(x)$。
练2：设$f(f(x))=x^2+2$，求$f(x)$。
练3：设$f(x+2)+f(x)=x^3+x$，求$f(x)$。
二、待定系数法：例1：如果反比例函数的图像经过点$(1,-2)$，那么这个反比例函数的解析式为$\frac{-2}{x-1}$，求$f(x)$。
练1：在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上有一点P，它的横坐标$m$与纵坐标$n$是方程$t^2-4t-2=0$的两个根，求$k$。
练2：已知二次函数$f(x)$满足$f(x+1)=f(x)+2x+8$，求$f(x)$的解析式。
练3：已知$f(x-2)=2x-9x+13$，求$f(x)$。
三、换元（或代换）法：例1：已知函数$f(\frac{1-x}{1+x})=\frac{1+x}{1-x}$，求：（1）$f(2)$的值；（2）$f(x)$的表达式。
练1：已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$及$f(x^2)$；练2：已知$f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{x}$，求$f(x+1)$．四、消去法：例1：设函数$f(x)$满足$f(x)+2f(\frac{1}{x})=x$，求$f(x)$．练1：已知$f(x)-2f(-x)=3x+2$，求$f(x)$．练2：已知定义在R上的函数$f(x)$满足$f(-x)+2f(x)=x+1$，求$f(x)$．练3：已知$f(x)+3f(-x)=2x+1$，求$f(x)$.练4：设函数$f(x)$满足$af(x)+bf(\frac{1}{x})=cx$（其中$a,b,c$均不为$0$，且$a\neq\pm b$），求$f(x)$．五、反函数法：例1：已知$f(a^2-x^2)=x$，求$f(x)$。
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
高中数学-求函数解析式的六种常用方法求函数解析式是高中数学中的重要内容之一，常用的方法有六种。
下面分别介绍这六种方法。
一、换元法如果已知复合函数$f[g(x)]$的解析式，要求原函数$f(x)$的解析式，可以令$g(x)=t$，求$f(t)$的解析式，再把$t$换为$x$即可。
例如，已知$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$，要求$f(x)$的解析式。
设$g(x)=\frac{1}{x}$，则$x=\frac{1}{g(x)}$，代入$f(x)$得$f(g(x))=\frac{g(x)^2+11g(x)+1}{g(x)+1}$，再令$t=g(x)$，则$f(t)=\frac{t^2+11t+1}{t+1}$，最后把$t$换为$x$，得到$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$。
二、配凑法如果已知$f(x+1)=x+2x^2$，要求$f(x)$的解析式，可以使用配凑法。
首先，把$x+1$视为自变量$x$，则有$f(x)=x^2-1$，但要注意函数的定义域的变化，即$x+1\geq 1$，即$x\geq 0$。
三、待定系数法如果已知函数类型，可以使用待定系数法求函数的解析式。
例如，已知二次函数$f(x)$满足$f(0)=0$，$f(x+1)=f(x)+2x+8$，要求$f(x)$的解析式。
设$f(x)=ax^2+bx+c$，代入已知条件得到$c=0$，$a+b=8$，$2a+b=0$，解得$a=1$，$b=7$，$c=0$，所以$f(x)=x^2+7x$。
四、消去法如果已知$f(x)+2f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，要求$f(x)$的解析式，可以使用消去法。
把已知中的$f(\frac{1}{x})$用$f(x)$表示出来，得到$2f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，再把$x$换成$\frac{1}{x}$，得到$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{1}{x-1}$，解得$f(x)=-\frac{x}{3(x-1)}$。
高中数学：函数解析式的十一种方法
高中数学：函数解析式的十一种方法一、定义法六、特殊值法二、待定系数法八、累加法三、换元（或代换）法九、归纳法四、配凑法十、递推法五、函数方程组法十一、微积分法七、利用给定的特性求解析式.一、定义法：2 x【例1】设f (x 1) x 3 2，求f ( x) .2 x x 2 x 2 xf ( x 1) x 3 2 [( 1)1] 3[( 1) 1] 2 = (x 1) 5( 1) 6f (x) 2 xx 56【例2】设x 1f [ f ( x)] ，求f (x) .x 2【解析】设 f [ f ( x)] xx12x 11f(x)1x 1 1 111x1x【例3】设1 2 1 1 13f (x ) x , g(x ) x ，求f [ g( x)] .2 3x x x x1 1 12 f x x2 2【解析】) 2 ( ) 2f (x) x (x2x x x1 1 1 13 3 3又g x x xg( x) x (x ) 3(x ) ( ) 33x x x x3 x x x x2 6 4 2故f [ g( x)] (x 3 ) 2 6 9 2【例4】设f (cos x) cos17 x, 求f (sin x) .【解析】)f (sin x) f [cos( x)] cos17 ( x2 2cos(8 17 x) cos( 17 x) sin17x.2 2二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
【例1】设f (x) 是一次函数，且 f [ f ( x)] 4x3，求 f (x)【解析】设f (x) ax b (a 0)，则f [ f ( x)] af (x) b a( ax b) b a 2 x ab ba ab 2 4b 3ab2 a或1 b23f (x) 2x 1或 f (x) 2x 32 x【例2】已知f (x 2) 2x 9 13，求f (x) .2 bx c a 【解析】显然， f (x) 是一个一元二次函数。
函数解析式的常见求法
函数解析式的常见求法作者：孙道静来源：《新课程·上旬》2013年第11期把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。
在给定条件下求函数的解析式f（x），是高中数学中经常涉及的内容，形式多样，没有一定的程序可循，综合性强，解起来有相当的难度，但是只要认真仔细去探索，还是有一些常用之法。
下面就谈谈求函数解析式f（x）的方法。
一、待定系数法适用范围：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。
二、配凑法适用范围：已知复合函数f[g（x）]的表达式，求f（x）的解析式，当f[g（x）]的表达式容易配成g（x）的运算形式时，常用配凑法。
但要注意，所求函数f（x）的定义域不是原复合函数的定义域，而是g（x）的值域。
三、换元法适用范围：已知复合函数f[g（x）]的表达式，求f（x）的解析式，当f[g（x）]的表达式容易配成g（x）的运算形式时，还可以用换元法求f（x）的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
四、代入法适用范围：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
五、构造方程组法适用范围：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
六、实际应用问题对于各种求函数解析式的方法，要注意相互之间的区别与联系。
对于分段函数，要注重分类思想的应用；对于生活中的实际问题，要找到数学学习中的数学模型，进一步体会数学知识的应用。
要引导学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，初步运用函数的思想方法理解和处理其他学科在现实生活中的简单问题。
同时，注重数形结合思想的应用，以便更好地掌握数学知识，提高数学学习的能力。
（作者单位江苏省口岸中学数学组）编辑武浩然。
高中数学必修：求解函数解析式的所有方法
高中数学必修：求解函数解析式的所有方法
函数是高中数学中极为重要的一部分，且在高考中占据着极为重要的角色，因为我们整个高中数学都是以函数为核心串联起来的。
如果你不懂函数，你不会做函数题目，那么可以肯定你的数学得分会非常的低，所以函数必须好好的学，学扎实，那么今天我们就先从学习解函数的解析式开始，从基础开始。
高中必修中，函数解析式的解法主要有以下几种：
一、换元法：
二、配方法：
三、方程组法：
四、待定系数法：
五、赋值法：
六、图像法：
七、代入法：
八、奇偶法：
以上就是高中求解函数解析式的所有方法，如有还有其他方法，都大同小异，希望同学们能够很好的处理，能由此及彼，举一反三，学有所获，下面请看张永辉老师就函数知识的视频讲解。
高中数学求解函数解析式方法(附例题)
求解函数解析式基本方法（附例题）一、求解函数解析式 1、换元法汇总，切记定义域综上所述：新元代换旧元可化作：则取值范围换元，立刻确定新元的则令变形由解：由题意可知：的解析式求已知11,1)(f t 1f(t)①1t 1,cos t 1sin cos ①cos 1)(cos )(f ,sin )(cos f 222222≤≤--=-=≤≤-==+-==x x x x x x x x f x x x 练习一：）的解析式（答案见文末求已知)(,2)1(2x f x x x f -=+2、凑配法汇总，切记定义域求解定义域又运用完全平方公式解：的解析式求已知2,2)(21,02)1()1()(,0,1)1(2222≥-=∴≥+∴>-+=+>+=+x x x f xx x xx x x f x f x x x x x f练习二：解析式求已知)(,45)2(2x f x x x f ++=+换元法和凑配法在实际运用过程中，以计算简单、准确为原则，根据题目恰当选择。
3、待定系数法5)1(5)(505)10()0(0,05)1()(5,15,1)()()(5,1)(2222+--=-==+-=∴+-===+-=x x f a a f x a x f h k hk x a x f x f x f 综上所述，解得：）点，代入计算图像过（图像过原点又故值根据物理意义，直接赋）可得，由顶点为（数顶点式根据题意，选择二次函解：由题意可设：的解析式），且经过原点，求（是二次函数，其顶点为已知练习三：的解析式（求且是二次函数，已知),3)0(,12)()1()(x f f x x f x f x f =+=-+4、构造方程组法：），（联立方程组，求解：）式联立方程组，解得）、（将（合适替换元得：替换用注意定义域，选取），（，且解：的解析式（求满足）上的函数，定义在（∞+∈--==-∴∞+∈=-=-∞+0,323)(21)2(1)(2)1(,10)1()1(2)(),)1(2)()(0x xx x f x x f x f x xx x xf x f x f x xf x f x f 练习四：的解析式求满足）上的函数定义在（)(,1)1(2)()(,0x f x xf x f x f -⋅=+∞求解函数解析式，一般出填空题，或者大题的第一小问。
高中数学：求函数解析式的10种常见方法
求函数解析式的几种常用方法一、配凑法：例1：设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .练1：设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，求()g x 。
练2：设21)]([++=x x x f f ，求)(x f .练3：设33221)1(,1)1(xx x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .二、待定系数法：例1：如果反比例函数的图象经过点(1,2)-，那么这个反比例函数的解析式为 。
练1：在反比例函数k y x=的图象上有一点P ，它的横坐标m 与纵坐标n 是方程2420t t --=的两个根，求反比例解析式。
练2：已知二次函数()x f 满足()00=f ，()()821++=+x x f x f ，求()x f 的解析式。
练3：已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .三、换元（或代换）法： 例1：已知函数1()1x f x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式练1：已知1)f x =+()f x 及2()f x ；练2：已知22111(),x x f x x x++=+求()f x ．四、消去法：例1：设函数()f x 满足()x x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+12，()0≠x ，求()f x ．练1：已知1()2()32f x f x x-=+，求()f x ．练2：已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12+=+-x x f x f ，()0≠x ，求()f x ．练3：已知()3()21f x f x x +-=+，求()f x .练4：设函数()f x 满足1()()af x bf cx x+=（其中,,a b c 均不为0，且a b ≠±），求()f x ．五、反函数法：例1：已知2)(21+=-x af x ，求)(x f .练1：已知函数1ln +=x y ,()0>x ,求它的反函数六：函数性质法例1：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．练1：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，()13-=x x f ，求()f x 的解析式．例1：设)(x f 是定义在N 上的函数，满足1)1(=f ，对于任意正整数y x ,，均xy y x f y f x f -+=+)()()(，求)(x f .练1：设定义在R 上的函数)(x f ，且满足()10=f ，并且对于任意实数y x ,均有()()()12+--=-y x y x f y x f ，求)(x f .练2：设定义在R 上的函数)(x f ，对于任意实数y x ,均有()()()()1232++-+=-y x x y f x f y x f ，求)(x f .练3：已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求()f x 的解析式.例1：已知a f N x x f x f =*∈+=+)1()(),(212)1(且，求)(x f .综合运用 例1：（1）已知3311()f x x x x+=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ； （3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 。
求函数解析式的常用方法 难题 提高 ( 含练习,含有答案)
求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.练习：1）已知f （x+x 1）=3x +31x，求f(x)。
2）已知f （x+x 1）=28x +28x+1，求f(x)。
3) 已知2211(),f x x x x -=+求()f x . 4) f （sinx ）=-x 2sin 2cos(2x)，求f(x ）函数解析式。
三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.练习：1）已知，f(x)是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f(x)的表达式2）已知，f(x)是二次函数，且满足f （x+1）+f （x-1）=2x 2 -4x+4，求f(x)的表达式3）f (x)是x 的二次函数，g(x) = 2x ·f (x)，且g(x + 1)－g(x) = 21+x ·x 2，求函数f (x)和g(x)的解析式．解：设f (x) = ax 2+ bx + c (a ≠0)，则g(x) = 2x ·(ax 2+ bx + c)．由g(x + 1)－g(x) = 21+x ·x 2得：21+x ·[a (x + 1)2+ b(x + 1) + c]－2x ·(ax 2+ bx + c) = 21+x ·x 2，即ax 2+ (4a + b)x + (2a + 2b + c) = 2x 2．这是关于x 的恒等式，比较系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=.022,04,2c b a b a a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-==.21,8,2c b a ∴f (x) = 2x 2－8x + 12 ，g(x) = 21+x ·(x 2－4x + 6)．4) 已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求函数解析式的六种常用方法
一、换元法
已知复合函数
f [
g （x ）]的解析式，求原函数
f （x ）的解析式.令
g （x ）= t ，
求f （t ）的解析式，再把
t 换为x 即可.
例1 已知f （x
x 1
）=
x
x
x 112
2，求f （x ）的解析式.
解：设
x
x 1= t ，则x= 1
1t （t ≠1），
∴f （t ）=
1
11)1
1(1
)11
(
22
t t t = 1+2
)1(t +（t －1）= t 2－t+1 故
f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.
评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围
,即为函数的定义域
.
二、配凑法
例2 已知f （x +1）= x+2
x ，求f （x ）的解析式. 解：f （x +1）= 2)(x +2
x +1－1=2
)1(x
－1，
∴f （x +1）= 2
)1(x
－1 （x +1≥1），将
x +1视为自变量x ，
则有
f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.
评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错
.
三、待定系数法
例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f
（x ）的解析式.
解：设二次函数f （x ）= ax
2
+bx+c ，则f （0）= c= 0 ①
f （x+1）= a
2
)1(x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b
②
由f （x+1）= f （x ）+2x+8
与①、②
得
8
2
2b
a b b a 解得
.
7,1b
a 故f （x ）= x 2+7x.
评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式
.
x ≥0，x ＜0.
四、消去法
例4
设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x
1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （
x
1），若用
x
1去代替已知中x ，便可
得到另一个方程，联立方程组求解即可
.
解：∵f （x ）+2 f （x
1）= x （x ≠0）
①
由
x
1代入得2f （x ）+f （
x
1）=
x
1（x ≠0）②
解①②构成的方程组，得f （x ）=
x
32－
3
x （x ≠0）.
五、特殊值法
例5设是定义在R 上的函数，且满足
f （0）=1，并且对任意的实数
x ，y ，
有f （x －y ）= f （x ）－y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.
分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－y （2x －
y+1），得到f （x ）函数解析式，只有令
x = y.
解：令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－y （2x －y+1）得f （0）= f （x ）－x （2x －x+1），整理得
f （x ）= x 2+x+1.
六、对称性法
即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的
解析式.
例6 已知是定义在R 上的奇函数，当
x ≥0时，f （x ）=2x －x 2，求f （x ）函数
解析式.
解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，
∴y=f （x ）的图象关于原点对称
.
当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），因此当x<0时，y=
2
)1(x －1= x
2
+2x.故f （x ）=x
x
x x 222
2
评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解
,就会使问题简单化
.。