第十届中国东南地区数学奥林匹克试题解答

第十届东南数学奥林匹克解答

第一天

(2013年7月27日 上午8：00－12：00) 江西 鹰潭

1. 实数,a b 使得方程3

2

0x ax bx a -+-=有三个正实根．求32331

a a

b a

b -++的

最小值．

（杨晓鸣提供）

解 设方程320x ax bx a -+-=的三个正实根分别为123,,x x x ，则由根与系数的关系可得

123122313123,,x x x a x x x x x x b x x x a ++=++==，

故0,0a b >>．

由2123122313()3()x x x x x x x x x ++≥++知：23a b ≥． 又由3

3

12312333a x x x x x x a =++≥=知：33a ≥．因此

32331a ab a b -++23(3)31a a b a a b -++=

+332333931

13

a a a a

a a

b ++≥≥=≥++， 当33,9a b ==，即方程三个根均为3时等号成立．

综上所述，所求的最小值为93．

2. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，内切圆I 与BC 边切于点D ，AD 交内切圆I 于另一点E ，圆I 的切线EP 交BC 的延长线于点P ，CF 平行PE 交AD 于点

F ，直线BF 交圆I 于点,M N ，点M 在线段BF 上，线段PM 与圆I 交于另一点Q ．证明：ENP ENQ ∠=∠． （张鹏程提供）

证法1 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T 联结,,ST AI IT ，设ST 与AI 交于点G ，则,IT AT TG AI ⊥⊥，从而有2AG AI AT AD AE ⋅==⋅，所以,,,I G E D 四点共圆．

又,IE PE ID PD ⊥⊥，所以,,,I E P D 四点共圆，从而,,,,I G E P D 五点共圆．

所以90IGP IEP ∠=∠=o ，即IG PG ⊥，从而,,P S T 三点共线．

直线PST 截ABC ∆，由梅涅劳斯定理知，

1AS CP BT SC PB TA

⋅⋅=， 又,,AS AT CS CD BT BD ===，所以有

1PC BD

PB CD

⋅=． ① 设BN 的延长线交PE 于点H ，直线BFH 截PDE ∆，由梅涅劳斯定理知，

1PH EF DB

HE FD BP

⋅⋅=． 因为CF 平行于BE ，所以

EF PC

FD CD

=

，从而有 1PH PC DB

HE CD BP

⋅⋅=．

② 由①、②知，PH HE =，故22PH HE HM HN ==⋅，所以

PH HN

HM PH

=

，PHN ∆∽MHP ∆，HPN HMP NEQ ∠=∠=∠， 又PEN EQN ∠=∠，所以ENP ENQ ∠=∠．

证法2 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T ，则由PI AD ⊥知

2222222PA PD IA ID IA IT AT -=-=-=，

所以2222222PA AT PD IP ID IP IT -==-=-，从而AI PT ⊥．又AI ST ⊥，所以

,,P S T 三点共线．

以下同证法1．

3. 数列{}n a 满足：21211

(1)1,2,(2,3,)n

n n n a a a a n a +-+-====L ．证明：该数

列任意两个相邻项的平方和仍是该数列中的一个项．

（陶平生提供）

证 由211

(1)n n n n a a a +-+-=得2

11(1)(2,3,,)n n n n

a a a n +-=+-=L ，于是 2

11312

n n n n n a a a

a a ------=132n n n a a a ----==L 3122a a a -==，

故122(3)n n n a a a n --=+≥．从而

12345671,2,5,12,29,70,169,a a a a a a a =======L ，

可见2222221232353475,29,169a a a a a a a a a +==+==+==，故猜想22

121n n n a a a +++=．

令22121()n n n f n a a a ++=+-，于是

12222()2n n n n a a a a +++=+-2()g n =， ①

其中1222()()n n n n g n a a a a +++=+-．进一步有

22

21232222(1)n n n a a a f n +++=+-=+．

② 由①、②知

4(1)2(1)2()f n g n g n +=+-(2)(1)(1)()f n f n f n f n =+-+-++，

即(2)6(1)()f n f n f n +=+-．由于(1)(2)0f f ==，根据递推式可知()0f n =，

即22121n n n a a a +++=．证毕．

4. 十二个杂技演员编号分别为1,2,,12L ，将他们按适当方式分别围成

,A B 两个圈，每圈6人，其中B 圈的每个演员分别站在A 圈相邻两个演员的肩

膀上．如果B 圈中每个演员的编号分别等于他脚下两个演员的编号之和，就称这样搭配成的结构为一个“塔”，问总共能搭配成多少个结构不相同的“塔”？ （注：旋转或对称后的塔属于同一种结构．以8个人的情况为例，画一个圆，将底层演员编号填在圈内，上层演员编号填在圈外，那么以下三个图均是“塔”，但后两个图分别可由第一个图经旋转或对称而得，故它们属于同一种结构．） （陶平生提供）

解 将组,A B 中的元素和分别记为,x y ，则有2y x =，所以 3121278x x y =+=+++=L ，

26x =． 显然有1,2A ∈，11,12B ∈，设{}1,2,,,,A a b c d =，其中a b c d <<<，则23a b c d +++=，且3,810a d ≥≤≤（若7d ≤，则456722a b c d +++≤+++=，矛盾）．

(1) 如果8d =，则{}1,2,,,,8,7,15A a b c c a b c =≤++=，于是(,,)a b c

(3,5,7)=或(4,5,6)，即{}1,2,3,5,7,8A =或{}1,2,4,5,6,8A =．

若{}1,2,3,5,7,8A =，则{}4,6,9,10,11,12B =，由于B 中含4,6,11,12，故A 中必须1、3邻接，1、5邻接，5、7邻接，8、3邻接，这时只有唯一的排法，由此得到一个塔：

若{}1,2,4,5,6,8A =，则{}3,7,9,10,11,12B =，类似知A 中必须1、2邻接，5、6邻接，4、8邻接，这时有两种排法，得到两

1

2

34

5678

1234

5

6

7

8

1

234

5

6

7

8

12

5

64

8

37

111012*********

3

8

46

5211

25

648

3

7

11

1012

9