第三章 离散傅立叶变换优秀课件

N1
X(k)D FT[x(n)]N x(n)W N kn 0≤k≤N -1 n0
离散傅里叶反变换(IDFT)定义
条件：N≥M
x(n)ID[X F (k)T ]N 1N k 0 1X(k)W N kn 0≤n≤N -1
3.2.5 DFT和Z变换、序列的傅里叶变换的关系
设序列x(n)的长度为N，其Z变换、DFT和傅里叶变 换分别为
X(k)X(ejw )w2k/N 0≤k≤ N-1
DFT和Z变换的关系
X(k)X(z)zWN kej2k/N 0≤k≤ N-1
序列x(n)的N点DFT 相当于是在x(n)的 z变换的单位圆上 进行N点等间隔取
样，同时第一个取
样点取在z= 1处。
N＝8
单位圆上的8个等间隔取样点示意图
DFT和DTFT的关系
3.3 离散傅里叶变换的基本性质
线性性质 循环移位性质 循环卷积定理 复共轭序列的DFT DFT的共轭对称性
3.3.1 线性性质
设x1(n)和x2(n) 长度分别为N1和N2，且
y(n )a1(x n ) b2(x n )
取N = max[N1，N2]，则y(n)的N点DFT为
Y ( k ) D [y ( F n ) ] a T 1 ( k X ) b2 ( k X ) 0≤k≤ N－1
X(k)X(ejw )w2k/N 0≤k≤ N-1
物理意义：X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω) 在区间[0，2π]上的N点等间隔取样。
例3.2.1
设有限长序列为x(n)=R4(n)，求x(n) 的傅里叶变 换(DTFT)，以及4点、8点、16点DFT。
解：（1）x(n)的傅里叶变换
X (ej)n R 4(n)e-jnn 30e-jn1 1 e e --jj4
离散傅里叶变换的导出
由于数字计算机只能计算有限长离散的序 列，因此有限长序列在数字信号处理中就 显得很重要。
任一有限长序列频域连续，使得无法利用 计算机直接进行频域数字计算，因此频域 需要离散化。
D来自百度文库T
3.2 离散傅里叶变换DFT
离散傅里叶变换的定义 DFT和z变换、DTFT的关系 DFT的隐含周期性(和DFS的关系）
x(n)x(nmN)x((n))N m
2、表示n对N求余数
如果 n = n1 + MN ，0≤n1≤N-1，M为整数 则 ((n))N = n1 例如，N=8， ~ x(n)x(n ()8 )，则有
~ x(9 )x(9 ( )8)x(1 ) x(1)x((1))8x(7)
3.2.2 主值区间，主值序列
N1
X(z)Z[x(n)] x(n)zn
0≤k≤ N-1
n0
X (k ) D F T [x (n )] N 1 x (n )W N k n N 1 x (n )e j2 N k n
n 0
n 0
N1
X(ejw)F[x(n)] x(n)ejwn n0
三种变换的关系 比较三式可得
X(k)X(z)zWN kej2k/N 0≤k≤ N-1
第三章 离散傅立叶变换
本章目录
引言 离散傅里叶变换（DFT）的定义 离散傅里叶变换的基本性质 频率域采样 离散傅里叶变换（DFT)的应用 Matlab实现
3.1 引言
各种形式的傅里叶变换 CTFT: 时域连续，频域连续 CFS: 时域连续，频域离散 DTFT: 时域离散，频域连续 DFS: 时域离散，频域离散
注意：如果N1和N2不相等，则以N为DFT变换长度时， 其中相对较短的序列就通过补零增加到长度为N。
3.3.2 循环移位性质
序列的循环移位
设x(n)长度为N，则x(n)
的循环移位定义：
y(n)x((nm))NRN(n) xm(n)
特点：从左移出， 从右移入
见书P80 循环 移位
取主值
时域循环移位定理
k=0，1，…，7
（4）x(n)的16点DFT（N＝16）
3
X3(k)
Wkn 16
n0
k=0，1，…，15
例3.2.1 的图形显示
DFT实现了频域 离散化。
DFT与N有关，N 越大（对原序列 尾部补零） ，对 X(ejw)采样的点 数越多，越接近 原连续信号的谱。
N＝4 N＝8 N＝16
3.2.6 DFT的隐含周期性（和DFS的关系）
和 X ( k ) ，而 x ( n ) 刚好为一个有限长序列，从而得到其 离散的频域 X ( k ) 。
时域离散、频域离散
x(n)x((n))N X(k)X((k))N x(n )~ x(n )R N (n ) X(k)X(k)R N(k)
3.2.4 离散傅里叶变换的定义
离散傅里叶正变换(DFT)定义 x(n)长度为M
DFS:
N1
X(k) x(n)WNkn
n0
x(n)N 1N k01X(k)WNkn
DFT:
N1
X(k) x(n)WNkn
n0
x(n)N 1N k01X(k)WNkn
DFT变换对，虽然在形式上是N点序列的时频变换，但 它蕴含着首先把N点的信号作周期延拓然后进行DFS， 最后从DFS中各取主值。
主值区间：
通常把 x ( n ) 的第一个周期n=0到N-1定义为“主值区间”
主值序列： 把x(n)称为 x ( n ) 的“主值序列”
x(n)x((n))N x(n )~ x(n )R N (n )
3.2.3 DFT的导出
对 x ( n ) 和 X~(k) 分别取一个周期，刚好对应 x ( n )
e-j2(ej2 e-j2) e-j/2(ej/2 e-j/2)
e-j3/
2
sin(2) sin(/ 2)
（2）x(n)的4点DFT（N＝4）
3
3
X1(k) x(n)W 4kn W 4kn
n0
n0
j3k
e 4
ssiinnkk04,,
4
（3）x(n)的8点DFT（N＝8）
k0 k1,2,3
3
X2(k) W8kn n0
设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的
3.2.1 序列与周期延拓序列
任何周期为N的周期序列 x ( n ) 都可以看作长度为N的有限长
序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 x ( n )的一个周期.
~x(n)
x(nmN)
m
x(n) 0nN1
x(n) 0
其 它 n
x(n )~ x(n )R N (n )
运算符((n))N
1、表示序列以N为周期延拓